Simulaciones numéricas para el modelo de Parker del viento estelar.

5/10/2018 Simulaciones numéricas para el modelo de Parker del viento estelar. - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/simulaciones-numericas-para-el-modelo-de-parker-del-viento-estelar 1/7

SIMULACIONES NUMÉRICAS DEL MODELO DE

PARKER DEL VIENTO ESTELAR.

Aitor Robleto Orús

Resumen

El presente trabajo consistió en encontrar soluciones nu-méricas a la ecuación del modelo de Parker para el vientoestelar, mediante el uso de técnicas informáticas para tresmodelos de viento característicos de estrellas gigantes rojas.Se simulan los modelos, encontrando las raíces de la ecuacióndel viento estelar por medio del método de Newton-Raphson,se calculan sus parámetros físicos (velocidad, temperatura ydensidad) y se discuten los resultados obtenidos. Se apreciaclaramente un efecto de tobera de laval debido al gradientede presión que acelera el viento desde velocidades subsónicashasta supersónicas que siguen aumentando conforme se alejade la estrella. Se encuentra también que los parámetros físicosanalizados tienen una fuerte dependencia de la temperaturasuperficial de la estrella y una dependencia menor pero apre-ciable de las caracterísitcas termodinámicas de la atmósferaestelar, ligadas directamente a su composición química.

1. Introducción

El viento estelar consiste en un flujo de partículas car-gadas emitidas por las estrellas que se extiende por todo

el sistema solar hasta llegar a la heliopausa, lugar dondese encuentra con el medio interestelar de la galaxia y dejade ser predominante, pasando a formar parte de éste. Laexistencia de este viento para el caso del Sol fué predichaen 1958 por Eugene Parker, quien propuso un modelomatemático basado en ecuaciones de hidrodinámica consimetria radial para su comportamiento, y confirmadados años después por las sondas espaciales Lunik 1 dela Unión Soviética y Mariner 2 de E.E.U.U . Despuésse pudo detectar su presencia en otras estrellas graciasa técnicas de espectroscopía. Diversas modificaciones almodelo fueron propuestas en años posteriores, incluyen-do los efectos del campo magnético solar y su extensión

a dos dimensiones (rotación ecuatorial). Es de destacarque si bien este modelo fué hecho originalmente para pre-decir y explicar el viento solar, es aplicable a multitud decasos, desde el viento estelar de otras estrellas, hasta losvientos producidos por una estrella moribunda que danorigen a las nebulosas planetarias, por lo que es un mo-delo muy útil y ampliamente utilizado.

En la presente investigación tratamos únicamente conel modelo original propuesto por Parker. Analizaremostres modelos representativos de estrellas gigantes rojas.Nuestro objetivo será encontrar soluciones numéricas a

cada modelo, tratando de darles una interpretación fí-sica. Para ello utilizaremos el lenguaje de programaciónR1, un software especializado en matemáticas y análisisestadístico tremendamente flexible y útil, que nos permi-tirá encontrar las soluciones a la ecuación de Parker ygraficarlas para su análisis. Para ello se escribieron unaserie de programas con bucles de cálculo, haciendo usodel método de Newton-Raphson para encontrar las raícesde la ecuación y calcular parámetros físicos a partir de

ellas (velocidad, temperatura y densidad).Si bien las estrellas que simula cada modelo son idén-ticas en cuanto a su tamaño y su masa, variamos algunosde los parámetros iniciales de la ecuación. Esto nos per-mite analizar como afectan esos parámetros a las carac-terísticas físicas del viento independientemente del tipode estrella analizada.

2. El viento estelar.

Las estrellas emiten materia al espacio, en forma deplasma de partículas cargadas (principalmente protones

y electrones). Este flujo de partículas recibe el nombre deviento estelar o viento solar en el caso del Sol. El origendel viento estelar está en la presión ejercida por la radia-ción de la estrella en su superficie y también en algunoscasos por ondas de presión viajando por el interior de laestrella al llegar a la superficie. Por tanto sus parámetrosfísicos dependen mucho de qué especies estén presentesen la atmósfera de la estrella absorbiendo momento. Porejemplo en estrellas tipo OB los iones metálicos absorbenparte de la radiación y por tanto la razón de pérdida de

masa M depende en gran medida de la metalicidad de laestrella. En estrellas antiguas como las de la rama asintó-tica gigante hay una mayor presencia de granos de polvo

que se pueden formar dadas las condiciones mas frias desus atmósferas, y las velocidades alcanzadas por el vientoson bastante menores [Clarke and Carswell2007].

En estrellas gigantes rojas como las que cuyos vientosson simulados en este trabajo que están terminando susvidas, los fuertes vientos expulsan las capas exteriores dela estrella y forman nebulosas planetarias. El viento es-

1 R Development Core Team (2010). R: A language and environ-ment for statistical computing. R Foundation for Statistical Com-puting, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.

1



3 El modelo de Parker. 2

telar es uno de los principales contribuyentes al enrique-cimiento del medio interestelar con elementos pesados.

3. El modelo de Parker.

A continuación describiremos un modelo simple paraeste viento, propuesto por Eugene N. Parker. Para cons-

truir este modelo asuminos que:

El viento es un flujo estacionario.

Es esféricamente simétrico.

Es politrópico.

Está descrito por la fórmula:

ψ = ψ0 +2γ

γ − 1

1−

ψ

ψ0

γ−12

− λ

ξ − 1

ξ(1)

Donde ψ (ξ) es el cuadrado de la velocidad normaliza-da (respecto a la velocidad del sonido en el punto inicialr0), ξ es la coordenada radial normalizada (respecto a unradio arbitrario r0, que puede tomarse como la superficiede la estrella), el valor inicial ψ0 = ψ (r0) y λ son cons-tantes. Estas cantidades se definen matemáticamente dela siguiente manera:

ξ =r

r0(2)

ψ (ξ) =u2

c2s=

u2µmu

T 0k(3)

λ =2GMµmu

r0T 0k(4)

Donde T 0 = T (r0)es la temperatura en r0, u es lavelocidad del flujo, M es la masa de la estrella, µ esel peso molecular medio, mucorresponde a una unidadde masa atómica, k es la constante de Boltzmann y Ges la constante de gravitación universal. El parámetroγ es la razón entre las capacidades caloríficas a presiónconstante y a volumen constante.

γ =C P C V

(5)

Como podemos observar en la ecuación 1 la soluciónψ está a ambos lados, siendo imposible despejarla y portanto no se puede obtener analíticamente. Por ello esnecesario utilizar métodos numéricos para encontrar lassoluciones.

Variando los diferentes parámetros se pueden obtenerseis diferentes tipos de soluciones, representadas esque-máticamente en la figura 1.

Una observación de esta figura nos permitirá darnoscuenta que las soluciones del tipo 5 y 6 no tienen sentidofísico, ya que presentan dos valores de la velocidad para

Fig. 1: Soluciones representativas para la ecuación delviento de Parker.

un mismo punto del espacio. Las demás soluciones pre-sentan todas un punto a partir del cual la velocidad delflujo pasa de régimen subsónico a supersónico o alcanzaun máximo o un mínimo. Una solución de tipo 2 repre-senta un flujo supersónico en cualquier punto del espacio,lo cual dificilmente representa una situación física real.La solución 1 representa un flujo que siempre es subsóni-co aunque llega a un valor máximo en su punto crítico.La solución 4 representa la acreción esférica, es decir ungas alejado de la estrella cae hacia ella acelerándose avelocidades supersónicas conforme se acerca.

La solución 3 es la llamada solución del viento este-

lar, que es la que buscamos en este trabajo. Representaun flujo subsónico que se acelera a régimen supersónicoa partir del punto crítico conforme se aleja de la estre-lla. Si bien esto puede parecer contraintuitivo, debemoshacer la analogía con la tobera de Laval: un flujo sub-sónico pasa por un punto crítico (un mínimo en el áreade la sección transversal en el caso de la tobera) y sevuelve supersónico acelerándose conforme se aleja de és-te, se trata del mismo tipo fenómeno esta vez regido porel gradiente de presión (o sea, la diferencia de presión lo-cal en las inmediaciones de la estrella respecto al mediointerestelar circundante).

En el punto crítico de la región 3 no ocurre nada real-

mente especial desde el punto de vista físico aparte delcambio de régimen de subsónico a supersónico (lo quequiere decir que a partir de ahí las ondas sonoras nopueden viajar en dirección a la estrella), simplemente lavelocidad sigue aumentando.

Hay que destacar también que se trata de un modeloestacionario, por tanto no implica fenómenos de ondasde choque o de otro tipo. Si se incluyen ondas de choqueo sonoras es necesario modificar el modelo para hacerlodependiente del tiempo. También debemos entender quees un modelo para el viento y si bien las soluciones tam-



4 Metodología. 3

bién existen para ξ ≤ 1(asumiendo r0como muy próximoa la superficie de la estrella) el modelo no puede describirlo que ocurre en el interior de la estrella y por tanto noes aplicable dentro de ella, por tanto las soluciones solodeben tomarse como modelo capaz de describir la físicadel viento para ξ > 1.

En la corona solar ocurren ondas de choque que la ca-

lientan hasta temperaturas de un millón de grados Kel-vin, que provienen de los movimientos de convección en elinterior del Sol, y por tanto las temperaturas ahí difierende las predichas por el modelo de Parker estacionario.

En la realidad el viento estelar no es estacionario enperiodos relativamente grandes de tiempo, debido a quecambia la razón de emisión de masa en algunas direccio-nes, principalmente debido a eyecciones de masa corona-les (EMC).

4. Metodología.

Como se explicó anteriormente, es necesario utilizarmétodos numéricos para resolver la ecuación del vientoestelar. Para ello se hizo uso del lenguaje de programa-ción R, debido a que su orientación hacia la estadísticay las matemáticas en general permite resolver problemasde manera rápida y sencilla.

Una de las ventajas de R es que se le pueden añadir bi-bliotecas (library) que contienen funciones matemáticasdiseñadas para resolver problemas de un tipo concreto.

En este caso se hizo uso de la biblioteca rootSolve, quecontiene la función uniroot.all, la cual fué utilizada paraencontrar las raices de la ecuación de Parker del vientoestelar por medio del método de Newton-Raphson.

Para los cálculos se utilizó una máquina Pentium IVcon 1GB de RAM, corriendo R (versión2.12.2) en el sis-tema operativo Mandriva Linux 2011 de 32 bits.

Nos proponemos resolver la ecuación para tres modeloscaracterísticos de estrellas gigantes rojas de masa solar,los que llamaremos W1, W2 y W3. Los parámetros usa-dos en cada uno de los modelos se dan en la tabla 1. Losvalores de las constantes utilizadas se dan en la tabla 2.

Asumimos que el radio inicial r0 esta muy próximo a lasuperficie real de la estrella de modo que podemos con-siderarlo el radio de la estrella y la zona de origen delviento.

Modelo γ r0 [R] T 0 [K ]W1 1,05 104 10³W2 1,15 104 7× 102

W3 1,11 104 7× 102

Tab. 1: Parámetros usados en los modelos analizados

Constante ValorM 1, 989× 1030kgR 6, 9598× 108m

µ 1 umaG 6, 6732× 10−11m3kg−1s−1

k 1, 38062× 10−23JK−1

mu 1, 66× 1027kg

Tab. 2: Constantes utilizadas en todos los modelos.

Una estrella con estos parámetros es un buen modelopara las estrellas gigantes rojas por su baja masa (masasolar en este caso), un gran radio y baja temperaturasuperficial. Nuestro Sol pasará por una etapa de giganteroja en el futuro, asi que estos modelos nos pueden daruna buena idea de como podría ser el viento de nuestroSol en ese momento.

Empezamos reordenando los términos de la ecuación1 de la siguiente forma:

ψ0 +2γ

γ − 1

1−

ψ

ψ0

γ−1

2− λ

ξ − 1ξ

− ψ = 0 (6)

Puede observarse que es imposible despejar ψ para ob-tener una expresión explicita de él. Se escribió un script2

en R en el que dando un valor inicial de ψ0 se encuentranlas raices de la ecuación para cada punto en un intérvalode ξ entre 0,5 y 2,5 para cada uno de los tres mode-los. Para ello se crea un bucle de iteración que subdivideel intérvalo en 1500 subintérvalos, calculando mediantela función uniroot.all (que utiliza el método de Newton-Raphson) las raices para cada uno de los puntos del intér-valo, el cual contiene dos posibles raices. Posteriormentese representan gráficamente ambas raíces. Al empezar laevaluación de las raices con ψo = 0, 5 una de ellas pre-senta una solución tipo 1 y la otra una tipo 2 (ver figura2, primera gráfica).

A continuación mediante ensayo y error se varía el va-lor de ψ0 aumentándolo o disminuyéndolo y repitiendoal iteración hasta que las gráficas de ambas solucionesse aproximan cada vez mas. Ambas hacen contacto enel punto crítico y entonces su forma se asemeja ahora ala de una solución 4 cruzada en el punto crítico con unasolución 3, que es la que nos interesa. La soulción 3 estáformada por la parte de la solución de la primera raiz en

el intérvalo anterior al punto crítico junto con la parte dela solución de la segunda raiz posterior al punto crítico.Esto solo se logra al aproximar ψ0 con al menos cuatrocifras decimales (ver figura 2, segunda gráfica). Una vezhecho esto se procede a calcular los parámetros físicos:velocidad y temperatura mediante las fórmulas:

u (r) =

ψT 0k

µmu

(7)

2 Un script (o guión) es el código de un programa escrito sinejecutar el programa.



5 Resultados 4

Fig. 2: En el eje vertical se representa el valor de las raices ψ encontradas y en el horizontal el radio normalizadoξ. Primero soluciones tipo 1 y 2 obtenidas con ψ0 = 0,5. Después soluciones tipo 3 y 4 obtenidas conψ0 = 0,8532. Obsérvese que cada solución 3 o 4 se forma con los valores de una de las raíces antes del puntocrítico y con los valores de la otra raíz después del punto crítico.

Modelo ψ0

W1 0.8532W2 0.2901W3 0.28783

Tab. 3: Valores iniciales encontrados.

T (r) = T 0ξ−2(1−γ)

ψ0

ψ

γ−12

(8)

Para calcular la densidad necesitamos asignar valoresde razón de pérdida de masa, a partir de la cual se calculael valor inicial de la densidad:

M = 4πr20ρ0u0 (9)

ρ0 =M

4πu0(10)

y finalmente la densidad:

ρ (r) = ρ0ξ−2ψ0

ψ

1

2

(11)

Se asignaron los mismos tres valores de pérdida demasa a los tres modelos para poder compararlos. Estosvalores son M = 10−8M ano−1, M = 10−7M ano−1yM = 10−6M ano−1.

Los resultados se grafican juntos para cada modelo.

5. Resultados

Los valores iniciales encontrados para cada modelo sepueden ver en la tabla3.

Fig. 3: Raices ψ para cada modelo. En verde el modeloW1, en rojo el modelo W2 y en azul el modeloW3.

5.1. Raices.

En la figura 3 se presentan las soluciones ψ para cadamodelo. Recordemos que ψ = u2/c20, donde c0 = cs (r0)es la velocidad del sonido en r0. Podemos observar que elpunto crítico (discontinuidad en las líneas) donde ocurrela transición de régimen subsónico a supersónico, se pre-senta lejos del radio inicial ξ (r0) = 1, que en este casoasumimos que se encuentra muy próximo a la superficiede la estrella. Recordemos que el modelo no es aplicablepara r0 ≤ 1.



6 Conclusiones. 5

Fig. 4: Velocidad para cada modelo. En verde el modeloW1, en rojo el modelo W2 y en azul el modeloW3. Como comparación, las velocidades medidas

en el viento solar varían entre los 300 y los 600km/s.

5.2. Velocidad.

Podemos observar en la gráfica 3 como el efecto delgradiente de presión análogo a la tobera de Laval probocaque el viento que sale a velocidad subsónica se continueacelerando a velocidades supersónicas pasado el puntocrítico. Los tres modelos asumen estrellas de la mismamasa y del mismo tamaño, por tanto las diferencias enlas gráficas se deben a las diferencias en la razón del

coeficiente adiabático γ del material en sus atmósferas yde la diferencia de temperatura. Del cuadro 1 podemosobservar que los modelos W2 y W3 presentan la mismatemperatura inicial, por tanto la pequeña diferencia enlas gráficas de su velocidad (gráfica 4)se debe únicamentea la diferencia en la composición de sus atmósferas. Lagráfica de W1 presenta velocidades mucho mayores quelas otras dos y aunque también su atmósfera presenta unacomposición diferente, es obvio que la mayor contribucióna la diferencia se debe a su mayor temperatura inicial.

5.3. Temperatura.

En la gráfica 5 podemos ver la variación de la tempera-tura con el radio, conforme el viento se aleja de la estrella.Observemos como la temperatura decae mas lentamentepara W1 debido a su coeficiente adiabático menor.

5.4. Densidad.

Para calcular la densidad probamos cada mode-lo con tres diferentes razones de pérdida de masa:M = 10−8M ano−1, M = 10−7M ano−1y M =10−6M ano−1. Las siguientes gráficas representan como

Fig. 5: Distribución de la temperatura para cada modelo.En verde el modelo W1, en rojo el modelo W2 yen azul el modelo W3.

varía la densidad al variar este parámetro en cada unode los modelos. Se observa claramente que una mayorrazón de pérdida de masa conlleva una mayor densidadpara cualquier punto de la gráfica. Por último se presen-ta una gráfica comparando como difiere la densidad conM = 10−8M ano−1para los tres modelos, se ve comoaunque cerca de la superficie de la estrella en ξ = 1 lasdensidades son muy similares, (lo cual es lógico ya quelas estrellas tienen el mismo tamaño y la misma razón depérdida de masa), conforme se alejan de la estrella, W1cae mas lento que los otros dos modelos, debido princi-

palmente a la composición de su atmósfera y su mayortemperatura inicial, aunque la diferencia no es tan pro-nunciada como en los otros parámetros anteriores (velo-cidad y temperatura) .

6. Conclusiones.

Del análisis de los gráficos anteriores, podemos concluirlo siguiente:

El viento estelar sale de la superficie de la estre-lla a velocidades subsónicas, pero un efecto debidoal gradiente de presión, equivalente al de la tobera

de Laval lo acelera conforme se aleja de la estrella,alcanzando velocidades supersónicas tras pasar unpunto crítico y continúa acelerándose aún mas.

El viento estelar es sensible a los parámetros inicia-les que se encuentran en la superficie de la estrelladonde es generado y a la composición química deésta.

Las variaciones en la composición química vienen re-preseantadas por el parámetro γ = C P

C V el cual causa

pequeñas variaciones en la velocidad del flujo de un



6 Conclusiones. 6

Fig. 6: Densidades para el modelo W1, en morado M =10−8M ano−1, en naranja M = 10−7M ano−1yen rojo M = 10−6M ano−1.



Fig. 9: Comparación de las densidades con M =10−8M ano−1 para los tres modelos. En verdeel modelo W1, en rojo el modelo W2 y en azul elmodelo W3.



6 Conclusiones. 7

modelo a otro. En el caso de la temperatura, un γ menor hace que esta decaiga mas lentamente conξ (r).

El viento estelar es muy sensible a la temperaturainicial, de modo que una mayor temperatura super-ficial de la estrella implica una mayor presión de ra-diación y por tanto unas velocidades mucho mayores

para el viento, como puede apreciarse en el caso delmodelo W1 respecto a los otros dos.

Referencias

[Clarke and Carswell2007] Clarke, C. and Carswell, B.(2007). Principles of astrophysical fluid dynamics .Cambridge Univ Pr.

[Keppens and Goedbloed1999] Keppens, R. and Goed-bloed, J. P. (1999). Numerical simulations of stellarwinds: polytropic models.

[Wood et al.2002] Wood, B. E., Mueller, H.-R., Zank,G. P., and Linsky, J. L. (2002). Measured Mass LossRates of Solar-like Stars as a Function of Age and Ac-tivity. Astrophys.J.574:412-425,2002 .

Simulaciones numéricas para el modelo de Parker del viento estelar.

Documents

Transcript of Simulaciones numéricas para el modelo de Parker del viento estelar.