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SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas

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SOLUCIONARIO: SECCIONES CÓNICAS PRIMERA PARTE

I. Expresar la ecuación en forma canónica y graficarla.

1. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟔 = 𝟎 RESOLUCIÓN:

Complete cuadradados para x e y.

(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 6 = 0

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 4

Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 2

C: centro de la circunferencia

2. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎

RESOLUCIÓN:


(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 − 15 = 0

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25

Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 5



1

3. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎 RESOLUCIÓN:


(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 10 = 0

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 0

Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 0

4. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 − 𝟏 = 𝟎 RESOLUCIÓN:

Dividimos entre 3 a todo

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 −1

3= 0


𝑥2 + (𝑦 − 1)2 − 1 = 0

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25

Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 5



1

5. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎

RESOLUCIÓN:


𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 −3

2= 0


(𝑥 − 1/2)2 −1

4+ (𝑦 −

1

2)

2

−1

4− 3/2 = 0

(𝑥 − 1/2)2 + (𝑦 −1

2)

2

= 2

Según esto: 𝐶(1/2; 1/2) , 𝑟 = √2

6. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 RESOLUCIÓN:


𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 +𝑦

2−

1

4= 0


(𝑥 − 1/2)2 −1

4+ (𝑦 +

1

4)

2

−1

16− 1/4 = 0

(𝑥 − 1/2)2 + (𝑦 − 1/4)2 = 9/16

Según esto: 𝐶(1

2; −1/4) , 𝑟 = 3/4



1

7. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝟎𝒚 − 𝟕 = 𝟎 RESOLUCIÓN:


𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 +5𝑦

2−

7

16= 0


(𝑥 + 1/2)2 −1

4+ (𝑦 +

5

4)

2

−25

16− 7/16 = 0

(𝑥 +1

2)

2

+ (𝑦 +5

4)

2

=9

4

Según esto: 𝐶(−1

2; −5/4) , 𝑟 = 3/2

8. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎 RESOLUCIÓN:


(𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 1)2 − 1 + 3 = 0

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 2

Según esto: 𝐶(2; −1) , 𝑟 = √2



1

II. Representa la gráfica de la ecuación dada

9. 𝒙𝟐

𝟐𝟓+

𝒚𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

RESOLUCIÓN:

Identificamos:

𝑎 = 5

𝑏 = 4

𝑐 = 3

Centro (0,0)

Eje mayor horizontal

10. 𝒙𝟐

𝟗+

𝒚𝟐

𝟒= 𝟏

RESOLUCIÓN:

Identificamos:

𝑎 = 3

𝑏 = 2

𝑐 = √5

Centro (0,0)




1

11. 𝒙𝟐

𝟏𝟔+

𝒚𝟐

𝟐𝟓= 𝟏

RESOLUCIÓN:

Identificamos:

𝑎 = 5

𝑏 = 4

𝑐 = 3

Centro (0,0)

Eje mayor vertical

12. 𝒙𝟐

𝟒+

𝒚𝟐

𝟗= 𝟏

RESOLUCIÓN:

Identificamos:

𝑎 = 3

𝑏 = 2

𝑐 = √5

Centro (0,0)

Eje mayor vertical



1

13. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 RESOLUCIÓN:

Dando la forma canonica.

𝑥2/9 + 𝑦2/16 = 1

Identificamos:

𝑎 = 4

𝑏 = 3

𝑐 = √7

Centro (0,0)

Eje mayor vertical

14. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟔 RESOLUCIÓN:


𝑥2/3 + 𝑦2/2 = 1

Identificamos:

𝑎 = √3

𝑏 = √2

𝑐 = 1

Centro (0,0)




1

15. 𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 RESOLUCIÓN:


𝑥2/(1

4) + 𝑦2/1 = 1

Identificamos:

𝑎 = 1

𝑏 = 1/2

𝑐 = √3/4

Centro (0,0)

Eje mayor vertical

16. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏 RESOLUCIÓN:


𝑥2/1 + 𝑦2/(1/16) = 1

Identificamos:

𝑎 = 1

𝑏 = 1/4

𝑐 = √15/4

Centro (0,0)




1

17. (𝒙−𝟏)𝟐

𝟐𝟓+

(𝒚+𝟐)𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

RESOLUCIÓN:

Identificamos:

𝑎 = 5

𝑏 = 4

𝑐 = 3

Centro (1,-2)


18. (𝒙+𝟓)𝟐

𝟒+

(𝒚−𝟑)𝟐

𝟗= 𝟏

RESOLUCIÓN:

Identificamos:

𝑎 = 3

𝑏 = 2

𝑐 = √5

Centro (-5,3)

Eje mayor vertical



1

19. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝒚 + 𝟒 = 𝟎

RESOLUCIÓN:

Expresamos en su forma canónica

(𝑥 − 1)2

0.56+

(𝑦 + 1/2)2

0.25= 1

Identificamos:

𝑎 = 3/4

𝑏 = 1/√2

𝑐 = √17/4

Centro (1,-1/2)


20. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟗𝟔𝒙 + 𝟑𝟔𝒚 + 𝟑𝟔 = 𝟎

RESOLUCIÓN:


(𝑥 + 3)2

9+

(𝑦 + 2)2

16= 1

Identificamos:

𝑎 = 4

𝑏 = 3

𝑐 = √7

Centro (-3,-2)

Eje mayor vertical



1

21. 𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎

RESOLUCIÓN:


(𝑥 + 3)2

9+

(𝑦 + 2)2

16= 1

Identificamos:

𝑎 = 4

𝑏 = 3

𝑐 = √7

Centro (-3,-2)

Eje mayor vertical

22. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟑𝟏 = 𝟎

RESOLUCIÓN:

Expresamos en su forma

canónica

(𝑥 − 2)2

1+

(𝑦 + 1)2

9/4= 1

Identificamos:

𝑎 = 4

𝑏 = 3

𝑐 = √13/2

Centro( 2,1)

Eje mayor vertical



1

23. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟗 = 𝟎 RESOLUCIÓN:


(𝑥 − 3)2

4+

(𝑦 + 1)2

3= 1

Identificamos:

𝑎 = 2

𝑏 = √3

𝑐 = 1

Centro( 2,1)


24. Hallar ecuación de circunferencia que pasa por: (𝟏, 𝟐), (−𝟏, 𝟐)𝒚 (𝟐, 𝟏)

RESOLUCIÓN: Evaluando cada punto: (1,2): (1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = 𝑟2…(1) (−1,2): (−1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = 𝑟2 …(2) (2,1): (2 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 = 𝑟2…(3) Encontrems el centro 𝑐(ℎ, 𝑘) Con: (1) = (2) (1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = (−1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2

(1 − ℎ)2 − (1 + ℎ)2 = 0 4ℎ = 0 → ℎ = 0 Con: (2)=(3) (−1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2

= (2 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 1 + 2ℎ + ℎ2 + 4 − 4𝑘 + 𝑘2 = 4 − 4ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘 + 𝑘2 6ℎ = 2𝑘 como ℎ = 0 → 𝑘 = 0 Centro 𝐶(0,0) La ecuacion se reduce a.

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ahora encontramos r , con (1,2)

12 + 22 = 𝑟2

𝑟 = √5 ∴ 𝑬 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓



1

25. Hallar ecuación de circunferencia que pasa por: (𝟒, 𝟑), (−𝟐, −𝟓)𝒚 (𝟓, 𝟐)

RESOLUCIÓN:

Evaluando cada punto:

(4,3): (4 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = 𝑟2…(1)

(−2, −5): (−2 − ℎ)2 + (−5 − 𝑘)2 = 𝑟2 …(2)

(5,2): (5 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = 𝑟2…(3)

Encontremos el centro 𝑐(ℎ, 𝑘)

Con: (1) = (2)

(4 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = (−2 − ℎ)2 + (−5 − 𝑘)2

16 − 8ℎ + ℎ2 + 9 − 6𝑘 + 𝑘2 = 4 + 4ℎ + ℎ2 + 25 + 10𝑘 + 𝑘2

16𝑘 + 12ℎ = −4

4𝑘 + 3ℎ = −1…(*)

Con: (2)=(3)

(−2 − ℎ)2 + (−5 − 𝑘)2 = (5 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2

4 + 4ℎ + ℎ2 + 25 + 10𝑘 + 𝑘2 = 25 − 10ℎ + ℎ2 + 4 − 4𝑘 + 𝑘2

14𝑘 + 14ℎ = 0

ℎ = −𝑘…(**)

Luego: (**) en …(*)

−4ℎ + 3ℎ = −1

→ ℎ = 1 , 𝑘 = −1

Centro 𝐶(1, −1)

La ecuación se reduce a.

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 𝑟2

Ahora encontramos r , con (4,3)

(4 − 1)2 + (3 + 1)2 = 𝑟2

9 + 16 = 𝑟2

𝑟 = 5

∴ 𝑬 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓



1

26. Hallar ecuación de circunferencia que pasa por: (𝟒, 𝟏), (𝟔, 𝟑) 𝒚 𝒓 = √𝟏𝟎

RESOLUCIÓN:

Con: (x − ℎ)2 + (y − 𝑘)2 = r2

Evaluando cada punto para encontrar 𝐶(ℎ, 𝑘) :

(4,1): (4 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 = 10…(1)

(6,3): (6 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = 10 …(2)

Con: (1) = (2)

(4 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 = (6 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2

16 − 8ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘 + 𝑘2 = 36 − 12ℎ + ℎ2 + 9 − 6𝑘 + 𝑘2

4ℎ + 4𝑘 = 28

ℎ + 𝑘 = 7 de aquí: 𝑘 = 7 − ℎ… (*)

Luego (*) en desarrollo de (2)

(6 − ℎ)2 + (3 − 7 + ℎ)2 = 10

36 − 12h + ℎ2 + 9 + 16 − 8ℎ + ℎ2 = 10

2ℎ2 − 10ℎ + 42 = 0

Factorizando queda:

(ℎ − 7)(ℎ − 3) = 0 → ℎ1 = 7 , ℎ2 = 3

Con esto (*):

ℎ1 = 7 , 𝑘1 = 0 → 𝐶1 = (7,0)

ℎ2 = 3 , 𝑘2 = 4 → 𝐶1 = (3,4)

Que son dos circunferencias de ecuaciones:

𝐶1 = (7,0)

𝑬𝟏: (𝒙 − 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎

𝐶1 = (3,4)

𝑬𝟐: (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎



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27. Escribir la ecuación de la elipse: 𝑪(𝟒, 𝟓) , eje mayor vertical de 8 unidades y eje menor

6 unidades.

RESOLUCIÓN:

Datos:

Centro: 𝐶(4,5)

𝑎 = 4

𝑏 = 3

𝑐 = √7

∴ 𝑬𝟏: (𝒙 − 𝟒)𝟐

𝟗+

(𝒚 − 𝟓)𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

28. Escribir la ecuación de la elipse: 𝑪(−𝟐, 𝟏) , eje mayor horizontal de 4 unidades y eje

menor 2 unidades.

RESOLUCIÓN:

Datos:

Centro: 𝐶(−2,1)

𝑎 = 2

𝑏 = 1

𝑐 = √3

∴ 𝑬𝟏: (𝒙 + 𝟐)𝟐

𝟒+

(𝒚 − 𝟏)𝟐

𝟏= 𝟏



1

29. Representa el conjunto de todos los puntos tales que: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 ≤ 𝟎

RESOLUCIÓN:

Primeramente grafique: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

Completamos cuadrados:

(𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 1)2 − 1 + 1 = 0

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 , de aquí: 𝐶(2, −1) , 𝑟 = 2

Es una circunferencia y por el signo ≤ se graficará

con una línea continua, que indica que dicho

puntos de la la circunferencia es parte de la

solución.

Luego, la solución de:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 ≤ 𝟎

Son todos los puntos de la circunferencia y los que

están dentro de ella.

30. Representa el conjunto de todos los puntos tales que: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 > 𝟎

RESOLUCIÓN: Primeramente grafique: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

Completamos cuadrados:

(𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 1)2 − 1 + 1 = 0

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 , de aquí: 𝐶(2, −1) , 𝑟 = 2

Es una circunferencia y por el signo > se graficará

con una línea discontinua, que indica que dicho

puntos de la circunferencia no es parte de la

solución.


𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 ≤ 𝟎

Son todos los puntos fuera de la circunferencia.



1

31. Representa el conjunto de todos los puntos tales que: (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 < 𝟗 ,

RESOLUCIÓN:

Primeramente grafique: (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9

Con: 𝐶(−3,1) , 𝑟 = 3

Es una circunferencia y por el signo < se

graficará con una línea discontinua, que

indica que dicho puntos de la circunferencia

no es parte de la solución.


𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 < 𝟗

Son todos los puntos dentro de la

circunferencia.

Con el tiempo tu perseverancia mostrará tu grandeza (Wdd)

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