Segunda ley de Newton - unican.es
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Conservación de la energía mecánica Segunda ley de Newton 1 2 mdv 2 = (mg sin ↵ - f )dx, 1 2 I d! 2 = fRd✓ . 1 2 mdv 2 + 1 2 I d! 2 = mg sin ↵dx. La suma de la energía cinética de traslación del centro de masas del disco, más su energía cinética de traslación, más la energía potencial de gravitatoria de interacción con la Tierra, se conserva. La energía mecánica se conserva
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Conservación de la energía mecánicaSegunda ley de Newton1
2mdv2 = (mg sin↵� f)dx ,
1
2Id!2 = fRd✓ .
1
2mdv2 +
1
2Id!2 = mg sin↵dx .
La suma de la energía cinética de traslación del centro de masas del disco, más su energía cinética de traslación, más la energía potencial de gravitatoria de interacción con la Tierra, se conserva. La energía mecánica se conserva
Conservación de la energía mecánica
La energía mecánica se conserva a lo largo de este proceso.
d[1
2mv
2 +1
2I!
2 +mg(L� x) sin↵] = 0
H(x, v; ✓,!) =1
2mv2 +
1
2I!2 +mg(L� x) sin↵
dH
dt= 0
Conservación de energía mecánica
El disco desciende por un plano inclinado con ángulo de inclinación y coeficiente de rozamiento tales que el mismo desciende sin deslizar, cumpliendo la condición de
rodadura, evolucionando con conservación de la energía mecánica, por lo que la suma de su energía cinética de traslación, más su energía cinética de rotación, más la energía potencial gravitatoria de su interacción con la
Tierra se conserva en todo momento. El proceso es reversible y el disco ascenderá por el plano
inclinado del mismo modo que desciende por él.
Conservación de la energía mecánica
v
!
↵hL
(a)
(b)f
N
G
La energía mecánica se conserva a lo largo de este proceso.
dH
dt= 0
Conservación de la energía mecánicaPrimer principio de la termodinámica
dKcm + dU = �W + �Q
1
2mdv2 +
1
2Id!2 = mg sin↵dx+ �Q
�Q
dt= 0
dSU = ��Q/T = 0
dH
dt=
�Q
dt= 0
Disipación de energía mecánica
Mínimo de la energía potencial
Disipación de energía mecánica
v!
↵
hL
!
(a)
(b)
fmax
µ <1
3tg↵
Disipación de energía mecánica
d
dt
@L(x, v; ✓,!)
@v
� @L(x, v; ✓,!)
@x
=@Fmax
R
(x, ✓)
@x
,
d
dt
@L(x, v; ✓,!)
@!
� @L(x, v; ✓,!)
@✓
=@Fmax
R
(x, ✓)
@✓
Función de disipación de Rayleigh
Ecuaciones de Euler-Lagrange-Rayleigh
Fmax
R
(x, ✓) = �f
max
x+ f
max
R✓ 6= 0
Leyes de Newtonmdv �mg sin↵dt = �µmg cos↵dt ,
Id! = µmg cos↵Rdt .
1
2
mdv
2= (mg sin↵� µmg cos↵)dx ,
1
2
Id!
2= µmg cos↵Rd✓ .
1
2
mdv
2+
1
2
Id!
2= mg sin↵dx� µmg cos↵(dx�Rd✓) .
Ecuaciones del pseudotrabajo
Disipación de energía mecánicad[
1
2
mv
2+
1
2
I!
2+mg(L� x) sin↵] = �µmg cos↵(dx�Rd✓)
El valor del hamiltoniano no se conserva a lo largo del proceso
H(x, v; ✓,!) =1
2mv2 +
1
2I!2 +mg(L� x) sin↵
dH
dt= �µmg cos↵(v �R!) < 0
Disipación de energía mecánicaPrimer principio de la termodinámica
1
2mdv2 +
1
2Id!2 = mg sin↵dx+ �Q
�Q
dt= �µmg cos↵(v �R!) < 0
dSU
dt=
µmg cos↵(v �R!)
T> 0
Disipación de energía mecánica
dH
dt= �T
dSU
dt
Principio de evolución máxima entropía
El sistema evoluciona aumentando la entropía del universo hasta un máximo compatible con las ligaduras.
El sistema evoluciona eliminando energía cinética y alcanzando el mínimo de energía potencial compatible con
las ligaduras.
Principio de evolución mínima energía potencial
Disipación de energía mecánicaPrincipio de evolución máxima entropía
Ley de Murphy
dH
dt= �T
dSU
dt< 0
Disipación de energía mecánicaEl disco desciende por el plano inclinado, pero sin cumplir la condición de rodadura. A lo largo del proceso, cuando el disco se encuentre en movimiento, se va a disipar energía cinética, en forma de calor intercambiado con el foco térmico externo, a la vez que disminuye su energía
potencial gravitatoria. El cuerpo termina en reposo y en el mínimo de energía potencial compatible con las
condiciones del proceso, que evoluciona aumentando la entropía del universo, alcanzando ésta un máximo compatible con las condiciones del mismo, lo que lo convierte en irreversible. Se trata de un principio de necesidad: en presencia de una fuerza disipativa es
inevitable que durante el proceso se elimine la máxima energía mecánica posible.
Disipación de energía mecánica
Producción de energía mecánica
Un disco, que lleva unidos dos cartuchos donde se producen reacciones químicas, asciende por un plano inclinado cumpliendo la condición de rodadura.
Producción de energía mecánica
H(x, v; ✓,!) =1
2mv2 +
1
2I!2 +mgx sin↵
L(x, v; ✓,!) =1
2mv
2 +1
2I!
2 �mgx sin↵
La energía interna química no entra ni en el hamiltoniano ni en el lagrangiano.
FR(x, ✓) = 2Fr✓ + fx� fR✓
d
dt
@L(x, v; ✓,!)
@v
� @L(x, v; ✓,!)
@x
=@FR(x, ✓)
@x
! d
dtmv +mg sin↵ = f
d
dt
@L(x, v; ✓,!)
@!
� @L(x, v; ✓,!)
@✓
=@FR(x, ✓)
@✓
! d
dtI! = 2Fr � fR
Producción de energía mecánicaFunción de producción de energía mecánica
Ecuaciónes Euler-Lagrange. Ecuaciones de Newton
f =4
3F
r
R+
1
3mg sin↵
mdv = (4
3F
r
R� 2
3mg sin↵)dt ,
Id! = (2
3Fr � 1
3Rmg sin↵)dt .
mdv = (f �mg sin↵)dt ,
Id! = (2Fr � fR)dt .
Producción de energía mecánica
Fuerza que debe aplicar el plano inclinado sobre el disco.
1
2mdv2 = (
4
3F
r
R
� 2
3mg sin↵)dx ,
1
2Id!2 = (
2
3Fr � 1
3Rmg sin↵)d✓ .
dv = Rd!
dx = Rd✓
1
2mdv2 +
1
2Id!2 +mg sin↵dx = 2Frd✓
Producción de energía mecánica
Condición de rodadura
Producción de energía mecánica
El valor del hamiltoniano no se conserva a lo largo del proceso. El valor del hamiltoniano aumenta a lo largo del proceso. Se produce energía mecánica a lo largo del
proceso.
1
2mdv2 +
1
2Id!2 +mg sin↵dx = 2Frd✓
H(x, v; ✓,!) =1
2mv2 +
1
2I!2 +mgx sin↵
dH
dt= 2Fr! > 0
1
2mdv2 +
1
2Id!2 � dU⇠ = �mg sin↵dx� PdV⇠ + TdS⇠
1
2mdv2 +
1
2Id!2 +mg sin↵dx = �dG⇠
dG⇠ = dU⇠ + PdV⇠ � TdS⇠
Producción de energía mecánicaPrimer Principio de la termodinámica
Ecuación de la energía
�dG⇠
dt= 2Fr!
dH
dt= �dG⇠
dt> 0
Producción de energía mecánicaPrincipio de evolución del mínimo de la función de Gibbs
Ecuación para la producción de energía mecánica a partir de una reacción química
dH
dt= �dG⇠
dt> 0
Producción de energía mecánicaPrincipio de evolución del mínimo de la función de Gibbs
Ley Anti-Murphy
Producción de energía mecánica
El proceso evoluciona convirtiendo en trabajo, y posteriormente, en energías mecánicas -- de traslación, de rotación y potencial gravitatoria -- la disminución de la
función de Gibbs de las reacciones químicas producidas. Es éste un principio de potencialidad:
si el dispositivo se prepara para que, en efecto, la energía mecánica total obtenida sea igual a la disminución de la
función de Gibbs de las reacciones químicas, todo el proceso tendrá lugar con variación nula de la entropía del universo y será reversible; pero si se obtiene menos energía mecánica que la máxima posible, entonces el proceso habrá tenido lugar con aumento de la entropía del universo y el proceso será, al menos, en parte, irreversible. de evolución del
mínimo de la función de Gibbs
Hidrocarburo más oxígeno
Al quemar octano con oxígeno, se produce una disminución de la función de Gibbs. El proceso se puede utilizar para mover un motor de combustión interna.
NA
C8H18 +
25
2O2 ! 8CO2 + 9H2O
�+�H⇠
��G⇠ =1
2mv2cm +
1
2Ir!
2
Persona que da un salto
Es la disminución de la función de Gibbs de las reacciones químicas que tienen lugar en los músculos de la persona la que proporciona la energía libre que luego se transforma
en energía cinética y en energía potencial.
(a) (b) (c)
~G
~N
~vi hcm
��G⇠ =1
2mv2cm +mghcm
Diagrama de fases del carbono
El grafito es la forma cristalina más estable a bajas temperaturas. El paso de diamante a grafito es espontáneo, con disminución de la función de Gibbs. Se puede obtener trabajo transformando diamantes surafricanos en mina de
lápices. ¡Aprovechad la oportunidad!
FINProf. J Güémez
Departamento de Física AplicadaUniversidad de CantabriaSantander, enero 2019
Ideas que dan forma a la físicaHay procesos que son irreversibles
(Aprovechar las oportunidades)
