Sistema de ecuaciones linealesEnmatemticasylgebra lineal, unsistema de ecuaciones lineales, tambin conocido comosistema lineal de ecuacioneso simplementesistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales(es decir, unsistema de ecuacionesen donde cadaecuacines de primer grado), definidas sobre uncuerpoo unanillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

Elproblemaconsiste enencontrar los valoresdesconocidos de las variablesx1,x2yx3que satisfacen las tres ecuaciones.El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como enprocesamiento digital de seales,anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente enprogramacin linealas como en laaproximacinde problemas no lineales de anlisis numrico.IntroduccinEn general, un sistema conmecuaciones lineales ynincgnitaspuede ser escrito en forma normal como:

Dondeson las incgnitas y los nmerosson los coeficientes del sistema sobre el cuerpo. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notacin matricial:(1)Si representamos cada matriz con una nica letra obtenemos:

DondeAes unamatrizmporn,xes un vector columna de longitudnybes otro vector columna de longitudm. El sistema de eliminacin de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea elcuerpodel que provengan los coeficientes. La matrizAse llamamatriz de coeficientesde este sistema lineal. Abse le llama vector de trminos independientes del sistema y axse le llama vector de incgnitas.Sistemas lineales realesEn esta seccin se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo, es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones sonnmeros reales.Representacin grfica

La interseccin de dos planosque no son paralelos coincidentes es unarecta.Un sistema conincgnitas se puede representar en eln-espaciocorrespondiente.En los sistemas con 2 incgnitas, el universo de nuestro sistema ser elplano bidimensional, mientras que cada una de lasecuacionesser representada por unarecta. La solucin ser elpunto(olnea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningn punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las lneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solucin.En el caso de un sistema con 3 incgnitas, el universo ser el espacio tridimensional, siendo cada ecuacin un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un nico punto, las coordenadas de este sern la solucin al sistema. Si, por el contrario, la interseccin de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendr infinitas soluciones, que sern las coordenadas de los puntos que forman dicha lnea o superficie.Para sistemas de 4 o ms incgnitas, la representacin grfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta ptica.Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn el nmero de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatiblesi tiene solucin, en este caso adems puede distinguirse entre: Sistema compatible determinadocuando tiene una nica solucin. Sistema compatible indeterminadocuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatiblesi no tiene solucin.Quedando as la clasificacin:Los sistemas incompatibles geomtricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un nico punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o ms generalmente un hiperplano de dimensin menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque eldeterminantede la matriz es diferente de cero:

Algoritmo para determinar si un sistema es compatiblePodemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante elTeorema de Rouch-Frobeniusque establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible slo si el rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor comn de los rangos de las matrices coincide con el nmero de variables, el sistema escompatible determinado; en caso contrario, escompatible indeterminado.Sistemas compatibles indeterminadosUn sistema sobre un cuerpoKescompatible indeterminadocuando posee un nmero infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuacin se corresponden con la recta cuya pendiente esy que pasa por el punto, por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solucin o interseccin entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos. En este tipo de sistemas, la solucin genrica consiste en expresar una o ms variables comofuncin matemticadel resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinacin lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente. La condicin necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero al igual que el rango de la matriz ampliada y menor al nmero de incgnitas(y por tanto uno de susautovaloresser 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es unsubespacio vectorial. Y la dimensin de ese espacio vectorial coincidir con la multiplicidad geomtrica del autovalor cero.Sistemas incompatiblesDe un sistema se dice que esincompatiblecuando no presenta ninguna solucin. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden grficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al serparalelas, no se cortan en ningn punto, es decir, no existe ningn valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.Matemticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condicin necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Mtodos de solucin a sistemas de ecuaciones linealesSustitucinEl mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuacin sustituirla en otra ecuacin por su valor.En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodo reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitucin este sistema:

En la primera ecuacin, seleccionamos la incgnitapor ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite ms las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuacin.

El siguiente paso ser sustituir cada ocurrencia de la incgnitaen la otra ecuacin, para as obtener una ecuacin donde la nica incgnita sea la.

Al resolver la ecuacin obtenemos el resultado, y si ahora sustituimos esta incgnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos, con lo que el sistema queda ya resuelto.IgualacinEl mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones.Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el mtodo de sustitucin, si despejamos la incgnitaen ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas tambin son iguales entre s.

Una vez obtenido el valor de la incgnita, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la.La forma ms fcil de tener el mtodo de sustitucin es realizando un cambio para despejar x despus de averiguar el valor de la y.ReduccinEste mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, medianteproductos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos ms que multiplicar la primera ecuacin porpara poder cancelar la incgnita. Al multiplicar, dicha ecuacin nos queda as:

Si sumamos esta ecuacin a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuacin donde la incgnitaha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incgnita:

El siguiente paso consiste nicamente en sustituir el valor de la incgnitaen cualquiera de las ecuaciones donde aparecan ambas incgnitas, y obtener as que el valor desi sustituimos en la primera ecuacin es igual a:

Mtodo grfico

Rectasque pasan por el punto: (2,4)Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en elplano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin .El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos:1. Se despeja la incgnita en ambas ecuaciones.2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.3. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.4. En este ltimo paso hay tres posibilidades:1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin en los reales pero si en los complejos.MTODO DE LA MATRIZ INVERSAUn sistema de ecuaciones lineales con notacin matricial es de la forma:(1)Si representamos cada matriz con una nica letra obtenemos:

DondeAes unamatrizmporn,Xes un vector columna de longitudnybes otro vector columna de longitudm.Pre multiplicando la ltima ecuacin matricial por la inversa de A, se obtiene la solucin X.Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones linealesX+2y+2z-w = 82x+3y+2z+2w=84x+2y+z-2w=113x+y+3z+w= 7 cuyo algoritmo en Matlab es como sigue:

clc;clear;A=[1 2 2 -1;2 3 2 2;4 2 1 -2;3 1 3 1];b=[8;8;11;7];X=inv(A)*b;disp(X=); disp(X);cuya ejecucin da como resultadoX= 1.0000 2.0000 1.0000 -1.0000

Mtodo de Gauss-TriangulacinEl mtodo de eliminacin de Gauss o simplemente mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema lineal denecuaciones connincgnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuacin tienenincgnitas, la segunda ecuacin tienen- 1 incgnitas, ..., hasta la ltima ecuacin, que tiene 1 incgnita. De esta forma, ser fcil partir de la ltima ecuacin e ir subiendo para calcular el valor de las dems incgnitas.Ejemplo.- Resolver mediante el Algoritmo de Triangulacin en MATLAB:X+2y+2z-w = 82x+3y+2z+2w=84x+2y+z-2w=113x+y+3z+w= 7Aplicando el algoritmo o programa con los datos:A=[1 2 2 -1; 2 3 2 2;4 2 1 -2;3 1 3 1]; b=[8;8;11;7];A=[A b];n=4;for i=1:n-1 fprintf('iteracin');disp(i); A(i,:)=A(i,:)/A(i,i); for j=i+1:n if j~=i A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i); end end disp(A);endX(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 X(i)=A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)=X(i)-A(i,j)*X(j); end X(i)=X(i)/A(i,i);enddisp('X=');disp(X);

EJECUTANDO EL PROGRAMA, SE OBTIENE:

iteracin 1 1 2 2 -1 8 0 -1 -2 4 -8 0 -6 -7 2 -21 0 -5 -3 4 -17

iteracin 2 1 2 2 -1 8 0 1 2 -4 8 0 0 5 -22 27 0 0 7 -16 23

iteracin 3 1.0000 2.0000 2.0000 -1.0000 8.0000 0 1.0000 2.0000 -4.0000 8.0000 0 0 1.0000 -4.4000 5.4000 0 0 0 14.8000 -14.8000X= 1 2 1 -1>>

Eliminacin de Gauss-JordanUna variante de este mtodo, denominadaeliminacin de Gauss-Jordan, es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular lamatriz aumentadadel sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico.Laeliminacin de Gauss-Jordanes un algoritmo numrico usado para una gran cantidad de casos especficos, aunque posteriormente se han desarrollado algoritmos alternativos mucho ms eficientes. La mayora de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional deO(n)(dondenes el nmero de ecuaciones del sistema). Ejemplo.- Resolver el SELx+y+z+w=5;x+3y+z+w=9;x+y+2z+w=8;x+y+4z+3w=12;Se escribe la matriz A aumentada con la columna b A=[1,1,1,1,5;1,3,1,1,9;1,1,2,1,8;1,1,4,3,12];Y se aplica el siguiente algoritmo en Matlabn=4;for i=1:n fprintf('iteracin');disp(i); A(i,:)=A(i,:)/A(i,i); for j=1:n if j~=i A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i); end end disp(A);endX=A(:,n+1)Al ejecutar el programa nos da el siguiente resultado:iteracin 1 1 1 1 1 5 0 2 0 0 4 0 0 1 0 3 0 0 3 2 7

iteracin 2 1 0 1 1 3 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 3 2 7iteracin 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 2 -2iteracin 4 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 -1X = 1 2 3 -1

Regla de CramerLa regla de Cramer da una solucin para sistemas compatibles determinados en trminos dedeterminantesy adjuntos dada por:

DondeAjes la matriz resultante de remplazar la j-sima columna de A por el vector columnab. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solucin:

Ejemplo.- Resolver el SEL por el mtodo de crmerx+y+z+w=5;x+3y+z+w=9;x+y+2z+w=8;x+y+4z+3w=12;este mtodo utiliza las columnas de la matriz A de coeficientes, es decir:P1=[1;1;1;1];P2=[1;3;1;1];P3=[1;1;2;4];P4=[1;1;1;3];b=[5;9;8;12];A=[P1 P2 P3 P4];A1=[b P2 P3 P4];A2=[P1 b P3 P4];A3=[P1 P2 b P4]; A4=[P1 P2 P3 b]; d=det(A); X=[det(A1)/d, det(A2)/d, det(A3)/d, det(A4)/d]Ejecutando este programa, las soluciones del SEL son: X= 1 2 3 -1>>

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica mltiples soluciones o sin coincidencia.Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son nmeros racionales, reales o complejos o ms generalmente un cuerpo, la solucin puede encontrarse medianteRegla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente ms costosa y suelen usarse otros mtodos ms "econmicos" en nmero de operaciones como laeliminacin de Gauss-Jordany ladescomposicin de Cholesky. Existen tambin mtodos indirectos (basados en iteraciones) como elmtodo de Gauss-Seidel.Si el cuerpo esinfinito(como es el caso de los nmerosrealesocomplejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones: el sistema no tiene solucin (en dicho caso se dice que el sistema est sobredeterminado o que es incompatible) el sistema tiene una nica solucin (el sistema es compatible determinado) el sistema tiene un nmero infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).Solucin de sistemas lineales en un anilloEcuacin dio fnticaLos mtodos para resolver el sistema (1) sobre unanilloson muy diferentes a los considerados anteriormente. De hecho la mayora de mtodos usados en cuerpos, como laregla de Cramer, son inaplicables en anillos debido a que no existeninversos multiplicativos.La existencia de solucin del sistema (1) sobre losenterosrequiere varias condiciones:1. Para cadaies divisor de.2. Si la condicin anterior se cumple para un determinadoiexiste un conjunto de enterosformado por el conjunto de enteros que satisface lai-sima ecuacin, y existir solucin si la interseccin.