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Lic. Jos M. DE LA CRUZ UCAAN

MATEMATICA II Mdulo: 1 Unidad: 4 Semana: 8Integrales TriplesEcuaciones DiferencialesORIENTACIONES En este capitulo estudiaremos ecuaciones diferenciales y integrales triples, que tiene como base los mtodos y tcnicas estudiadas en captulos anteriores; comprender el empleo de las integrales triples , as como sus aplicaciones ms importantes. CONTENIDOS TEMTICOSIntroduccin.Integrales triples.Ecuaciones diferenciales.Orden y grado de una E.D.Propiedades.Aplicaciones.Conclusiones-actividad.

Introduccin.Integrales triples.Ecuaciones diferenciales.Orden y grado de una E.D.Propiedades.Aplicaciones.Conclusiones-actividad.

DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTTULOS DEL TEMA

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Ecuaciones DiferencialesOrdenGradoClases.

DefinicinUna ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que involucra derivadas de una funcin desconocida de una o varias variables.

EjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de EDs:1 Introduccin

Conocida como Ley de Crecimiento ExponencialEn base a la definicin anterior se tiene que:

a)Si la funcin desconocida depende de solo una variable la ecuacin se llama Ecuacin Diferencial Ordinaria.

b)Si la funcin desconocida depende de ms de una variable la ecuacin se llama Ecuacin Diferencial Parcial.i.1 Introduccin

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.

OrdenEl orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuacin.

EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:i.1 Introduccin

Solucin

La ecuacin diferencial:

Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuacin diferencial es la primera derivada.

La ecuacin diferencial:

Es de segundo orden dado que la derivada ms alta que figura en la ecuacin diferencial es la de la segunda derivada.i.1 Introduccin

Ejercicios para resolver en clase

Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:

a)

b)i.1 Introduccin

GradoEl grado de una ecuacin diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuacin diferencial.

EjemploEl grado de la ecuacin diferencial es:

de tercer grado, dado que la primera derivada est elevada cubo.i.1 Introduccin

Ejercicios para resolver en clase

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)i.1 Introduccin

Nota: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para despus determinar el grado de la ecuacin diferencial.i.1 IntroduccinEjercicios para resolver en clases

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b)i.1 Introduccin

Ejercicios de Tarea

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)b)

c)

d)i.1 Introduccin

Una solucin de una ED es cualquier funcin que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.

EjemploLa funcin definida por es una solucin de la ecuacin diferencial:

puesto que:

y al sustituir en la ED se obtiene una identidadi.2 Solucin de una ED

Una solucin particular de una ED es toda solucin obtenida asignando valores especficos a las constantes que intervienen en la solucin general.

EjemploVerificar que y=Cx3 es solucin de la ecuacin diferencial

Hallar la solucin particular sujeta a la condicin inicial:i.2 Solucin de una ED

SolucinDerivando y=Cx3 tenemos que y=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:

de esta manera y=Cx3 es solucin de la ED.

Para obtener la solucin particular, apliquemos la condicin inicial y(-3)=2 en la solucin general esto es:

La solucin particular es:i.2 Solucin de una ED

Para comprobar que una ecuacin es o no la solucin de una ecuacin dada, se aplica el siguiente mtodo:

MtodoObservemos que derivada o derivadas aparecen en la ecuacin diferencial.Estas derivas las encontramos al derivar la ecuacin que se supone solucin.La ecuacin ser solucin cuando al sustituir el valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuacin diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aR) al reducir la ecuacin ya sustituida.i.2.1 Comprobacin de la Solucin de una EDEjemploComprobar que la y=x2+C no es solucin de la ecuacin diferencial

SolucinObservando la ecuacin diferencial vemos que aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solucin.Derivando y=x2+C tenemosi.2.1 Comprobacin de la Solucin de una ED

SolucinSustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuacin diferencial tenemos:

Por lo tanto y=x2+C no es solucin de la ecuacin diferenciali.2.1 Comprobacin de la Solucin de una ED

Para obtener la ED a partir de su solucin general, aplicaremos el siguiente mtodo:

Observemos el nmero de constantes de integracin que aparecen en la solucin general dada.

Derivemos la solucin general tantas veces como el nmero de constantes de integracin aparezcan en ella. En otras palabra, si la solucin general tienen n constantes de integracin diferentes, entonces derivaremos n veces tal solucin.i.3 Obtencin de la ED a partir de la Solucin generalTomando en cuenta el resultado de la ltima derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:Si en la ltima derivada ya no aparecen constantes de integracin, esta ser la ED que de la solucin general dada.

Si la ltima derivada contiene constantes de integracin, habr que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, as como tambin la solucin general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integracin.i.3 Obtencin de la ED a partir de la Solucin generalEjemploEncuentre la ED cuya solucin general es y=x2+C

SolucinObservemos que slo aparece una constante de integracin, de manera que derivamos una sola vez la solucin general y=x2+C. As

Como en esta derivada no aparecen constantes de integracin, quiere decir que esta es la ED de la solucin general presentada al inicio.i.3 Obtencin de la ED a partir de la Solucin general

EjemploEncuentre la ED cuya solucin general es y=Cx2

SolucinObservemos que slo aparece una constante de integracin, de manera que derivamos una sola vez la solucin general y=Cx2. As

Se va a despejar C de la solucin general y se sustituye el valor encontrado en la ED.i.3 Obtencin de la ED a partir de la Solucin general

SolucinPor lo tanto:

Es la ED de la solucin general puesto que ya no aparecen constantes de integracin.i.3 Obtencin de la ED a partir de la Solucin general

GRACIAS