SISTEMAS DINAMICOS

EJERCICIOS PROPUESTOS EN CLASE

PRESENTADO POR

HAROLD DEIVI CONTRERAS CONTRERAS hadeicont_1110@hotmail.com

PRESENTADO A

Dr. SIMEON CASANOVA TRUJILLO

scasanovat@unal.edu.co

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MANIZALES – UNIVERSIDAD DE SUCRE

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES – FACULTAD DE EDUCACION Y CIENCIAS

MAESTRIA EN MATEMATICAS APLICADAS

SINCELEJO

2013

EJERCICIOS

( { } (

1

supx

A Ax

0supx

Ax

x

AB A B

c) Pruebe que mmA A

d) Pruebe que 1( )A Ae e

e) Pruebe que A AAe e A

f) Pruebe que A B A Be e e , si AB=BA.

5. Sea p un punto fijo de f, f diferenciable en p.

i) si |f´(p)|<1 entonces p es atractor.

ii) si |f´(p)|>1 entonces p es repulsor.

iii) si |f´(p)|=1, el criterio no decide.

6. Si p es un punto fijo de f, f(p)=p, la cuenca de atracción de (o base de atracción) de p es el

conjunto ( )/ ( )n

pB x f x p

SOLUCION EJERCICIOS

i) (

ii) ( (

iii) ( ( ( ( (

(

( { } (

(

( (

( (

:

(

1

supx

A Ax

0supx

Ax

x

Sea M= 0supx

Ax

x , entonces

AxM

x 0x . En particular M Ax x tal que 1x ,

con lo que 1

supx

M Ax

. Recíprocamente, si 1

supx

M Ax

, entonces M Ax x tal

que 1x . Sea x un vector no nulo arbitrario, entonces x

x es un vector unitario, de modo

que Axx

M Ax x

. Por lo tanto 0supx

AxM

x

AB A B

Ay A y

0supx

AxA

x

Ay

y Ay A y

x 1x AB ABx

Ahora aplicando * dos veces, tenemos:

0AB ABx A Bx A B x A B

c) Pruebe que mmA A

Dm:

Hagamos inducción sobre m y aplicando el ejercicio anterior tenemos:

i) Si m=1, es claro que 11A A . Ahora si m=2 tenemos

22A AA A A A

ii) Supongamos que la propiedad se cumple para n=k –1. Es decir, 11 kkA A

iii) Veamos que se cumple para n=k. 1 1 11 1 k k kk k kA A A A A A A A A

Así kkA A

Por i), ii) e iii), tenemos que mmA A

d) Pruebe que 1( )A Ae e

Dm:

Note que 1 1 0( ) ( )A A A Ae e e e e I , por ser 1( )Ae la inversa de Ae .

Además, ( ) 0( )A A A A A Ae e e e e I . Luego por la unicidad de la inversa, tenemos

1( )A Ae e .

e) Pruebe que A AAe e A

Dm:

AAe =2 3 1

2

0

... ... ... ...! 2! ! 2! !

k i i

k

A A A A AA A I A A A

k i i

=3 1

2 ... ...2! !

iA AA A

i

=2

... ...2! !

iA AI A A

i

= 0 !

k

k

AA

k

= Ae A

f) Pruebe que A B A Be e e , si AB=BA.

Dm:

Note que como AB=BA, entonces 2 2 2 2 2( ) 2A B A AB BA B A AB B .

Similarmente para la serie de potencias

1! !( ) ... ...

( 1)!1! ( )! !

n n n n k k nn nA B A A B A B B

n n k k

Ahora:

A Be = 2 31 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

2! 3! !

nI A B A B A B A Bn

= 2 2 3 2 2 31 1 3! 3!( ) ( 2 ) ( ) ...

2! 3! 2!1! 1!2!I A B A AB B A A B AB B

… 1 2 21 ! !( ... ) ...

! ( 1)!1! ( 2)!2!

n n n nn nA A B A B B

n n n

= 2 2 3 2 2 31 1 1 1 1 1( ) ...

2! 2! 3! 2! 2! 3!I A B A AB B A A B AB B

… 1 2 21 1 1 1 1... ...

! ( 1)! ( 2)! 2! !

n n n nA A B A B Bn n n n

= 2 21 1... ...

2! 2!I A A I B B

= A Be e

5. Sea p un punto fijo de f, f diferenciable en p.

i) si |f´(p)|<1 entonces p es atractor.

ii) si |f´(p)|>1 entonces p es repulsor.

iii) si |f´(p)|=1, el criterio no decide.

Dm:

i) 0

( ) ( ) ( ) ( )(́ ) lim lim

h x p

f p h f p f x f pf p

h x p

. Luego existe una vecindad V(p), tal que

( ) ( )1

f x f pA

x p

Para algún A V, pues |f´(p)|<1 de donde ( ) ( )f x f p A x p

Para cada x esto significa que ( ) ( ) ( )f x p f x f p A x p *

Así que f(x V(p), porque 0 < A < 1. Así f(x) está tan cerca de p como x. sea x un punto fijo en

V, si ( ) ( )nf x =p para algún n, entonces ( ) ( )nf x p cuando n∞, así que vamos a suponer

desde ahora que ( ) ( )nf x p para todo n. Ahora se probará por inducción que

( ) ( )n nf x p A x p para todo n 1. En efecto:

1. si n=1, entonces es claro que ( ) ( )f x f p A x p pues ya se dijo ante (*).

2. Supongamos que se cumple para n=k, es decir, ( ) ( )k kf x p A x p

3. Veamos que se cumple para n=k+1. ( 1) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( | |)k k k nf x p f f x p A f x p A A x p así que

( 1) 1( )k kf x p A x p . Por tanto se cumple que ( ) ( )n nf x p A x p

para todo n 1. Observe que An→0 cuando n→∞y esto implica que ( ) ( )nf x →p,

para todo x V(p).

ii) 0

( ) ( ) ( ) ( )(́ ) lim lim

h x p

f p h f p f x f pf p

h x p

. Luego existen una constante positiva A

>1 y una vecindad V(p), tal que si x V(p) y x , entonces

( ) ( )1

f x f pA

x p

, por tanto ( ) ( )f x f p A x p para todo x V(p), es decir,

( ) ( ) ( )f x p f x f p A x p **

Así f(x)V(p), pues A>1. Es decir, f(x) no está próximo a p.

Sea x un punto fijo en V(p). Probemos que ( ) ( )n nf x p A x p para todo n 1.

1. Para n=1, es claro que ( )f x p A x p por **.

2. Supongamos que la propiedad se cumple para n=k, es decir, ( )k kf x p A x p

3. Probemos que se cumple para n=k+1. ( 1) ( ) ( )( ) ( ( )) | ( ) | ( | |)k k k kf x p f f x p A f x p A A x p , es decir,

( 1) ( )kf x p > 1(| |)kA x p

Luego se cumple que ( ) ( )n nf x p A x p para todo n 1.

Por tanto ( ) ( ) ( )nf x V p , y así p es repulsor.

iii) Si |f´(p)|=1 entonces hay dos posibilidades:

1(́ )

1f p

, si se da lo primero, entonces todos los puntos de f son fijos, por lo que ninguno

se atrae o se repele, si ocurre lo segundo, entonces 0 es un punto fijo. No es atractor ni

repulsor, todos los demás puntos son periódicos de periodo 2, por lo cual ninguno se aleja o se

acerca al 0, así que no hay puntos repulsores ni atractores.

6. Si p es un punto fijo de f, f(p)=p, la cuenca de atracción de (o base de atracción) de p es el

conjunto ( )/ ( )n

pB x f x p .

Si f(x) = x2, B0= (-1,1). Calcule B1.

Sln: f´(x)=2x, entonces |f´(1)|>1. Entonces aplicando el criterio ii del ejercicio anterior,

tenemos que 1 es un punto repulsor, y así, el único punto que está en B1 es 1.