solucionario fv1

7/16/2019 solucionario fv1

http://slidepdf.com/reader/full/solucionario-fv1 1/127

HENRY ALVARADO



FÍSICA VECTORIAL 1

VALLEJO-ZAMBRANO

SOLUCIONARIO

Por Henry Alvarado

Primera edición

(Edición Realizada en software de ofimática)

Contactos:

http://www.facebook.com/henryalvaradoj

0987867212



PROLOGO

Este libro ha sido creado, con la intención de contribuir a los

estudiantes en el interés del estudio de la física, de un modo

mediante el cual puedan recurrir a esta guía para satisfacer sus

dudas en la resolución de problemas del libro “Física Vectorial

1” de los autores Patricio Vallejo y Jorge Zambrano, debo

advertir que este solucionario no constituye una guía práctica

para el aprendizaje de la física, sino es solo un apoyo para la

misma.

El libro “Física Vectorial 1” de Vallejo-Zambrano, es un libro

mediante el cual los lectores pueden aprender de un modo

significativo, sin embargo me permití resolver los ejercicios

propuestos en el mismo, para brindar una mayor facilidad de

comprensión en los problemas de este tipo, he puesto miesfuerzo en cada uno de los ejercicios, además de la edición de

los mismos.

El uso de este solucionario es de absoluta responsabilidad del

lector, por tanto aconsejo se utilice debidamente para

desarrollar las destrezas en el estudio de la física.

Henry Alvarado.



Solucionario Física Vectorial 1

Sistemas de coordenadas en el plano

Henry Alvarado Página 1

EJERCICIO Nº 1

1. Representar las siguientes coordenadas rectangulares en el plano:

A. -4, 3 D. 0, 6 G . -2, - 5

B 1, - 8 E. 5, 0 H. 8, - 4

C. -7, - 2 F. 3, 4 I. -1, 7

SOLUCIÓN:






2. Determinar las coordenadas rectangulares que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:

R . 5 , - 6 S. -8,-3 T. -4, 0 U. 2,7 V. -2,3 W. -8, 0

X. 8,1 Y. -7,1 Z . 7 , - 5

3. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos

siguientes:

R . 12, 5 U. -1, 8 X. -11, - 6

S. -7, 4 V. -2, - 7 Y. 9, - 4

T. 4, - 2 W. 10, 3 Z. -4, 9

SOLUCIÓN:

R. 12, 5 Primer Cuadrante S. -7, 4 Segundo Cuadrante

T . 4 , - 2 Cuarto Cuadrante U. -1,8 Segundo Cuadrante

V. -2,-7 Tercer Cuadrante W. 10,3 Primer Cuadrante

X. -11, -6 Tercer Cuadrante

Y . 9 , - 4 Cuarto Cuadrante

Z. -4,9 Segundo Cuadrante






4. Representar las siguientes coordenadas polares en el plano:

R. 40 cm, 75° U . 15 N,110° X . 35 m, 200°

S. 20cm, 290° V. 25N, 330° Y. 50m, 245°

T . 30 cm,180° W . 10 N , 200° Z . 50 m, 90°

SOLUCIÓN:






5. Determinar las coordenadas polares que correspondan a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:

Q. 5cm, 65° R. 10cm,112° S. 9cm, 165° T. 11cm, 225° U. 7 cm, 305°

V. 9 N, 70° W. 7 N,115° X. 10N, 210° Y. 5 N, 260° Z. 8N, 325°


siguientes:

R. 90m,119° U. 47m, 25° X. 91N, 272°

S. 35m, 213° V. 63N,192° Y. 113N,89°

T . 87 m, 300° W . 56 N, 94° Z . 83 N, 165°

SOLUCIÓN:

R . 90m,119° Segundo Cuadrante S. 35m, 213° Tercer cuadrante

T. 87 m, 300° Cuarto Cuadrante U. 47m, 25° Primer Cuadrante

V. 63 N, 192° Segundo Cuadrante W. 56 N, 94° Primer Cuadrante

X. 91N, 272° Cuarto Cuadrante Y. 113 N, 89° Primer Cuadrante

Z. 83N,165° Segundo Cuadrante

7. Representar las siguientes coordenadas en el plano:

R . 12 m, SE U . 7 m, S 55° O X. 11cm, S10° E

S. 8 m, N12° O V . 9 m, N 80° O Y . 8 cm, S

Z. 7cm, S15°OT . 10 m, N 35° E W . 10 cm, N






SOLUCIÓN:

8. Determinar las coordenadas geográficas que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:

Q. 10m, N55°E R. 12m, N5°E S. 8m, N65°O T. 11m,S50°O U. 10m,SE

V. 10N, N40°E W. 8 N, N32°O X. 9 N, N80°O Y. 12N,S33°O

Z. 11N, S52°E







siguientes:

R . 70 km, SE U . 55 km, N 20 E ° X . 75 m, N 73° O

S. 45 km, N 23 O ° V . 80 m, S 35° E Y . 40 cm, N 80° E

T . 60 km, S 80° O W . 29 m, S10° O Z. 89 cm, NE

SOLUCIÓN:

R. 70km,SE Cuarto Cuadrante S. 45km, N 23O° Segundo Cuadrante

T. 60km, S80°O Tercer Cuadrante U. 55km, N 20E ° Primer Cuadrante

V. 80m,S35°E Cuarto Cuadrante W. 29m, S10°O Tercer Cuadrante

X. 75m, N73°O Segundo Cuadrante Y. 40cm, N80°E Primer Cuadrante

Z. 89cm, NE Primer Cuadrante

10. En el triángulo GHI, hallar:

a) g en términos de I, h

b) i en términos h, g

c) G en términos i, g

d) h en términos G, g

e) i en términos G, h

f) I en términos i, h

SOLUCIÓN:

a) b) c)

gcosI =

h

g = h cosI

2 2 2

2 2

h = i + g

i = h -g

-1

gtanG =

i

gG = tan2

d) e) f)

gsenG =

h

gh =

senG

icosG =

h

i = h cosG

-1

isenI =

h

iI = sen

h






11. En el triángulo JKL, hallar:

a) j en términos de L, l

b) l en términos J, k

c) J en términos j, l

d) k en términos j, le) k en términos j, L

f) l en términos k, L

SOLUCIÓN:

a)

b) c)l

tanL = j

l j =

tanL

lcosJ =

k

l = k cosJ

-1

jtanJ =

l

jJ = tan

l

d) e) f)

2 2k = j + l

jcosL =

k

jk =

cosL

lsenL =

k

l = ksenL

12. En el triángulo MNO, hallar:

a) M en términos de o, m

b) N en términos o, m

c) n en términos o, m

d) m en términos M, n

e) o en términos N, n

f) o en términos N, m






SOLUCIÓN:

a) b) c)

-1

msenM =

om

M = seno

-1

mcosN =

om

N = coso

2 2 2

2 2

o = m + n

n = o - m

d) e) f)

mtanM =

n

m = n tanM

nsenN =

o

no =

senN

mcosN =

o

mo =

cosN

13. Resolver los siguientes triángulos rectángulos:

B = 90°- 35°

B = 55°

csen35° =

d

c = d sen 35°

c = 10sen 35° = 5,74 m bcos35° =

d

b = d cos35°

b = 10 cos35° = 8,19 m

c

b

R = 90° - 42°

R = 48°

qsen 42° =

p

q p =

sen 42°

73cm p = = 109, 09 cm

sen 42°qtan 42° =

r

qr =tan 42°

73cmr = = 81, 07 cm

tan 42°






ECD

E = 90°- 28°

E = 62°

2 EC = 47cm

EC = 23,5cm

ECsen 28° =

DE

ECDE =

sen 28°

23,5cmDE = = 50, 05cm

sen 28°

ECtan 28° =

DC

ECDC =

tan 28°

23,5cmDC = = 44,19 cm

tan 28°

AB = DC = 44,19cm

ABC

ABC

A = 90° - 38°

A = 52°

ABsen38° =

AC

ABAC = sen38°

53cmAC = = 86, 09 cm

sen38°

ABtan 38° =

BC

ABBC =

tan38°

53cmBC = = 67,84 cm

tan38°

BCD

1

1 = 90°- 38°

1 = 52°

DCcos38° =

BC

DC = BCcos38°

53cmDC = cos 38° = 53, 46 cm

tan38°

BDsen38° =

BC

BD = BCsen 38°

53cmBD = sen 38° = 41, 76 cm

tan38°

2 2

2 2

AC = BC + AB

AC = 47 + 44,19

AC = 64,51cm

-1

-1

ABtanC =

BC

ABC = tan

BC

44,19C = tan = 43, 24°

47

A = 90°- 43, 24°

A = 46,76°






ABC

C = 90°- 40°

C = 50°

BCsen 40° =

AC

BC = ACsen 40°

BC = 90km sen 40° = 57,85 km

ABcos 40° =

AC

AB = ACcos 40°

AB = 90km cos 40° = 68, 94km

EDB

2 2EB = DB = AB = 68,94km = 45,96km3 3

2 2DE = 45,96 + 45,96

DE = 65km

Triangulo isósceles

E = 45°

D = 45°

EDC

1 = 90°- 67°

1 = 23° D = 67

DEsen 23° =

DC

DE = DCsen 23°

DE = 71msen 23° = 27, 74m

ECcos 23° =

DC

EC = DCcos 23°

EC = 71mcos23° = 65,36m

ABC

ACEC =

2

AC = 2 EC = 2 65,36 m = 130,72m

A = 90° - 37°

A = 23°

ABsen 67° =

AC

AB = ACsen 67°

AB =130, 72m sen 67° = 120,33m

BCcos67° =

AC

BC = ACcos67°

BC =130, 72m cos 67° = 51,08m

1




Vectores en el plano


EJERCICIO Nº 2

1.

Determinar cuáles de los siguientes vectores son unitarios:a) 0,5 i+0,5 j b) 0,8 i+0,6 j c) 0,37 i 0,929 j

d) 0,7 i+0,55 j e) 0,235 i 0,972 j f) 0,3 i+ 0,4 j

g) 0,33 i 0,943 j h) 0,5 i+0,866 j i) 0,707 i 0,707 j

SOLUCIÓN:

a) 2 20,5 + 0,5 = 0,707 No es unitario b) 2 20,8 +0,6 =1 Es unitario

c) 2 20,37 + 0,929 =1 Es unitario d) 2 20,7 + 0,55 = 0,890 No es unitario

e) 2 20,235 + 0,972 =1 Es unitario f) 2 20,3 + 0,4 = 0,5 No es unitario

g) 2 20,33 + 0,943 =1 Es unitario h) 2 20,5 + 0,866 =1 Es unitario

i) 2 20,707 + 0,707 =1 Es unitario

2. Determinar los vectores unitarios de los siguientes vectores:

a) A = 150 N,140° b) B = 27 N, N37°E c) C = 45N, 225°

b)

D = -9 i+ 4 j N e)

E = 400 N, S25°O f)

F = 235 i-520 j m

c) G = 28m,S h) H = 40m, 335 i) I = 12m, NO

SOLUCIÓN:

a) X

X

A =150cos140°

A = -114,91

Y

Y

A =150sen140°

A = 96,42 A = -114,91i+96,42 j N

A

A

A=A

-114,91i+ 96, 42 j N=

150 N

A = -0,77 i+0,64 j






b) X

X

B = 27sen 37°

B =16,25

Y

Y

B = 27cos37

B = 21,56

B = 16,25 i+21,56 j N

B

B

B=

B

16, 25 i+ 21,56 j N=

27 N

B = 0,60 i+ 0,79 j

c) X

X

C = 45cos225°C = -31,82

Y

Y

C = 45sen225°C = -31,82

C = -31,82 i+-31,82 j N

C

C

C=

C

-31,82 i+ -31,82 j N=

45 N

C = -0, 707 i- 0,707 j

d)

2 2D = 9 + 4 N

D = 9,85 N

D

D

D=

D

-9 i+ 4 j N=

9,85 N

D = -0,91i-0,40 j

e) X

X

E = -400sen25°

E = -169,05

Y

Y

E = -400cos 25°

E = -362,52 E = -169,05 i-362,52 j N






E

E

E=

E

-169,05 i-362,52 j N=

400 N

E = 0,42 i+ 0,91 j

f) g)

2 2F = 235 + 520 m

F = 570,64m

F

F

F=

F

= 235 i-520 j m=

570,64 m

F = 0, 41i-0,91 j

G = 0 i- j

h) X

X

H = 40cos335°

H = 36,25

Y

Y

H = 40sen335°

H = -16,90 H = 36, 25i+-16,90 j m

H

H

H=

H

36,25 i+-16,90 j m=

40 m

H = 0,91i-0,42 j

i) X

X

I = -12sen 45°

I = -8, 49

X

X

I =12cos 45°

I = 8,49 I = -8,49 i 8,49 j m

I

I

I=

I

-8,49i 8,49 j m=

12 m

I = -0,707 i+ 0,707 j






Nota: también se puede resolver en función de los ángulos directores y cosenos

directores.

3. Determinar los ángulos directores de los siguientes vectores:

R = -4 i+8 j m

S = 5i-9 j m

T = -11i-7 j m

U = 120m,120°

V = 45N, 229° W = 57N, 280° X = 78N, N29°O Y = 45N, S72°E

Z = 20N,S45°O

SOLUCIÓN:

R:

X

-1 X

-1

2 2

R cos =

R

R = cos

R

-4= cos = 116,57

4 +8

Y

-1 Y

-1

2 2

R cos =

R

R = cos

R

8= cos = 26,57

4 +8

S:

X

-1 X

-1

2 2

Scos =

S

S= cos

S

5= cos = 60,95

5 + 9

Y

-1 Y

-1

2 2

Scos =

S

S= cos

S

-9= cos =150,95

5 +9

T:

X

-1 X

-1

2 2

Tcos =

T

T= cos

T

-11= cos =147,53

11 + 7

Y

-1 Y

-1

2 2

Tcos =

T

T= cos

T

-7= cos =122,47

11 + 7

U: =120° =120°- 90° = 30°

V: = 360°- 229 =131 = 229°- 90° =139°

W: = 360°- 280 = 80 = 90° 80 = 170°

X: = 29° 90 =119 = 29°

Y: =90°-72 =18 =180°- 72 =108°

Z: = 90° 45 = 135 = 90° 45 =135






4. Determinar los vectores unitarios para los vectores opuestos a los descritos en el literal

anterior.

SOLUCIÓN:

-R

-R

= -cos116,57° i-cos26,57° j

= 0,45 i- 0,89 j

-S

-S

= -cos60,95° i-cos150,95° j

= -0, 49 i-0,87 j

-T

-T

= -cos147,53° i-cos122,47° j

= 0,84 i 0,54 j

-U

-U

= -cos120° i-cos30° j

= 0,50 i-0,87 j

-V

-V

= -cos131° i-cos139° j

= 0,66 i 0,75 j

-W

-W

= -cos80° i-cos170° j

= -0,17 i-0,98 j

-X

-X

= -cos119° i-cos29° j

= 0,48i-0,87 j

-Y

-Y

= -cos18° i-cos108° j

= -0,95i 0,31 j

-Z

-Z

= -cos135° i-cos135° j

= 0,71i 0,71 j

5. Un vector R parte del origen y llega al punto 12, 7 cm; determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector R

b) El módulo del vector R

c) La dirección del vector R

d) Los ángulos directores del vector R

e) El vector en función de sus vectores base

f) El vector unitario

SOLUCIÓN:

a) b) c)

X

Y

R = 12 cm

R = 7 cm 2 212 + 7 cm =13,89cm

-1 12= tan = 59, 74°

7

N59,74 E






d) e) f)

90 -59,74 30,26

59,74

R = 12 i+7 j cm

R

R

R =

R

12 i+ 7 j cm=

2 212 7 cm

R = 0,96i-0,5 j

6. Un vector S cuya magnitud es de 54N y forma un ángulo de 213° en sentido

antihorario con el eje positivo en Y, determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector S

b) Las coordenadas del punto externo del vector S

c) Los ángulos directores del vector S d) El vector en función de sus vectores base

e) El vector unitario

SOLUCIÓN:

a) b)

X

X

S = 54 N cos 213°

S = -45,29N

Y

Y

S = 54 Nsen 213°

S = -29, 41N S -45,29; - 29,41 N

c) d) e)

= 360°- 213° =147°

= 213°-90° =123°

S = -45, 29 i-29,41 j N

S

S

= cos147° i+cos123° j

= -0,84 i-0,54 j

7. Si el ángulo director de α de un vector K es 125°, y su componente en el eje X es de -

37cm; determinar:

a) La componente en el eje Y

b) El ángulo director β

c) El módulo del vector K

d) El vector unitario

e) El vector en función de los vectores base

f) El punto extremo del vector

SOLUCIÓN:






a) b) c)

Y

Y

37cmtan125° =

K

37cmK = = -52,84 cmtan35

=180°- 35° =145°

37cmsen35° =

K

37cmK = = 64,51cmsen 35°

d) e) f)

K

K

= cos125° i+cos145° j

= -0,57 i-0,82 j

K = -37 i-52,84 j cm K -37;-52,84 j cm

8. Para el vector A = -34 i+67 j cm/ s; determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector

b) El vector en coordenadas polares

c) El vector en coordenadas geográficas

d) El módulo del vector A

e) Los ángulos directores del vector A


SOLUCIÓN:

a) b)

X

Y

R = -34cm/ s

R = 67cm/ s

-1

2 2

-34= cos

34 +67

=116,91

2 2A = 34 + 67 = 75,13

A = 75,13cm/ s;116,91°

c) d)

=116,91° -90° = 26,91°

A = 75,13cm/ s; N 26,91°O

2 2A = 34 + 67 = 75,13cm/ s

e) f)

116,91

26,91

S

S

= cos116,91° i+cos 26,91° j

= -0,45 i 0,89 j






9. El rumbo de un vector E es S68°E y el valor de la componente en el eje de las X es

87N, determinar:

a) Los ángulos directores

b) La componente en el eje Y

c) El módulo del vector E d) Las coordenadas en el punto extremo del vector


f) Un vector F de dirección opuesta al vector E , cuyo módulo es el mismo del E

SOLUCIÓN:

a) b) c)

= 90°-68° = 22°= 180°- 68° =112°

Y

Y

87 Ntan 68° = -

E87 N

E = - = -35,15Ntan68°

87 Nsen 68° =

E87 N

E = = 93,83Nsen 68°

d) e) f)

E 87; -35,15 N

E

E

= cos 22° i+cos112° j

= 0,93i-0,37 j

F = -87 i+35,15 j N

10. El módulo del vector C es 84m y su dirección está dada por el vector unitario

CU = mi+ nj, el vector C está en el primer cuadrante; determinar:

a) El valor de m y n, si n=2m

b) Los ángulos directores del vector C

c) El vector en función de los vectores base

d) Las componentes rectangulares del vector C

e) Las coordenadas del punto extremo del vector C

f) La dirección del vector C

g) El vector unitario

SOLUCIÓN:






a) b)

22

2

En un vector unitario el módulo

es siempre

1= m + 2m5 m = 1

1 5 2 5m = = y n =

5 5

1, entonces :

5

-1

-1

5= cos = 63, 43°

5

2 5= cos = 26,57°

5

c) d) e)

5 2 5C = 84m i+ j

5 5

C = 37,57 i+75,13 j m

X

Y

C = 37,57m

C = 75,13m C 37,57; 75,13 m

f) g)

N26,57°O

C

C

5 2 5= i+ j

5 5

= 0,45 i+0,89 j

11. La componente de un vector B en el eje X es -27cm, si sus ángulos directores son

α=145° y β=125°, determinar: a) La componente del vector en el eje Y

b) El módulo del vector B

c) Las coordenadas del punto extremo del vector B

d) La dirección del vector B

e) El vector en coordenadas polares


SOLUCIÓN:

a) b)

Y

Y

-27cmtan 55° =

B

27cmB = - = -18,91cm

tan 55°

-27cmcos145° =

B

-27cmB = = 32,96cm

cos145°






c) d) e)

B -27; -18,91 cm S55°O B = 32,86cm; 215°

f)

B

B

= cos145° i+cos125° j

= -0,82 i-0,57 j

12. La componente de un vector J en el eje Y es -45km y el ángulo formado respecto al eje

positivo de X es 207° en dirección antihoraria, determinar:

a) La componente del vector en el eje X

b) Los ángulos directores

c) El módulo del vector J

d) Las coordenadas del extremo del vector

e) El vector en función de sus componentes rectangulares


SOLUCIÓN:

a) b)

X

X

= 270° - 207° = 63°

Jtan 63° =

-45kmJ = -45km tan63° = -88,32km

= 360°- 207° =153°

= 207°-90° =117°

c) d) e)

-45kmcos117° =

J

-45kmJ = = 99,12km

cos117°

J -88,32; - 45 km J = -88,32; - 45 km

f)

J

J

= cos153° i+cos117° j

= -0,89 i-0,45 j

13. El módulo de un vector E es 68cm y tiene como ángulos directores α=115° y β=25°;

determinar:






a) La dirección

b) Las componentes rectangulares del vector

c) Las coordenadas del punto extremo del vector

d) El vector en función de los vectores base


SOLUCIÓN:

a) b) c)

N25°O X

X

E = 68cmcos115°

E = -28,74cm

X

X

E = 68cmsen115°

E = 61,63cm E -28,74; 61,63 cm

d) e)

E = -28,74i+61,63 j cm

E

E

= cos115° i+cos 25° j

= -0,42 i 0,91 j




Formas de expresión de un vector y transformaciones


EJERCICIO Nº 3

1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:

a) m j20i15A

b) B = 130 N,125º

c) C = 37cm, N37ºE

d) D = 25kgf -0,6 i-0,8 j

SOLUCIÓN:

a) A = 15, -20 m

b) x

x

x

B = B cos

B = 130 Ncos125º

B = -74,56 N

y

y

y

B = B sen

B = 130 Nsen125º

B =106,49N

x yB = B , B

B = -74,56;106, 49 N

c) x

x

x

B = B sen

B = 37cmsen 37º

B = 22, 27cm

y

y

y

B = B cos

B = 37cmcos 37º

B = 29,55cm

x yB = B , B

B = 22, 27; 29,55 cm

d)

D = 25kgf -0,6 i-0,8 j

D = -15 i-20 j kgf

D = -15, - 20 kgf






2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:

a) A = -14 i+8 j m

b) B = 8 7 , 9 1 N

c) C = 45kgf 0,707 i-0,707 j

d) D = 22 N,S28º O

SOLUCIÓN:

a)

2 2A = 14 + 8

A =16,12m

1

8tan

14

8

tan 14

29,74º

180º

180º 29, 74150,26º

A = 16,12 m; 150,26º

b)

2 2B = 87 + 91

B =125,90N

1

91tan

87

91tan

87

46,29º

B = 125,90 N; 46, 29º

c) 1

1

1

1

0,707tan

0,707

0,707tan

0,707

45º

1270º

270º 45º

315º

C = 45kgf; 315º

d) 270º

270º 28º

242º

D = 22 N, 242º






3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores:

a) A = 52,-25 N

b) B = 47 N, 245º

c)

C = -32 im+ 21 jm d) D = 35cm 0,866 i+0,5 j

SOLUCIÓN:

a)

2 2A = 52 + 25

A = 57,7 N

1

52tan

25

52tan

2564,32º

A = 57,7 N; S64,32º E

b) 270º 245º

25º

B = 47 N, S 25ºO

c)

2 2C = 3 2 + 2 1

C = 38, 28m

1

32

tan 21

32tan

21

56,73º

C = 38, 28m; N56,73O

d)

1

0,5tan

0,866

0,5tan0,866

30º

D = 35cm; N30ºE






4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores:

a) A = 44m, 340º

b) B = 25km, S14º O

c) C = -21, 45 N

d) D = 17 i+9 j kgf

SOLUCIÓN:

a) x

x

x

A = A cos

A = 44mcos340º

A = 41,35m

y

y

y

A = A sen

A = 44msen340º

A = 15, 05 m

A = 41,35 i-15,05 j m

A

A

A

A=

A

41,35 i-15,05 j m=

44 m

= 0,94 i 0,34 j

A = 44m 0,94 i-0,34 j

b) 270º 14º

284º

x

x

x

B = B cos

B = 25kmcos 284º

B = 6,05km

y

y

y

B = A sen

B = 25kmsen 284º

B = 24,26 km

A = 6,05 i-24,26 j km

B

B

B

B=B

6,05 i-24, 26 j km=

25km

= 0,2 4 i 0,97 j

B = 25km 0,242 i-0,97 j






c)

2 2C 21 45

C 49, 66º N

C

C

C

C

C

-21i+45 j N

49,66N

-0, 42 i+0,90 j

C 49,66N -0,42 i+ 0,90 j

d)

2 2

D = 17 9

D =19,24kgf

D

D

D

D

D

17 i+9 j kgf 19,24kgf

0,88 i+0,47 j

D 19,24kgf 0,88 i+ 0,47 j

5. Expresar el vector R = -13,-27 m en:

a) Coordenadas polares

b) Función de los vectores base

c) Coordenadas geográficas

d) Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN:

a)

2 2R = 13 +27

R = 29,97m

1

1

1

1

27tan

13

27tan

13

64,29º

64, 29º 180º

244, 29º

R = 29,97 m; 244, 29º

b) c)

R = -13 i- 27 j m

270º 244,29º

25,71º

R = 29,97 m; S25,71º O






d)

R

R

R

R

R

-13i-27 j m

29,97m

-0,43i-0,9 j

R = 29,97 m -0, 43i- 0,9 j

6. Expresar el vector V = 200 km, 318º en :

a) Coordenadas geográficas

b) Coordenadas rectangulares

c) Función de los vectores base

d)

Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN:

a) 318º 270º

48º

V = 200 km, S48º E

b) x

x

x

V = V cos318ºV = 200 kmcos 318º

V = 148,63km

y

y

y

V = V sen318ºV = 200 kmsen 318º

V = -133,83 km

V = 148,63; -133,83 km

c) V = 148,63 i-133,83 j km

d)

V

V

V

V

V

148,63 i-133,83 j km

200km

0,743i-0,669 j

V = 200km 0,743 i-0,669 j






7. Expresar el vector K = 20 N, N 47ºO en:

a) Coordenadas polares

b) Coordenadas rectangulares

c) Función de su módulo y unitario

d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:

a) 90º 47º

137º

K = 20N;137º

b) x

x

x

K = K cos

K = 20 Ncos137º

K = -14,63N

y

y

y

K = K sen

K = 20Nsen137º

K =13,64N

K = -14,63;13,64 N

c)

K

K

K

K

K

-14,63 i 13,64 j N

20 N

0,73i 0,68 j

K 20 N 0, 73 i 0, 68 j

d) K = -14,63i 13,64 j N

8. Expresar el vector L =147cm mi- nj ; Si m = 3n , en:

a) Coordenadas geográficas

b) Coordenadas polares

c) Coordenadas rectangulares

d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:






L

L

2 2

2 2

m i- nj m 3n

3ni -nj

1 3n n

9 n n 1

10 n 1

1n

10

n 0, 316

L

L

L

L

mi- nj m 3 n

3ni-nj

3 0,316 i-0,316 j

0,948 i-0, 316 j

a)

1

0,948

tan 0,316

0,948tan

0,316

71,57º

L 147cm; S71,57º O

b) 270º 71,57º

341,57º

L 147cm; 341,57º

c) d)

L = 147 cm 0,948; -0,316

L = 139,36; -19,99 cm

L = 139,36 i-19,99 j cm

9. Expresar el vector H = -29 i+35 j m s en:

a) Coordenadas rectangulares

b) Función de su módulo y unitario

c) Coordenadas polaresd) Coordenadas geográficas

SOLUCIÓN:






a) H = -29; 35 m s

b)

2 2H 29 35

H 45, 45 m/ s

H

H

H

H

H

-29 i+ 35 j m s=

45,45m s

= 0,64 i+ 0,77 j

H 45, 45m/ s 0, 64 i+0, 77 j

c)

1

0,64tan

0,77

0,64tan

0,77

39,73º

90º 39, 73º

129,73

H 45,45m/ s;129,73º

d) H 45,45m/ s; N39,73º O

10. Expresar el vector 2E = 9 i+12 j m s en:

a) Coordenadas rectangulares

b) Coordenadas polares

c) Coordenadas geográficas

d) Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN:

a) 2E = 9;12 m s






b)

2 2

2

E = 9 + 12

E = 15m/ s 1

12tan

912

tan9

53,13º

2E = 15m/s ;53,13º

c) 90º 53,13º

36,87º

2E = 15m/s ; N36,87º E

d)

E

2

E 2

E

E

E

9 i+12 j m s

15m s

0,6 i+ 0,8 j

2

E =15m/ s 0,6 i+0,8 j

11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores:

a) A = 65km/ h,121º

b) B = 70 N, NE

c) C = 120km 0,873 i-0,488 j

d) D = -13, 40 N

SOLUCIÓN:

a) x

x

x

A = A cos

A = 65km/ hcos121º

A = 33,48km/ h

y

y

y

A = A sen

A = 65 km/ hsen121º

A = 55,72 km/ h

A = -33, 48 i+55,72 j km/ h






b) x

x

x

B = B cos

B = 70Ncos45º

B = 49,5 N

B = 49, 5 i 49, 5 j N

c) C = 104,76 i-58,56 j km

d)

D = -13 i 40 j N




Operaciones con vectores


EJERCICIO Nº 4

1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar:

a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean

perpendiculares

d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G

SOLUCIÓN:

a) b)

F = 40 i+ 0 j m

G = 30 i+0 j m

R = 70 i+0 j m

2R = 70 = 70m

F = 40 i+ 0 j m

G = -30 i+0 j m

R = 10 i+0 j m

2R = 10 = 10 m

c) d)

F = 40 i+ 0 j m

G = 0 i+30 j m

R = 40 i+30 j m

2 2

R = 40 30 = 50 m

F = 40 i+ 0 j m

-G = 30 i+0 j m

R = 70 i+0 j m

2

F = 40 i+ 0 j m

G = -30 i+ 0 j m

R = 70 = 70 m

2. Dados los vectores F = 4 i+6 j y G = -6 i- j , encontrar:

a) El ángulo formado por los vectores

b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G

c) El vector unitario en la dirección de F-2G

SOLUCIÓN:






a) 1

1

F • Gcos

F G

4 ×-6 +6 ×-1cos

52 37

133,15º

2 2F = 4 + 6

F 7, 21

2G = 6 +1

G = 6,08

b) 24 6

Á rea = = -4 +36 = 32u-6 -1

c) F = 4 i+6 j G = -6 i- j 2G = -12 i-2 j

F- 2G = 4 i+6 j - -12 i-2 j

F-2G = 16i+8 j

F 2G

2 2

F 2G

16 i+8 j

16 8

0,89 i 0, 45 j

3. Dado el vector Q = 3, -5 m , encontrar:

a) Un vector P perpendicular a Q , de modo que su módulo sea de 17m y lacoordenada Y sea positiva

b) El área del paralelogramo formado por Q y P

c) La proyección de Q sobre P

SOLUCIÓN:

a)

x y

x y

x y

Q• P = 0

Q • P = 3× P - 5 × P

3× P - 5 × P = 0

3× P 5× P

P 2 2

P

P = 5 i+3 j m

5 i+3 j m

5 3

0,86i+0,51j

P =17m 0,86 i+ 0,51 j

P = 14,62 i 8,67 j m






b) 23 -5

Área = = 26, 01+ 73,1 = 99,11m14,62 8,67

c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero

4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15m s, 120º , encontrar:

a) P - Q

b) Q + P

c) 3 / 2 P

d) Q • P

e) El ángulo formado entre Q y P

f) P×Q

SOLUCIÓN:

x

x

x

Q = Q cos

Q = 15m/ scos120º

Q = -7,5m/s

y

y

y

Q = Q sen

Q = 15m/ ssen120º

Q =12,99m/ s

Q = -7,5 i+12,99 j m/ s

a) b)

P = 12 i - 8 j m s

-Q = 7,5i-12,99 j m/s

P- Q 19,5 i-20,99 j m/ s

Q = -7,5 i 12,99 j m/ s

P = 12 i - 8 j m s

Q P 4, 5 i 4, 99 j m/ s

c) d)

3 3P = 12 i- 8 j m s

2 23

P = 18 i-12 j m s2

Q• P = -7,5×12 +12,99×-8 m/ s

Q• P = -193,92m/ s






e) f)

-1

2 2

-7,5×12+12,99×-8= cos

15 m/ s 12 + 8= 93,56º

12 -8

P×Q = = 155,88 +60 k = 215,88k -7,5 12,99

5. Dados los vectores M = 37, 25 m N = 41m, 213º , hallar:

a) M + N

b) N - M

c) -2N

d) N • M

e) La proyección de N sobre M

f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores

SOLUCIÓN:

a) x

x

x

N = N cos

N = 41mcos 213º

N = -34,39 m

y

y

y

N = N sen

N = 41msen 213º

N = -22,33 m

N = -34,39 i- 22,33 j m

M = 37 i + 25 j m

N = -34,39 i- 22,33 j m

M + N = 2,61i+ 2,67 j m

b) c)

N = -34,39 i- 22,33 j m

- M = - 37 i - 25 j m

N - M = - 71,39 i- 47,33 j m

-2N = -2 -34,39 i- 22,33 j m

-2N = 68,78 i+44,66 j m






d) N • M = -34, 39× 37 - 22,33× 25

N • M = -1830,68

e)

M M

M 2 2 2 2

M

N • M N = ×

M

37i+25 j m-34,39×37-22,33×25 N = ×

37 +25 37 +25

N = -33,97 i- 22,95 j m

2 2M

M

N = 33,97 + 22,95

N = 40,99m

f) 237 25

Área = = -826, 21+ 934,75 = 33,54 m-34,39 -22,33

6. Dados los vectores E = 15 N mi+0,48 j ; I = 21N, SE y F= 12N,312º , hallar:

a) E + I + F

b) 2/3I-3E+5/2F

c) 2 / 5 F • E

d) 3I×2F

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F

f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E

SOLUCIÓN:

E = 15 N mi+ 0,48 j

I = 21N,SE

2m = 1- 0,48

m = 0,88

270º 45º

315º






E = 15 N 0,88i+ 0,48 j

E = 13,2 i+7,2 j

x

x

x

I = I cos

I = 21Ncos315º

I =14,85

y

y

y

I = I sen

I = 21Nsen315º

I = -14,85

I = 14,85i-14,85 j N

F= 12N,312º

x

x

x

F = F cos

F =12Ncos312º

F =8,03

y

y

y

F = F sen

F =12Nsen312º

F = -15,60

F= 8,03i-15,60 j N

a)

E = 13,2 i+ 7,2 j N

I = 14,85 i-14,85 j N

F = 8,03 i-15,60 j N

E +I +F 36,08 i-23,25 j N

b)

22 / 3I = 14,85 i-14,85 j N

3

2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N

-3E = -3 13, 2 i+7, 2 j N

-3E = -39,6 i-21,6 j N

55/ 2F = 8,03i-15,60 j N

2

5/2F= 20,08i-39 j N

2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N

-3E = -39,6i-21,6 j N

5/ 2F = 20,08 i-39 j N

2 / 3I- 3E +5 / 2F = -9,62 i-70,5 j N

c)

22 / 5 F• E = 8,03×13,2 -15,60×7,2

5

F• E = -2,53






d)

3I = 3 14,85 i-14,85 j N

3I = 44,55 i-44,45 j N

2F = 2 8,03 i-15,60 j N

2F = 16,06 i-31,2 j N

44,55 -44,55

3I ×2F = k = -1389, 96 + 715, 47 k = -674, 49 k 16,06 -31,2

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F

I = 14,85 i-14,85 j N

F= 8,03i-15,60 j N

I +F 22,88 i-30,45 j N

I+F I F

I+F 2 2 2 2

I+F

E • I FE = ×

I F

22,88 i-30, 45 j13,2 ×22,88 7,2 × 30,45E = ×

22,88 + 30, 45 22,88 + 30, 45

E = 1,30 i-1,73 j m

2 2

I+F

I+F

E = 1,30 1,73

E = 2,16

f) 1 8,03 13,2 15,60 7,2

cos15 12

92,01º

7. Dados los vectores A = 31m s 0,2 i+ mj ; B= 43m s,172º y C= 55,-12 m s ,

hallar:

a) A - B + C

b) 1 2A+ B-2C






c) El área del paralelogramo formado por 2A y2

C3

d) La proyección de A + B sobre C

e) A×C + A×B

f) A • B × C

SOLUCIÓN:

A = 31m s 0,2 i+ mj

B= 43m s,172º

2m = 1- 0,2

m = 0,98

x

x

x

B = B cos

B = 43m/ scos172º

B = -41,59

y

y

y

B = B sen

B = 43m/ ssen172º

B = 5,98

A = 31m s 0,2 i+0,98 j

A = 6,2 i+30,38 j m s

B= -41,59i+5,98 j m/s

C = 55 i-12 j m s

a)

A = 6,2i+30,38 j m s

-B= 41,59i-5,98 j m/sC = 55 i -12 j m s

A- B+ C 102,79 i 12,4 j m s

b)

11/ 2A = 6,2 i+30,38 j m s

2

1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s

-2C = -2 55i-12 j m s

-2C = -110 i+ 24 j m s






1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s

B = -41,59 i+5,98 j m/ s

-2C = -110i+24 j m s

1 2A + B- 2C -148,49i+45,17 j m s

c)

2A = 2 6,2 i+30,38 j m s

2A = 12, 4 i+60,76 j m s

22/ 3C = 55 i-12 j m s

3

2 / 3C = 36,66 i-8 j m s

12,4 60,76Área = = -99, 2 -934, 75 = 2326, 6636, 66 -8

d) La proyección de A + B sobre C

A = 6,2 i+30,38 j m s

B= -41,59i+5,98 j m/s

A+B= -35,39i+36,36 j m/s

C = 55 i-12 j m s

CC

C 2 2 2 2

C

A+B•CA+ B = ×

C

55 i-12 j-35,39×55+36,36×-12A+ B = ×

55 +12 55 +12

A+ B = -41,35i+9,02 j

2 2

C

C

A+ B = 41, 35 9, 02

A+ B = 42,32

e)

6,2 30,38A× C = = -74, 4 -1670, 9 k = -1745, 3k

55 -12

6, 2 30, 38

A× B = = -37, 08 +1263,5 k = 1226, 42 k -41,59 5,98






A×C + A×B = -1745,3k+1226,42k

A×C + A×B = -518,88k

f) B× C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces A • B×C 0

8. Tomando en consideración los vectores R = 20m, N25ºO ; S = 15 i+9 j m

T = 30m, 260º y U =17m 0,5 i-0,866 j , hallar:

a) 3 4 S - 2R +U

b) 5U-1 2T+ R -2S

c) R • S + T • U

d) T × U + R ×S

e) 3 R • 2 T

f) La proyección de R +S sobre T - U

g) El área del paralelogramo formado por R - T y S + U

SOLUCIÓN:

R = 20m, N25º O

T = 30m, 260º

90º 25º

115º

x

x

x

R = R cos

R = 20mcos115º

R = -8,45m

y

y

y

R = R sen

R = 20msen115º

R =18,13m

x

x

x

T = T cos

T = 30mcos260º

T = -5, 21m

y

y

y

T = T sen

T = 30msen260º

T = -29,54m

R = -8,45 i+18,13 j m T = -5, 21i- 29,54 j m






U =17 m 0,5 i-0,866 j

U 8,5 i-14,72 j m

a)

33 / 4S = 15 i+ 9 j m

4

3/4S= 11,25i+6,75 j m

-2R = -2 -8, 45 i+18,13 j m

-2R = 16,9 i-36, 26 j m

3/4S= 11,25i+6,75 j m

- 2R = 16,9 i-36,26 j m

U 8,5 i-14,72 j m

3 4S-2R + U 36,65 i- 44,23 j m

b)

5U 5 8,5 i-14,72 j m

5U 42,5 i-73,6 j m

1-1/ 2T = - -5,21i- 29,54 j m

2

-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

-2S = -2 15 i+ 9 j m

-2S = -30 i-18 j m

5U = 42,5 i-73,6 j m

-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

R = -8, 45 i+18,13 j m

- 2S = - 30 i -18 j m

5U -1 2T + R - 2S = 6,65 i-58,7 j m

c) R •S = -8,45×15 +18,13×9

R•S=36,42

T • U = -5,21×8,5 - 29,54×-14,72

T• U = 390,54






R •S + T• U = 36,42+ 390,54

R •S + T • U = 426, 96

d)

-8,45 18,13

R ×S = = -76,05 -271,95 k = -348k 15 9

T× U + R ×S = 327,78k-348k

T× U + R×S = -20,22k

e)

3R = 3 -8,45 i+18,13 j m

3R = -25,35 i+54,39 j m

2T = 2 -5,21i-29,54 j m

2T = -10, 42 i-59,08 j m

3R • 2 T = -25,35×-10, 42+ 54,39×-59,08

3R • 2 T = -2949,21

f)

R = -8,45 i+18,13 j m

S = 15 i+9 j m

R +S 6,55 i+ 27,13 j m

T = -5,21i-29,54 j m

- U = -8,5 i+14,72 j m

T - U = -13,71i-14,82 j m

-5, 21 -29,54

T× U = = 76,69 + 251,09 k = 327,78k 8,5 -14,72






T-UT-U

T-U2 2 2 2

T-U

R+S•T-UR+ S = ×

T- U

-13,71 i-14,82 j6,55×-13,71+27,13×-14,82R+ S = ×

13, 71 +14,82 13, 71 +14,82

R+S = 16,54 i+17,88 j

2 2

T-U

T-U

R+ S = 16,54 17,88

R+ S = 24, 36

g)

R = -8,45 i+18,13 j m

-T = 5,21i+29,54 j m

R - T = -3,24 i+47,67 j m

S = 15 i+9 j m

U 8,5 i-14,72 j m

S+ U 23,5i-5,72 j m

3,24 47,67Área = = 18, 53 -1120, 24 = 1101, 71

23,5 -5,72

9. Considérese los vectores A = 46cm mi-0, 23 j ; B = 81cm,155º ,

C= 57cm, N21ºE y D= -32i-29 j m , determinar:

a) 1 2A+2C- B

b) 2D- 3A +1 3C- 2 5B

c) 3B + 2 3A • -C - 3 4D

d) D- 3C × 3 2B+ 4A

e) B •A + C • D

f) 2A×C + 5B×D

g) El ángulo formado por D - A y B + C

SOLUCIÓN:






A = 46cm mi-0, 23 j B = 81cm,155º

2m = 1- 0,48

m = 0,88

x

x

x

B = B cos

B = 81cmcos155º

B = -73, 41cm

y

y

y

B = B sen

B = 81cmsen155º

B = 34, 23cm

A = 46cm 0,88 i-0, 23 j

A = 40, 48i-10,58 j B = -73, 41i+ 34, 23 j cm

C= 57cm, N21ºE

90º 21º

69º

x

x

x

C = C cos

C = 57cmcos 69º

C = 20, 43cm

y

y

y

C = C sen

C = 57cmsen 69º

C = 53, 21cm

C= 20,43i+53,21j cm

a)

11/ 2A = 40,48 i-10,58 j cm

2

1/2A = 20,24i-5,29 j cm

2C = 2 20,43i+53,21 j cm

2C = 40,86 i+106,42 j cm

B = -73, 41i+34, 23 j cm

1/ 2A = 20,24 i-5,29 j

2C = 40,86 i+106, 42 j-B= 73,41i-34,23 j

1 2A + 2C - B = 134,51i+ 66,89 j






b)

2D = 2 -32 i- 29 j

2D = -64 i-58 j

-3A = -3 40, 48 i-10,58 j

-3A = -121, 44 i+31,74 j

11/ 3C = 20,43i+53,21 j

3

1/ 3C = 6,81 i+17,73 j

2-2 / 5B = - -73,41i+34,23 j

5

-2 / 5B = 29,36 i-13,69 j

2D = -64 i-58 j

- 3A = -121,44 i+31,74 j

1/ 3C = 6,81i+17,73 j

-2/5B= 29,36i-13,69 j

2D- 3A +1 3C- 2 5B 149,27 i-22,22 j

c)

3B = 3 -73, 41i+34, 23 j

3B = -220,23 i+102,69 j

22 / 3A = 40,48 i-10,58 j

3

2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j

4-4 / 3D = - -32 i-29 j

3

-4 / 3D = 42,66 i+38,66 j

3B = -220,23 i+102,69 j

2 / 3A = 26,99i-7,05 j

3B + 2 3A = -193, 24 i+95,64 j

- C = -20,43 i-53,21 j

- 4 / 3D = 42,66 i+38,66 j

- C - 4 3D = 22,23 i-14,55 j

3B + 2 3A • -C - 4 3D = -193,24×22,23+ 95,64×-14,55

3B+ 2 3A • -C- 4 3D = -5687,28

d)

-3C = -3 20, 43 i+53,21 j

-3C = -61,29 i-159,63 j

33/ 2B = -73,41i+34,23 j

2

3 / 2B = -110,12 i+51,35 j

4A = 4 40, 48 i-10,58 j

4A = 161,92 i- 42,32 j






D = -32 i-29 j

- 3C = -61,29 i-159, 63 j

D - 3C = -93,29 i-188,63 j

3 / 2B = -110,12 i+51,35 j

4A = 161,92 i- 42,32 j

3 2 B + 4A 51, 8 i 9, 03 j

-93, 29 -188,63

D -3C × 3 2 B+ 4A = = -842, 41+ 9771, 03 k = 8928, 62 k 51,8 9, 03

e) B• A = -73, 41×40, 48 + 34, 23×-10,58

B• A = -3333,79

C• D = 20, 43×-32+ 53,21×-29

C• D = -2196,85

B• A + C• D = -3333,79- 2196,85

B• A + C• D = -5530, 64

f) 2A×C + 5B×D

2A = 2 40, 48 i-10,58 j

2A = 80,96 i-21,16 j

5B = 5 -73, 41i+34,23 j

5B = -367,05 i+171,15 j

80,96 -21,16

2A×C = = 4307,88 + 432,30 k = 4740,18 k 20,43 53,21

g) El ángulo formado por D - A y B + C

D = -32 i-29 j

- A = -40, 48 i+10,58 j

D - A = -72,48i-18,42 j

B = -73, 41i+34,23 j

C = 20, 43i+ 53, 21 jB + C = -52,98 i+87,44 j






-1

2 2 2 2

-72,48×-52,98-18,42×87,44= cos

72,48 +18,42 52,98 +87,44

= 73,05º

10. Dados los vectores D= 5km,63º , E = -7, -1 km y F= 4km;S70ºE , calcular:

a) 2D+E+3F

b) E -D -2 F

c) D • E

d) D - E× F

e) La proyección de E sobre D

f) El ángulo comprendido entre E y F

g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E

SOLUCIÓN:

a) x

x

x

D = D cos

D = 5kmcos 63º

D = 2,27km

y

y

y

D = D sen

D = 5kmsen 63º

D = 4,46km

D= 2,27i+4,46 j km

E = -7i-1j km

270º 70º

340º

x

x

x

F = F cos

F = 4kmcos340º

F = 3,76 km

y

y

y

F = F sen

F = 4 kmsen 340º

F = 1,37km

F= 3,76i-1,37 j km

2D = 2 2,27 i+4,46 j km

2D = 4,54 i+8,92 j km

3F = 3 3,76 i-1,37 j km

3F = 11, 28 i-4,11 j km






2D = 4,54 i+8,92 j km

E = - 7 i -1 j km

3F = 11,28 i-4,11 j km

2D E 3F 8, 82 i 3, 81 j km

b)

E -D -2 F

-2F = -2 3,76 i-1,37 j km

-2F= -7,52i+2,74 j km

E = - 7 i -1 j km

- D = -2,27 i- 4,46 j km

-2F= -7,52i+2,74 j km

E - D- 2F = -16,79 i- 2,72 j km

c) D• E = 2,27×-7 + 4,46×-1

D• E = -20,35

d)

-7 -1E×F = k = 9,59 +3,76 k = 13,35k

3,76 -1,37

D = 2,27 i+ 4,46 j+ 0k

- E × F = 0 i + 0 j-13, 35k

D- E×F 2,27 i+ 4,46 j-13,35k






e)

D E

D

D

E • DE = ×

D2, 27 i+ 4,46 j-7×2,27 1 4,46

E = ×5 5

E = -1,85 i- 3,63 j

2 2

D

D

E = 1,85 3,63

E = 4, 07

f) E = -7, -1 km y F= 3,76i-1,37 j km

-1

2

-7×3,76-1×-1,37= cos

4 7 +1

= 86, 25º

g) 22,27 4,46

Área = = -2, 27 + 31, 22 = 28, 95 km-7 -1

11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el

ángulo formado por los vectores A y B

SOLUCIÓN:

x x

x x

A + B = 2...........(1)

A - B = 6............(2)

x x

x

x

(3) en (1)

6 + B + B = 2

2 B = -4

B = -2

x x

x

x

x

De (2)

A = 6 + B .............(3)

Reemplazando el valor de B en (1)

A - 2 = 2A = 4

}

y y

y y

A + B = -4.......................(1)

A - B = -10.....................(2)

y y

De (2)

A = -10 + B .............(3)

y y

y

y

(3) en (1)

-10 + B + B = -4

2 B = 6

B = 3






y

y

y

Reemplazando el valor de B en (1)

A +3 = -4

A = -7

A = 4 i-7 j B = -2 i+3 j

1

1

2 2 2 2

cos

4 2 7 3cos

4 7 2 3

176,05º

A B

A B

12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A + B + C = 0






C = 0 i-16 j N

Para que Y=0 y y yA = -C A =16

Calculando xA

x

x

x

16tan37º=A

16A =

tan37ºA = 21, 24 como esta en X(-) -21,24

A = -21,24i+16 j N

2 2A = 21,24 +16

A = 26,59 N

Para que X=0 x x xB = -A Þ B = 21,24

B= 21,24i+0 j N

B = 21,24N




Vector Posición


EJERCICIO Nº5

1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la

posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en lassiguientes horas:

a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10

f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00

SOLUCIÓN:

Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:

a) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m;30ºr =1,2mcos30º

r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = 0,6 m

minr = 1,04 i+0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m;150º

r = 0,8mcos150º

r = 0, 69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen150º

r = 0, 4m hor r = -0,69 i+0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,69 i+0,4 j m- 1,04 i+0,6 j m

r = -1, 73 i- 0, 2 j m

150º

180º 0º

90º

270º

30º

120º 60º

240º

210º

300º

330º

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4




Vector Posición


b)

min

Xmin

Xmin

r = 1,2 m; 240º

r =1,2mcos240º

r = -0, 6m

Ymin

Ymin

r =1,2msen 240º

r = -1, 04m

minr = -0,6 i-1,04 j m hor r = 0 i+0,8 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0 i+0,8 j m- -0,6 i-1,04 j m

r = 0, 6 i 1,84 j m

c) min

Xmin

Xmin

r = 1,2 m; 210º

r =1,2mcos210º

r = -1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = -0, 6m

minr = -1,04 i-0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 300º

r = 0,8mcos300º

r = -0, 4 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 300º

r = 0,69m hor r = -0,4 i-0,69 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -1,04 i-0,6 j m- -0,4 i-0,69 j m

r = -0,64 i- 0,09 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4




Vector Posición


d) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 30º

r =1,2mcos330º

r = 1, 04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen330º

r = -0, 6m

minr = 1,04 i-0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 210º

r = 0,8mcos 210º

r = -0,69m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 210º

r = -0, 4 m

hor r = -0,69 i-0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,69 i-0,4 j m- 1,04 i-0,6 j m

r = -1, 73 i+ 0, 2 j m

e) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m;30º

r =1,2mcos30º

r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = 0,6 m

minr = 1,04 i+0,6 j m hor r = -0,8i+0 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,8 i+0 j m- 1,04 i+0,6 j m

r = -1, 84 i- 0, 6 j m

f) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m;150º

r =1,2mcos150º

r = -1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = -0, 6m

minr = -1,04 i-0,6 j m hor r = 0 i-0,8 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4




Vector Posición


hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0 i-0,8 j m- -1,04 i-0,6 j m

r = 1, 04 i- 0, 2 j m

g) min

Xmin

Xmin

r = 1,2 m; 210º

r =1,2mcos210º

r = -1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen 210º

r = -0, 6m

minr = -1,04 i-0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 30ºr = 0,8mcos30º

r = 0, 69 m

Yhor

Yhor

hor

r = 0,8msen30º

r = 0, 4m

r = 0, 69 i+ 0, 4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0,69 i+0,4 j m- -1,04 i-0,6 j m

r = 1, 73 i+ j m

h) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 60º

r =1,2mcos60º

r = 0,6m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = 1, 04 m

minr = 0,6i+1,04 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m;120º

r = 0,8mcos120º

r = -0, 4 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen120º

r = 0, 69 m hor r = -0,4 i+0,69 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4




Vector Posición


hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,4 i+0,69 j m- 0,6 i+1,04 j m

r = - i- 0,35 j m

i) minr = 0 i+1,2 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 330º

r = 0,8mcos150º

r = 0, 69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 330º

r = -0, 4 m

hor r = 0,69 i-0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0,69 i-0,4 j m- 0 i+1,2 j m

r = 0, 69 i-1, 6 j m

2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda

más cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar:

a) La posición de la tienda respecto a la ciudad

b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona

c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda

SOLUCIÓN:

casar = 2km; NE 1,41 i+1,41 j km

tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i- 0,1 j km

a)

t ienda/casa t ienda casa

tienda t ienda/casa casa

tienda

tienda

r = r - r r = r + r

r = 1,41i+1,41 j km+ 0,2i-0,1j km

r = 1,61i+1,31 j km

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4




Vector Posición


b) tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i- 0,1 j km

c) 2 2

tienda/casa

tienda/casa

r = 200 +100

r = 223, 60 m 0, 223km

3. Los vértices de un triángulo son los puntos 1P 0,5 , 2P 2,-1 y 3P 3,6 , determinar:

a) El valor de los ángulos internos del triangulo

b) El tipo de triangulo en función de sus lados

SOLUCIÓN:

a)

1 2

1 2

PP = 2 i- j - 0 i+5 j

PP = 2 i-6 j

1 3

1 3

P P = 3 i 6 j - 0 i+5 j

P P = 3 i j

2 3

2 3

P P = 3 i+6 j - 2 i- j

P P = i+7 j




Vector Posición


-1 1 2 1 3

1 2 1 3

-1

2 2 2

P P • P PA = cos

P P P P

2 3 6 1A = cos 2 6 3 1

A = 90º

-1 1 3 2 3

1 3 2 3

-1

2 2

P P • P PB = cos

P P P P

3 1 1 7B = cos

3 1 1 7

B = 63,43º

63, 43º +90º +C = 180º

C = 180º -90º-63, 43º

C = 26,57º

b) Triángulo rectángulo

4. Los vértices de un triángulo son los puntos A 8,9 m , B -6,1 m , C 0,-5m ,

determinar:

a) El valor de los ángulos internos del triangulo

b) El área del triángulo ABC

SOLUCIÓN:




Vector Posición


a)

AB = -6 i+ j m- 8 i+ 9 j m

AB = -14 i-8 j m

AC = 0 i-5 j m- 8 i+9 j m

AC = -8i-14 j m

BC = 0 i-5 j m- -6 i+ j m

BC = 6 i-6 j m

-1

-1

2 2 2 2

•A = cos

14 8 8 14A = cos14 8 8 14

A = 30,51º

AB AC

AB AC

-1

-1

2 2 2 2

AC•BCC = cos

AC BC

-8×6-14×-6C = cos8 +14 6 + 6

C = 74,74º

B =180º-30,51º-74,74º

B = 74,75º

b)

2

1Área = AB×AC

2-14 -81

Área = = 196 -64 = 132m-8 -142

5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P 4,5 km , Q 0,4 km

, R 1,1 km , S 5,2 km , determinar:

a) La forma geométrica de la ciudad b) El área de la ciudad

c) La posición relativa del punto R respecto del punto P

d) La posición relativa del punto S respecto del punto R

SOLUCIÓN:




Vector Posición


a) Paralelogramo

b)

RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km

RQ = - i+ 3 j km

RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km

RS = 4 i+ j km

2

Área = RQ×RS

-1 3Área = = -1-12 =13km

4 1

c) d)

R/P

R/P

r = i+ j km- 4 i+5 j km

r = -3 i-4 j km

S/R

S/R

r = 5 i+ 2 j km- i+ j km

r = 4 i+ j km

6. Se tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a

R para los siguientes casos:

a) P/Q

r 50km;S60ºE y

R/Q

r 70km; NO

b) P/Qr 80km;SO y R/Qr 25km; N70ºO

c) P/Qr 65km; N15ºO y R/Qr 90km;S30ºO

d) P/Qr 40km; N75º E y R/Qr 100km;S25ºE

SOLUCIÓN:




Vector Posición


P/Q P Q

Q P P/Q

r = r - r

r = r - r .............(1)

R/Q R Q

Q R R/Q

r = r - r

r = r - r .............(2) P/R P R r = r - r ..............(3)

P P/Q R R/Q

P R P/Q R/Q

Igualando (1) y (2)

r - r = r - r

r - r = r - r ...............(4)

P/R P/Q R/Q

(3) en (4)

r = r - r

a)

P/Qr 50km;S60ºE

270º 60º

330º

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 50kmcos330º

r x = 43,30km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 50kmsen 330º

r y = -25km

P/Qr 43,30 i-25 j km

R/Qr 70km; NO

90º 45º

135º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 70kmcos135º

r x = -49,50km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 70kmsen135º

r y = 49,50km

R/Qr -49,50 i 49,50 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = 43,30 i-25 j km -49,50 i 49,50 j km

r = 92,50 i-74,50 j km

b)

P/Qr 80km;SO

270º 45º

225º




Vector Posición


P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 80kmcos 225º

r x = -57,57km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 80kmsen 315º

r y = -56,57km

P/Qr = -56,57 i-56,57 j km

R/Qr 25km; N70ºO

90º 70º

160º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 25kmcos160º

r x = -23,49km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 25kmsen160º

r y = 8,55km

R/Qr -23,49 i 8,55 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = -56,57 i-56,57 j km- -23, 49 i+8,55 j km

r = -33,08i-48,02 j km

c) P/Qr 65km; N15ºO

90º 15º

105º

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 65kmcos105º

r x = -16,82km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 65kmsen105º

r y = 62,79km

P/Qr = -16,82 i+ 62,79 j km

R/Qr 90km;S30ºO

270º 30º

240º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 90kmcos 240º

r x = -45km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 90kmsen 240º

r y = -77,94 km

R/Qr = -45 i-77,94 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = -16,82 i+62,79 j km- -45 i-77,94 j km

r = 28,18 i+140,73 j km




Vector Posición


d) P/Qr 40km; N75ºE

90º 75º

15º

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 40kmcos15º

r x = 38,64km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 40kmsen15º

r y = 16,82km

P/Qr = 38,64i+16,82 j km

R/Qr 100km;S25ºE

270º 25º

295º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 100kmcos 295º

r x = 42,26km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 100 kmsen 295º

r y = -90,63km

R/Q

r = -45 i-77,94 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = 38,64 i+16,82 j km- -45 i- 77,94 j km

r = 83,64i+94,76 j km

7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta

desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que

consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta

que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta.

8. Dados los puntos L 8, -6 m y J -4,3 m , determinar:

a) Los vectores posición de L y J respecto al origen

b) La posición relativa de L con respecto a J

c) La distancia entre los puntos L y J

SOLUCIÓN:

a) b) c)

L

J

r = 8 i- 6 j m

r = -4 i+ 3 j m

L/J L J

L/J

L/J

r = r -r

r = 8 i-6 j m- -4 i+3 j m

r = 12 i- 9 j m

2 2L/J

L/J

r = 12 +9

r = 15m




Vector Posición


9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km

del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente gráfico:

Determinar:

a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la

montaña A

b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la

cumbre de la montaña B

SOLUCIÓN:

A

A

AA

A

A

r xtan60º=

r y

r xr y =

tan 60º

3 km

r y = tan 60º

r y = 1,73km

Ar = -1,73i+3 j km

B

B

BB

B

B

r xtan40º=

r y

r xr y =

tan 40º

2 km

r y = tan 40º

r y = 2,38km

Br = 2,38 i+ 2 j km

a)

B/A

B/A

r = 2,38 i+ 2 j km- -1,73i+3 j km

r = 4,11i- j km

b) 2

B/A

B/A

r = 4,11 +1

r = 4,23km

Considerando ida y vuelta por cables independient

4,23km×2 =

es

8,46

10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son 5, -2 m y -4,7 m

respectivamente, determinar:




Vector Posición


a) Las componentes rectangulares del vector E

b) La magnitud del vector E

c) El vector unitario del vector E

SOLUCIÓN:

a) b) c)

E -4, 7 m 5, - 2 m

E -9, 9 m

2 2E = 9 + 9

E =12,73m

E

E

E

E

E

-9 i+9 j m

12,73m

-0,706 i+0,706 j m

11. Un avión de aeromodelismo está a 4km,SO de la torre de control. En ese momento,

su dueño desea impactar en un blanco que está ubicado en el punto 6,-4 km ,

determinar:

a) La posición del avión respecto al blanco

b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito

c) La distancia del avión al blanco

SOLUCIÓN:

a) 4km,SO

x

x

x

A = A cos

A = 4kmcos 225º

A = -2,83km

y

y

y

A = A sen

A = 4kmsen 225º

A = -2,83km

A = -2,83i-2,83 j km

A/B

A/B

r = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i-4 j km

r = -8,83 i+1,17 j km

b) c)




Vector Posición


8,83tan

1,17

82,45º

S82,45ºE

2 2A/B

A/B

r = 8,83 +1,17

r = 8, 91km

12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición 200m, N28ºE

respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición

200m,SO respecto a la misma torre de control, determinar:

a) La posición relativa de B respecto de A

b) La distancia que existe entre los dos aviones

SOLUCIÓN:

a) 200m, N28ºE

x

x

x

B = B cos

B = 200mcos62º

B = 93,89m

y

y

y

B = B sen

B = 200 msen62º

B =176,59m

B= 93,89i+176,59 j m

200m,SO

x

x

x

A = A cos

A = 200mcos225º

A = -141,42

y

y

y

A = A sen

A = 200msen225º

A = -141,42

A = -141,42 i-141,42 j m

B/A

B/A

r = 93,89 i+176,59 j m- -141, 42 i-141, 42 j m

r = 235,31i+ 318,01 j m

b)

2 2B/A

B/A

r = 235,31 +318,01

r = 395,60m




Vector Posición


13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección

NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE

con una velocidad de 15m/s, determinar:

a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección

b) El vector unitario del vector velocidad resultante

c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante

SOLUCIÓN:

a) A = 20m/ s; NO

x

x

x

A = A cos

A = 20m/ scos135º

A = -14,14m/ s

y

y

y

A = A sen

A = 20m/ ssen135º

A = 14,14m/s

A = -14,14 i+14,14 j m/s

B = 15m/s; N 25º E

x

x

x

B = B cos

B = 15m/ scos65º

B = 6,34m/ s

y

y

y

B = B sen

B = 15m/ ssen 65º

B =13,59m/s

B= 6,34i+13,59 j m/s

V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s

V = -7,8 i+27,73 j m/ s

2 2V = 7,8 + 27,73

V = 28,81m/s

1 7,8tan

27,73

15,71º

V = 28,81m/s; N15,71ºO




Vector Posición


b) c)

V

V

V

V

V

-7,8 i+ 27,73 j m/ s=

28,81m/ s

= -0, 27 i+0,96 j m/ s

90º 15,71º

105,71º

15,71º

14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A

b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E

c) El ángulo formado por los vectores EA y EC

d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D

e) La proyección del vector AE sobre AQ

SOLUCIÓN:

Considerando A como origen:

a)

F/Ar = 2,8i-1,5 j m

b)

cr = 2,8i+0 j m Er = 1,4 i-1,5 j m

C/E C E

C/E

C/E

r = r - r

r = 2,8 i+ 0 j m- 1,4 i-1,5 j m

r = 1,4 i+1,5 j m




Vector Posición


c)

EA = A - E

EA = -1,4 i+1,5 j m

EC = C- E

EC = 1,4 i 1,5 j m

1

2 2 2 2

1,4 1,4 1,5 1,5cos

1, 4 1,5 1, 4 1,5

86,05º

d)

Q = 2,1i- 0,75 j m

D = 0 i-1,5 j m

Q/D

Q/D

r = 2,1i-0,75 j m- 0 i-1,5 j m

r = 2,1 i 0,75 j m

e) AE = 1,4 i-1,5 j m

AQ = 2,1i- 0,75 j m

AQ AQ

AQ2 2 2 2

AQ

AE•AQAE =AQ

1, 4 2,1 1, 5 0, 75 2,1 i- 0, 75 jAE =

2,1 0, 75 2,1 0, 75

AE = 1,72 i- 0,61 j m

AQ

AQ

AE = 1,72 i-0,61 j m

AE =1,82m




Cinemática definiciones generales


EJERCICIO Nº6

1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm

al Sur; determinar:a) Los desplazamientos realizados

b) El desplazamiento total realizado

c) El modulo del desplazamiento total

d) La distancia total recorrida

SOLUCIÓN:

a) 2

2

r x = 12cmcos 45º

r x = 8,49cm

2

2

r y = 12cmsen 45º

r y = 8,49cm

1r 8 i+ 0 j cm

2r 8, 49 i+ 8, 49 j cm

3r = 0 i- 5 j cm

b)

1 2 3r r r r

r 8 i+ 0 j cm 8, 49 i+ 8, 49 j cm 0 i- 5 j cm

r 16,49 i+3,4 9 j cm

c) d)

2 2r 16,49 3,4 9

r 16,85cm

d = 8cm+12cm+ 5cm

d = 25cm

2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el

plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos

en línea recta;: determinar:a) Los desplazamientos realizados

b) Los vectores posición en cada punto

c) El desplazamiento total realizado

d) El módulo del desplazamiento

e) La distancia recorrida






SOLUCIÓN:

a)

3

3

r x = 76mmcos 200ºr x = -71,41mm

3

3

r y = 76mmsen 200ºr y = -25,99m

1r 0 i- 45 j mm

2r -30 i+ 0 j mm

3r = -71, 41i- 25,99 j mm

b) 1r 0 i- 45 j mm

2r -30 i- 45 j mm

3 2 3

3

3

r r r r -30 i- 4 5 j mm -71,41 i- 2 5,99 j mm

r -100,41i-70,99 j mm

c)

1 2 3r r r r

r 0 i- 45 j mm -30 i+ 0 j mm -71, 41 i- 25, 99 j mm

r -100,41i-70,99 j mm

d) e)

2 2r 100,41 70,99

r 122,97mm

d = 45mm+ 30mm+ 76mm

d =152mm

3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A -85, 204 km y la lectura de su odómetro es

10235 km, viaja rectilíneamente hacia B 123, 347 km y llega a las 11h10; determinar:

a) Los vectores posición de cada ciudad

b) El desplazamiento realizado

c) La lectura del odómetro cuando llega a B

d) La velocidad media






e) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para

llegar a las 14h15.

SOLUCIÓN:

a) A

r = -85 i+ 204 j km

Br = 123 i+347 j km

b)

B Ar = r - r

r = 123i+347 j km- -85 i+204 j km

r = 208 i+143 j km

c) 2 2r = 208 143

r = 252,41km

Lectura = 10235km+ 252, 41km

Lectura =10487,41km

d) 10 min 1h

= 0,166 h60min

f 0t t - t

t 11,166h-7 ht 4,166 h

m

m

m

r V =

t

208 i+143 j kmV =

4,166h

V = 49,93 i+34,33 j km/ h

m

m

m

r V =

t

252,41kmV =

4,166h

V = 60,58 km/ h

e)

15 min 1h= 0, 25h

60min

f 0t t - t

t 14, 25h-11,166h

t 3,084h

m

m

m

r V =

t

252,41kmV =

3,084h

V = 81,85 km/ h






4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a 865km;15º hasta A y el otro

vuela -505 i+ 253 j km hasta B en 2 horas en línea recta; determinar:

a)

Los vectores posición de los puntos A y B b) Los desplazamientos realizados por cada avión

c) La velocidad media de cada avión

d) La rapidez media de cada avión

e) La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B

SOLUCIÓN:

a)

865km;15º

A

A

r x = 865 kmcos15º

r x = 835,53km

A

A

r y = 865 kmcos15º

r y = 223,88km A

r = 835,53 i+223,88 j km

Br -505 i + 253 j km

b) A

r = 835,53 i+223,88 j km

Br -505 i + 253 j km

c)

mA

mA

mA

r V =

t

835,53 i+ 223,88 j kmV =

2 h

V = 417,77 i+116,94 j km/ h

mB

mB

mB

r V =

t

-505 i+ 253 j kmV =

2 h

V = -252,5 i+126,5 j km/ h

d)






2 2

mA

mA

V = 417, 77 116, 94

V = 433,83km/ h

2 2

mB

mB

V = 252, 5 126, 5

V = 282,42km/ h

e)

B Ar r r

r -505 i+ 253 j km 835,53 i+ 223,88 j km

r -1340,53 i+476,88 j km

mA

mA

mA

r V =

t

-1340,53 i+ 476,88 j kmV =

3 hV = -446,84 i+158,96 j km/ h

2 2

mA

mA

V = 446,84 +158,96

V = 474,27km/ h

5. Una partícula cuya velocidad era de 12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta

rectilínea; determinar:

a) El módulo de la velocidad inicial

b) El vector unitario de la velocidad inicial

c) El vector velocidad final

d) La aceleración media de la partícula

SOLUCIÓN:

a) b) d)

2 2

0

0

V = 12 +15

V =19,21m/ s

0

0

0

0V

0

V

V

V

V

12 i+15 j m/ s

19, 21m/ s

0,62 i+0,78 j

f 0V - Va =

t

-12 i-15 j m/ sa =

20s

a = -0,6 i- 0,75 j m/ s

c) Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0






6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de

-21i-18 j m/ s a 24m/s;S30ºE ; en 10s determinar:

a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final

b) La aceleración media

SOLUCIÓN:

a) 24m/s;S30ºE

f f

f

f

V x = V cos

V x = 24m/ scos300º

V x =12m/ s

f f

f

f

V y = V sen

V y = 24 m/ ssen300º

V y = 20,78m/ s

f V = 12i-20,78 j m/s

0

0

0

0V

0

V2 2

V

V=

V

-21i-18 j m/ s=

21 +18

= -0,76 i- 0,65 j m/ s

f

f

f

f V

f

V

V

V=

V

12 i- 20,78 j m/ s=

24m/s

= 0,5 i-0,87 j m/ s

b)

f 0V - Va =

t

12 i-20,78 j m/ s- -21i-18 j m/ sa =

10 s

33i-2,78 j m/sa =

10 s

a = 3,3 i-0,278 j m/ s




Movimiento Rectilíneo Uniforme


EJERCICIO Nº 7

1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A -35, 50 km a la ciudad B -25, 45 km en

línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar:

a) El desplazamiento realizado

b) La velocidad media

c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje

SOLUCIÓN:

a) b)

r -25 i- 45 j km- -35 i+50 j km

r 10 i-95 j km

r V =

t

10 i-95 j kmV =

2 h

V = 5 i- 47,5 j km

c)

40min 1h= 0,666h

60min

r V× t

r 5 i- 47,5 j km/ h 0,666h

r 3,33i-31,64 j km

2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes

de modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+20 j y 15 i 30 j m y al

instante t=10s sus posiciones son 20 i y -10 j km respectivamente; determinar:

a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo

b) La velocidad media de cada vehículo

c) La velocidad de A respecto a B

SOLUCIÓN:

a)






A fA 0 A

A

A

r = r - r

r = 20 i+0 j m- -40 i+ 20 j m

r = 60 i-20 j m

B fB 0 B

B

B

r = r - r

r = -10 i+ 0 j m- 15 i-30 j m

r = -25 i+30 j m

b)

A

A

A

r V =

t

60 i-20 j mV =

10s

V = 6 i-2 j m/ s

B

B

B

r V =

t

-25 i+30 j mV =

10s

V = -2,5 i+3 j m/ s

c)

A/B

A/B

V = 6 i-2 j m/ s- -2,5 i+3 j m/ s

V = 8,5 i-5 j m/s

3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y

desde que penetra la maquina hasta que sale el último vagón demora 30s; determinar:

a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s)

b)

La longitud del tren

SOLUCIÓN:

a) 60 i km 1000m 1h

=16,67m/sh 1km 3600s

r = V× t

r = 16,67m/s 30s

r = 500 m

r = V× t

r = 16,67m/s 60s

r = 1000m

r = V× t

r = 16,67m/s 90s

r = 1500m

b) x = r- 400 m

x = 500m-400m

x = 100m






4. Una partícula parte del punto 25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al punto

6, 30 m con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar:

a) La velocidad empleada

b) El tiempo empleado

c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más.

SOLUCIÓN:

a) 40 km 1000m 1h

= 11,11m/ sh 1km 3600s

f 0r = r - r

r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j m

r = -31i-50 j m

r

2 2

V = V ×

-31i-50 jV =11,11m/ s

31 50

V = -5,85 i-9,44 j m/ s

2 2r = 31 50

r = 58,83m

b)

A

r t =

V

58,83mt =

11,11m/ s

t = 5,30s

c)

r = V× t

r = -5,85 i-9,44 j m/ s 10s

r = -58,5 i-94,4 j m

1 2r = r r

r = -31i-50 j m -58,5 i-94,4 j m

r = -89,5 i-144,4 j m






5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en

bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y 40 i km/ h en

bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar:

a) La velocidad media durante las 10 horas

b) El desplazamiento en moto

c) El tiempo que recorrió en bicicleta

SOLUCIÓN:

a) r

V =t

1000 i kmV =

10 hV =100 i km/ h

b) moto bicir r r ................(1)

moto bici

bici moto

t = t t

t t t .................(2)

moto moto motor = V t ...............(3)

bici bici bicir = V t ...............(4)

moto moto bici bici

(3) y (4) en (1)

r V t V t ..................(5)

moto moto bici moto

moto moto bici bici moto

moto moto bici moto bici

moto moto bici

(2) en (5)

r = V t V t t

V t V t V t = r

V t V t = r V t

t V V = r

bici

bicimoto

moto bici

moto

moto

V t

r V tt =

V V

1000km- 40km/ h×10ht =

120km/ h- 40km/ h

t = 7,5h

moto

moto

r =120km/ h×7,5h

r = 900km






c) bici

bici

t 10 h- 7,5h

t 2,5h

6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:

Determinar:

a) La posición inicial

b) La rapidez en cada tramo del viaje

c) El tiempo que permaneció en reposo

d) La posición cuando t=35(s)

e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando está en el origen

SOLUCIÓN:

a) 0r =10m

b)

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4

f 0

f 0

r - r V =

t - t

30m-10mV =

10s

V = 2m/ s

Reposo

f 0

f 0

r - r V =

t - t

40m-30mV =

30s-20s

V =10m/ s

f 0

f 0

r - r V =

t - t

0m-40mV =

40s-30s

V = -4m/s






c) d) e)

t 20s-10s

t 10 s

r = V t

r = 4 m/ s 5 s

r = 20m

7. Una persona parte de la esquina 0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y

camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+),

hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez

constante igual a 2m/s ; determinar:

a) La velocidad en cada tramo

b) El tiempo que demora en recorrer cada lado

c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta

que partió

d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esamisma rapidez

SOLUCIÓN:

a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada

tramo será:

Tramo 1 Tramo 2 Tramo3 Tramo 4

V = 2 i m/s

V = 2 j m/ s

V = -2 i m/ s

V = -2 j m/ s

b) Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4

r t =

V

60 mt =

2 m / s

t = 30s

r t =

V

100mt =

2 m / s

t = 50s

r t =

V

60 mt =

2 m / s

t = 30s

r t =

V

100mt =

2 m / s

t = 50s

c) Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será:

Está a 20m del origen a los 5s y a

los 35s, y se encuentra en el

origen a los 40s






r 60 i 100 j m 2 2

r = 60 100

r =116,62m

d) r

t =V

116,62mt =

2 m / s

t = 58,31s

8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km/h se cruzan y siguen su

camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar:

a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas

b) La distancia que los separa al cabo de 6 horasc) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia

SOLUCIÓN:

a) b)

A A

A

A

r = V t

r =10i km/ h 6h

r = 60 i km

B B

B

B

r = V t

r =12 j km/ h 6h

r = 72 j km

A B

2 2

A B

A B

r = 60 i 72 j km

r = 60 72

r = 93, 72 km

c)

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

10km/ h×t + 12km/ h×t =100km

100km / h × t +144km / h × t = 100km

244km / h ×t = 100km

t 244 km/ h = 100km

100kmt =

244 km/ h

t = 6,40h






9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una

rapidez constante de 3m/s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma

dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar:

a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran

b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m

SOLUCIÓN:

a)

B At = t -5s ...............(1) B Ar r 80m...............(2)

A A A

B B B

r V =t

r V t ...............(3)

r V t ...............(4)

B B A A

(3) y (4) en (2)

V t = V t 80m...........(5)

B A A A

B A B A A

A A B A B

A A B B

BA

A B

A

A

(1) en (5)

V t - 5s = V × t - 80 m

V × t - V × 5 s = V × t - 80 m

V × t - V × t = 80 m- V ×5 s

t V - V = 80 m- V × 5s

80m-V ×5st =

V - V

80m-2m/s×5st =

3m/s-3m/s

t = 70 s

A A A

A

A

r = V ×t

r = 3m/ s×70s

r = 210m






b) Después de encontrarse

A Br = r +80m...........(1) A Bt = t ...................(2)

A A B B

(3) y (4) en (1)

V × t = V × t +80m...........(5)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Gráfico

Móvil A Móvil B

A A A

B B B

r V =

t

r V t ...............(3)

r V t ...............(4)






A A B A

A A B A

AA B

A

A

(2) en (5)

V × t = V × t + 80 m

V × t - V × t = 80 m

80 mt =

V - V

80 mt =

3m/s-2m/s

t = 80 s

Desde que el móvil partió

t = 70s+ 80

desde A

s

t =150s

10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h y B con

una velocidad de 32 i km/ h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas;

determinar:

a) La distancia que los separaba inicialmente

b) El tiempo en que A llega al punto donde partió Bc) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el

instante en que encuentran B invierte el sentido

SOLUCIÓN:

a)

A Bx = r r ..................(1) A A A

B B B

r V =

t

r V t ...............(2)

r V t ...............(3)

A A B B

(2) y (3) en (1)

x = V ×t -V ×t

x = 53km/ h×2,4h-32km/ h×2,4 h

x = 50,4km

b) r

t =V

50,4kmt =

53km/ h

t = 0,95h






c)

Desde el punto de encuentro

A

B

r t =

V

53km/ h×2,4 ht =

32km/ h

t = 3,98h

11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, si el

más rápido viaja a 63 km/ h ; determinar:

a) La rapidez del más lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al

cabo de 3 horas

b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez

dada para el más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro

SOLUCIÓN:

a)

Desplazamiento del más rápido Desplazamiento del más lento

A A

A

A

r = V × t

r = 63km/ h×3h

r =189km

B A

B

B

r = r -134km

r = 189km-134km

r = 55km

BB

B

B

r V =

t

55kmV = 3h

V = 18,33km/ h

b)

A Br + r 134km...............(1) 1 2t = t ...............(2)






A A 1

B B 2

r = V × t .............(3)

r = V ×t .............(4)

A 1 B 2

(3) y (4) en (1)

V × t V ×t 134km........(5)

A 1 B 1

1 A B

1

A B

1

1

(2) en (5)

V × t + V × t = 134 km

t V + V = 134 km

134kmt =

V + V

134kmt =

63km/ h+18,33km/ h

t =1 ,6 5 h

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con

una rapidez constante de 2 m/ s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a

10 km/ h , si A y B distan 3km; determinar:

a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran

b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran

SOLUCIÓN:

Datos:

AV = 2 m/ s

BV =10 km/ h

B-reposot = 5min

r 3km

10 km 1000m 1h= 2,78m/ s

h 1km 3600s

5min 60s= 300s

1min

3km 1000m3000m

1km






a)

A Br + r 3000m...............(1) 1 2t = t +300s ...............(2)

A A 1

B B 2

r = V × t .............(3)

r = V ×t .............(4)

A 1 B 2

(3) y (4) en (1)

V ×t V ×t 3000m........(5)

A 2 B 1

A 2 A B 1

1 A B A

A1

A B

1

1

(2) en (5)

V × t +300s + V ×t = 3000m

V ×t V ×300s+ V ×t = 3000m

t V +V = 3000m V ×300s

3000m V ×300st =

V + V

3000m- 2m/ s×300st =

2m/s+2,78m/s

t = 502,1s

1

1

t = 502,1s+300s

t = 802,1s

A

A

r = 2m/ s×802,1s

r =1604,2 m

B

B

r = 3000m-1604, 2m

r =1395,8m






b)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Gráfico

Móvil A Móvil B




Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado


EJERCICIO Nº8

1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración 215m/ s ; N15ºE .Si a t=0,

la partícula se encuentra en la posición -2, 3 m y su rapidez es de 8m/s . Para unintervalo entre 0 y 8s; determinar:a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media

SOLUCIÓN:

a) 215m/s ; N15ºE

2

x

2

x

a =15m/ s cos75º

a = 3,88m/ s

2

y

2

y

a =15m/ s sen 75º

a =14,49m/ s 2a = 3,88 i 14,49 j m/ s

0r = -2 i+3 j m

Para que sea retardado

0a V= -

0

a2 2

a V

3,88 i 14,49 j=

3,88 14,49

= 0, 26 i 0,97 j -0, 26 i- 0,97 j

0

0

V = 8m/s -0,26 i- 0,97 j

V = -2,08 i- 7,76 j m/ s

2

0

22

1r V t a t

2

1r -2,08 i-7,76 j m/s 8s 3,88 i 14,49 j m/s 8s

2

r 107,52 i 401,6 j m

b)






m

m

m

r V =

t

107,52 i 401,6 j mV =

8s

V = 1 3, 44 i 50, 2 j m/ s

2. El grafico Vx-t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten de dos partículas A y B que parten de una misma posición inicial y sobre la misma trayectoriarectilínea.

Determinar:

a) El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo b) La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s)c) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s)d) Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamente

e) Los gráficos xr - t y xa - t de cada partícula

SOLUCIÓN:

a)

Partícula A Partícula B

0-4s 4-8s 8-16MRUVA MRU MRUVR

b)

0-8SMRUVA






Partícula A:

Intervalo de 0 a 4s Intervalo de 4 a 8s

Va =

t

30m/sa =

4s

a = 7,5 m/ s

0r V t

2

22

1a t

2

1r 7,5m/ s × 4s

2

r 60 m

r = V×t

r = 30m/ s×4s

r =120m

Intervalo de 8 a 12s

Va = t

-30m/ sa =

4s

a = -7,5 m/ s

2

0

22

1r = V t a t2

1r = 30m/ s×4s+ 7,5m/ s × 4s

2

r =180m

r = 60m+120m+180m

r = 360m

Partícula B

Intervalo de 0 a 12s

Va =

t30m/s

a =4s

a = 7,5 m/ s

2

0

22

1r V t a t

21

r -30m/ s×12 7,5m/s × 12s2

r 180m

c) Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s

2

0

22

1r V t a t

2

1r -30m/s×4s 7,5m/s × 4 s

2

r -60m

A/B

A/B

r = 60m- -60m

r = 120 m

Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s






2

0

22

1r V t a t

2

1r -30m/s×8s 7,5m/s × 0 s

2

r 0m

A/B

r = 60m+120m

r =180m

r = 180 m

Distancia de A a B a 12s

A/B

A/B

r = 240m-180m

r = 60 m

d)

Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Gráfico r(x)-t Partícula A y B






A B

0A

r = r + r

60m = V ×t

2 2

0B

2 2

2 2

2

1 2

1 1+ at +V × t+ at

2 2

60m = 7,5m/ s t +60m/s×t

7,5m/ s t +60m/s× t- 60m = 0

-60 ± 60 + 4×7,5×60t =

2×7,5

t = 0,898s t = -8,898

221

r = 240m- 7,5m/s 0,8982

r = 236,98m

e)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Gráfico r(x)-t Partícula A






-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260280

300

320

340

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Gráfico r(x)-t Partícula B

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Gráfico a-t Partícula A






3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su posición

para t=0 es 30 i m y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de 15m/s que

está disminuyendo a razón de 1,5m/s cada s; determinar:

a) La aceleración b) El gráfico velocidad contra tiempoc) El gráfico posición contra tiempod) El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m

SOLUCIÓN:

a) 2

a =1,5 i m/ s

b)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Gráfico a-t Partícula B






c) -16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10 12 14

Gráfico V(x)-t

-50

-45

-40

-35-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

2025

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Gráfico r(x)-t

Series1






d)

2

0

2 2

2 2

2

1r = V ×t- a×t

2

175m =15m/ s×t- 1,5m/ s ×t

2

0,75m/s × t -15m/ s×t-75m = 0

15 ± 15 - 4×0,75×75t =

2×0,75

t =10s

4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ s y acelerando a

23m/s en línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde el reposo y conuna aceleración constante de 25m/s también en línea recta. Si inicialmente A y B están

separados una distancia horizontal de 1700m; determinar:a) Dónde y cuándo se encuentran b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también

mientras se alejan

SOLUCIÓN:

a)

A B

2 2

0A A A A B B

r = r + r

1 11700m = V t + a t + a t ...................(1)

2 2

A Bt = t +5s....................(2)






2 2

0A B A B B B

2 2 2

0A B 0A A B B B B

2 2 2

0A B 0A A B A B A B B

2 2 2

B B

(2) en (1)

1 11700m = V × t +5s + a × t +5s + a ×t

2 2

1 11700m = V ×t + V ×5s+ a × t +10s×t + 25s + a × t

2 21 1 1 1

1700m = V ×t +V ×5s+ a × t + a ×10s×t + a ×25s + a × t2 2 2 2

1 11700m =10m/ s t +10m/ s 5s+ 3m/ s t + 3m/ s 10s×

2 2 2 2 2 2

B B

2

B B

2 2

B B

2

B

B1 B2

1 1t + 3m/ s 25s + 5 m/ s t

2 2

1700m = 87,5m+ 25 t + 4m/ s t

4m/ s t + 25 t -1612,5m = 0

-25 ± 25 +4 4 1612,5t =

8

t = 17,19 s t = 23, 44s

A

A

t =17,19s+5s

t = 22,19s

22

A

A

1r =10m/s×22,19s+ 3m/ s × 22,19s

2

r = 960,5m

22

B

B

1r = 5m/ s × 17,19s

2

r = 738,74m

b)

5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 23m/s y pasa

por el punto P 3, 5 m con una velocidad -3 i- 4 j m/ s , en ese mismo momento B

pasa por el punto Q 1,3 m con una velocidad de -30 j m/ s y desacelera a razón de2

2m/s ; determinar:

a) La aceleración de cada uno de los vehículos b) La posición de A y de B después de 7s

SOLUCIÓN:

a)






A

A

A

AV

A

V2 2

V

V=

V

-3 i- 4 j

3 4

-0,6 i-0,8 j

A A

A

V a

A A V

2

A

2

A

a = a ×

a = 3m/ s -0,6 i-0,8 j

a = -1,8 i- 2,4 j m/ s

2

Ba = 2 j m/ s

b)

A A A

A

A

2

f 0 0 A

22f

f

1r = r + V t+ a t

2

1r = 3 i 5 j m -3 i- 4 j m/ s 7 s -1,8 i- 2, 4 j m/ s 7 s

2

r = -62,1i-81,8 j m

B B B

B

B

2

f 0 0 B

22

f

f

1r = r + V t+ a t

2

1r = - i 3 j m -30 j m/ s 7s+ 2 j m/ s 7s

2

r = - i-158 j m

6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como seindica en los gráficos siguientes:






Determinar:a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3sc) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo

SOLUCIÓN:

a)

Para t=0s Para t=2s Para t=3s

V = 20 i+10 j m/ s V = 20 i+30 j m/ s V = 20 i+40 j m/ s

b)

Para t=0s Para t=2s Para t=3s

2

a = 0 i+10 j m/ s 2

a = 0 i+10 j m/ s 2

a = 0 i+10 j m/ s

c)

No es movimiento rectilíneo

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el

reposo y acelera a razón de 25m/s hasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene

la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde;determinar:a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado b) La distancia que recorrió con MRUc) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s

SOLUCIÓN:






a) 0

r = V t

2

2 2

1+ at

2

112m- -8m = 5m/ s t

2

t = 8 = 2,83

Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado

t = 7,83

b)

2 2

f 0V = V

2

f

f

+ 2a r

V = 10m/s ×20m

V =14,14m/ s

r = V×t

r =14,14m/ s 5s

r = 70,70m

c)

Durante los últimos 5s Desplazamiento Total

0r = V t

2

22

1+ at2

1r =14,14m/ s×5s+ -2,83m/ s 5s

2

r = 35,33

r = 20m+70,70m+35,33m

r =126,03m

d) f V 0

0

2

= V + a t

- Va =t

-14,14 m/ sa =

5s

a = -2,83m/ s






8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanzaverticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzadaverticalmente hacia abajo; determinar:a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo

SOLUCIÓN:

“La mas rápida es la piedra B pues al ir en la misma dirección de la aceleración de la

gravedad su rapidez final será mayor que a la de A que debe subir hasta que su rapidezsea 0 y volver a bajar nuevamente.”

9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración cuyo

modulo es 22m/s .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; determinar:

a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2

SOLUCIÓN:

a) 2

0

2 2

2

2

1r = V t+ at

2

1100m = 5m/ s×t+ 2m/ s ×t

2

t 5 m/ s× t 100 m 0

-5± 5 + 4×100t =2

t = 7,81s

2

0

2 2

2

2

1r = V t+ at

2

150m = 2,5m/ s× t + 2m/ s × t

2

t 2, 5m/ s× t 50 m 0

-2,5 ± 2,5 + 4× 50t =2

t = 5,93s

b)

0A

0B

0B 0A

2 2

2 2

2

2

V +at3=

2 V +at

3 V +at = 2 V +at

3 2,5m/ s+ 2m/ s t = 2 5m/s+2 m/ s t

7,5m/ s+ 6m/ s t =10m/ s+ 4m/ s t

2m/ s t = 2,5m/ s

2,5m/st =

2m/s

t =1,25s






10. Un avión toma la pista con una aceleración de 220i m/s y recorre en línea recta

200 i m antes de detenerse; determinar:

a) Con qué velocidad toca la pista

b) Qué tiempo demora en detenersec) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese tiempo

SOLUCIÓN:

a) b) c)

2

f V 2

0

0

2

0

0

= V -2a r

V = 2a r

V = 2×20m/ s ×200m

V = 89,44m/ s

Vf a = 0

0

2

- V

t

- Vt =a

-89,44 m/ st =

-20m/s

t = 4,47s

r V =

t

200mV =4,47s

V = 44, 74m/ s

11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y3s después lo ve pasar hacia abajo; determinar:a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio

b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio

SOLUCIÓN:

a) Análisis desde que es visto por la ventana:

Total ascenso descenso ascenso descensot = t + t como t = t

Total ascenso ascenso

ascenso Total

Totalascenso

t = t + t

2 t = tt

t =2






Análisis del ascenso:

f V

0 ascenso

0 ascenso

Total0

2

0

0

= V + gt

V = -gt

tV = - g

2

3sV = - -9,8m/ s

2

V = 14,7 m/ s

Análisis desde la base del edificio:La

0V =14,7m/ s desde la ventana pasa a serf V =14,7m/ s desde la base hasta la ventana,

entonces:

2 2

f 0

2

0 f

2

0 f

2 2

0

0

V = V + 2gDr

V = V -2gDr

V = V - 2gDr

V = 14,7m/ s - 2 -9,8m/ s 50m

V = 34,58m/ s

b)

2 2

f 0

2

f

V = V + 2g r

Vr =

2

0

2

2

- V

2g

- 34,58r =2 -9,8m/ s

r = 61,0m






12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados unocontra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar:a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube

SOLUCIÓN:

a)

A B

A B

65m = r r

r = 65m r ...................(1)

A Bt = t ...............(2)

A

2

A 0 A A A

1r = V t a t ................(3)

2

A

A

2

B 0 A A

2

B 0 A A

(1) en (3)

165m r = V t + gt

2

1r = 65m V t gt ..........................(4)

2

B

B

2

B 0 B B A B

2

B 0 A B

1r = V t + gt como t = t

2

1r = V t + g t .............................(5)

2

A

2

0 A A

Igualando (4) y (5)

165m V t gt

2

B

2

0 A B

1= V t + g t

2

A B

A B

0 A 0 A

A

0 0

A

A

65m V t = V t

65mt =

V ` V

65mt =

16m/ s`+12m/ s

t = 2,32m/ s






B

2

B 0 A B

22

B

B

1r = V t + g t

2

1r =12m/ s×2,32s+ 9,8m/ s 2,32s

2

r = 54,21m

A

A

r = 65m 54,21m

r =10,79m

b)

A

2

A 0 A A

22

A

A

1r = V t + g t

2

1r =16m/ s×2,32s+ 9,8m/ s 2,32

2

r = 63,49m

B

B

r = 65m 63,49m

r =1,51m

13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar:a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/sc) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s

SOLUCIÓN:

a) b)

0r = V t

2

2

1+ gt

2

2 r t =

g

2 100mt =

9,8m/s

t = 4,52s

2

0

2 2

1r = V t+ gt

2

19,8m/ s t + -1m/ s t-100m = 0

2

1 1 4 4,9 100t =

2 4,9

t = 4,62s






c)

2

0

2 2

1r = V t+ gt

2

1

9,8m/ s t + 1m/ s t-100m = 02

1 1 4 4,9 100t =

2 4,9

t = 4,42s

14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar:a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes

c) La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores

SOLUCIÓN:

a) b)

0 Br = V t

2

B B

2

1+ g t

2

1r = 9,8m/ s 5s

2

r =122,5m

0 Br = V t

2

B B

2

1+ g t

2

1r = 9,8m/ s 10s

2

r = 490m

c) f 0

V = V

2

f

f

+ gt

V = 9,8m/ s ×5s

V =10m/s

f 0V = V

2

f

f

+ gt

V = 9,8m/ s ×10s

V = 98m/ s

15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y desde el

reposo con una aceleración constante de 22 i m/ s cada uno y B parte 2s más tarde;

determinar:a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido Ac) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A

SOLUCIÓN:






a) b)

0Br = V t

2

B B

22

1+ a t

2

1

r = 2m/ s 2s2

r = 4m

B A

2 2

B B A A

2 22 2

r = r r

1 1r = a t a t

2 2

1 1r = 2m/ s 4s 2m/ s 2s

2 2

r =12m

c)

B A

2 2

B B A A

2 22 2

r = r r

1 1r = a t a t

2 2

1 1r = 2m/ s 6s 2m/ s 4s

2 2

r = 20m

16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1ma la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s seencuentra a 20m a la derecha del origen; determinar:a) La aceleración de la partícula b) El instante en que retorna al origen

SOLUCIÓN:

a) Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m

r =15m- -1m

r =16m

r = 20m- -1m

r = 21m

En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces:






Cuando t=3s Cuando t=5s

2

0

2

0

2

0

2

0

1r = V t+ at

2

1

16 m = V 3s + a 3s2

16 m = V 3 s + a 4, 5s

16 m a 4, 5sV = ........................(1)

3s

2

0

2

0

2

0

2

0

1r = V t+ at

2

1

21m = V 5s + a 5s2

21m = V 5s + a 12,5s

21m a 12,5sV = ...................(2)

5s

Igualando (1) y (2)

2 2

3 3

3 3

3

2

16m a 4,5s 21m a 12,5s=

3s 5s

80ms- a 22,5s = 63ms- a 37,5s

a 22,5s - a 37,5s = 80ms- 63ms

17msa =

-15s

a = -1,133m/ s

b)

Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidad finalsea 0

Determinando la velocidad inicial:

2 2

0

0

1716m m/ s 4,5s

15V =

3s

V = 7,033m/s

f V 0

0

2

= V + at

- Vt =

a

-7,033m/ st =

-1,133m/ s

t = 6,21s






2

0

22

1r = V t+ at

2

1r = 7,033m/ s 6,21s + -1,133m/ s 6,21s

2

r = 21,83m

Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso la aceleracióntiene la misma dirección que la velocidad por tanto es positiva:

0r = V t

2

2 2

2

1+ at

2

121,83m 1,133m/ s t

2

2×21,83mt =

1,133m/st = 6,21s

t = 6,21s 6,21s

t =12,42s

17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una

aceleración de 25 i m/ s hasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le

somete a una aceleración de 210 i m/ s hasta que la distancia total recorrida desde que

partió del reposo es 30m; determinar:a) La velocidad media para todo el recorrido

b)

El grafico Vx contra tSOLUCIÓN:

a) Desde que parte del origen:

f 0V = V

f

2

+at

Vt =a

10m/st =

5m/s

t = 2s

0r = V t

2

22

1+ at

2

1r = 5m/ s 2s

2

r =10m

Desde que se le somete la aceleración de 210i m/s (MRUVR):






2

f V

2

0

2

0

2

2

= V + 2a r

- Vr =

2 a

10m/sr =

2 10m/s

r = 5m

r =10m 5m

r =15m

Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como la distanciarecorrida es independiente del desplazamiento entonces:

Total

Total

r = 15m 15m

r = 0

m

m

m

r V =

t

0V =

tV = 0

b)

18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempo comoindica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

Vx-t






Determinar:

a) Los valores de1t y

2t

b) La velocidad con la que llega al suelo

SOLUCIÓN:

a)

2 2

f 0

0

2

0

0

V = V - 2g r

V = 2a r

V = 2 9,8m/s 15m

V = 294 =17,15m/s

2

0 1 1

2 2

1 1

2

1 1

2

1

1

1r = V t at

2

115 m = 294 m/ s t 9,8 m/ s t

2

4,9 t 294 m/ s t 15m 0

294 294 4 4,9 15t =

2 4,9

294t = s 1,75s

9,8

0 1r = V t

2

1

2

2 2

2

1at

2

2 r t =

g

2 20mt =

- -9,8m/s

t = 2,02s

2 2

f 0

b)

V = V

f

2

f

f

2g r

V = 2g r

V = 2 9,8m/s 20m

V =19,80m/ s

19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con una

velocidad constante de 8 i m/ s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el punto






5 i m con una velocidad de 8 i m/ s y al tiempo t=4s su velocidad es 8 i m/ s . Si se

mueve con aceleración constante; determinar:a) La aceleración de B b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B

SOLUCIÓN:

Datos:

AV = cte = -8i m/ s

0Ar = -7 i m

0Br = -5 i m

0BV = 8 i m/ s

t = 4s

fBV = -8i m/s

a) b)

fB 0 BB

B

2

B

V - Va = t

-8 i m/ s- 8 i m/ sa =

4 s

a = -4 i m/ s

fA fB

2

A 0A 0B 0B

2

A 0B 0A 0B

2 2

2 2

2 2

2

r = r

1V t+ r = V + r + at

2

1- at + V t- V + r - r = 02

1- -4m/ s t -8m/ st-8m/ st-

Iguala

7m+5m = 02

2m/s t -16m/st-2 = 0 ÷2

1m

ndo las posiciones finales de A

/ s t -8m/st-1= 0

8 ± 8 + 4t =

2

t =

y B

8,12s

20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamientode 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar:a) La magnitud de la aceleración b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s

SOLUCIÓN:






De 0 a 2s:

2

1 01

2

01

0

2

1r = V t+ at

2

1

40 m = V 2 s+ a 2 s2

40m-2sVa ....(1)

2s

f1 01V = V +at

De 2 a 4s: f 1 02V = V Igualando (1) y (2)

2

2 01

2

01

2 2

01

2

01

01

2

1Dr = V +at t+ at

2

165m = V + a 2s 2s+ a 2s

2

65m = 2sV + 4s a+2s a

6s a = 65m- 2sV

65m-2sVa = ....(2)

6s

0 01

2 2

0 01

0 01

0

0

40m-2sV 65m-2sV=

2s 6s

3 40m-2sV = 65m- 2sV

120m-6sV = 65m-2sV

4sV = 55m

V =13,75m/s

2

2

40m-2s 13,75m/sa =

2s

a = 6,25m/ s

2

0

22

1r = V t+ at

2

1r =13,75m/ s×10s+ 6,25m/ s 10s

2

r = 450m

21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración

constante de modo que en0 0

t = 0s, r = -300 i m y 0v =30im/s y en

1 1t =10s, r =10 i m , B se mueve con velocidad constante de modo que en

0 0t = 0s, r = 200 j m y en

1 1t =10s, r = 300 i m ; determinar:

a) La velocidad de A en 1t =10s

b) La velocidad de A respecto a B en1t =10s

SOLUCIÓN:






2

0

2

f 0 0

f 0 0

2

2

2

1r = V t+ a t

2

1r - r = V t+ a t

2

2 r - r - V ta =

t

2 10 i m- -300 i m -30 i m/ s×10sa =

10s

a = 0,2 i m/ s

f 0

2

f

f

V = V +a t

V = 30 i m/ s+0,2 i m/ s ×10s

V = 32 i m/ s

B

B

B

r V =

t

300 i m 200 j mV =

10 s

V = 30 i 20 j m/ s

A/B

A/B

V = 32i 0 j m/s- 30 i 20 j m/s

V = 2 i-20 j m/s

22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, enese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m;determinar:a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo

tiempo

SOLUCIÓN:

Cuerpo 1: Cuerpo 2:

0r = V t 2

0

1+ gt

2

120m = V t 2 2

2

1+ 9,8m/ s t

2

120mt =

4,9m/s

t = 4,95s

2

0

22

0

22

0

0

1r = V t+ gt

2

1190m = V 4,95s + 9,8m/ s 4,95s

2

1190m- 9,8m/ s 4,95s

2

V = 4,95s

V =14,13m/s

23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente gráfico:






Si parten del origen; determinar:

a) La posición de cada móvil para t=10s b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vez luego

de partir

SOLUCIÓN:

Posición de A:

De 0 a 4s: De 4 a 6s: De 4 a 6s:

Área del triángulo: Área del triángulo: Área del triángulo:

4s× -16m/ sr =

2

r = -32m/s

6s- 4s × 8 m/ s

r =2

r = 8m/ s

10s- 6s × 8m/ s

r =2

r =16m/s

Como parte del origen: Partícula B:

f

f

r = -32 i m/ s 8 i m/ s 16 i m/ s

r = -8 i m/ s

f

f

r = -5m/ s×10s

r = -50 i m

24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direccionescontrarias. De manera simultánea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto

disminuye su rapidez a razón de 22m/s y el bus a 2

3m/s ; determinar:a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen

SOLUCIÓN:






Automóvil: Bus: Distancia mínima:

2

f V

2

0

2

0

2

2

= V + 2 a r

- Vr

2 a- 18m/s

r =2 -2m/s

r = 81m

2

f V

2

0

2

0

2

2

= V + 2 a r

- Vr

2 a- 12m/s

r =2 -3m/s

r = 24 m

min

min

r = 81m 24 m

r =105m

25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanza otroobjeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar alfondo; determinar:a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos b) La altura del precipicio

SOLUCIÓN:

2

1 0 1 1

1r = V t - at .....(1)

2 2

2 0 2 2

1r = V t + at .....(1)

2

Desde el borde del precipicio se cumple: 2 1r = r siendo en el lanzamiento vertical

hacia arriba la aceleración de la gravedad negativa, y en el lanzamiento vertical haciaabajo positiva.

Igualando a partir de esa condición:

2 2

0 2 2 0 1 1

2 2

0 2 0 1 1 2

2 2

0 2 1 1 2

2 2

1 2

0

2 1

2 22

0

0

1 1V t + at - V t at

2 2

1 1V t + V t = at - at

2 2

1V t + t = a t - t

2

1a t - t

2V =t + t

19,8 m/ s 9 s - 2s

2V =2s+ 9s

V = 34,3m/ s

2

2 0 2 2

22

2

2

1r = V t + at

2

1r = 34,3m/ s2s+ 9,8m/ s 2s

2r =88,2m






26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una

velocidad de 10 jm/s ; determinar:

a) La velocidad con la que fue disparado b) La altura que alcanza

c) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente por dicha posición

SOLUCIÓN:

a) b)

2 2

f 0

2

0 f

2 20

0

V = V + 2 a r

V = V - 2a r

V = 10m/s -2 -9,8m/s 5m

V =14,07m/s

2

f V

2

0

2

0

22

= V + 2 a r

Vr = -

2 a

14,07m/sr = -

2 -9,8m/s

r = 10,10 m

c) f 0

0

V = V +at

Vt = -

a

14,07 m/ st = -

-9,8m/st =1,44s

27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su

aceleración es constante e igual a 22 i m/ s ; determinar:

a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s

SOLUCIÓN:

a)

f 0

2

f

f

V = V +a t

V =16 i m/ s-2 i m/ s 5s-2s

V =10i m/ s

f 0

2

f

f

V = V + a t

V =16 i m/ s- 2 i m/ s 15s- 2s

V = -10 i m/ s






b)

2

0

22

1r = V t+ a t

2

1

r =10 i m/ s 15s-5s - -2 i m/ s 15s-5s2

r = 0

28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 24 i m/ s , un objeto

desliza sin rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s respecto a

tierra; determinar:a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición

original b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierra

c) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón

SOLUCIÓN:

a) b) c)

Si regresa el objeto a su

Posición inicial:f 0

r = r r = 0

f 0V = V

2

f

f

+at

V = 4 i m/ s 4s

V =16i m/ s

f 0

2

f

f

V = V +at

V = 8i m/ s-4 i m/ s 4s

V = -8 i m/ s

29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una aceleración

constante de 214,7 j m/ s durante 8s, en ese momento se le acaba el combustible y el

cohete continua moviéndose de manera que únicamente queda sujeta a la gravedad de latierra; determinar:a) La altura máxima que alcanza el cohete

2

0

0

1

02

2 2

2

10 = V t+ at

21

t V + at = 02

t = 0

2 Vt = -

a

2 8 i m/ st = -

-4 i m/ s

t = 4 s






b) El tiempo que tarde en regresar a la tierrac) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento

SOLUCIÓN:

Hasta los 8 s en que se acaba el combustible:

0r = V t

2

22

1+ at

2

1r = 14, 7 m/ s 8

2

r = 470,4 m

f 0V = V

2

f

f

+ at

V =14,7m/s 8s

V =117,6m/s

Después de los 8 s: Sumando las distancias:

2 2

f 0

2 2

f 0

2

f

V = V + 2g r

V - Vr =

2 g

Vr =

2

2

- 117,6 m/ s

2 -9,8m/s

r = 705,6m

r = 470,4m 705,6m

r =1176m

b)

Tiempo 1: 8s

Tiempo 2:

2

2 r t =

g

2 705,6mt =

9,8m/s

t =12s

Tiempo 3:

2

2 r t =

g

2 1176mt =

9,8m/s

t = 15, 49s

Tiempo Total: T

T

t = 8s+12s+15,49s

t = 35,49s





Grafico V-t

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 5 10 15 20 25 30 35 40

V(y)-t

solucionario fv1

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