CÁLCULO VECTORIAL

SUPERFICIES CUÁDRICAS

ELIPSOIDE

ESFEROIDE: Un esferoide o elipsoide de revolución es una superficie cuádrica obtiene al hacer girar una

elipse alrededor de uno de sus ejes principales, es decir, un elipsoide con dos semestrales iguales diámetros. Si

la elipse se rota sobre su eje mayor, el resultado es un prolate (alargada) esferoidal, como un balón de rugby. Si

la elipse se rota sobre su eje menor, el resultado es un oblatos (aplanado) esferoide, como una lenteja. Si la

elipse es la generación de un círculo, el resultado es una esfera.

Debido a los efectos combinados de la gravedad y la rotación, la forma de la Tierra es aproximadamente la de

una esfera ligeramente achatada en la dirección de su eje. Por esa razón, en la cartografía de la Tierra a

menudo se aproxima por un esferoide achatado en lugar de una esfera. El actual modelo de Sistema Geodésico

Mundial, en particular, utiliza un esferoide cuyo radio es de aproximadamente 6,378.137 km en el ecuador y

6,356.752 km en los polos (una diferencia de más de 21 km).

ESFERA: En las coordenadas cartesianas, una superficie esférica con radio r que se centra en el origen

de las coordenadas se define como el conjunto de puntos (x, y, z) satisfacen la ecuación eje de x2 + y2 + z2 = r2.

También podemos describir la superficie esférica en forma paramétrica, al utizando los ángulos de latitud y

longitud: x = r costeóse, -7r/2 < $< ir/2 y = r eos $sen0, -77 < 8 < TT 2 = rsenó La representación paramétrica

en las ecuaciones proporciona un rango imétrico para los parámetros angulares y . En forma alternativa,

podríamos lespejar las ecuaciones paramétricas al utilizar coordenadas esféricas estándar, donde el ángulo se

especifica como la colatitud. Entonces, se define obre el rango O < ó < K, y 0 con frecuencia se toma en el rango

O < 0 < 2n. También > odríamos establecer la representación al utilizar los parámetros u y v definidos obre el

rango de O a 1 al sustituir § - nú y 0 = 2iw.

PARABOLOIDE

HIPERBÓLICO: Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el

pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha

trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperbólico es un

espécimen ya conocido por los griegos. Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el

interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una

superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el

ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras

las denominamos superficies regladas. Este tipo de curva también se la conoce como la silla de montar por su

forma.

ELÍPTICO: Superficie que se ha creado al deslizar una parábola vertical con la concavidad hacia abajo a

lo largo de otra, perpendicular a la primera; las secciones horizontales son elipses, mientras que las verticales

son parábolas.

CIRCULAR: Este tipo de superficie de revolución se vuelve un caso particular en relación a los dos

anteriores, pues en este refiriéndonos a la ecuación sucede que a=b, por lo tanto las secciones horizontales

quedarán definidas como circunferencias mientras que las secciones verticales se mantendrán como parábolas.

HIPERBOLOIDE

DE UNA HOJA: Superficie reglada formada por las rectas que se apoyan a la vez en tres

rectas que se cruzan en el espacio dos a dos. También nace al considerar rectas entre puntos

correspondientes de dos circunferencias paralelas giradas entre sí un cierto ángulo. En este caso

de revolución sale de girar las dos ramas de una hipérbola alrededor del eje de simetría que no las

corta.

DE DOS HOJAS: Es la superficie de revolución que tiene dos hojas y que en el caso de revolución

resulta de hacer girar las dos ramas de una hipérbola alrededor del eje de simetría que corta a las

dos ramas, generando una especie de copas contrarias.

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CILINDRO

ELÍPTICO: Contrario a lo que se cree se consideran cilindros a toda superficie cuya sección es curva y

tiene la misma forma en una punta que n la otra. En este caso tenemos un cilindro recto en el cual sus seccione

horizontales son elipses.

CIRCULAR: Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por el giro de una

región rectangular en torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de simetría.

HIPERBÓLICO: Éste tipo de superficie cuádrica como lo menciona su nombre es la que se genera por

una hipérbola, aún así se lo considera un cilindro.

PARABÓLICO: Para éste caso en particular el cilindro es generado por una parábola, el cuál encuentra

una de sus más útiles aplicaciones en para generar electricidad pues estos cilindro absorben energía solar que

luego calienta aceite, que a su vez produce vapor el cuál acciona turbinas de vapor convencionales.

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CONOS

ELÍPTICO: Ésta cuádrica toma su nombre pues es superficie de transición entre dos elipses. En ella

encontraremos que las secciones perpendiculares al eje de la misma son elipses y las secciones paralelas al eje

serán hipérbolas.

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CIRCULAR: De la misma forma podemos decir que ésta superficie cuádrica en este caso comparte las

constantes pues a=b=c por lo cual quedaría definido que sus secciones perpendiculares serán circunferencia.

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BIBLIOGRAFÍA:

http://www.upc.edu/ea-smi/personal/claudi/web3d/espanyol/hiperb_full.htm

http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Paraboloide_Hiperb%C3%B3lico

http://es.zettapedia.com/tag/esferoide.htm#/esferoide.htm

http://www.wikilearning.com/curso_gratis/modelado_geometrico-3_3_3_superficie_cuadratica_a/29040-18

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