Determine h y k de tal manera que el conjunto solucin del sistema (i) sea vaco, (ii) contenga una solucin nica y (iii) con

UNIVERSIDAD DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO: COMPLEMENTOS DE LGEBRA

PRACTICA N 5Viernes 7 de noviembre de 2008 Hora: 3:00 P.M.

Duracin: 2 h.

NOMBRE:...................................................................

SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA

1. Sean: , , , , ,

a. Si , encuentre la dimensin y una base para H.(2 puntos)b. Si , encuentre la dimensin y una base para el espacio nulo de la matriz A.

(2 puntos)c. Determine si est en el espacio nulo de la matriz A.

(1 punto)d. Determine si est en H.

(1 punto)2. Sean:

, , ,

a. Encuentre una base para tal que P sea la matriz de cambio de coordenadas de a la base . (Sugerencia: Qu representan las columnas de P?(

(3 puntos)b. Encuentre una base para tal que P sea la matriz de cambio de coordenadas de a la base .

(2 puntos)3. En , encuentre la matriz de cambio de coordenadas de la base a la base cannica . Despus encuentre el vector coordenadas para .(2.5 puntos)4. Sea el conjunto de todas las matrices de la forma . Demuestre que: es una base de V.(2.5 puntos)5. Marque cada proposicin como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.a. Una base es un conjunto linealmente independiente lo ms grande posible.

b. El conjunto solucin de es un subespacio lineal.

c. Si B es cualquier forma escalonada de A, entonces las columnas pivote de B forman una base para el espacio columnas de A.

d. Si est en un espacio vectorial V, si es una base para V y contiene n vectores, entonces el vector coordenadas de est en .

Nota: - Slo se corregir las respuestas que hayan sido justificadas.

- Slo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

(1 punto c/u)SolucinPregunta 1.a) para encontrar la dimensin y una base para hallamos la forma escalonada de la matriz

( Forma Escalonada

Como la forma escalonada tiene 3 pivotes entonces la dimensin de H es 3, en realidad . Los vectores columna L.I son las columnas 1, 2 y 4. Por tanto una base para H es:

b) ; es la solucin de . Hallamos la solucin del sistema homogneo. Continuamos hallando la forma escalonada reducida:

Entonces: (

. Por tanto

La dimensin de es 1 y una base para seria

c) ; como , no est en .

d) est en H si se puede expresar como combinacin lineal de . Como generan entonces est en H.

Pregunta 2.a) Sean las bases: y .

Como P es la matriz de cambio de coordenadas de la base U a la base V, entonces sus vectores columnas estn expresados en la base V y representan los vectores en base V . Por tanto P sera:

El vector est formado por los escalares en la combinacin lineal de los vectores para formar :

, es decir si , entonces:

, de igual manera:

Reemplazando:

Entonces la base U ser:

b) Tenemos que

Hallamos :

Entonces:

,

Reemplazando:

Por tanto

Pregunta 3.La matriz de cambio de coordenadas de la base B a la base cannica es formada por los vectores de la base B

El vector B-coordenadas para -1+2x est formado por los escalares de la combinacin lineal de los polinomios de B para obtener el polinomio -1+2x:

Usando el isomorfismo:

Por tanto

Pregunta 4.Tenemos que demostrar que las matrices de B son L.I. y genera V.

Las matrices son linealmente independientes si generan la matriz nula con unicidad. Usamos el isomorfismo vectorial:

Como la matriz tiene 1 pivote en cada columna entonces los vectores son L.I. por tanto las matrices son L.I.

Tenemos que demostrar que los vectores equivalentes de las matrices de B generan el subespacio V.

De donde los vectores generadores de V son las matrices equivalentes serian:

EMBED Equation.3 Por tanto la base para V es: ... demostrado.

Pregunta 5.a. Verdadero. Una base es un conjunto linealmente independiente lo ms grande posible porque cualquier vector del espacio correspondiente se puede expresar como combinacin lineal de los vectores de la base, por tanto si se agrega un vector ms al conjunto formado por los vectores de la base entonces ese nuevo conjunto ya ser linealmente dependiente.a. Verdadero. El conjunto solucin de es un subespacio lineal porque satisface las condiciones de un subespacio lineal, es decir si y son dos vectores del conjunto solucin de , entonces se cumple que y (c es un escalar) pertenecen al conjunto solucin de . Demostracin:

Si a la solucin de

Si a la solucin de

Para demostrar que pertenece al conjunto solucin de , tenemos que demostrar que

Usando las propiedades de la multiplicacin de matrices tenemos:

, entonces pertenece al conjunto solucin de .Por ltimo:

, entonces tambin pertenece al conjunto solucin de

b. Falso. Porque para formar una base para el espacio columnas de A debemos tomar las columnas linealmente independientes de A y no de B. Las columnas pivote de la forma escalonada B nos da la posicin en las que se encuentran las columnas de A linealmente independientes.c. Verdadero. Porque el vector coordenadas de est formado por los escalares de la combinacin lineal de los vectores de la Base para formar el vector y si tiene n vectores entonces van a existir n escalares en la combinacin lineal y por tanto el vector coordenadas de est en .

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