PROBLEMA GENERADOR

Al regresar de EE.UU al Perú, quise cambiar los dólares que me habían sobrado por soles. Fui a un banco y en ese momento me cambiaban 100 dólares en 300 soles. a) ¿Cuántos soles me cambiarían por 200 dólares? b) ¿y por 50? c) ¿Cuántos dólares debería tener para poder cambiarlos por 1500 soles? d) Completa la siguiente tabla de valores

x (dólares) 50 100 150 200 250 300

y (soles) 300

e) Si aumenta el número de dólares, el número de soles ¿aumenta o disminuye? f) Si se multiplica el número de dólares por 2, ¿el número de soles aumenta al doble?, y si se

divide por 2 a los dólares, ¿las soles disminuyen a la mitad?

Si contestaste que aumenta a la primera pregunta y que sí a las dos siguiente entonces los Dólares y soles son dos magnitudes

Dos magnitudes son proporcionales, si al variar el valor de una de ellas los valores correspondientes de la otra, también varían de la misma proporción ya sea directa o inversamente.OBSERVEMOSKarina acude a la bodega y adquiere tres kilogramos de azúcar por S/. 6 soles pero observa que sí comprara el doble (6 kg.) el costo total, sería S/. 12 soles; es decir:

x 2x 2

+

S/. 6

S/. 6

S/. 6

+ 3 kg.3 kg.

3 kg.

CONTENIDOS:

Magnitudes Proporcionales. Aplicaciones: Regla de Tres

APRENDIZAJES ESPERADOS

Explica diferencias entre magnitudes directa e inversamente proporcionales a través de la resolución de situaciones problemáticas

Evalúa estrategias para la resolución de situaciones problemáticas referidas a regla de tres

Cuarta Unidad. Sesión N° 12

Ahora veamos otro caso:

Jorge conduce todos los días de su casa al trabajo a razón 40 km/h durante 2 horas; cierto día decide duplicar su velocidad (80km/h) y nota que el viaje lo realiza en la mitad del tiempo (1 hora); es decir:

En Ica, un grupo de 10 personas tarda 6 horas en cosechar una línea de parras en una viña. a) ¿Cuántas horas tardarían 20 personas?b) ¿y 15 personas? c) Completa la siguiente tabla de valores

x (personas) 5 10 15 20 25 30

y (horas) 6

  d) ¿Qué razonamiento hay que seguir para deducir los valores de la tabla? e) Si aumenta el número de personas, el tiempo ¿aumenta o disminuye? f) Si se multiplica el número de personas per 2, ¿el tiempo disminuye a la mitad?, y si se divide

por 2 al tiempo, ¿el número de personas disminuye a la mitad? Si contestaste que disminuye a la primera pregunta y que sí a las dos siguiente entonces el número de personas el tiempo son dos magnitudes INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

g) ¿Qué valor se obtiene al multiplicar cada valor de y por el correspondiente valor de xh) ¿Qué nombre se le da a este número? i) Elabora la fórmula que te permita pasar directamente del tiempo al número de personas:

y =

  (Recuerda que cada producto debe dar 60, o sea 5·12=60, 6·10=60, etc. Luego x · y = 60. De aquí despeja y)

Durante un viaje a Europa pasé de Bélgica a España. Quise cambiar los francos belgas que me habían sobrado por pesetas. Fui a un banco y en ese momento me cambiaban 100 francos belgas en 400 pesetas. a)       ¿Cuántas pesetas me cambiarían por 200 francos? b)       ¿y por 50? c)       ¿Cuántos francos debería tener para poder cambiarlos por 2.000 pesetas? d)       Completa la siguiente tabla de valores

x (francos belgas) 50 100 150 200 250 300

y (pesetas) 200

Si aumenta el número de francos, el número de pesetas ¿aumenta o disminuye?

Trabajo

Casa

V: 90 km/ht = 2 horas

Trabajo

Casa

V: 80 km/ht = 1 hora

En el primer caso a mayor peso de un producto mayor será el costo o viceversa a menor peso de un producto menor será el costo, entonces diremos que estamos ante un caso de magnitudes (peso - costo) directamente proporcionales (D.P.)

En el segundo caso a mayor velocidad menor será el tiempo de recorrido o viceversa a menor velocidad mayor será el tiempo de recorrido, en este caso estamos frente a magnitudes (velocidad - tiempo) inversamente proporcionales (I.P.)

Si se multiplica el número de francos per 2, ¿el número de pesetas aumenta al doble?, y si se divide por 2 a los francos, ¿las pesetas disminuyen a la mitad? Si contestaste que aumenta a la primera pregunta y que sí a las dos siguiente entonces los francos y las pesetas son dos magnitudes DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. ¿Qué valor se obtiene al dividir cada valor de y por el correspondiente valor de x? ¿Qué nombre se le da a este número? Ensaya una fórmula que te permita pasar directamente de pesetas a francos:  

Es una forma práctica de resolver problemas relacionados a magnitudes proporcionales, se clasifica en: simple y compuesta.

EJEMPLOS1. Para pintar una esfera de 20 cm de radio de gasto 64 000. ¿Cuánto se gastara para pintar una esfera

de 25 cm de radio?

2. Un recipiente contiene 58 litros de agua con 2 litros de alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe adicionar para que agregando medio litro de alcohol se tenga por cada litro de mezcla 0,04 litros de alcohol?

3. En un recipiente que contiene 8 litros de agua se han disuelto 750 gramos de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se habrá evaporado cuando el litro de líquido restante contenga 220 gramos de azúcar?

4. Cuatro caballos cuya fuerza está representada por 150 kg. cada uno, llevan un coche que pesa 1640 kg. ¿Cuántos caballos se necesitan para llevar el mismo coche, si la fuerza de cada caballo se representa por 100 kg.?

5. En una fábrica había 80 obreros, se calcula que el jornal que cobraba cada uno diariamente iba a alcanzar para 10 días transcurridos 4 días se retiraron 20 obreros. ¿Diga para cuántos días más de lo calculado alcanzó el dinero?

Regla de Tres Simple

(relaciona solo 2 magnitudes)

Regla de Tres Compuesta

(relaciona más de 2

y =

Existen varios métodos para resolver estos tipos de problemas; una de ellas es el MÉTODO DE MAGNITUDES.

Ejemplo:425 obreros hacen en 12 días, de 8 horas diarias 350 m de una carretera. ¿Cuántos obreros serán necesarios para que en 10 días de 12 horas hagan 280 m. de la misma carretera?

Solución:

Directa Inversa

Ejemplo:Si Cecilia digita 20 problemas en 8 minutos. ¿Cuántos digitará en una hora?

Solución:

Ejemplo:Quince cocineros prepararon un buffet en 3 h y 20 minutos. ¿Cuánto habrían tardado si trabajan 20 cocineros?

Solución:

1. De las siguientes tablas determina cuál ó cuáles representan algún tipo de proporcionalidad (directa ó inversa). Justifica tu respuesta.

  x 5 10 15 20 25 x 1 4 5 10 20

y 1 2 3 4 5 y 20 5 4 2 1

 

x 2 3 4 3 2 x 18 15 13 10 9

y 1 2 3 4 5 y 20 15 14 2 1

2. Juan sale cada día a correr como entrenamiento para participar en el Triatlón de Pucón. Un día decide

entrenarse en un circuito de 3 kilómetros de longitud y comienza a cronometrarse el tiempo desde la línea de meta. La siguiente tabla muestra la posición de Juan en función del tiempo transcurrido:

 

x (segundos) 1 5 10 12 15 20

y (metros) 3 15 30 36 45 60

  a.         Determina el tipo de proporcionalidad involucrada. b.         Determina la fórmula que describe la posición de Juan respecto del tiempo.

3. Un móvil aumenta su velocidad en 1/3. ¿Cuántas horas diarias debe estar en movimiento para recorrer en 4 días la distancia cubierta en 6 día de 8 horas diarias?

4. Una compañía industrial posee 3 máquinas de 84% de rendimiento para producir 1600 envases cada 6 días de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 3000 envases en 4 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántas máquinas de 90% de rendimiento se requieren?

5. Para arar un terreno con 4 tractores, lo hacen en 12 días. La fuerza de los tractores está representada por 9 y la resistencia del terreno por 6. ¿Cuánto tardaran para arar otro terreno de igual extensión, 3 tractores si la fuerza está representada por 8 y la resistencia del terreno por 7?

a) 20 días b) 21 c) 23 d) 22 e) 256. Un reservorio cilíndrico de 8m de radio y 12 de altura, abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál

deberá ser el radio de un recipiente de 6 m. de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses?

a) 8 m b) 16 c) 11 d) 24 e) 187. Treinta obreros deben entregar una obra en 29 días, 5 días después de iniciado el trabajo se decidió

que se entregue 9 días antes del plazo fijado para lo cual se contrató 10 obreros más y se trabajó cada día 2 horas más. ¿Cuántas horas diarias se trabaja inicialmente?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 6

8. Se necesitan 12 hombres o bien 18 mujeres para efectuar una obra en 30 días. ¿Cuántas mujeres hay que añadir a 8 hombres para hacer una obra el triple que la primera de difícil en 36 días?

a) 15 b) 33 c) 20 d) 12 e) 99. Cecilia es el doble de rápida que Diana y esta está es el triple de rápida que Silvia. Juntas participan en

una carrera de postas (recorriendo espacios iguales) logrando el equipo una marca de 27 segundos. ¿Cuánto tardaría Cecilia en hacer sola todo el recorrido?

a) 12 seg. b) 10 c) 24 d) 9 e) 1510. Una cuadrilla de 22 obreros, trabajando 5 horas diarias, han empleado 6 días para abrir una zanja de

220 m. de largo, 1 m de ancho y 0,625 m. de profundidad. ¿Cuántos días más empleará otra cuadrilla de 12 obreros, trabajando 4 horas diarias para hacer otra zanja de 100 m. de largo; 1,5 m. de ancho y 1 m. de profundidad?