Mtro. Javier Solis Noyola

*A x b

1 *bAx

Objetivos

Conocer y comprender el concepto de Matriz Inversa.

Conocer y comprender El Método de Solución de la Matriz Inversa para la solución de sistemas de Ecuaciones Lineales.

Aplicar la el Método de Solución de la Matriz Inversa para la solución de ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales.

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. 

¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?

donde x1, ..., xn son las incógnitas,  b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

• Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

• Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:• Sistema incompatible:  son aquellos que no poseen solución.• Sistema compatible:  son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,

podemos hablar de:Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..

a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones

Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.

SoluciónÚnica(x,y,z)

Definición de Matriz Inversa

La Matriz Inversa de una Matriz Cuadrada A de orden n, es la matriz A-1 también de orden n que verifica:

A A-1 = IDonde:

A es la matriz de Coeficientes A-1 es la matriz inversa I es la matriz identidad

• Las matrices que tienen inversa se llaman regulares, y las que NO tienen inversa, singulares.

• Una Matriz A (coeficientes) de orden n es regular, si su determinate ≠ 0, por lo tanto tendrá inversa y será regular .

• Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.

Existencia de la Matriz Inversa

Proceso de Obtención de la Matriz de Inversa por el Método de la Adjunta

Para obtener la inversa de una matriz se aplica la siguiente fórmula:

│A│=

11 12 1n

21 22 2n

1 2

a a ... a

a a ... a|... ... ...

...ij

n n nn

a

a a a

1 adjAA

A

Matriz Adjunta

Cálculo de componentes de

la Matriz de Cofactores Ac

ij:

Aijc = (-1)i+j │Mij│

Obtención de la Matriz Adjunta:

Adj (Aijc) = (Aij

c)t

Cálculo de la matriz de Cofactores Ac

Ac = (-1)i+j │Mij│ |M11| |M12| …… |M1n|

|M21| |M22| …… |M2n|………………………….

|Mn1| |Mn2| …… |Mnn|

Ac = (-1)i+j

Primeramente, para calcular la Matriz de Cofactores Ac debemos obtener la matriz de los determinantes de los Menores │Mij│. Un menor Mij es una matriz de orden n-1 de la matriz A (coeficientes), el cual resulta de suprimir el renglón (fila) i y la columna j de la componente correspondiente aij. De cada Matriz del Menor Mij se obtendrá su determinante │Mij│, el cual finalmente quedará como una componente (escalar).Finalmente a la Matriz compuesta por los Menores (ya como escalares) se multiplicarán por un signo (+) ó (-), cuya secuencia será dada por (-1)i+j (ver siguiente diapositiva). Lo que dará como resultado de todo esto, la Matriz de Cofactores Ac .

Matriz de Cofactores Ac

Ac = (-1)i+j │Mij│

Ac = (-1)i+j

|M11| |M12| …… |M1n|

|M21| |M22| …… |M2n|………………………….

|Mn1| |Mn2| …… |Mnn|

Ac =

A =

Ejemplo de una Matriz A de 3x3

A11c = (-1)i+j|M11|

A11c = (-1)1+1

A11c = (-1)2

A11c = +

A32c = (-1)i+j |M32|

A32c = (-1)3+2

A32c = (-1)5

A32c = -

Matriz de Cofactores de 3x3

Ac = (-1)i+j │Mij│

Ac = (-1)i+j │Mij│=

Ac = (-1)i+j │Mij│=-3 6 -3 6 -12 6-3 6 -3

Ejemplo de cálculo de la matriz de cofactores de 3x3

Matriz Adjunta

Se llama Matriz Adjunta a la Matriz transpuesta de Cofactores: (Ac)t

Obtención de la Matriz Adjunta:

Adj (Ac) = (Ac)t

Ac = (-1)i+j │Mij│=-3 6 -3 6 -12 6-3 6 -3

Adj Aijc = (Aij

c)t = Ajic =

Matriz de cofactores Aijc =

Adj Aijc =(Aij

c)t= Ajic=

Ejemplo de Cálculo de la Matriz Inversa. Obtener A-1

Aijc = (-1)i+j │Mij│=

-48     42     -3    24     -21     6 -3     6     -3  

Adj Aijc = (Aij

c)t = Ajic =

Matriz de cofactores Aijc =

Adj Aijc =(Aij

c)t= Ajic=

Det A = Det A = 27

-48     24    -3     42    -21     6    -3     6    -3  

-48     24    -3     42    -21     6   = -3     6    -3  

= 1 27

-48     24    -3  27  27 27

42    -21     6  = 27  27 27

 -3     6    -3   27  27 27

-16     8    -1   9  9 9

14    -7      2  9  9 9

  -1     2    -1   9  9 9

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/inverse1/

A A-1 = I

Multiplicación de Matrices en Línea:

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/multiply/

Comprobación de que Matriz Inversa es correcta

Consideremos la aplicación del Método de la Matriz Inversa para obtener su solución en un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

*A x b

1 *bAx

Ejemplo de Solución de un sistema de Ecuaciones Lineales

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/matr/

*A x b

1 *bAx

Ac =

Adj Aijc

=

5

A-1= 1 5

1 adjAA

A

A-1 =

1 *bAx

=

Ejemplo por Regla de Cramer:

Matriz Aumentada

Determinante de la Matriz de Coeficientes (matriz del sistema)

Determinantes de las Matrices asociadas:

│A1 │ ó │ Ax │

│A2 │ ó │ Ay │

│A3 │ ó │ Az │

Soluciones a: x, y, z ó x1,x2,x3

REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):

•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.

•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.

•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill