Sistemas de ecuaciones lineales · un método eficiente para resolver sistemas de ecuaciones...

Sistemas de ecuaciones lineales.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, es el ejemplo de lo que atañe al

Álgebra Lineal. Para resaltar la importancia de esta parte del capítulo, citaremos a un

matemático argentino.

(Enzo Gentile, 1981 “…está bien claro que la matemática de las aplicaciones es

fundamentalmente el Álgebra lineal, la resolución de sistemas lineales,…Sin hablar de

la importancia misma dentro de la matemática pura…. Todo es Álgebra líneal, en

definitiva…

Un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es lineal cuando puede llevarse a forma:

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2⋮

𝑎𝑚1𝑥1 +⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑚1𝑥1 + …… +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Donde: 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 son las indeterminadas que representan a las incógnitas del

sistema.

𝑎11 , 𝑎12, . , 𝑎𝑚𝑛 son números reales que representan los coeficientes del sistema y

𝑏1, 𝑏2, … . . , 𝑏𝑚 también son números reales y se llaman términos independientes del

sistema.

Por ejemplo, un sistema de 2x2, es decir de dos ecuaciones y dos incógnitas es:

{3𝑥 − 2𝑦 = 05𝑥 + 𝑦 = 3

o el de 2x3, es decir de dos ecuaciones y tres incógnitas: {−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 3

En el primer sistema, se han llamado a las incógnitas x e y porque el sistema puede estar

representando la búsqueda de la intersección entre dos rectas del plano y el otro, x,y,z

por la intersección de dos planos en el espacio.

Solucionar un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es hallar n

números reales 𝒙𝟏∗ , 𝒙𝟐

∗ , … . 𝒙𝒏∗ tales que, al sustituirlos en el sistema por

cada una de las incógnitas correspondientes, hace que se verifiquen

cada una de las igualdades numéricas que representan las ecuaciones.

También suele considerarse a una solución de un sistema de m ecuaciones y n

incógnitas: 𝑥1∗, 𝑥2

∗, … . 𝑥𝑛∗ como una n-upla: (𝒙𝟏

∗ , 𝒙𝟐∗ , … . , 𝒙𝒏

∗ ). Así una solución del

primer sistema sería una 2-upla (o par ordenado) (𝑥∗, 𝑦∗) y una solución del segundo

sistema una 3-upla (𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗).

Si pensamos la solución del primer sistema, como la intersección de dos rectas del

plano, sabemos que pueden ocurrir tres situaciones.

- La primera, que las rectas se corten en un único punto, en ese caso el sistema

tendría una única solución.

- La segunda, que las rectas sean coincidentes y en ese caso la solución serían los

infinitos puntos de la recta.

- La tercera, que las rectas sean paralelas y en este caso no habría ningún punto

del plano en la intersección, es decir que el sistema no tendría solución.

Usando el estudio de las matrices de la primera parte de este capítulo, desarrollaremos

un método eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, conocido como:

Método de eliminación de Gauss.

Algo que va a ser de mucha ayuda es recordar un método sencillo para resolver sistemas

de dos ecuaciones y dos incógnitas. El método de sumas y restas. O método de

eliminación.

Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

{2𝑥 + 5𝑦 = 13𝑥 + 2𝑦 = 7

Si lo resolvemos, la única solución, en este caso es un valor para x y otro para y. Esos

valores son

𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1. Podemos verificar que es solución.

En la primera ecuación, reemplazamos las indeterminadas x e y por 3 y -1

respectivamente y se obtiene: 2.3+5.(-1)=6-5=1, cumple.

Y en la segunda ecuación: 3.3+2.(-1)=9-2=7, también cumple.

Haremos tres observaciones muy importantes para nuestro propósito de resolver

sistemas lineales de m ecuaciones y n incógnitas . Pretendemos estudiar el método de

resolución de sistemas lineales que mencionamos anteriormente.

OBSERVACIÓN 1: Si multiplicamos por un número real no nulo una ecuación, al

reemplazarla por la original, el sistema que se obtiene tiene la misma solución que el

sistema dado.

¿Porqué ocurrirá esto?

Por ejemplo, si elegimos multiplicar por 4 a la primera ecuación del sistema del

ejemplo, sabemos que la igualdad numérica se mantiene: por la propiedad de

monotonía del producto 4. ( 2𝑥 + 5𝑦) = 4. 1

Tenemos una nueva ecuación, 8𝑥 + 20𝑦 = 4. Reemplazando las incógnitas por 𝑥∗=3 e

𝑦∗= -1 se obtiene una igualdad numérica 8.3+20.(-1) = 4, es decir que siguen siendo

solución de la nueva ecuación.

OBSERVACIÓN 2: Si le sumamos a una ecuación de un sistema dado otra ecuación,

se obtiene una nueva, que al reemplazarla por la original, el nuevo sistema tiene las

mismas soluciones que el dado.

Observemos en el ejemplo {2𝑥 + 5𝑦 = 13𝑥 + 2𝑦 = 7

sumando ambas ecuaciones y reemplazando

la primera por la suma (2 + 3)𝑥 + (5 + 2)𝑦 = 1 + 7, el nuevo sistema que se obtiene

es: {5𝑥 + 7𝑦 = 83𝑥 + 2𝑦 = 7

. Es fácil comprobar que 𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1 son las únicas soluciones de

este nuevo sistema.

OBSERVACIÓN 3: (es una combinación de las dos observaciones anteriores)

Si a una ecuación de un sistema dado, se la reemplaza por la que se obtiene así: a una

de las ecuaciones se le suma otra, multiplicada por un número real no nulo.

Al reemplazarla en el sistema por ésta última, el nuevo sistema tiene la misma solución

que el dado.

Las operaciones sobre las ecuaciones que indicamos en las observaciones, aplicadas

convenientemente, permiten resolver el sistema. La idea es operar sobre las ecuaciones

del sistema, para obtener otros, que conservan las soluciones del sistema original pero

es más fácil de resolver. Este método de resolución de sistemas de dos ecuaciones y dos

incógnitas, es el que se conoce como método de sumas y restas o de eliminación.

Veamos esto en el sistema dado anteriormente

{2𝑥 + 5𝑦 = 13𝑥 + 2𝑦 = 7

Podemos por ejemplo, multiplicar la segunda ecuación por −2

3 y luego sumarle a esa

ecuación, la primera y reemplazarla por la nueva en el sistema.

−2

3. (3𝑥 + 2𝑦) = −

2

3. 7

−2𝑥 −4

3𝑦 = −

14

3

+

2𝑥 + 5𝑦 = 1

11

3𝑦 = −

11

3

En este paso hemos eliminado “x” de la primera ecuación.

El nuevo sistema que se obtiene es: {11

3𝑦 = −

11

3

3𝑥 + 2𝑦 = 7

Si multiplicamos la primera ecuación por −6

11, obtenemos el sistema: {

−2𝑦 = 23𝑥 + 2𝑦 = 7

Si a la segunda le sumamos la primera obtenemos el sistema: {−2𝑦 = 23𝑥 = 9

En este paso hemos eliminado “y” de la segunda ecuación.

Si ahora multiplicamos la primera por - 1

2 y la segunda por

1

3 el sistema que se obtiene

{𝑦 = −1𝑥 = 3

este sistema nos muestra la solución!!!!

Otro ejemplo:

Resolver por el método de sumas y restas (o eliminación) el siguiente sistema:

{3𝑥 − 2𝑦 = 17𝑥 + 14𝑦 = 8

Hay muchas maneras de operar sobre las ecuaciones, teniendo en cuenta las

observaciones anteriores. Con el propósito de eliminar incógnitas.

Por ejemplo, si multiplicamos la primera ecuación por 7 y la segunda por -3, logramos

que el coeficiente de x en la primera, sea el opuesto del de la segunda y así al sumar las

ecuaciones, eliminamos x de la primera. Obteniendo un sistema, que tendrá las mismas

soluciones que el anterior. (o pudimos haber multiplicado la primera por 7 y al sumarla

a la segunda, eliminar y)

{21𝑥 − 14𝑦 = 7

−21𝑥 − 42𝑦 = −24

A la primer ecuación le sumamos la segunda y reemplazamos la primera.

{−56𝑦 = −17

−21𝑥 − 42𝑦 = −24 Eliminamos la incógnita x de la primera ecuación.

Multiplicamos la primera ecuación por −42

56

{42𝑦 =

51

4

−21𝑥 − 42𝑦 = −24

A la segunda la reemplazamos por la suma entre ella y la primera ecuación. Se obtiene

el siguiente sistema que tendrá las mismas soluciones que el anterior:

{42𝑦 =

51

4

−21𝑥 = −45

4

Eliminamos la incógnita y de la segunda ecuación.

Multiplicamos la primera por 1

42 y la segunda por

−1

21 y las reemplazamos por las

ecuaciones anteriores.

{𝑦 =

17

56

𝑥 =15

28

o lo que es exactamente lo mismo {𝑥 =

15

28

𝑦 =17

56

y hemos resuelto el sistema.

Se ha encontrado nuevamente la solución de este sistema “eliminando incógnitas”, esto

es multiplicando las ecuaciones por un número y sumándolas para producir ecuaciones

en las cuales, alguna de las incógnitas no está presente.

Deseamos formalizar ligeramente este proceso, de modo que se pueda entender porqué

opera y así poder llevar a cabo los cálculos necesarios, para resolver un sistema de

manera sistemática.

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen

exactamente las mismas soluciones.

Forma matricial de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas.

En un sistema de m ecuaciones y n incógnitas hay involucradas tres matrices.

{


𝑎𝑚1𝑥1 +⋮ ⋮ ⋮


1. La matriz de los coeficientes que llamaremos matriz A. 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛

A=

(

𝑎11 𝑎12……𝑎21 𝑎22…... .…𝑎𝑚1

. .

. .𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛

… .

. ..

𝑎𝑚𝑛

)

2. La matriz de las incógnitas que llamaremos matriz 𝑋. 𝑋 ∈ ℝ𝑛𝑥1

𝑋 =

(

𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛)

3. La matriz de los términos independientes que llamaremos B. 𝐵 ∈ ℝ𝒎𝒙𝟏

B =

(

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑚)

.

El sistema

{


𝑎𝑚1𝑥1 +⋮ ⋮ ⋮


Queda representado como la igualdad matricial: 𝐴. 𝑋 = 𝐵

el primer término de esta igualdad es un producto de matrices.

(

𝑎11 𝑎12……𝑎21 𝑎22…... .…𝑎𝑚1

. .

. .𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛

… .

. ..

𝑎𝑚𝑛

)

.

(

𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛)

=

(

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑚)

Veamos un ejemplo:

Represente el siguiente sistema en forma matricial:

{

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 14𝑥 − 𝑦 = 4

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3

𝐴 = (2 3 −14 −1 01 −2 1

) , 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧) y 𝐵 = (

143). (

2 3 −14 −1 01 −2 1

). (𝑥𝑦𝑧) = (

143) y quedó

representado el sistema.

Observemos:

Efectuando el producto A.X = (2 3 −14 −1 01 −2 1

) . (𝑥𝑦𝑧) = (

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧4𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧) Se tiene una

matriz columna, de 3 filas en ambos miembros .

Si planteamos la igualdad matricial A.X = B

(2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧4𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧) = (

143)

Y aplicamos la definición de igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si son del

mismo conjunto (o tienen la misma dimensión) y tienen todos sus elementos

correspondientes iguales.

Ambas matrices tienen la misma dimensión u orden: porque ambas tienen tres filas y

una columna. Y sus elementos correspondientes deben ser iguales:

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1

4𝑥 − 𝑦 = 4

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3

(y quedó representado el sistema!)

Otro ejemplo: Represente el siguiente sistema en forma matricial:

{

−𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 − 2𝑤 = 1−5𝑥 − 𝑦 + 𝑤 = 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 − 3𝑤 = 3

𝐴. 𝑋 = 𝐵

(−1 8 −4 −2−5 −1 0 11 6 1 −3

) .(

𝑥𝑦𝑧𝑤

) = (143)

Podemos abstraernos un poco más, en el siguiente sentido:

Dado por ejemplo el sistema: {

3𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0−3𝑥2 + 𝑥3 + 7𝑥4 = −1𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = −2

podemos advertir que no

hay necesidad de escribir las incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 y 𝑥4 ya que realmente solo

operaremos con sus coeficientes y con los términos independientes.

Podemos expresar este sistema matricialmente de la forma [𝐴|𝐵] agregando a la matriz

A de los coeficientes, la matriz B de los términos independientes. En este caso, el

sistema quedaría representado matricialmente y en forma abreviada como:

[𝐴|𝐵] = [3 −2 2 −10 −3 1 71 −1 4 1

|0−1−2]

La matriz [𝐴|𝐵] es la matriz ampliada del sistema. Es la matriz de los coeficientes a la

que se le agrega la columna de los términos independientes.

Entonces todo sistema puede escribirse matricialmente de esa forma.

Veamos más ejemplos:

Dada la siguiente matriz, reescribir el sistema que ella puede estar representando:

(2 5 −20 3 122 −1 9

)

(2 5 −20 3 122 −1 9

) =[2 50 32 −1

|−2129] (este ejemplo nos induce a pensar que cualquier matriz

puede ser considerada como la representación de un sistema, basta con considerar a la

última columna de la matriz, como la matriz columna de los términos independientes

del sistema)

Si llamamos a las incógnitas x e y, el sistema en este caso es: {2𝑥 + 5𝑦 = −23𝑦 = 122𝑥 − 𝑦 = 9

Otro ejemplo: Sabiendo que la siguiente matriz representa a un sistema, reescriba el

sistema: [1 0 00 0 10 1 0

|−830]

Interpretemos las ecuaciones como antes, elijamos las incógnitas que son 3, como el

número de columnas. Podemos elegirlas x, y, z

{

1. 𝑥 + 0. 𝑦 + 0. 𝑧 = −80. 𝑥 + 0. 𝑦 + 1. 𝑧 = 30. 𝑥 + 1. 𝑦 + 0. 𝑧 = 0

y queda: {𝑥 = −8𝑧 = 3𝑦 = 0

es la matriz de un sistema “solucionado”!

Comentario nada formal sobre lo sigue:

Dado un sistema, sabemos representarlo en forma matricial. Entonces podemos

conjeturar lo siguiente:

Si logramos “operar” sobre la matriz del sistema, procurando obtener matricialmente

sistemas con las mismas soluciones que el dado y logramos después de sucesivas

“operaciones” obtener una matriz del estilo de la del ejemplo anterior: [1 0 00 0 10 1 0

|−830],

habremos solucionado el sistema.

Seguidamente nos ocuparemos de lo más importante. Definir las “operaciones” sobre

las filas de una matriz. Que estarán inspiradas en las operaciones sobre las ecuaciones

de un sistema, de modo que después de aplicar cada una de ellas, se obtengan sistemas

equivalentes.

Operaciones elementales sobre las filas de una matriz.

Hay tres tipos de operaciones elementales y solo tres.

Sea A, una matriz de m filas y n columnas.

𝐴 =

(

𝑎11 𝑎12……𝑎21 𝑎22…... .

…

𝑎𝑚1

. .

. .

𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛

… .

. .

.

𝑎𝑚𝑛

)

.

Definiremos las operaciones elementales sobre las filas de A.

Operaciones elementales sobre las filas de una matriz.

(acá entre nosotros, parecen estar pensadas en operaciones sobre las ecuaciones de un sistema, para obtener en cada operación,

sistemas que tengan las mismas soluciones, es decir, los que llamamos equivalentes)

1. Multiplicar una fila de A, por una constante c, no nula. Para fijar ideas podemos multiplicar la fila i de A por c, c≠0.

Esta operación se indica así: 𝑴𝒊(𝒄)(𝑨).

Solo se modifica la fila i de 𝐴: (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2…… 𝑎𝑖𝑚).

𝑀𝑖(𝑐)(𝐴) es una matriz que tendrá todas sus filas iguales a las de A, excepto que

la fila i que será de la forma (𝑐. 𝑎𝑖1 𝑐. 𝑎𝑖2…… 𝑐. 𝑎𝑖𝑚).

Ejemplo. Sea 𝐴 = (2 −31 412 7

)

Multipliquemos la fila 1 de A, por 1

2

𝑀1 (1

2) (𝐴) = (

1

2. 2

1

2. (−3)

1 412 7

) = (1 −

3

2.

1 412 7

)

Observemos que el subíndice de la notación, indica la fila a la que se le realiza la

operación.

2. Sumarle a una fila de A, otra fila otra multiplicada por un

número.

Para fijar ideas, elegimos la fila i de A (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2…… 𝑎𝑖𝑛), para modificar.

La reemplazaremos por la suma entre ella misma y la fila j (𝑎𝑗1 𝑎𝑗2…… 𝑎𝑗𝑛),

multiplicada por la constante c.

Esta operación se indica como 𝑺𝒋𝒊(𝒄)(𝑨).

La S, significa suma.

El superíndice i (el que aparece arriba) indica cuál es la fila que se modificará.

El subíndice j (el que aparece abajo) indica la fila que se utilizará para multiplicar

por c y sumarla a la fila i.

Entonces en la matriz 𝑆𝑗𝑖(𝑐)(𝐴) todas las filas de A quedaron iguales, excepto la i

que aparece así: (𝑎𝑖1 + 𝑐. 𝑎𝑗1 𝑎𝑖2 + 𝑐. 𝑎𝑗2 …… 𝑎𝑖𝑛 + 𝑐. 𝑎𝑗𝑛 ).

Ejemplo 1.

Sea A la matriz 𝐴 = (1 5 −2 43 2 2 −54 −3 9 10

). Pretendemos modificar la fila 2.

A la fila 2 le sumaremos la fila 1, multiplicada por -3:

𝑆12(−3)(𝐴) = (

1 5 −2 43 + (−3). 1 2 + (−3). 5 2 + (−3). (−2) −5 + (−3). 4

4 −3 9 10

) =

= (1 5 −2 40 −13 8 −174 −3 9 10

)

Ejemplo 2.

𝐴 = (−2 3 −14 −1 01 −2 1

).

Sumarle a la fila 1 de A, la fila 3 multiplicada por 2:

𝑺𝟑𝟏(𝟐)(𝑨) = (

−2 + 2.1 3 + 2(−2) −1 + 2.14 −1 01 −2 1

) = (0 −1 14 −1 01 −2 1

)

3. Permutar una fila por otra. (o intercambiar filas)

Para fijar ideas, intercambiemos la fila i de A por la fila j. En el lugar de la fila i

aparecerá la j y en el lugar de la fila j, la fila i.

Notación: 𝑷𝒊 𝒋(A). Observar que 𝑷𝒊 𝒋(A)= 𝑷𝒋 𝒊(A).

Ejemplo 1: Si 𝐴 = (1 5 −2 40 −13 −4 −174 −3 9 10

) Hallar 𝑃32(A).

𝑃32(A)= (1 5 −2 44 −3 9 100 −13 −4 −17

) .

Ejercicio: (si no hace este ejercicio ahora, mañana puede ser tarde)

Dada la matriz 𝐴 = (

−3 7 131 0 4182

−4−1

01

) Realizar las siguientes operaciones elementales

sobre sus filas: 𝑀3 (1

2) (𝐴), 𝑆2

4(−2)(𝐴), 𝑆12(−3)(𝐴), 𝑆2

1(1)(𝐴), 𝑃12(A).

Matrices Elementales.

Las matrices Elementales son muy útiles para demostrar resultados teóricos, en este

contexto no vamos a ser muy formales con ellas, vamos a definirlas y entender cómo

operan.

Consideremos la matriz identidad de n por n. La hemos llamado 𝐼𝑛 y hemos dicho, entre

otras cosas sobre ella, que es una matriz que tiene unos en la diagonal principal y el

resto de sus elementos son todos nulos.

Como a toda matriz, a 𝐼𝑛 también podemos aplicarle una operación elemental sobre sus

filas. Entonces:

Una matriz elemental es la que se obtiene por la aplicación de una

ÚNICA operación elemental a la matriz identidad 𝑰𝒏. (si le hace a la matriz identidad

dos operaciones elemtales, ya no tendrá una matriz elemental)

Entonces tenemos sólo tres matrices elementales para cada n. Una por cada tipo de

operación elemental.

1. 𝑴𝒊(𝒄)( 𝑰𝒏). (como ya aprendimos, esta matriz se lee así: a la matriz identidad de

orden n, le multiplicamos la fila i, por una constante c, no nula)

2. 𝑺𝒋𝒊(𝒄)(𝑰𝒏) . (lo sabemos, esta matriz se lee así: a la matriz identidad de orden n,

le sumamos a la fila i, la j multiplicada por la constante c)

3. 𝑷𝒊 𝒋(𝑰𝒏). (esta matriz también la conocemos porque es la más fácil: a la matriz 𝐼𝑛

le intercambiamos la fila i por la j)

Practiquemos:

Ejemplo: Calcular las matrices elementales indicadas en cada caso:

𝑴𝟐(𝟐)( 𝑰𝟑), 𝑆23(−2)(𝐼4), 𝑆1

2(4)(𝐼2), 𝑆21(1)(𝐼2), 𝑃2 3(𝐼5).

Consideremos las matrices identidad que se mencionan:

𝐼3 = (1 0 00 1 00 0 1

), 𝐼4 = (

1 0 0 00 1 0 000001001

)

𝐼2 = (1 00 1

), 𝐼5 =

(

100

010

0 0 00 0 01 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 1)

. Calculemos las matrices pedidas:

𝑴𝟐(𝟐)( 𝑰𝟑)=(1 0 00 2 00 0 1

) , 𝑆23(−2)(𝐼4) = (

1 0 0 00 1 0 000−20

1001

), 𝑆12(4)(𝐼2) = (

1 04 1

),

𝑆21(1)(𝐼2) = (

1 10 1

), 𝑃2 3(𝐼5) =

(

100

001

0 0 01 0 00 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 1)

.

Algo importante y no menos interesante es lo siguiente:

Ejemplo:

Sea 𝐴 = (−5 1 23 1 00 2 1

), hagamos sobre una fila de A, una operación elemental

cualquiera, por ejemplo: 𝑆23(−2)(𝐴) = (

−5 1 23 1 0

0 − 2.3 2 − 2.1 1 − 2.0

) =

𝑆23(−2)(𝐴) = (

−5 1 23 1 0−6 0 1

)

Ahora calculemos la matriz elemental asociada a esa operación y que sea de orden 3

𝑆23(−2)(𝐼3) = (

1 0 00 1 00 −2 1

) , llamemos E a esta matriz (E, de elemental)

Si pre multiplicamos a la matriz A por E (significa que ponemos E a la izquierda de

A y multiplicamos) se obtiene la misma matriz 𝑆23(−2)(𝐴)

𝐸. 𝐴 = (1 0 00 1 00 −2 1

) . (−5 1 23 1 00 2 1

) = (−5 1 23 1 0−6 0 1

) = 𝑆23(−2)(𝐴)

Lo que ocurrió en este ejemplo ocurre en general: hacer una operación elemental

es lo mismo que pre multiplicar, por la matriz elemental

correspondiente a dicha operación.

Recordemos esta última afirmación porque será útil más adelante.

Esto no es una demostración, aunque puede hacerse sin demasiada dificultad pero

podemos obviarla y mirar otro ejemplo.

Ahora elijamos la matriz, que también llamaremos A, por costumbre pero nos damos

cuenta que no es la misma…

𝐴 = (2 18 143 −2 4

)

Calculemos la matriz: 𝑴𝟏 (𝟏

𝟐) (𝑨) = (

1 9 73 −2 4

). Ahora queremos pre multiplicar por

la elemental correspondiente, pensemos que si vamos a multiplicar a izquierda el orden

de la elemental, tiene que ser 2.

Luego 𝑬 = 𝑴𝟏 (𝟏

𝟐) (𝑰𝟐) = (

𝟏

𝟐𝟎

𝟎 𝟏)

Pre multipliquemos a la matriz A por E:

𝐸.𝐴 = (𝟏

𝟐𝟎

𝟎 𝟏) . (

2 18 143 −2 4

) = (1 9 73 −2 4

) ocurrió otra vez y no es casualidad:

𝐸.𝐴 = 𝑴𝟏 (𝟏

𝟐) (𝑨)

Podemos aceptar que una operación elemental sobre la fila de una matriz

A, puede interpretarse como producto de una matriz elemental E por A,

en ese orden.

Es decir, que cuando escribimos E.A, sabemos que este producto equivale

a la matriz que resulta de A, luego de aplicarle una única operación

elemental.

Entonces aplicar sucesivas operaciones, digamos k operaciones

elementales, a una matriz A, equivale al producto: 𝑬𝒌. (𝑬𝒌−𝟏…(𝑬𝟐. (𝑬𝟏𝑨…)

(observar el orden del producto de elementales)

Y sacamos los paréntesis porque el producto de matrices, pese a sus rarezas, es

asociativo: 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏…𝑬𝟐. 𝑬𝟏𝑨

Ejemplo:

Dada la matriz 𝐴 = (2 −4 83 11 −6

) hacer las siguientes operaciones sucesivas y

después expresarlas como producto de elementales:

𝑆12(−3)(𝑀1 (−

1

2) 𝐴)

Primero, la primera operación, hacemos 𝑀1 (−1

2) (𝐴) y al resultado le hacemos la otra

operación:

𝑀1 (1

2) (𝐴) = (

1 −2 43 11 −6

)𝑆12(−3)→ (

1 −2 43 + (−3). 1 11 + (−3). (−2) −6 + (−3). 4

)

=

= (𝟏 −𝟐 𝟒𝟎 𝟏𝟕 −𝟏𝟖

)

Ahora preparemos las elementales que tienen que tener orden 2 para poder pre

multiplicar.

𝐸1 = (1

20

0 1

) , 𝐸2 = (1 0−3 1

)

Hagamos el producto 𝐸2. (𝐸1.𝐴) = 𝐸2 (1

20

0 1) . (

2 −4 83 11 −6

) =𝐸2 . (1 −2 43 11 −6

) =

(1 0−3 1

) . (1 −2 43 11 −6

) = (𝟏 −𝟐 𝟒𝟎 𝟏𝟕 −𝟏𝟖

) y se obtiene la misma matriz.

Ejercicio:

Dada la matriz 𝐴 = (3 −125 −12 1

) aplique sobre las filas de A, las sucesivas operaciones

indicadas, luego halle las elementales correspondientes y escriba de forma equivalente

como producto de elementales, dichas operaciones:

(𝑆13(−2)(𝑆1

2(−5)(𝑀1 (1

3))(𝐴).

Como se ve, 3 operaciones elementales. Necesitará 3 matrices elementales, una por

cada operación y tenga cuidado con el orden…

Las matrices elementales son invertibles.

Recordemos que una matriz cuadrada A es invertible si existe otra matriz, que

llamamos 𝐴−1, que cumple que 𝐴.𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼

Que las matrices elementales sean invertibles, es demostrable en general pero podemos

entenderlo de manera informal.

Trabajemos con las elementales de orden 3.

Sabemos que son tres tipos de matrices:

𝑬𝟏 = 𝑴𝒊(𝒄)( 𝑰𝟑). 𝑬𝟐 = 𝑺𝒋𝒊(𝒄)(𝑰𝟑). 𝑬𝟑 = 𝑷𝒊 𝒋(𝑰𝟑).

𝐼3 = (1 0 00 1 00 0 1

)

Podemos elegir las siguientes matrices elementales:

𝑬𝟏 = 𝑴𝟐(𝟒)( 𝑰𝟑)= (1 0 00 4 00 0 1

) entonces 𝑬𝟏−𝟏 = 𝑴𝟐 (

𝟏

𝟒) ( 𝑰𝟑)=(

1 0 0

01

40

0 0 1

)

(observar que es también una matriz elemental) y cumple que:

𝑬𝟏. 𝑬𝟏−𝟏 = (

1 0 00 4 00 0 1

). (

1 0 0

01

40

0 0 1

) = (1 0 00 1 00 0 1

), con lo cual una es la inversa de la

otra. (no verificamos la otra igualdad porque habíamos tomado un resultado que

aceptamos sin probar, que nos ahorra el trabajo.)

𝑬𝟐 = 𝑺𝟐𝟑(𝟓)(𝑰𝟑) = (

1 0 00 1 00 5 1

) entonces 𝑬𝟐−𝟏 = 𝑺𝟐

𝟑(−𝟓)(𝑰𝟑) = (1 0 00 1 00 −5 1

)

(observar que es también una matriz elemental) y cumple que:

𝑬𝟐. 𝑬𝟐−𝟏 = (

1 0 00 1 00 5 1

). (1 0 00 1 00 −5 1

) = (1 0 00 1 00 0 1

), con lo cual una es la inversa de

la otra.

𝑬𝟑 = 𝑷𝟐 𝟑(𝑰𝟑) = (1 0 00 0 10 1 0

) entonces en este caso 𝑬𝟑−𝟏 = 𝑬𝟑 porque

𝑬𝟑. 𝑬𝟑 = (1 0 00 0 10 1 0

) . (1 0 00 0 10 1 0

) = (1 0 00 1 00 0 1

)

Observación: Aunque todavía no hemos aprendido a determinar si una matriz cuadrada

es invertible o no. Y en el caso en que lo sea, calcular su inversa. Para las elementales

podemos hacerlo, porque pudimos aceptar que son invertibles.

(acá entre nosotros: ¿No le parece que la inversa de una matriz elemental, deshace la operación que la otra hizo?)

Ejercicio: Dadas las siguientes matrices elementales:

Justifique porqué son elementales y halle sus inversas, comprobando lo que afirma:

𝐸1 = (

1 0 0 00 1 0 000003001

) , 𝐸2 = (1 0 04 1 00 0 1

) , 𝐸3 = (0 11 0

)

Que tenemos hasta ahora?

Hagamos un pequeño resumen:

1) A toda matriz, de cualquier orden, se le puede aplicar un número finito de

operaciones elementales.

2) Cada operación elemental tiene asociada una matriz elemental,

correspondiente a la operación.

3) Hacer una operación elemental a una matriz, equivale a pre multiplicar por la

matriz elemental correspondiente a dicha operación.

4) Operaciones elementales tienen el mismo resultado en una matriz, que el

producto por matrices elementales correspondientes.

5) Las matrices elementales son invertibles y sus inversas son también matrices

elementales.

Definición:

Dadas dos matrices A y B se dice que A es equivalente por filas con B si: B se

obtiene de A, luego de aplicar sobre las filas de A, un número finito de operaciones

elementales.

Notación: 𝑨 ∼𝒇 𝑩

Como vimos que operaciones elementales, pueden interpretarse como producto de

matrices elementales, la definición anterior pude entenderse de la siguiente forma:

𝑨 ∼𝒇 𝑩⟷ 𝑩 = 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… . 𝑬𝟐. 𝑬𝟏𝑨

Observaciones.

Una matriz A es equivalente a si misma porque que la identidad es una matriz elemental,

luego 𝐴 ∼𝑓 𝐵 porque A = I.A

Si 𝐴 ∼𝑓 𝐵 entonces 𝐵 ∼𝑓 𝐴 porque las elementales son invertibles. (Demuéstrelo como

ejercicio…). (use las inversas de las elementales)

Si 𝐴 ∼𝑓 𝐵 y 𝐵 ∼𝑓 𝐶 entonces 𝐴 ∼𝑓 𝐶. También lo puede demostrar…

Prestemos mucha atención a la siguiente definición:

(porque acá entre nosotros, le comento que tiene mucho que ver con la resolución de sistemas)

Una matriz 𝐴 𝜖 ℝ𝑚𝑥𝑛 se dice escalonada y reducida por filas si

cumple las siguientes condiciones:

1. Si tiene, digamos r filas no nulas, son las primeras. (o dicho

de otra forma, si tiene filas nulas, tienen que ser las últimas).

2. Llamamos elemento principal de una fila de una matriz, al

primer elemento no nulo de la fila. En esta matriz los

principales de cada fila son todos unos.

3. Los elementos principales aparecen de forma escalonada

descendente de izquierda a derecha. (la identidad es un caso

de este tipo de escalonamiento de elementos principales,

pero esto es más general).

4. En la columna del elemento principal de cada fila, el resto

de los elementos de esa columna, son todos ceros

Son ejemplos de matrices escalonadas y reducidas por filas: TODAS LAS MATRICES

NULAS DE CUALQUIER TIPO y TODAS LAS MATRICES IDENTIDADES DE

CUALQUIER ORDEN.

Ejercicio: Justifique la afirmación anterior usando los 4 puntos de la definición anterior.

Ejercicio:

Explique porqué las siguientes matrices son reducidas por filas y escalonadas, usando

los 4 puntos de la definición anterior:

𝐴 = (0 10 0

) , 𝐵 = (0 1 20 0 00 0 0

) , 𝐶 = (1 4 00 0 0

) ,𝐷 = (1 3 0 00 0 1 00 0 0 1

)

E =

(

1 00000

1000)

F =

(

1 3 5 00 0 0 1000

000

0 00 00 0)

Ejercicio:

a) Escribir 3 matrices escalonadas y reducidas por filas no cuadradas de distinto

tipo.

b) Escribir todas las matrices escalonadas y reducidas por filas de 2 x 2. ¿Cuántas

de ellas tienen dos filas no nulas?

c) Escribir matrices escalonadas y reducidas por filas de 3 x 3. ¿Cuántas de ellas

tienen tres filas no nulas?

d) Escribir todas las matrices escalonadas y reducidas por filas de 4 x 4, con 4 filas

no nulas.

Dada una matriz cualquiera A, una matriz equivalente por filas con A, dijimos

que era una matriz que se obtiene de A, por aplicación de un número finito de

operaciones elementales. (También por producto de elementales, pero eso no

resulta eficiente en la práctica)

Entonces si dada una matriz A, se desea encontrar una matriz

reducida por filas y escalonada, equivalente a A, que llamaremos

𝑨𝑹 , bastará con realizar sucesivas operaciones elementales,

teniendo en cuenta que las operaciones que realicemos estarán

guiadas por los 4 puntos de la definición, que está al inicio de la

página 18.

Ejemplo 1:

Hallar la matriz reducida por filas y escalonada, equivalente con A, es decir,

hallar 𝑨𝑹, teniendo en cuenta, los 4 puntos de la definición anterior, porque la

definen. Algunos autores llaman a la matriz reducida por filas y escalonada, equivalente con A, AR, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 REF de A, ya se

imagina porqué…)

(prestar atención al procedimiento para encontrar 𝑨𝑹. No es el único pero

al principio, conviene ir despacio y seguro, teniendo siempre en cuenta la

definición de la página 18, las cuatro propiedades).

Sea A = (2 2 2 42 −1 −1 11 2 −1 −3

) hallemos su equivalente por filas, 𝑨𝑹.

Necesitamos en el lugar: fila 1, columna 1, el principal de la primera fila y tiene

que ser 1.

La operación elemental para crear unos en una matriz es 𝑴𝒊(𝒄),

en este caso aplicaremos 𝑴𝟏(𝟏

𝟐)(𝑨)

(

1

2. 2

1

2. 2

1

2. 2

1

2. 4

2 −1 −1 11 2 −1 −3

) = (1 1 1 22 −1 −1 11 2 −1 −3

)

Seguidamente necesitamos los ceros en la columna del elemento principal que

acabamos de crear.

En general, la operación indicada para crear ceros es 𝑺𝒋𝒊(𝒄).

En nuestro caso necesitamos un cero en el lugar: fila 2, columna 1. Para

conseguirlo, aplicamos a la matriz obtenida en el paso anterior, la operación

indicada como 𝑺𝟏𝟐(−𝟐).

(1 1 1 2

2 − 2.1 −1 − 2.1 −1 − 2.1 1 − 2.21 2 −1 −3

) = (1 1 1 20 −3 −3 −31 2 −1 −3

)

Haremos un cero en el lugar: fila tres, columna 1de la última matriz obtenida:

𝑺𝟏𝟑(−𝟏)→ (

1 1 1 20 −3 −3 −3

1 − 1.1 2 − 1.1 −1 − 1.1 −3 − 1.2

) = (1 1 1 20 −3 −3 −30 1 −2 −5

)

Es el turno del principal de la segunda fila, necesitamos un 1 en el lugar: fila 2,

columna 2.

(1 1 1 20 −3 −3 −30 1 −2 −5

) 𝑀2(−

1

3)

→ (1 1 1 20 1 1 10 1 −2 −5

)

Hacemos ceros toda la columna del principal, obtenido en el paso anterior. Primero el

cero del lugar: fila 1, columna 2 y seguidamente el cero del lugar: fila 3, columna 2.

(1 1 1 20 1 1 10 1 −2 −5

)𝑆21(−1)→ (

1 − 0 1 − 1 1 − 1 2 − 10 1 1 10 1 −2 −5

) = (1 0 0 10 1 1 10 1 −2 −5

)

𝑆23 (−1)→ (

1 0 0 10 1 1 1

0 − 0 1 − 1 −2 − 1 −5 − 1

) = (1 0 0 10 1 1 10 0 −3 −6

)

Necesitamos el principal de la fila 3, el 1 en el lugar: fila 3, columna 3. Seguidamente

los ceros de la columna de dicho principal, solo falta el cero del lugar: fila 2, columna 3.

(1 0 0 10 1 1 10 0 −3 −6

) 𝑀 3 (−

1

3)

→ (1 0 0 10 1 1 10 0 1 2

)

𝑆32(−1)→ (

1 0 0 10 − 0 1 − 0 1 − 1 1 − 20 0 1 2

)=

=(1 0 0 10 1 0 −10 0 1 2

) esta matriz es la 𝑨𝑹 que buscábamos y cumple las 4 propiedades

requeridas porque así la construimos. (no hay mas filas, no hay más principales)

Ejemplo 2:

Dada la matriz 𝐴 = (1 1 −2 4 52 2 −3 1 33 3 −4 −2 1

) Hallar su matriz equivalente por filas,

reducida y escalonada que llamamos AR.

El principal de la fila 1, lugar: fila 1, columna 1ya lo tenemos. Hcemos los ceros de la

columna de esprincipal:

(1 1 −2 4 52 2 −3 1 33 3 −4 −2 1

) 𝑆12(−2)→ 𝑆13(−3)→

(1 1 −2 4 5

2 − 2.1 2 − 21 −3 − 2. (−2) 1 − 2.4 3 − 2.5

3 − 3.1 3 − 3.1 −4 − 3. (−2) −2 − 3.4 1 − 3.5) =

= (1 1 −2 4 50 0 1 −7 −70 0 2 −14 −14

) El principal de la fila 2 está en el lugar: fila 2, columna

3. Ahora hay que hacer ceros en la columna de ese principal:

(1 1 −2 4 50 0 1 −7 −70 0 2 −14 −14

) 𝑆21(2)→ 𝑆23(−2)→

(1 + 2.0 1 + 2.0 −2 + 2.1 4 + 2. (−7) 5 + 2. (−7)0 0 1 −7 −7

0 − 2.0 0 − 2.0 2 − 2.1 −14 − 2(−7) −14 − 2(−7))

= (1 1 0 −10 −90 0 1 −7 −70 0 0 0 0

)

Encontramos AR, es esta última matriz que cumple las 4 condiciones de la definición.

Teorema: Toda matriz es equivalente por filas a una matriz reducida por

filas y escalonada.

Este teorema afirma que a cualquier matriz A, mediante la aplicación de operaciones

elementales sucesivas, se le puede construir una AR equivalente por filas, como indica

la definición, es decir, que cumpla las 4 condiciones, paso a paso, como en los dos

ejemplos anteriores. Se puede demostrar este teorema, por inducción sobre el número de

filas de A. Además se cumple que esa matriz es única aunque se pueda llegar a ella a

través de distintas matrices elementales.

No lo demostraremos pero entenderemos bien lo que afirma.

Si en vez de pensar en operaciones elementales, pensamos en sucesivos productos de

matrices elementales correspondientes a cada una de las operaciones, tenemos que:

𝐴 ∼𝑓 AR si y sólo si 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1. . . 𝐸2 . 𝐸1. 𝐴 = AR donde

𝐸𝑖 es la matriz elemental correspondiente a la i_ésima operación elemental,

para todo i, desde 1 hasta k.

Definición: Dada una matriz cualquiera 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 el rango de A, es el

número de filas no nulas de 𝑨𝑹.

Observaciones: El rango de A es un número natural asociado a la matriz que no puede

superar a m, que es el número de filas de A.

Para calcular el rango de una matriz A, debemos hallar su matriz reducida por

filas y escalonada, equivalente por filas a la matriz A, es decir 𝑨𝑹 para saber

cuántas filas no nulas tiene.

Toda matriz A tiene rango. Porque a toda matriz se le puede calcular su 𝐀𝐑.

Ejercicio: Hallar el rango de las siguientes matrices:

𝐴 = (1 −3 45 1 0−2 6 −8

) , 𝐵 = (2 15 11 0

) , 𝐶 = (

0 2 1 00 0 2 57170140

281

)

Como ha entendido como calcular para cualquier matriz A, su correspondiente AR

Le resultará entendible lo siguiente:

Si A es una matriz cuadrada 𝒏𝒙𝒏, su equivalente por filas 𝐴𝑅, tiene sólo dos

posibilidades.

1. 𝐀𝐑 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑰𝒏𝒐

2. 𝐀𝐑 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒂𝒍𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒍𝒂 𝒏𝒖𝒍𝒂.

(Recuerde que estamos hablando de matrices cuadradas)

En el caso 1. Se tiene que: 𝐴 ∼𝑓 AR = 𝐼𝑛 eso significa que: 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1𝐴 = 𝐼𝑛

Si llamamos B = 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1, B es una matriz que es producto finito de matrices

elementales y al ser todas ellas invertibles y sabiendo que el producto de matrices

invertibles, da como resultado una matriz invertible, B es invertible. Además, vimos

que:(𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1)−1 = 𝐸1

−1. 𝐸2−1 . . . 𝐸𝑘−1

−1 . 𝐸𝑘−1 = 𝐵−1 (con lo que resulta ser

también 𝐵−1producto finito de matrices elementales)

Entonces tenemos que, como (𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1)𝐴 = 𝐼𝑛 entonces B.A = 𝐼𝑛 (parece que A

tiene inversa)

Si multiplicamos a ambos miembros de la igualdad a izquierda (ya que el producto no

es conmutativo en general) la igualdad se mantiene, con lo cual

𝐵−1. (B.A) = 𝐵−1. 𝐼𝑛 y como el producto de matrices es asociativo e 𝐼𝑛 , es el elemento

neutro del producto de matrices cuadradas nxn y B es invertible, se tiene:

(𝐵−1. B). A = 𝐵−1. 𝐼𝑛𝐼𝑛 . 𝐴 = 𝐵

−1

𝐴 = 𝐵−1

¡Entonces resulta que A, es la inversa de una matriz invertible!

Como la inversa de una matriz es única, A resulta invertible y su inversa es B.

Además si dos matrices son iguales 𝐴 = 𝐵−1 sus inversas también son iguales

𝐴−1 = (𝐵−1)−1 entonces 𝑨−𝟏 = 𝑩 (parece que estamos excedidos de argumentos!!)

Podemos concluir: en el caso 1 que: si 𝑨 ∼𝒇 𝑰𝒏, A resulta invertible y A tiene rango

n. (porque la identidad es reducida por filas y escalonada y tiene n filas no nulas)

y en el caso 2, como 𝐴 ∼𝑓 𝐴𝑅 y 𝐴𝑅 tiene alguna fila nula, sabemos que A no puede

tener rango n. Se puede probar que A no será invertible en el caso 2.

Lo que nos interesa realmente es:

i) Dada una matriz cuadrada cualquiera, determinar si es

invertible.

ii) Si es invertible, hallar su inversa.

Si tenemos una matriz cuadrada A y sólo queremos saber si es invertible, bastará con

encontrar 𝐴𝑅.

Si 𝑨𝑹 tiene una fila nula entonces A no es invertible.

Si 𝑨𝑹 = 𝑰𝒏 entonces A es invertible.

¿Cómo hallamos la inversa cuando sabemos que existe?

Sea A una matriz cuadrada tal que 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛 , entonces sabemos que es invertible y que

se cumple:

( 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1)𝐴 = 𝐼𝑛, y como vimos más arriba que 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏= 𝑨−𝟏

Consideremos la matriz del siguiente esquema:

(𝐴 | 𝐼𝑛 )

Hacemos operaciones elementales como si fuera una sola matriz de 2n columnas y n

filas.

Las operaciones las elegimos como las que le aplicamos a la matriz A para llegar a 𝐼𝑛.

Como realizar operaciones elementales sobre las filas de una matriz es lo mismo que

premultiplicar por matrices elementales correspondientes, se tendrá el siguiente

esquema que resulta de hacer simultáneamente operaciones sobre las dos matrices,

como si fuesen una única matriz, lo indicamos en el esquema:

(𝐸1.A |𝐸1. 𝐼𝑛 ) →( 𝐸2. 𝐸1. 𝐴| 𝐸2. 𝐸1. 𝐼𝑛 ) 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠....→

(𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏 . 𝑨| 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏. 𝐼𝑛 ) → (𝐼𝑛 |𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏 … . 𝑬𝟐. 𝑬𝟏 ) =

=(𝐼𝑛 |𝐴−1)

Encontramos un camino para hallar la inversa de una matriz, si dicha matriz es

invertible!

En la práctica no usaremos matrices elementales. Lo haremos con operaciones

elementales, que proporcionan resultados idénticos.

(recuerde que habíamos dicho que las matrices elementales tienen interés teórico)

Ejemplos:

Hallar la inversa de 𝐴 = (2 6 −41 4 12 6 1

).

Procedemos así, armamos la matriz (𝐴 | 𝐼3 ): (2 6 −41 4 12 6 1

|1 0 00 1 00 0 1

) y realizamos

operaciones sobre las filas de esta matriz, teniendo en cuenta que buscamos obtener la

matriz identidad, en el lugar que colocamos la matriz A:

(2 6 −41 4 12 6 1

|1 0 00 1 00 0 1

)𝑀2 (

1

2 )

→

(1 3 −21 4 12 6 1

|

12 0 0

0 1 00 0 1

) 𝑆1 2 (−1)→ 𝑆1 3 (−2)→

(

1 3 −20 1 30 0 5

||

12 0 0

−12 1 0

−1 0 1)

𝑆2 1 (−3)→ (

1 0 −110 1 30 0 5

|

2 −3 0−1

21 0

−1 0 1

) 𝑀3 (

15 )

→ (1 0 −110 1 30 0 1

|

2 −3 0−1

21 0

−1

50

1

5

)

𝑆2 1 (11)→ 𝑆3 1 (−3)→

(

1 0 00 1 00 0 1

|

|

−15 −3

115

110 1 −

35

−15 0

15 )

Hallamos la matriz inversa de A, 𝑨−𝟏 =

(

−𝟏

𝟓−𝟑

𝟏𝟏

𝟓𝟏

𝟏𝟎𝟏 −

𝟑

𝟓

−𝟏

𝟓𝟎

𝟏

𝟓

)

Ejercicio: Comprobar que la matriz hallada es la inversa de A.

Ejercicio:

Hallar el rango y las inversas de las siguientes matrices.

(2 15 −3

), (5 0 00 −2 00 0 1

) y (

2 0 0 03 1 5 72041−30

02

)

Resolución de sistemas lineales de m ecuaciones y n

incógnitas.

Habíamos dicho que:

Todo sistema

{


𝑎𝑚1𝑥1 +⋮ ⋮ ⋮


de m ecuaciones y n incógnitas puede

expresarse matricialmente como:

A.X = B y dijimos también, que podíamos prescindir de las incógnitas y pensarlo

matricialmente de la forma:

(

𝑎11 𝑎12……𝑎21 𝑎22…... .

⋮

𝑎𝑚1

. .

⋮

𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛. .

⋮

𝑎𝑚𝑛

||

𝑏1𝑏2⋮⋮𝑏𝑚)

donde A𝜖ℝ𝑚𝑥𝑛 es la matriz de los coeficientes A=

(

𝑎11 𝑎12……𝑎21 𝑎22…... .

⋮

𝑎𝑚1

. .

⋮

𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛. .

⋮

𝑎𝑚𝑛 )

y

B∈ ℝ𝑚𝑥1, es la matriz de los términos independientes 𝐵 =

(

𝑏1𝑏2⋮⋮𝑏𝑚)

Resolver un sistema es hallar una matriz 𝑿∗ ∈ ℝ𝑛𝑥1, tal que 𝑨. 𝑿∗ = 𝑩.

Cuando resolvimos aquellos ejemplos del principio del apunte, se partió de un sistema y

luego de un determinado número de operaciones, se resolvió un sistema que

formalmente no es el mismo (en cuanto a su apariencia) pero habíamos comprobado

que las soluciones del último sistema eran exactamente las mismas que el original.

Vamos a tratar de justificar un poco este hecho, sin excesiva rigurosidad sólo para

entender porqué podremos resolver los sistemas, de la forma que lo haremos.

Definición: Dados dos sistemas, 𝑨𝟏. 𝑿 = 𝑩𝟏 y 𝑨𝟐. 𝑿 = 𝑩𝟐 son equivalentes si

tienen exactamente el mismo conjunto solución.

Esto significa que toda solución de 𝐴1. 𝑋 = 𝐵1 es solución de 𝐴2. 𝑋 = 𝐵2 y además,

toda solución de 𝐴2𝑋 = 𝐵2 es solución de 𝐴1𝑋 = 𝐵1.

Notación: Dos sistemas 𝐴1. 𝑋 = 𝐵1 y 𝐴2. 𝑋 = 𝐵2 equivalentes se indicarán por:

𝐴1. 𝑋 = 𝐵1 ~ 𝐴2. 𝑋 = 𝐵2

Es sencillo ver que:

. Todo sistema es equivalente a si mismo.

. Si se tienen dos sistemas equivalentes, digamos que el primero es equivalente al

segundo, entonces el segundo es equivalente al primero. (esto tiene que ver con que las matrices

elementales son invertibles)

. Si se tienen tres sistemas tales que, el primero es equivalente al segundo y el segundo

al tercero entonces resulta que, el primero es equivalente al último.

Puede demostrar lo siguiente, usando matrices elementales:

Teorema de equivalencia de sistemas:

Sean 𝑨𝟏. 𝑿 = 𝑩𝟏 𝐲 𝑨𝟐. 𝑿 = 𝑩𝟐 dos sistemas de m ecuaciones y n incógnitas tales

que 𝑨𝟐 y 𝑩𝟐 se obtuvieron de aplicar respectivamente sobre 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏 la misma

operación elemental, entonces ambos sistemas son equivalentes.

Y lo que enunciaremos a continuación en forma de corolario del teorema anterior (sería la

forma matricial del teorema), será lo que justifique el método de resolución de sistemas que

aplicaremos. Este método se conoce como:

Método de eliminación Gaussiana o método de Gauss- Jordan.

Antes recordemos qué significa que dos matrices sean equivalentes por filas:

𝐴1 ∼f 𝐴2 ⟷𝐴2 = Ek. Ek−1… . E2. E1. 𝐴1

(esto significa que una se obtiene de la otra, por aplicación de un número finito de operaciones elementales, es decir por producto

finito de matrices elementales, correspondientes a dichas operaciones)

También puede demostrar el siguiente …

Corolario:

Sean 𝑨𝟏. 𝑿 = 𝑩𝟏 𝐲 𝑨𝟐. 𝑿 = 𝑩𝟐 dos sistemas de m ecuaciones y n

incógnitas tales que 𝑨𝟏 ∼𝐟 𝑨𝟐 y 𝑩𝟏 ∼𝐟 𝑩𝟐 .

Si 𝑨𝟐 y 𝑩𝟐 se obtienen de 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏 luego de aplicar las mismas

operaciones sobre las filas de 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏, respectivamente. Entonces

ambos sistemas son equivalentes.

Ahora sí, vamos a hacer lo que vinimos a hacer!!: resolver cualquier tipo de sistemas,

interpretando los distintos tipos de solución, que estos puedan tener.

Ejemplos:

Resolver los siguientes sistemas:

1. {

2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 42𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3

⇔ (2 2 22 −1 −11 2 −1

|41−3)

Se aplicarán operaciones elementales para llevar a la matriz A de los

coeficientes a su reducida por filas y escalonada, equivalente por filas, 𝐴𝑅.

Como se mencionó antes, si esas mismas operaciones se realizan sobre la matriz

B de los términos independientes, en cada paso se obtendrán sistemas

equivalentes.

(2 2 22 −1 −11 2 −1

|41−3)

𝑀1(1

2)

→ (1 1 12 −1 −11 2 −1

|21−3) 𝑆12(−2)→ 𝑆13(−3)→

(1 1 10 −3 −30 1 −2

|2−3−5)

𝑀2(−

1

3)

→ (1 1 10 1 10 1 −2

|21−5)𝑆21(−1)→ 𝑆23(−1)→

(1 0 00 1 10 0 1

|112)

𝑆32(−1)→ (

1 0 00 1 00 0 1

|1−12)

Este sistema es equivalente al dado.

La solución es única y es (𝑥∗

𝑦∗

𝑧∗) = (

1−12) o si prefiere por igualdad de matrices:

𝑥∗ = 1, 𝑦∗ = −1, 𝑧∗ = 2 (puede comprobar que es cierto)

2. {

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 22𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 13𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = − 1

3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 5

este sistema se lo dejamos para que lo resuelva de la misma forma que el

anterior pero le damos la solución única que encontramos: 𝑥∗1 = −45

11 , 𝑥∗2 =

16

11 , 𝑥∗3 = −

37

11, 𝑥4

∗ = 8 (hágalo ya porque mañana podría ser demasiado tarde)

3. {𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 4𝑡 = 52𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 𝑡 = 33𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 − 2𝑡 = 1

Como siempre construimos la matriz ampliada (𝐴|𝐵) y aplicamos operaciones

elementales sobre las filas de la ampliada hasta obtener la matriz (𝐴𝑅|�̃�).

(𝐴|𝐵) =

= (1 1 −2 42 2 − 3 13 3 − 4 − 2

|531

) 𝑆12(−2)

→ 𝑆13(−3)

→

(1 1 −2 40 0 1 − 70 0 2 − 14

|5− 7− 14

)𝑆23(−2)

→ (1 1 −2 40 0 1 − 70 0 0 0

|5− 70

)

𝑆21(2)→ (

1 1 0 − 10

0 0 1 − 7

0 0 0 0

|−9

− 7

0

)

La última matriz obtenida corresponde a un sistema equivalente al dado.

Cualquier sucesión de operaciones elementales elegidas, no necesariamente

estas, dan como resultado la misma matriz, porque 𝐴𝑅 es única.

Escribiendo el sistema equivalente correspondiente:

(1 1 0 − 100 0 1 − 70 0 0 0

) . (

𝑥𝑦𝑧𝑡

) = (− 9−70) que puede verse como

{𝑥 + 𝑦 − 10𝑡 = − 9𝑧 − 7𝑡 = − 7

Del que se obtiene {𝑥 = − 9 − 𝑦 + 10𝑡𝑧 = − 7 + 7𝑡

las letras y, t son variables digamos “libres”, (en el sentido, libres porque pueden tomar cualquier

valor real) esto se indica como:

𝑦 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ. En cambio x , z son dependientes porque dependen de los valores

elegidos para para y y para t.

El hecho de que tengamos al menos una variable libre, produce que las

soluciones sean infinitas.

Es decir, el conjunto solución del sistema será un conjunto infinito. Vamos a

expresar el conjunto solución por comprensión. Tengamos en cuenta para ello, que

como es un sistema de 4 incógnitas, las soluciones tendrán forma de un vector de 4

componentes. Resulta entonces el siguiente conjunto solución:

𝑆 = {(− 9 − 𝑦 + 10𝑡, 𝑦, − 7 + 7𝑡, 𝑡 ): 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ }.

Si uno va entendiendo que este sistema tiene infinitas soluciones, tendría que ser capaz

de mostrar al menos, una solución particular. Se lo dejamos como ejercicio muy

importante, para que usted lo resuelva, encontrando un valor de x, uno de y, otro de z y

otro de t. O, si le parece, una 4-upla o vector de 4 componentes, pero que sea solución!

4. {

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 13𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 52𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3

lo llevamos a la forma (𝐴 | 𝐵) y aplicando sucesivas

operaciones elementales adecuadas lo llevamos a la forma (𝐴𝑅| �̃�).

(1 1 23 2 12 1 − 1

|153)𝑆12(−3)

→ 𝑆13(−2)

→

(1 1 20 − 1 − 50 − 1 − 5

|121)𝑆23(−1)

→ (1 1 20 − 1 − 50 0 0

|12− 1)

En el sistema equivalente que se obtiene, la última ecuación se interpreta así:

0.x + 0.y + 0.z = - 1 equivale, cualesquiera sean x, y, z, a la igualdad FALSA:

0 = 1

Esto prueba que el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.

Sistemas homogéneos.

Definición: Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas es homogéneo si

todos los términos independientes son cero.

Su forma matricial es A.X = 0, donde 0 indica la matriz columna nula, de m

filas.

Todo sistema homogéneo tiene solución. Porque si se reemplazan todas las

incógnitas por cero, se obtiene una igualdad en todas las ecuaciones.

Esta situación ocurre en cualquier sistema homogéneo, por eso se conoce a la

solución “nula” como la solución trivial de todo sistema homogéneo.

Un sistema homogéneo puede tener infinitas soluciones y entre ellas siempre

se tendrá a la solución trivial. (entonces nunca pero nunca! ocurrirá que un sistema homogéneo no tenga solución, por la trivial, vió?)

Sistemas de ecuaciones lineales · un método eficiente para resolver sistemas de ecuaciones...

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