Sergio Yansen Núñez · Sergio Yansen Núñez funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas ,...
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Sergio Yansen Núñez
funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas
Actividad N° 1
Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑ œ B � # 1ÐBÑ œ B Þ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑÈ È
Actividad N° 2
Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑ œ #B � $ 1ÐBÑ œ Þ Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ"
BÈ
Actividad N° 3
Sea 0ÐBÑ œ � "È%B�B
#
#
a) Determine . H970 b) Trace el gráfico de .0
c) ¿Es inyectiva? Justifique.0 d) Determine .V/-0
Actividad N° 4
Sean
0 À H970ïïïïpV/-0 0ÐBÑ œ ÐB � #Ñ � ", definida por #
1 À H971ïïïïpV/-1 1ÐBÑ œ # � B � ", definida por È
a) Determine y .Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ
b) ¿Existe la inversa de ? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"
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Actividad N° 5
Sean
0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por 0ÐBÑ œ # � BÈ
1 À H971ïïïïpV/-1, definida por 1ÐBÑ œ "�B
#
#
a) Trace el gráfico de .0
b) Pruebe que existe y determine .0 0 ÐBÑ�" �"
c) Determine y .H97Ð1 ‰ 0Ñ Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ
d) Determine tal que .5 − 1Ð5 � "Ñ œ‘"#
Actividad N° 6
Sea si si 0ÐBÑ œ
B � %B � ( B Ÿ $"# � $B B � $œ #
a) Calcule, si es posible, .0Ð0Ð&ÑÑb) Trace el gráfico de . ¿Es inyectiva? Justifique.0 0
Actividad N° 7
0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por
0ÐBÑ œB � #B B � � %
� B � %B B � %œ #
#
si si
a) Calcule , 0Ð � $Ñ 0Ð$Ñ Þ
b) Trace el gráfico de .0
c) Determine tal que .B − 0ÐBÑ œ !‘
d) ¿Tiene inversa? Justifique.0
e) Determine .V/-0
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Actividad N° 8
0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por 0ÐBÑ œ � "É$ BB�#
a) Determine .H970
b) Pruebe que tiene inversa en su dominio.0
c) Determine .0 ÐBÑ�"
Actividad N° 9
Sea si si 0ÐBÑ œ
B � %B � ( B � $#B � & B $œ #
a) Trace el gráfico de .0
b) Calcule, si es posible, Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ
c) Determine, en caso de existir, todos los valores de , tales que5 − H9700Ð5Ñ œ %.
d) ¿Es inyectiva?0
Actividad N° 10
Sea 0ÐBÑ œÈÈ$
$
#B�"
B�#
a) Determine .H970
b) Pruebe que es inyectiva en su dominio.0
c) Determine, si es posible, tal que 2 − 0 œ #‘ ˆ ‰ È#2�"2�#
$
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Actividad N° 11
Considere las funciones 0 À Ó �_ß !Òqqqqqp 0ÐBÑ œ " � #B‘ definida por È 1 qqqqqp 1ÐBÑ œÀ Ó �_ß � #Ó Ó �_ß � Ó
$
#definida por "�B
#
#
a) Determine y H97Ð0 ‰ 1Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ
b) ¿Tiene inversa? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"
Actividad N° 12
Sea una función si si
si 0 0ÐBÑ œ
B � %B � * B Ÿ "
� B � ' " � B Ÿ #" B � #
definida porÚÛÜ
#
#
a) Trace el gráfico de .0
b) ¿Es inyectiva? Justifique.0
c) Determine .V/-0
d) Determine, si existe, tal que .5 − H970 0Ð5Ñ œ 5
Actividad N° 13
Sea 0 À H970 0ÐBÑ œ # � 'B � B � &qqqqqpV/-0 definida por È #
a) Determine .H970
b) Determine, si es posible, tal que 5 − #0Ð5 � "Ñ � 0Ð$Ñ œ !‘
c) ¿Tiene inversa? Justifique.0
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Resolución
Actividad N° 1
Ð0 ‰ 1Ñ œ B � #ÉÈ B ! • B � # !È ÈB � # ! Í B %
H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ò%ß �_Ò
Actividad N° 2
Ð1 ‰ 0Ñ œ"
#B�$È
#B � $ � ! Í B �$
#
H97Ð1 ‰ 0Ñ œ Ó ß �_Ò$
#
Actividad N° 3
Sea 0ÐBÑ œ � "È%B�B
#
#
a) Determine .H970
H970 œ ÖB − Î !ב %B � B#
%B � B B � %B# # ! Í Ÿ ! Í BÐB � %Ñ Ÿ !
�_ ! % �_
B � � �
B � % � � �
� � �BÐB � %Ñ
H970 œ Ò!ß %]
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b) Trace el gráfico de .0
C œ � "È%B�B
#
#
C � " œ ß C � "È%B�B
#
# !
ÐC � "Ñ œ# %B�B#
%
ÐB � #Ñ � %ÐC � "Ñ œ %# #
(elipse)ÐB�#Ñ%
#
� ÐC � "Ñ œ "#
como C � " ! 0 entonces la gráfica de es:
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c) ¿Es inyectiva? Justifique.0 no es intectiva. La recta horizontal corta al gráfico de en dos puntos.0 0
d) Determine .V/-0
Del gráfico se obtiene V/-0 œ Ò � "ß !Ó
Actividad N° 4
Sean 0ÐBÑ œ ÐB � #Ñ � " 1ÐBÑ œ # � B � "# Èa) Determine y .Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ Ð# � B � " � #Ñ � " œ BÈ #
H970 ‰ 1 œ ÖB − Î B − H971 • 1ÐBÑ − H970ב
œ ÖB − ÎB − Ò"ß �_Ò • # � B � " − ב ‘È œ Ò"ß �_Ò
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b) ¿Existe la inversa de ? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"
1Ð+Ñ œ 1Ð,Ñ Ê # � + � " œ # � , � "È È È È+ � " œ , � " + � " œ , � " + œ ,
es inyectiva,1
es epiyectiva pues por lo tanto es biyectiva y tiene1 G9.970 œ V/-0 ß 1inversa.
Sea C œ # � B � "È C � # œ B � "È ÐC � #Ñ œ B � "#
B œ ÐC � #Ñ � "#
1 ÐBÑ œ ÐB � #Ñ � "�" #
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Actividad N° 5
a) , C œ # � B C !È C œ # � B#
B œ � C � ##
ÐC � !Ñ œ � ÐB � #Ñ#
Corresponde a la ecuación de una parábola "abierta hacia la izquierda" de vérticeen .Ð#ß !Ñ
La gráfica de es:0
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b) Como es epiyectiva pues , entonces basta probar que es0 G9.970 œ V/-0 0inyectiva en su dominio:
0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ È È# � + œ # � ,
# � + œ # � ,
+ œ ,
Se tiene que . Por tanto, es inyectiva lo que significa0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ Ê + œ , 0que es biyectiva, por tanto tiene inversa.0
Puesto que se tiene que B œ � C � # 0 ÐBÑ œ # � B# �" #
c) H97Ð1 ‰ 0Ñ œ Ö B − H970 Î 0ÐBÑ − H971×
œ ÖB − Ó �_ß #Ó Î # � B − ×È ‘
œ Ó �_ß #Ó
Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ œ œ"�Ð #�BÑ
# #B�"È #
d) 1Ð5 � "Ñ œ "
#
Í œ"�Ð5�"Ñ
# #"#
Í 5 � #5 � " œ ! #
Í 5 œ � "
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Actividad N° 6
a) 0Ð&Ñ œ � $ 0Ð0Ð&ÑÑ œ 0Ð � $Ñ œ Ð � $Ñ � % † Ð � $Ñ � ( œ #)#
b) Para B Ÿ $ Sea C œ B � %B � (#
+ œ " � !
, satisface condición .B œ � œ # B Ÿ $,#+
vértice
B C œ � B � )B � "$ ÐBß CÑ% Ð$ß %Ñ
# $ Ð#ß $Ñ" % Ð"ß %Ñ
#
$
Para B � $ Sea C œ "# � $B
B C œ B � # ÐBß CÑ$ Ð$ß $Ñ
% ! Ð%ß !Ñ$
Gráfico de 0
0 C œ no es inyectiva pues la recta horizontal, por ejemplo, corta al gráfico de(
#0 en dos puntos.
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Actividad N° 7
a) 0Ð � $Ñ œ � #" 0Ð$Ñ œ $
b) Considerando C œ B � #B#
no satisface la condición , por tanto ese valor no seráB œ � œ � # B � � %,#+
considerado en la siguiente tabla de valores.
B C œ B � #B ÐBß CÑ) Ð � %ß )Ñ
� & "& Ð � &ß "&Ñ
#
�%
considerando C œ � B � %B#
satisface la condición , por tanto ese valor seráB œ � œ # B � %,#+
considerando en la siguiente tabla de valores.
(vértice)
B C œ � B � %B ÐBß CÑ� $# Ð � %ß � $#Ñ
# % Ð#ß %Ñ$ $ Ð$ß $Ñ
#
�%
c) no satisfacen condición .B � #B œ ! Ê B œ ! ” B œ � #ß B � � %#
satisfacen condición .� B � %B œ ! Ê B œ ! ” B œ %ß B � %#
Por tanto, para se tiene que .B œ ! ” B œ % 0ÐBÑ œ !
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d)
no es inyectiva pues, por ejemplo, la recta horizontal corta a su gráfico0 C œ #
en dos puntos. Por tanto, no tiene inversa.0
e) Del gráfico de se obtiene que 0 V/-0 œ Ó �_ß %Ó 7 Ó)ß �_Ò
Actividad N° 8
a) H970 œ B − ÎB � # Á !× œ � � #ט ˜‘ ‘
b) Como es epiyectiva pues basta probar que es inyectiva en0 G9.970 œ V/-0ß 0du dominio.
0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ É É$ $+ ,
+�# ,�#� " œ � "
+ ,+�# ,�#� " œ � "
+ ,+�# ,�#œ
+Ð, � #Ñ œ ,Ð+ � #Ñ
+, � #+ œ ,+ � #,
#+ œ #,
+ œ ,
es inyectiva en su dominio, por tanto es biyectiva y tiene inversa.0 0
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c) Sea C œ � "É$ BB�#
C œ � "$ BB�#
C � " œ$ BB�#
ÐC � "ÑÐB � #Ñ œ B$
C B � #C � B � # œ B$ $
C B œ � # � #C$ $
B œ�#�#C
C
$
$
Luego, 0 ÐBÑ œ�" �#�#BB
$
$
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Actividad Nº9 a) Para ; sea B � $ C œ B � %B � (#
B œ � œ # � $,#+
:
B C œ B � %B � ( ÐBß CÑ$ % Ð$ß %Ñ# $ Ð#ß $Ñ! ( Ð!ß (Ñ
#
Para sea B $ à C œ #B � & B C œ #B � & ÐBß CÑ
$ " Ð$ß "Ñ% $ Ð%ß $Ñ
Gráfico de :0
b) Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ 0Ð0Ð"ÑÑ
0Ð"Ñ œ " � % † " � ( œ %#
Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ 0Ð%Ñ œ # † % � & œ $
Por tanto, Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ $
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c) Si 5 � $ 0Ð5Ñ œ % Í 5 � %5 � ( œ %#
Í Ð5 � $ÑÐ5 � "Ñ œ ! Í 5 œ $ ” 5 œ "
no satisface condición 5 œ $ 5 � $
satisface condición 5 œ " 5 � $
Si 5 $ 0Ð5Ñ œ % Í #5 � & œ %
satisface condiciónÍ 5 œ 5 $*#
Por tanto, 5 œ " ” 5 œ *#
d) no es inyectiva, pues 0 0Ð"Ñ œ 0Š ‹*# .
Actividad Nº10
a) H970 œ ÖB − ÎB � # Á !× œ � Ö#ב ‘
b) 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ
Í È ÈÈ È$ $
$ $
#+�"
+�#
#,�"
,�#œ
Í œ #+�" #,�"
+�# ,�#
Í #+, � %+ � , � # œ #+, � %, � + � #
Í � $+ œ � $,
Í + œ , Por tanto, es inyectiva.0
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c) 0 œ #ˆ ‰ È#2�"2�#
$
; ÉÉ
$
$
# �"
�#
ˆ ‰#2�"
2�#
#2�"
2�#
œ # 2 Á #È$
%2�#
2�#
#2�"
2�#
�"
�#œ #
$2$ œ #
¡contradicción! 2 œ # 2 Á #
Por tanto, no existe valor de tal que .2 0 œ #ˆ ‰ È#2�"2�#
$
Actividad Nº11
a) H97Ð0 ‰ 1Ñ œ ÖB − H971 Î 1ÐBÑ − H970× œ ÖB − Î − ×Ó �_ß � #Ó Ó �_ß !Ò"�B
#
#
B − H97Ð0 ‰ 1Ñ � !Í B Ÿ � # • "�B#
#
"�B#
#
� ! Í B � " � ! Í ÐB � "ÑÐB � "Ñ � !#
�_ � " " �_
B� " � � �
B � " � � �
� � �ÐB � "ÑÐB � "Ñ
B − Ó �_ß � "Ò 7 Ó"ß �_Ò
Se tiene, entonces: B − B − Ó �_ß � "Ò 7 Ó"ß �_ÒÓ �_ß � #Ó • Por tanto, H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ó �_ß � #Ó
Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ " � #Ð Ñ œ B œ lBl œ � B B −É È"�B#
## (pues Ó �_ß � #Ó Ñ
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b) Gráfico de :1
Toda recta horizontal corta al gráfico de en a lo más un punto, por lo tanto, es1 1inyectiva.
1 G9.970 œ V/-0es epiyectiva pues
Por lo tanto, es biyectiva y tiene inversa.1
Sea C œ "�B#
#
#C œ " � B#
B œ " � #C#
pues B œ � " � #C B −È Ó �_ß � #Ó
Por tanto, 1 ÐBÑ œ � " � #B�" È
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Actividad N° 12
a) Para , se tiene B Ÿ " 0ÐBÑ œ B � %B � *#
(ecuación de una parábola, abierta hacia arriba)C œ B � %B � *#
vértice: , no satisface condición .B œ � œ # B Ÿ ",#+
B C œ B � %B � * ÐBß CÑ" ' Ð"ß 'Ñ! * Ð!ß *Ñ
#
Para con B " � B Ÿ # ß 0ÐBÑ œ � B � '#
(ecuación de una parábola abierta hacia abajo)C œ � B � '#
vértice: no satisface condición B œ � œ ! ß " � B Ÿ #,#+
B C œ � B � ' ÐBß CÑ" & Ð"ß &Ñ# # Ð#ß #Ñ
#
Gráfico:
b) no es inyectiva, pues por ejemplo: 0 0Ð$Ñ œ 0Ð%Ñ œ "
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c) V/-0 œ Ö"× 7 Ò#ß &Ò 7 Ò'ß �_Ò
d) Si 5 Ÿ " 0Ð5Ñ œ 5 5 � %5 � * œ 5#
5 � &5 � * œ !#
la ecuación no tiene solución en .˜ œ , � %+- � !ß#‘
Si " � 5 Ÿ # 0Ð5Ñ œ 5 � 5 � ' œ 5#
� 5 � 5 � ' œ !#
5 � 5 � ' œ !#
Ð5 � $ÑÐ5 � #Ñ œ ! 5 œ � $ ” 5 œ #
5 œ � $  Ó"ß #Ó à 5 œ # − Ó"ß #Ó
Si 5 � # 0Ð5Ñ œ 5 , no satisface condición " œ 5 5 � #
Por tanto, 5 œ #
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Actividad N° 13
a) H970 œ ÖB − Î 'B � B � & !ב#
'B � B � & ! Î † Ð � "Ñ#
B � 'B � & Ÿ !#
1 5ÐB � ÑÐB � Ñ Ÿ !
Valores críticos: .B œ "ß B œ &
�_ " & �_
B� " � � �
B � & � � �
� � �ÐB � ÑÐB � Ñ1 5 B − Ò"ß &Ó
Por tanto, H970 œ Ò"ß &Ó
b) Sea ; œ 5 � "
#0Ð5 � "Ñ � 0Ð$Ñ œ !
Í #0Ð;Ñ � 0Ð$Ñ œ !
,#Ð# � '; � ; � & Ñ � Ð# � ' † $ � $ � & Ñ œ !È È# #
'; � ; � & !#
% � # '; � ; � & � % œ !È #
È'; � ; � & œ !#
'; � ; � & œ !#
; � '; � & œ !#
Ð; � "ÑÐ; � &Ñ œ !
, ambos valores satisfacen condición; œ " ” ; œ &'; � ; � & !#