Suma de Vectores. Mtodo Analtico Suma de Componentes La suma grfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es til cuando los vectores estn en tres dimensiones. Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre s.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinndose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy. Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al mtodo del paralelgramo. Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son nmeros, positivos o negativos segn si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y. Notar tambin que Vy = Vsen y Vx = Vcos

Suma de Vectores Unitarios Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en trminos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una direccin determinada. Se usan los smbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Sumando Vectores. Todos nos preguntamos que es un vector. Un vector, es una candidad y su unidad de medicin, la cual tiene un punto de partida y un trazo a una posicin final, es decir que tiene movimiento. As podemos pensar en que 1000 kg se pueden mover hacia el norte. O podemos pensar en dos muchachos tratando de jalar un carro, uno imprime una fuerza de 300 newtons y el otro

de 400 newtons, el primero defrente al carro el segundo sesgado a la derecha solo 5 grados. Estos son vectores. Ahora bien, segn como la direccin de los vectores sea, estos se pueden llamar: Colineales.- Si tienen la misma direccin. Por ejemplo: Tenemos dos muchachos jalando un solo cordn para poder arrastrar un vehculo con llantas. Uno tira con 400 N y el otro con 600 N hacia la derecha. Como los dos muchachos jalan en el mismo sentido, la fuerza total, o resultante es de 1000 N. Los vectores se suman. Ahora, supongamos que tenemos en extremo de una cueda a 10 damitas, que tiran cada una 10 N hacia la izquieda. Y del otro lado est un gordito fuerte que tira de la cuerda hacia la derecha con una fuerza de 70 N. En este caso a resultante es de 30 N (los vectores se restan) y las damitas ganan la contienda de la cuerda. Puede ver el video en youtube. No colineales.- Si los vectores no tienen la misma direccin ni el mismo sentido. Estos vectores, generalmente van a acompaados de un ngulo, el cual nos habla de la direccin y el sentido del vector. Para obtener graficamente la resultante de la suma de vectores no colineales, es importante que primero recurramos a las escalas grficas para graficar. Por ejemplo: 300 N, podran ser 3 cm. 60 metros/ segundo, 6 centmetros. Y esto hay que llevarlo a una hoja milimtrica, de preferencia. Segundo, se trazan los ejes coordenados, buscando que los vectores quepan dentro del trazado. Luego, se elige el sistema para sumar vectores no lineales. Algunos sistemas grficos de suma de vectores son: Por paralelogramo.- Se construye un cuatrado perfecto o un cuadrltero, segn sea el caso. Cuando son solo dos vectores. La resultante est compuesta por el tamao del vector resultante acompaado del ngulo que forma con la horizontal. Esto se hace midiendo desde el origen, hasta el vertice del cruce imaginario que forma el paralelogreamo. (Vea el video en youtube). Construyendo un polgono.- Similar a lo anterior, solo que este sistema funciona para N vectores. Se colocan cada uno de los vectores, con su tamao a escala guardando su direccin y sentido, es decir con su mismo ngulo. Se traza primero uno desde el origen hasta su tamao a escala, al termino de este, guardando el angulo que le corponde el que sigue, y as susecibamente. La resultante final, ser el cierre del polgono con el origen. El tamao se calcula con una regla, y su ngulo con un transportador, el cual nos indicar tambien en sentido v la resultante. Ahora bien, la mejor tcnica para poder sumar n vectores, no es la grfica, sino por descomposicin de vectores.

La tecnica de descomposicin de vectores, est basada en conceptos bsicos de trigonometra. Realizamos sumatoria de fuerzas en X y sumatoria de fuerzas en Y. Creamos un tabla como se muestra:

La descomposicin de vectores se realiza por medio de las funciones seno(x) y coseno(x), donde x est en grados y no en radianes. Lo que sumamos son las proyecciones de los vectores, es decir su proyeccin sobre el eje x y y su proyeccin en el eje y, por separado. Primero, un vector se descompone sus proyecciones de la siguiente forma:

Proyecciones en Y: (tamao del vector)(seno(ngulo)) Proyecciones en X: (tamao del vector)(coseno(ngulo)) Una vez que se han descompuesto los vectores, se suman los correspondiente de X y los correspondiente de y. El tamao de la resultante de la suma total, se obtiene de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de la suma en x y de la suma en y. (Tal como se muestra a continuacin).

El ngulo se obtine por medio del arcotangente del cociente de la suma en Y, sobre la suma en X.

As:

Hagamos un ejemplo para poder entender mejor este procedimiento:

Sean los vectores de velocidad: Viento 110 km/hr a 45, un bargo a 250 km/hr a 120 y la corriente del mar que se desplaza a 50 km/hr en direccin sur (270). Cual es el vector resultante del barco?

Solucin.

Descomposicin vectorial.

....Suma en X.......................................Suma en Y

110(cos(45)).....................................110(seno(45))

250(cos(120))..................................250(seno(120))

50(cos(270)).....................................50(cos(270))

Con nmeros y usando calculadora o tablas:

110(.7071).........................................110(.7071)

250(-.5).............................................250(.866)

50(0)..................................................50(-1)

Resolviendo las multiplicaciones

77.781................................................77.781

-125....................................................216.5

0..........................................................-50

Realizando la suma optenemos

-47.219..............................................244.281

El tamao de la resultante es: ((-47.219)^2+(244.281)^2)^1/2

....................................................= 248.8 km/hr

El ngulo del vector velocidad es:

... arcotang(244.281/-47.219)

100.94 .

El vector resultante es: 248.8 km/hr a 100.94

Ahora V puede escribirse V = Ax i + Ay j Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector B = Bx i + By j escribimos R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By Suma Grafica, Ir a Pagina Inicio

Problema IlustratorioEl siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este mtodo analtico. Un auto recorre 20 km hacia el Norte y despus 35 km en una direccin 60 al Oeste del Norte. Determine magnitud y direccin del desplazamiento resultante del auto. Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando unitarios, tenemos: R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota y cuya direccin puede determinarse calculando el ngulo . A = 20 km j, (apunta hacia el Norte). B debemos descomponerlo en componentes x e y ( i y j ) B = -(35 km)sen60i + (35 km)cos60j = -30.3 kmi + 17.5 kmj

Luego, R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i. La magnitud se obtiene de2

= (37.5km)2 + (30.3km)2

= 48.2 km

La direccin de R la determinaremos calculando el ngulo . En el tringulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg 30.3/37.5 = arctg(30.3/37.5) = 38.9. Otros Sitios de Fisica:

=

A continuacin, publicamos un artculo de Juan del Pozo en el que el autor nos presenta la unidad didctica sobre vectores que ha elaborado. Esta permite manipular vectores en un espacio tridimensional y utilizar un espacio tridimensional virtual para explicar vectores en tres dimensiones. Esta unidad est accesible a travs de la pgina web del IES Castelar y supone un material muy til para el profesorado y alumnado de Matemticas. Introduccin a los vectores en 3 dimensiones (Desarrollo de una Unidad Didctica utilizando las herramientas del Proyecto Descartes) En el decreto 86/2002 aprobado por el Consejo de Gobierno de la Junta de Extremadura, se proponen los objetivos, contenidos, mtodos pedaggicos y criterios de evaluacin para las distintas materias del bachillerato. En concreto para las Matemticas II de las modalidades de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y de la modalidad de Tecnologa se establecen entre otros, los siguientes contenidos: 15.- Vectores en el espacio tridimensional 16.- Operaciones con vectores. Propiedades e interpretacin geomtrica. 17.- Combinacin lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal. 18.- Producto escalar, vectorial y mixto. Propiedades. Teniendo en cuenta estos contenidos y los objetivos generales propuestos en el decreto citado anteriormente, se ha desarrollado la programacin de aula, en la que se agrupan estos contenidos en una Unidad Didctica: Vectores en el espacio. Los objetivos especficos a alcanzar con esta Unidad Didctica son: Asimilar de manera significativa el concepto de vector en el espacio Aprender a operar con vectores en el espacio grfica y analticamente Asimilar de manera significativa los conceptos de combinacin lineal, dependencia e independencia lineal Interiorizar de manera significativa la estructura de espacio vectorial y como esta estructura permite conectar el lgebra lineal con la geometra y desarrollar lo que se llaman reflejos lineales de manera natural

Calcular el producto escalar de dos vectores, conocer sus usos y propiedades Calcular el producto vectorial, conocer y utilizar su interpretacin geomtrica Preparar al alumno para estudiar espacios vectoriales abstractos El libro y la pizarra son herramientas poco giles para explicar esta Unidad Didctica debido a la necesidad de representar objetos tridimensionales en un plano. La dotacin de ordenadores en todas las aulas, el inters que se muestra en la Introduccin del decreto 86/2002 por la aplicacin de las nuevas tecnologas a los procesos de enseanza/aprendizaje y las dificultades sealadas en el prrafo anterior, nos impulsaron a buscar herramientas alternativas al libro y la pizarra. El Ministerio de Educacin y Ciencia ha desarrollado una herramienta para el diseo de unidades didcticas utilizando las nuevas tecnologas. El proyecto en el que se ha desarrollado esta herramienta se llama Descartes y contina activo con el desarrollo de unidades didcticas funcionales, sobre todo para Matemticas y Fsica, que han puesto a disposicin de cualquiera en Internet. Se puede acceder fcilmente a la pgina principal del Proyecto Descartes, tecleando Descartes en google. En el apartado Unidades Didcticas estn todas la unidades desarrolladas hasta el momento. En matemticas cubren prcticamente todos los contenidos de ESO y bachillerato. En concreto hay una: Vectores en el espacio, que trata los contenidos que necesitamos. El problema es que no funciona bien en Linex, que no trata desde el comienzo a los vectores en un espacio tridimensional y que no incide lo suficiente en la relacin entre los enfoques geomtricos y algebraicos que queremos que tenga la Unidad Didctica. Descartes es un applet Java que mediante un programa de gestin de escenas permite crear objetos en espacios de dos y de tres dimensiones. Es una herramienta muy verstil y permite modificar y personalizar Unidades Didcticas desarrolladas por otros o construir desde el principio una Unidad Didctica de diseo propio. En la pgina principal del Proyecto Descartes estn todas las instrucciones para poder utilizar la herramienta, adems una gua didctica para principiantes y dos manuales, uno para trabajar en el plano y otro para trabajar en el espacio. Estas facilidades nos han permitido disear y desarrollar nuestra propia Unidad Didctica que se ajusta exactamente a lo que necesitbamos. La Unidad Didctica est pensada para apoyar las explicaciones del profesor, que en lugar de pizarra, tiene un espacio tridimensional en la pantalla de los ordenadores de los alumnos, en el que puede manipular fcilmente vectores en tres dimensiones. Esta capacidad facilita la formacin del concepto de vector desde un punto de vista fsico y geomtrico en la mente del alumno. En paralelo se tiene una introduccin ms terica y algebraica en formato pdf que se puede presentar en pantalla o imprimir para dar a los alumnos. Estos dos enfoques en paralelo, geomtrico y algebraico del espacio

vectorial de dimensin tres, pensamos que son fundamentales para el inicio del estudio de espacios vectoriales abstractos en la Universidad. Para reforzar las explicaciones del profesor, en cada apartado de la Unidad Didctica, se sugieren actividades que puede realizar el alumno, manipulando los vectores en el espacio tridimensional de la pantalla de su propio ordenador. La manipulacin se produce con el puntero del ratn y mediante controles en los que se pueden modificar las coordenadas de los vectores y las coordenadas del punto donde se sitan. 1. Expresin general de un vector Todo vector del espacio de tres dimensiones se puede escribir en la forma siendo ax, ay, az las componentes del vector y los

vectores vectores unitarios dirigidos segn los ejes coordenados x,y,z. El mdulo del vector viene dado por:

(1) 2. ngulos directores de un vector Se llaman ngulos directores de un vector a cada uno de los ngulos que forma con los ejes coordenados x,y,z, segn muestra la Fig 1.1. Los cosenos directores se pueden obtener sin ms que observar que:

(2) siendo el mdulo del vector.De (1) y (2) se obtiene la relacin entre los ngulos directores: (3) 3.Vector Unitario Vector unitario es aquel que puede tener cualquier direccin, pero su mdulo es unidad. Para obtener un vector unitario a partir de un vector dado , basta dividir ste entre su mdulo. El vector resultante tiene la misma direccin y sentido que el vector dado.Si es el mdulo del vector y llamamos al vector unitario buscado, tendremos:

(4)

OPERACIONES CON VECTORES 4. Suma y diferencia de vectores El vector suma de un conjunto de vectores se obtiene sumando algebraicamente sus componentes,de acuerdo con la expresin:

5. Producto escalar de vectores Se define el producto escalar de dos vectores as: (5) En funcin de las componentes de ambos vectores la expresin (5) toma la forma: (6) 6. Proyeccin de un vector sobre otro La proyeccin de un vector sobre otro viene dada por la siguiente expresin:

que resulta ser otro vector como se desprende de la definicin (5) y de la Fig 2.1. 7. Producto vectorial de vectores El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector, cuya DIRECCIN es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, de SENTIDO el que proporciona la regla del tornillo al girar el primer vector sobre el segundo por el camino angular ms corto y de MODULO el que resulta de la siguiente expresin: (7) Si expresamos los vectores en funcin de sus componentes, el vector resultante de la operacin producto vectorial es:

(8) donde ahora el vector se obtiene en funcin de sus componentes. El mdulo del producto vectorial de dos vectores equivale al rea del paralelogramo definido por ambos 8. Producto mixto de tres vectores Sean los vectores . La expresin se conoce como producto mixto de dichos vectores. A partir de las expresiones (6) y (8), el producto mixto expresado en funcin de las componentes de los vectores es:

(9) El producto mixto de tres vectores representa el volumen del paraleleppedo determinado por ellos De lo anterior se deduce que si el producto mixto de tres vectores es nulo, los vectores son coplanarios. 9. Doble producto vectorial Dados los vectores expresin: , llamaremos doble producto vectorial de los mismos a la

(10) 10. Momento de un vector respecto de un punto Se define el momento de un vector verifica la condicin: respecto de un punto O a un vector que

(11) Observar que se trata de un producto vectorial de dos vectores,por lo que si los puntos son O(xo,yo,zo) y A(xA,yA,zA), el vector momento tiene la expresin:

o bien 11. Momento de un vector respecto de un eje

si O(0,0,0).

Sea un vector cuyo momento respecto a un punto O es el dado por la expresin (11) y sea E une eje que pasa por el punto O, de manera que sea un vector unitario que seala la direccin y sentido de E. El momento del vector ME , viene dado por la expresin: (12) Si los vectores de la frmula anterior se expresan en funcin de sus componentes cartesianas, podremos escribir: (13) 12. Derivada de un vector Sea una funcin vectorial del escalar t. Si escribimos componentes: en funcin de sus respecto al eje E,

y dado que los vectores unitarios son constantes (en mdulo, direccin y sentido) tendremos que el vector derivada respecto del tiempo es:

(14) 13. Derivadas de los productos escalar y vectorial de vectores La derivada de un producto escalar de vectores sigue las reglas matemticas de derivacin del producto:

De esta igualdad puede deducirse que el producto escalar de un vector de mdulo constate por su derivada respecto del escalar t es nulo. En efecto: . Si aplicamos la regla de derivacin del producto escalar en ambos miembros, siendo P=Constante:

o bien

c.q.d.

La derivada respecto del escalar t de un producto vectorial de vectores viene dada por:

(15) 14. Integral de una funcin vectorial (Circulacin y Flujo) De la misma forma que una funcin vectorial de la variable escalar t admite la funcin derivada, admite tambin la posibilidad de ser integrada, siempre en el caso que cumpla las condiciones de integrabilidad. La CIRCULACIN C del vector puntos A y B se expresa as: a lo largo de una curva cualquiera entre los

y como

resulta finalmente:

(16) El Flujo de un vector a travs de una superficie viene dado por la expresin:

(17) Aqu dSx, dSy y dSz representan las proyecciones del elemento de superficie dS segn los planos yz, xz e yz respectivamente.

Subir

1. Dados los vectores

, hallar sus mdulos, su suma y los ngulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la direccin y sentido del vector suma. SOLUCIN

De aqu: =2832'35" , =11813'49" y =867'31".

2. El mdulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a losnmeros 2, -2 y 1. Hallar la suma si el vector vector unitario en la direccin y sentido del vector suma. SOLUCIN Sea el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los nmeros 2,-2 y 1, podremos escribir: cos =2K, cos =-2K, cos =K (1). . Hallar tambin un

Utilizando la frmula (3) del resumen terico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K= 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3): cos =2/3 ; cos =-2/3 ; cos =1/3

De la frmula (2) del resumen terico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo =18,queda:

Luego: de donde:

3. Dados los vectoreshallar: a) Mdulo de SOLUCIN

=(3,-2,1) y

de mdulo 3 y contenido sobre la recta x-y=0, y c) Angulo que forman.

b) Producto escalar de

a) Si el vector est situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que est dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=3.cos 45 y by=3.sen 45.

Por tanto el vector es: El mdulo de es: positivos de bx y by. b)

=

. . Observar que se eligieron los valores

=

c) Para calcular el ngulo que forman ambos vectores basta aplicar la relacin (5) del resumen terico:

con lo que

4. Calcular el momento del vectorvector SOLUCIN

=(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1) respecto al eje E que pasa por P1 (2,3,1) y cuya direccin est determinada por el

Para hallar el momento respecto al eje E, ME=

,debemos calcular:

Pruebe el lector a obtener la expresin vectorial del momento.

Subir

1. Dados los vectores

=(2,-3,-3) y

de mdulo 12 y cosenos directores b) El vector c) El

proporcionales a 2,-2 y 1, hallar: a) El mdulo de producto escalar Solucin a) .

d) El ngulo que forman entre s. b) =(10,-11,1) c) 28 d) 60,17

2. Hallar el rea del tringulo cuyos vrtices son A(2,-1,3), B(1,-2,3) y C(2,-1,2). Hallar el ngulo que forman los lados AB y AC. Solucin S= 3. Dados los vectores: ; =90 (Rectngulo en el vrtice A)

situado en una recta que pasando por el origen de coordenadas y

tiene los cosenos directores proporcionales a 0, 3 y 4 y mdulo 10,

momento respecto al origen igual a ,y y situado en la recta de accin que pasa por el punto de coordenadas (2,-1,2), calcular la resultante y el momento resultante respecto al origen. Solucin

4. Sabiendo que dos de los cosenos directores de cierto vector =1/2 y cos Solucin =1/3 ,calcular las componentes de un vector (Solucin no nica)

,de mdulo 6 son cos , tal que .

5. Dado el vector que acta en el punto A(2,3,1) hallar: a) Su momento respecto al origen b) su momento respecto a los ejes de coordenadas c) su momento respecto a la lnea que pasa por los puntos M(0,1,0) y N(2,1,1). Solucin c) 6. Una torre est rematada por un tejado que puede considerarse una pirmide cuadrangular con las dimensiones mostradas en la Fig 3.1. Determinar el ngulo que forman dos de las caras laterales del tejado.Si el viento sopla constantemente con una velocidad Solucin Que flujo atraviesa la cara ABC? =8249' 9" ; unidades de flujo a) b)

7. Hallar el valor del ngulo formado por las dos caras del tejado de una torre hexagonal, cuyas dimensiones se expresan en la Fig 4.1. Solucin =88 2"

Para resolver estos ejercicios debers establecer unos ejes de coordenadas adecuados y hallar el vector normal (asociado) a dos de los planos que forman el tejado

8. a) Hallar el valor de la expresin

b) Halla el o los vectores unitarios

que formando un ngulo de 45 con el vector d un producto vectorial er que est contenido en el plano OXY.(1 control 97-98)

9. Dados los puntos del espacio A(-1,0,3),B(2,3,1) y C(3,1,0), hallar del tringulo definido por ellos.

y el rea

10. Calcular el momento del vector =(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1) respecto al eje E que pasa por P1 (2,3,1) y cuya direccin est determinada por el vector . =(2,1,3) y su producto vectorial

11. Hallar un vector ,tal que sea perpendicular al por =(1,0,1) resulte el vector .

12. Los vrtices de un paralelogramo son los puntos A(0,2,3), B(0,1,-1), C(0,-2,-3) y D(0,-1,1). Calcular: a) El ngulo que forman los vectores paralelogramo que determinan c) El momento de producto escalar . y . b) El rea del

respecto del vrtice C d) El

13. Hallar un vector de mdulo 3 y que sea paralelo a la suma de los vectores =(1,2,1), =(2,-1,1) y =(1,-1,2).

14. Sean A(-1,0,1),B(1,1,3),C(-2,1,-1) y D(2,5,1) cuatro puntos del espacio. a) Determinar el ngulo formado por los vectores unitario que sea perpendicular a 15. Si y y b) Determinar un vector

y est contenido en plano XY. ,calcular:

16. Si

calcular:

17. Integrar el vector t=10 s, 18. Dados los vectores integral:

para obtener el vector

. Se sabe que en

Cul es la constante vectorial de integracin?. y ,hallar el valor de la

19. Calcular el momento respecto del eje Z del vector el punto A(-4,2,-1).

=(3,-2,-1) que est aplicado en

20. Descomponer un vector las direcciones de los vectores vectores no son unitarios.

dirigido segn

y mdulo

unidades segn

. Obsrvese que estos

21. Un vector tiene de mdulo 6 y entre sus ngulos se verifican las relaciones . Si est aplicado en el punto A(-1,0,2) determinar su momento respecto al eje que pasa por B(1,-2,2) y C(2,-3,3). (1erControl 94-95) 22. Un vector de mdulo 5 est situado en el plano YZ(Y>0, Z>0) y forma un ngulo de 37 con el eje OZ. Hallar la relacin entre bx y cz para que los vectores 23. El vector y sean coplanarios.(1erControl 94-95)

tiene por origen el punto P(-1,0,1).Entre sus componentes se verifica es . Hallar y su

que wx=3wy y wz=0 y su proyeccin sobre el vector momento respecto al punto A(1,2,2).(1erControl 94-95) 24. Descomponer el vector perpendicular, respectivamente al vector

en dos componentes, paralela y .

25. Los vrtices de un tetraedro son los puntos A(0,0,1), B(3,0,3), C(2,3,1) y D(1,1,2). Determinar el ngulo formado: a) Por las caras ABC y BCD; b) Por los lados AB y AC c) Por el lado BC y la cara ADC. 26. Demostrar la igualdad OX(+), contenido en el plano XY, y .Indicacin: Elegir arbitrariamente. en la direccin

27. Determinar el ngulo formado por dos diagonales cualquiera de un cubo.Sugerencia: Tomar un cubo de lado genrico -a-, trazar dos de sus diagonales y a partir de las coordenadas de sus orgenes y extremos obtener las componentes de los vectores a que dan lugar. Solucin 28. Al vector para que Solucin 29. Un vector =70,52 queremos sumarlo el sea ortogonal al =1 viene dado por . El vector tiene por mdulo y su . donde . Hallar el valor de

primera componente vx=7 . Hallar Solucin 30. Los vectores valor de Solucin ,

con la condicin que sea perpendicular a

.

y

tienen el mismo origen. Determinar el

para que los tres vectores tengan sus extremos sobre la misma recta. =0

31. Calcular la circulacin del vector entre los puntos del plano O(0,0) y P(1,1) a travs de los siguientes caminos: a) Siguiendo la curva y=x2 b) Siguiendo el eje OX entre el origen y el punto A(1,0) y de ste en lnea recta al P(1,1). Solucin a) C=9 b) C=3,5 32. Calcular la circulacin del vector a lo largo de la curva xy=1 entre los puntos del plano A(1,1) y el correspondiente a la curva de abscisa x=4.