Magnitudes Proporcionales

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SEMANA 3 I. MAGNITUD:

Se llama magnitud a todo aquello que posee la propiedad de variar, ya sea aumentando o

disminuyendo.

Son ejemplos de magnitudes:

Magnitudes

Cantidades

Longitud Peso Área Temperatura Tiempo

450 m.

75 Kg. 180 m² 18 °C

30 días

Magnitudes Proporcionales

10

mF

a

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES: 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES : Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir los valores de A también aumentan o disminuyen los valores de B respectivamente y en la misma proporción. En consecuencia, la razón geométrica de los valores de estas magnitudes es constante. En General:

A DP B Valor de A

=KValor de B

Según la 2da. Ley de Newton siempre que sobre un cuerpo actúe una fuerza se producirá una aceleración en la misma dirección y sentido que la fuerza. El valor de la aceleración es D.P a la fuerza e I.P a la masa del cuerpo. Ejemplo: Una fuerza de 80N aplicada a un bloque de masa 16 kg le produce una aceleración de 5

2s/m , entonces veamos que sucede cuando la

fuerza varía:

F : Fuerza (N) a : Aceleración (m/s

2)

m : masa constante (Kg)

F 20 60 90 120

a 10 30 45 60

Si ubicamos cada par de valores en el plano cartesiano:

GRÁFICA:

La gráfica correspondiente a dos magnitudes DP son puntos continuos o discretos en una recta que tiende a pasar por el origen. Si el punto (x; y) pertenece a esta gráfica y “m” es la pendiente (constante) de la recta mencionada se tiene:

y=m

x y = mx

Si hacemos y = F(x) tendremos: m = constante F(x): Función de Proporcionalidad Directa.

F(x) = mx

Ka

F

120

90

60

20

10 30 45 60

Fuerza

Aceleración

(x,y)

Magnitudes Proporcionales

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Aplicación 1:

Se sabe que la magnitud A es DP a 3B

A 3 x 81

B 5 10 Y

Calcule: x +y Resolución

Aplicación 2: El pago de un albañil es proporcional a la raíz cuadrada del número de losetas colocadas. Si el primer día colocó 16 losetas y el segundo día colocó 64 losetas y por los dos días le pagaron S/. 420 Calcule el pago por cada día. Resolución

Aplicación 3: Dada la gráfica Halle: x + z Resolución

Aplicación 4:

Si ADP . 3 B , calcule A cuando B = 125; si

cuando A = 10 entonces B = 1. Resolución

50

40

x

24 z 60

N° de libros

N° de soles

Magnitudes Proporcionales

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2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales (IP) si al aumentar o disminuir los valores de A, disminuyen o aumentan los valores de B respectivamente y en la misma proporción. En consecuencia, el producto de los valores de estas magnitudes es constante.

En general:

A IP B KValorBValorA

Según la Ley formulada por el irlandés Robert Boyle y por el francés Edme Mariotte que la expresó matemáticamente se puede enunciar de esta forma para una masa de gas determinada a temperatura constante el volumen y la presión son inversamente proporcionales. Ejemplo:

Gas

V

P

P: presión (At)

V: volumen (t.cc)

T: temperatura

P 8 12 15 24

V 30 20 16 10

Si ubicamos cada par de valores correspondientes en el plano cartesiano, tendremos: Presión

24

15

12

8

10 16 20 30

GRÁFICA:

La gráfica correspondiente a dos magnitudes IP son puntos continuos o discretos ubicados en la rama de una hipérbola equilátera. Si el punto (x; y) pertenece a esta gráfica y “k” es la superficie rectangular (constante) que se genera entre los ejes y las perpendiculares proyectadas hacia ellos se tiene:

kx.y x

ky

Si hacemos y = G(x) tendremos: x

k)x(G

k = constante G(x): Función de Proporcionalidad Inversa.

Volumen

Magnitudes Proporcionales

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Aplicación 5:

Sean las magnitudes A y B donde A es

IP a B

A 100 x 9

B 3 6 y

Calcule: x +y Resolución

Aplicación 6: Dos ruedas de 45 y 54 dientes engranan y están girando. Si la primera rueda da 300 RPM ¿Cuántas vueltas dará la segunda rueda en 5 minutos? Resolución

Aplicación 7: Del gráfico mostrado, el valor de nk / y es: A 18

n

12

k 15 y 30

Resolución

Aplicación 8:

Si A I. P. 2A ; Halle A cuando B = 6; si cuando A = 2 entonces B = 12. Resolución

B

Magnitudes Proporcionales

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PROPIEDADES

I. Si A DP B B DP A

Si A IP B B IP A

II. Si A IP B A D P

B

1

III. Si A DP B Entonces se cumplen: nA DP nB

A

n DP

B

n

An DP Bn

n A DP n B .

Si A IP B Entonces se cumplen:

nA IP nB

A

n IP

B

n

An IP Bn

n A IP n B .

IV. Sean A, B, C y D 4 magnitudes: Si A DP B cuando C y D son constantes

A DP C cuando B y D son constantes A DP (B.C.D ) A DP D cuando B y C son constantes

OBSERVACIÓN: Proporcionalidad compuesta. Cuando intervienen más de dos magnitudes, se debe tener en cuenta:

DP División de Magnitudes

IP Multiplicación de Magnitudes

Aplicación 9:

Sean las magnitudes A ; B y C tales que: 3 A es IP a B cuando C es constante

A es DP a C cuando B es constante

A 2 x 1/2 B 3 2 y C 25 400 100

Calcule: x +y Resolución:

Aplicación 10: El salario de un obrero es directamente proporcional a sus años de servicio e inversamente proporcional al cuadrado de su coeficiente intelectual. Si Alberto que trabaja hace 8 años y tiene un coeficiente intelectual de 100 gana S/. 200. ¿Cuál es el coeficiente intelectual de Benito que trabaja hace 20 años y gana S/. 500? Resolución:

Magnitudes Proporcionales

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1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B, cuando A =48; B = 28. Determine el valor que toma B, cuando A = 12 Rpta:

2. A es I.P. a B, cuando A = 72; B = 8. Determine el valor de A cuando B = 32 Rpta:

3. El sueldo de un obrero es D.P. al cuadrado de sus años de servicio, si uno con 6 años de servicio percibe un sueldo de S/. 1 800, ¿Cuál será el sueldo de uno con 5 años de servicio? Rpta:

4. La nota de un alumno varía I.P. al número de horas diarias que ve televisión, si Arturo tuvo una nota de 05 cuando vio 4 horas televisión. Halle la nota de Jacinto que solo vio una hora televisión. Rpta:

5. En el gráfico mostrado X es D.P. a Y. Calcule : A+B Rpta:

6. Dado 3 magnitudes A, B y C, tales que: A D.P. B

A I.P. C ; además cuando

A = 5 entonces B = 30 y C = 36 Halle “A” cuando B = 40 y C = 25 Rpta:

7. En una fábrica la cantidad de sillas producidas es directamente proporcional al número de trabajadores y a la raíz cuadrada de número de horas diarias que se trabajan. La fábrica produce 3 000 sillas con 120 trabajadores durante 16 horas diarias. Halle cuantas sillas producirían 160 trabajadores laborando 9 horas diarias. Rpta:

8. El precio de un cuaderno varía proporcionalmente al número de hojas e inversamente proporcional al cuadrado del número de cuadernos que se compran. Si cuando se compran 10 cuadernos de 50 hojas c/u, éstas valen 4,2 soles, la unidad. ¿Cuántos cuadernos de 80 hojas saldrán al precio de 10,50 cada uno? Rpta:

9. La velocidad de un automóvil es directamente proporcional al número de galones de combustible. Si con 4 galones desarrolla una velocidad de 60 km/h, ¿Qué velocidad desarrolla cuando lleva 7 galones? Rpta:

10. El precio de una obra de arte es directamente proporcional a su antigüedad e inversamente proporcional al número de propietarios. Si una de 700 años de antigüedad y que ha tenido cuatro propietarios cuesta $ 1200, ¿Cuánto costará otra obra de 350 años de antigüedad y que ha tenido 6 propietarios? Rpta:

11. El tiempo (T) que demora la construcción

de un muro es inversamente proporcional al número de trabajadores (N) y la eficiencia de los trabajadores (E). ¿Cuál será la expresión que relaciona las tres magnitudes? (K = constante de proporcionalidad) Rpta:

GUÍA DE CLASE N° 3

Magnitudes Proporcionales

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12. El precio de una pepita de oro es

inversamente proporcional al cuadrado de las impurezas que contenga. Si una pepita de oro cuesta $ 400, ¿Cuánto costará otra pepita con el doble de las impurezas?

Rpta:

13. Se tiene un diamante que cuesta :

S/. 48 000, si éste se parte en dos pedazos, uno es el triple del otro. Determine cuánto se recibe al vender estos pedazos si se sabe que el precio es D.P. al cuadrado del peso del diamante que se vende. Rpta:

14. Una rueda A de 75 dientes engrana con

otra rueda B de 125 dientes, si en 3 minutos una de ellas ha dado 40 vueltas más que la otra. ¿Cuántas vueltas dará la rueda más pequeña en 5 min?

Rpta:

15. El precio de un terreno varía D.P. al área de dicho terreno e I.P. al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima. Si un terreno ubicado a 75km de Lima cuesta S/.5 000 ¿Cuánto más costará otro terreno ubicado a 100 km de Lima y cuya área es dos veces más que la anterior?

Rpta: