T E S I S - Universidad de Sonora

El saber de mis hijoshará mi grandeza”

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Posgrado en Matematicas

El problema de los dos centros fijos

T E S I S

Que para obtener el grado academico de:

Maestro en Ciencias(Matematicas)

Presenta:

Hector Alfredo Hernandez Hernandez

Director de Tesis: Dr. Joaquın Delgado Fernandez.

Hermosillo, Sonora, Mexico, 20 de Agosto de 2010.

SINODALES

Dr. Joaquın Delgado Fernandez.Universidad Autonoma de Metropolitana, Ciudad de Mexico.

Dr. Antonio Garcıa Rodrıguez.Universidad Autonoma de Metropolitana, Ciudad de Mexico.

Dr. Daniel Olmos Liceaga.Universidad de Sonora, Hermosillo, Mexico.

Dr. Fernando Verduzco Gonzalez.Universidad de Sonora, Hermosillo, Mexico.

iv

Agradecimientos

Quiero expresar mi mas sincero agradecimiento al Doctor Joaquın Delgado Fernandez,por su invaluable apoyo en el desarrollo de este trabajo, ası mismo agradezco alDoctor Fernando Verduzco Gonzalez por su sobresaliente guıa, a ambos por supaciencia y su gran calidad humana. Tambien agradezco al Doctor Daniel OlmosLiceaga y al Doctor Antonio Garcıa Rodrıguez por su cuidadosa revision y susacertadas observaciones.

Mi mas sincero agradezcimiento a quienes me alentaron a ingresar al programade Maestrıa: Dr. Martın Eduardo Frıas Armenta, Dra. Martha Guzman Partida,M.C. Carlos Robles Corbala, M.C. Israel Segundo Caballero y al Dr. Martın GildardoGarcıa Alvarado. A quienes brindaron su apoyo para la realizacion de estos estudios:Dr. Jesus Adolfo Minjarez Sosa, M.C. Miguel Angel Moreno Nunez, a coordinadoresdel programa de posgrado en Matematicas: Dr. Ruben Flores Espinoza, Dr. FernandoLuque Vasquez y Dr. Oscar Vega Amaya, y a autoridades a cargo de DesarrolloAcademico de la Universidad de Sonora.

A mis companeros estudiantes de posgrado, les agradezco por compartir ”la brisadel mar” en momentos crıticos. Igualmente agradezco al Dr. Jose Luis Soto Munguıay a M.C. Lorena Armida Durazo Grijalva por su constante apoyo moral.

Agradezco a mi madre por su real impulso expresado en la frase: ”¿para que tantoestudio? ”, motivandome la correspondiente respuesta.

Y por ultimo agradezco infinitamente a mi familia: mi esposa I.Q. Paola TonanzyGarcıa Mendıvil, mis hijas: Ytrethzy Laisha y Marıa Fernanda por su calides yternura, que fueron un estımulo imprescindible para la realizacion de este Proyectode Maestrıa.

v

Resumen

En este trabajo se presenta el problema bidimensional de los dos centros fijos, se de-ducen y simplifican las ecuaciones de movimiento, se exhiben dos integrales primeras,que junto con el teorema de Hamilton Jacobi garantizan la separabilidad, es decir,que este problema sea integrable.

Ademas dado que las orbitas que colisionan o chocan con algun centro fijo, o pasancerca de uno ellos, son sensibles de seguir numericamente en sus coordenadas origi-nales, se introduce una transformacion llamada Regularizacion de Birkhoff que evitaeste problema. Esta regularizacion se aplica a las ecuaciones y a las regiones dondeel movimiento tiene lugar, llamadas regiones de Hill.

A fin de poder obtener soluciones exactas se estudian las condiciones necesarias y su-ficientes para la separabilidad y se dan las integrales de las ecuaciones de movimiento.Se introducen las coordenadas elıpticas y se muestra como se separa el Hamiltonianoen estas coordenadas.

Se comprueba que el uso de las coordenadas elıpticas resultan adecuadas paradescribir las restricciones que llegan a tener las orbitas que describe la masa enmovimiento, estableciendo regiones en las cuales se dan diferentes formas de lasorbitas. Sin embargo esta version de coordenadas elıpticas son adecuadas si nosquedamos restringuimos a algun cuadrante del plano, de no ser ası, requieren deconsideraciones de signo cada vez que se pase a otro cuadrante. Para evitarlo seintroducen las coordenadas elıpticas polares y en ellas se describe el Hamiltonianodel problema. Incluso se eliminan las singularidades utilizando el truco de Poincare.

Se da un ejemplo de la expresion parametrica de una solucion exacta, la cual requierede funciones elıpticas de Jacobi (seno y coseno elıpticos). Se utiliza la herramien-ta anterior y se implementa en Mathematica para generar una trayectoria de cadaregion, mostrandose los respectivos graficos y en su caso haciendo evidente las re-stricciones del movimiento.

Despues de lo anterior la atencion se centra en orbitas periodicas simetricas, paralo cual se estudian las simetrıas del problema y se muestra el concepto de lıneas desimetrıa, el cual sera util para localizar visualmente condiciones iniciales de orbitasperiodicas.

Luego se muestra el metodo de continuacion analıtica y su relacion con constantes demovimiento. Tambien se muestra que las orbitas Keplerianas no se pueden continuar.

Se desarrolla un metodo numerico de dos fases para realizar la continuacion analıticarespecto a la masa, el cual se clasifica como Newton de varias variables.

Se presentan los resultados numericos respecto a mapas de Poincare del problema, enel plano original y en el plano regularizado, ası la visualizacion de la condicion inicialde orbitas periodicas a partir de la interseccion de lıneas de simetrıa. En seguida semuestra la continuacion de la orbita en forma de ocho y la continuacion de la orbitadel carnero. Por ultimo se presentan las conclusiones y dos apendices, uno de FormasDiferenciales y otro de Transformaciones Canonicas y Funciones Generadoras.

Indice general

vii

viii INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

El problema de determinar la dinamica de n cuerpos que se atraen mutuamente, esun problema muy difıcil, incluso para n = 3. En [?] su autor expresa que en vista de ladificultad de resolver el problema general de los tres cuerpos, es conveniente intentarcasos mas sencillos de este problema. Euler ataco dos de ellos con gran exito: En elproblema colineal de tres cuerpos, logra obtener las soluciones mas sencillas en lasque se conservan la razon entre las distancias de los cuerpos, llamada configuracioncentral, ver Figura ??. Euler muestra que aun en este caso sencillo esta lejos de poderser resuelto completamente. Posteriormente muestra que este tipo de soluciones sepuede generalizar al problema de los tres cuerpos en el que cada uno sigue una orbitacircular Kepleriana partiendo de una configuracion central con condiciones inicialesde velocidad convenientes. El otro problema que Euler estudio fue el problema de uncuerpo siendo atraıdo por dos masas fijas, problema que se conoce como el problemade los dos centros fijos1. Euler menciona al respecto:

”He aquı un problema que parece tan importante como difıcil. Con-viene al dıa de hoy, que la astronomıa sea llevada al mas alto grado deperfeccion, si se encontrara un medio de determinar el movimiento detres cuerpos, que se atraen mutuamente en razon inversa del cuadradode sus distancias. Sin embargo todos los aportes que los Geometras hanhecho hasta ahora para este efecto han sido inutiles, han encontrado anivel del Analisis obstaculos invencibles, a pesar del gran progreso quese ha hecho en este estudio. Por lo tanto los pasos que se pueden darpara llegar a esta gran meta seran muy importantes. Desde este pun-to de vista, me he aplicado a la cuestion de los dos cuerpos fijos, en elque se busca el movimiento de un tercero que es atraıdo siguiendo la leymencionada”.

Una version de este problema consiste en restringir el movimiento a un plano fijoque contiene a los tres cuerpos 2. Para resolverlo, Euler encuentra dos contantes demovimiento, la energıa y el momento angular, conocidas como la integral de energıay la integral de Euler respectivamente. Con ello reduce el problema a una ecuacion

1La hipotesis de la no movilidad de los dos centros ha llegado a ser discutible, sin embargo en[?] se mencionan ejemplos del mundo macroscopico y microscopico. Incluso en [?] se estudia el iondiatomico de hidrogeno H2

+

2En el artıculo [?] se estudia la version en tres dimensiones.

1

2 Introduccion

m1

m3

m2

Figura 1.1: Configuracion central; ejemplo de Euler

integral de la forma P (x, y)dx + Q(x, y, )dy = 0 de la cual consigue separar las va-riables despues de varios cambios de coordenadas, involucrando integrales elıpticas;da la solucion completa dando explıcitamente la solucion de esta ecuacion integral,por ello se afirma que fue el primero en resolver este problema.

Estudia los casos cuando una de las masa es cero y el caso de las masas iguales.Tambien prueba que bajo ciertas condiciones en los valores de la energıa y el mo-mento angular, las soluciones pueden ser elıpticas, hiperbolicas, incluso encuentracondiciones necesarias y suficientes para que la curva solucion sea algebraica, prob-ablemente este haya sido el motivo por el cual Euler profundizo en el estudio de lasintegrales elıpticas. Entre los resultados de Euler respecto a la teorıa de este tipo deintegrales, estan el calculo de la longitud de arco de 1/4 de elipse y el teorema deadicion de integrales elıpticas.

Anos mas tarde Adrien-Marie Legendre [?] generalizo este resultado al encontrarfamilias mas generales de curvas algebraicas y no algebraicas. El problema en suversion espacial de los dos centros fijo, fue resuelto por Jacobi y generalizado para ncentros fijos, incluyendo una fuerza elastica dirigida al centro, usando el metodo hoyconocido de la ecuacion de Hamilton-Jacobi, es importante resaltar la utilizacion decoordenadas elıpticas cofocales.

Euler sostiene que el problema de los centros fijos podrıa tomarse como punto departida para comenzar a entender el problema de los tres cuerpos. Existen trabajosrecientes en los que se encuentran soluciones periodicas al problema restringido delos tres cuerpos como perturbaciones del problema de los dos centros fijos; en lasprimeras misiones espaciales se le dio mucha importancia, aunque fueron de pocautilidad practica.

Por otra parte las orbitas periodicas son de particular importancia en cualquiersistema dinamico, pues son orbitas de referencia, el movimiento se considera conocidosi las soluciones son periodicas, cuasi-periodicas o asintoticas. Por lo que resulta utilpoder obtener tantas orbitas periodicas como se requiera, incluyendo familias deeste tipo de orbitas. Una manera de obtener orbitas periodicas, se conoce como elmetodo de continuacion analıtica, el cual consiste en que una vez encontrada unaorbita periodica, llevar a cabo una pequena variacion en algun o algunos de losparametros y obtener otra orbita periodica con los nuevos valores de los parametros,

3

en caso de que sea posible. El proceso se podrıa repetir de nuevo encontrando otrosmiembros de la familia de orbitas periodicas a las cuales pertenece la orbita inicial.

El objetivo central es mostrar el metodo de continuacion analıtica, para orbitasperiodicas simetricas de bajo periodo, en el problema de los dos centros fijos, ensu version bidimensional, y en particular a una familia de orbitas: la familia conforma de ocho. Se aplica al problema de los dos centros fijos pues en el es muy facilencontrar orbitas periodicas, ya que existe una infinidad de ellas. Ademas, ya queresulta ser un sistema integrable, es posible llegar a comparar soluciones exactas consoluciones numericas, midiendo de alguna forma la bondad de las segundas.

Incluso los metodos numericos generados podrıan ser extendidos para aplicarsea problemas no integrables, por supuesto, con los ajustes necesarios.

4 Introduccion

Capıtulo 2

Ecuaciones de movimiento

El problema de los dos puntos fijos consiste en determinar la trayectoria quedescribe una partıcula de masa m0 al ser atraıda por la fuerza gravitatoria de dospartıculas de masas m1 y m2 (llamadas centros) que se suponen fijas. La partıculam0 se puede mover en el espacio o en un plano fijo que contenga la lınea de los doscentros. En lo sucesivo consideramos el problema plano: los centros fijos de masasm1

y m2 estan localizados sobre el eje x en los puntos (−c, 0) y (c, 0) respectivamente(ver Figura ??). Sea (x1, x2) la posicion de la partıcula de masa m0, entonces por lasegunda ley de Newton y la ley de atraccion universal se sigue

m0x1 = − Gm1m0(x1 + c)

((x1 + c)2 + x22)3/2

− Gm2m0(x1 − c)

((x1 − c)2 + x22)3/2

m0x2 = − Gm1m0x2

((x1 + c)2 + x22)3/2

− Gm2m0x2

((x1 − c)2 + x22)3/2

.

Donde G ≈ 6.67x10−11 m3

kg·s2 es la constante de gravitacion universal,

x1 + c

((x1 + c)2 + x22)1/2

,x1 − c

((x1 − c)2 + x22)1/2

son las componentes horizontales de los vectores unitarios en direccion de las fuerzasy donde

x2

((x1 + c)2 + x22)1/2

,x2

((x1 − c)2 + x22)1/2

(-c,0) (c,0)

m0

r

m 1 m 2

r1 2

Figura 2.1: Problema de los dos centros fijos

5

6 Ecuaciones de movimiento

son las componentes verticales de los vectores unitarios en direccion de las fuerzas.

Notemos que la masa m0 se puede eliminar, o equivalentemente considerar quem0 = 1, ası las ecuaciones nos quedan:

x1 = − Gm1(x1 + c)

((x1 + c)2 + x22)3/2

− Gm2(x1 − c)

((x1 − c)2 + x22)3/2

x2 = − Gm1x2

((x1 + c)2 + x22)3/2

− Gm2x2

((x1 − c)2 + x22)3/2

(2.0.1)

2.1. Adimensionamiento de las ecuaciones

La forma adimensional de las ecuaciones se obtiene como sigue: introducimosvariables adimensionales de distancia, x1 = cx, x2 = cy, de masa m1 = µm, m2 =(1 − µ)m, con m = m1 + m2 y de tiempo t = kτ con el valor adecuado de k,encontraremos tal valor. Para lo cual es necesario distinguir las derivadas respectoa t y respecto a τ , ası

d2x1dt2

= x1d2x2dt2

= x2

d2x

dτ2= x′′

d2y

dτ2= y′′

Encontremos la relacion entre las respectivas componentes.

Por una parte tenemos que

d2x1dτ2

= k2x1, (2.1.1)

d2x2dτ2

= k2x2, (2.1.2)

por otra parte tenemos qued2x1dτ2

= cx′′. (2.1.3)

d2x2dτ2

= cy′′. (2.1.4)

De (??) y (??) tenemos que

x1 =c

k2x′′ (2.1.5)

y de (??) y (??) tenemos que

x2 =c

k2y′′. (2.1.6)

Sustituyendo (??) y (??) y las variables adimensionales propuestas en (??) se obtieneque

c

k2x′′ =

cGm

c3

(− µ(x+ 1)

((x+ 1)2 + y2)3/2− (1− µ)(x− 1)

((x− 1)2 + y2)3/2

)(2.1.7)

c

k2y′′ =

cGm

c3

(− µy

((x+ 1)2 + y2)3/2− (1− µ)y

((x− 1)2 + y2)3/2

)

2.1 Adimensionamiento de las ecuaciones 7

Si 1k2

= Gmc3

, esto es: si hacemos k =√

c3

Gm entonces las ecuaciones (??) se reducen

de la siguiente manera:

x′′ = − µ(x+ 1)

((x+ 1)2 + y2)3/2− (1− µ)(x− 1)

((x− 1)2 + y2)3/2(2.1.8)

y′′ = − µy

((x+ 1)2 + y2)3/2− (1− µ)y

((x− 1)2 + y2)3/2(2.1.9)

Observemos que las unidades de la constante [k] = s.

8 Ecuaciones de movimiento

Capıtulo 3

Primeras Integrales

3.1. Integral de energıa y regiones de Hill

La energıa es una primera integral del problema de los centros fijos. Para ellomultiplicamos la primera ecuacion (??) por x′, la segunda (??) por y′ y sumamos,obtenemos x′x′′ + y′y′′, pero esta cantidad es precisamente la derivada de la energıacinetica, es decir:

x′x′′ + y′y′′ =

(1

2(x′

2+ y′

2)

)′= K ′. (3.1.1)

Por otro lado, usando las ecuaciones de movimiento (??) y (??), obtenemos que

x′′x′ + y′′y′ =

(−µ(x+ 1)

r13− (1− µ)(x− 1)

r23

)x′ +

(− µy

r13− (1− µ)y

r23

)y′

= −µ((x+ 1)x′ + yy′)

r13− (1− µ)((x− 1)x′ + yy′)

r23

= −(µ

r1+

1− µ

r2

)′= U ′ (3.1.2)

con

r1 =((x+ 1)2 + y2

)1/2, r2 =

((x− 1)2 + y2

)1/2.

De (??) y (??) obtenemos que(1

2(x′

2+ y′

2)

)′= U ′,

lo cual implica que1

2(x′2 + y′2) = U(x, y) + h, (3.1.3)

donde h se identifica con la energıa y U = −(

µr1

+ 1−µr2

)es la funcion potencial. De

esta manera la energıa total del sistema es constante K − U = h.

De la conservacion de la energıa y del hecho que la energıa cinetica es no negativase sigue que para un valor fijo de la energıa h, el movimiento en el espacio deconfiguracion esta restringido a la region

Mh =(x, y) ∈ R2 | U(x, y) + h ≥ 0

(3.1.4)

9

10 Primeras Integrales

-1

0

1x

-1

0

1

y

0

1

2

3

U

-1

0

1x

-1

0

1x

-1

0

1

y

0

1

2

3

U

-1

0

1x

Figura 3.1: Funcion potencial U(x, y) para µ = 1/2 (izquierda) y µ = 1/8 (derecha).

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-1.1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-1

Figura 3.2: Regiones de Hill para h = −1.1, −1 y µ = 1/2.

que se conocen como las regiones de Hill. Sus fronteras U = −h no son mas que lascurvas de nivel del potencial U . En la Figura ?? se muestra la grafica del potencialU(x, y) para valores de µ = 1/2 (izquierda) y µ = 1/8 (derecha) en la que se puedenapreciar las singularidades debidas a colision con los primarios.1

En las Figuras ??, ?? se muestran las regiones de Hill para valores de h < 0. Paravalores de h > 0 la region de Hill es el plano menos dos puntos correspondientes alos centros fijos.

3.2. La integral de Euler

Euler encontro una integral de movimiento adicional a la energıa que es unacombinacion del producto de los momentos angulares de la partıcula respecto delos centros fijos y una combinacion de los cosenos del radio vector respecto de los

1La region de Hill es de color blanco.

3.2 La integral de Euler 11

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-0.7

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-0.5

Figura 3.3: Regiones de Hill para h = −0.7, −0.5 y µ = 1/2.

centros fijos. Partamos de las ecuaciones de movimiento adimensionales

x′′ = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32(3.2.1)

y′′ = −µyr31

− (1− µ)y

r32

donde

r1 =√

(x+ 1)2 + y2

r2 =√

(x− 1)2 + y2

Calculemos (x+ 1)y′′ − yx′′ y (x− 1)y′′ − yx′′

(x+ 1)y′′ − yx′′ = (x+ 1)

(−µyr31

− (1− µ)y

r32

)+ y

(µ(x+ 1)

r31+

(1− µ)(x− 1)

r32

)=

(1− µ) (−(x+ 1)y + (x− 1)y)

r32=

−2(1− µ)y

r32(3.2.2)

(x− 1)y′′ − yx′′ = (x− 1)

(−µyr31

− (1− µ)y

r32

)+ y

(µ(x+ 1)

r31+

(1− µ)(x− 1)

r32

)=

µy (−(x− 1) + (x+ 1))

r31=

2µy

r31(3.2.3)

Ahora calculemos

d

dτ

([(x+ 1)y′ − yx′][(x− 1)y′ − yx′]

)= [(x+ 1)y′′ + y′x′ − yx′′ − x′y′][(x− 1)y′ − yx′]

+[(x− 1)y′′ + y′x′ − yx′′ − x′y′][(x+ 1)y′ − yx′]

= [(x+ 1)y′′ − yx′′][(x− 1)y′′ − yx′]

+[(x− 1)y′′ − yx′′][(x+ 1)y′ − yx′] (3.2.4)


Al sustituir (??) y (??) en (??) se transforma en

d

dτ

([(x+ 1)y′ − yx′][(x− 1)y′ − yx′]

)=

−2(1− µ)y

r32[(x− 1)y′ − yx′] +

2µy

r31[(x+ 1)y′ − yx′] (3.2.5)

Consideremos la Figura ?? para ver que las expresiones el lado derecho de (??) queestan en corchetes cuadrados, son los momentos angulares

(x− 1)y′ − yx′ = r22θ2 (3.2.6)

(x+ 1)y′ − yx′ = r12θ1. (3.2.7)

Ası al sustituir (??) y (??) en el lado derecho de (??) se transforma en

(-1,0) (1,0)x

r

y

qq

1

21

r2

Figura 3.4: Momento angular

−2(1− µ)yθ2r2

+2µyθ1r1

(3.2.8)

incluso tomando en cuenta que

y = r1 sin θ1 = r2 sin θ2

(??) se transforma a su vez en

−2(1− µ) sin θ2θ2 + 2µ sin θ1θ1, (3.2.9)

la cual es la derivada exacta

− d

dτ(2µ cos θ1 − 2(1− µ) cos θ2) ,

3.2 La integral de Euler 13

lo cual implica que

d

dτ

([(x+ 1)y′ − yx′][(x− 1)y′ − yx′]

)= − d

dτ(2µ cos θ1 − 2(1− µ) cos θ2)

Integrando obtenemos

[(x+ 1)y′ − yx′][(x− 1)y′ − yx′] = −2µ cos θ1 + 2(1− µ) cos θ2 +D

= −2µ(x+ 1)

r1+

2(1− µ)(x− 1)

r2+D.

La constante D = D(x, y, x′, y′) es conocida como la integral de Euler.

Capıtulo 4

Regularizacion

El problema de los dos centros fijos tiene dos singularidades debidos a la colisioncon alguno de los centros fijos (x, y) = (±1, 0), lo cual nos prohıbe estudiar lastrayectorias que pasan cerca de colision con estos focos, inclusive numericamente.Es necesario eliminar tales singularidades.

El proceso de regularizacion consiste en hacer un cambio de coordenadas y posi-blemente una reparametrizacion del tiempo, tal que las singularidades sean removi-das y sustituidas por puntos regulares del campo vectorial en las nuevas coordenadas.Tıpicamente, se regulariza sobre un nivel de energıa fijo h. Usaremos una transfor-macion de coordenadas que involucra una transformacion conforme del espacio deconfiguracion introducida por Birkhoff en el problema restringido de tres cuerpos.Vamos a ver dos procedimientos para regularizar las ecuaciones: en el primero efec-tuamos la transformacion explıcita de las velocidades que llamaremos regularizacionLagrangiana. En el segundo metodo aprovechamos la estructura canonica de lasecuaciones de Hamilton, completando la transformacion de Birkhoff a una trans-formacion canonica que incluye los momentos. Las ecuaciones de movimiento regu-larizadas se obtienen entonces del Hamiltoniano regularizado, es decir de eliminaren este las singularidades.

4.1. Regularizacion Lagrangiana

Las ecuaciones (??,??) se pueden escribir como:

x′′ =∂U

∂x

y′′ =∂U

∂y(4.1.1)

donde

U =µ

((x+ 1)2 + y2)1/2+

1− µ

((x− 1)2 + y2)1/2.

15

16 Regularizacion

En lo sucesivo utilizaremos la notacion compleja para escribir de manera mas com-pacta los cambios de coordenadas. Sea z = x+ iy, y observemos que

∂U

∂x=

∂U

∂z

∂z

∂x+∂U

∂z

∂z

∂x=∂U

∂z+∂U

∂z∂U

∂y=

∂U

∂z

∂z

∂y+∂U

∂z

∂z

∂y=∂U

∂zi+

∂U

∂z(−i) = i

(∂U

∂z− ∂U

∂z

),

entonces las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como

z′′ = 2∂U

∂z(4.1.2)

donde

U(z, z) =µ

|z + 1|+

1− µ

|z − 1|(4.1.3)

Busquemos una transformacion compleja de la forma z = g(w) de tal maneraque removamos las singularidades, en la forma

z = g(w) =M

(w +

R

w

),

dondeM y R son constantes por determinar. En lo sucesivo, para evitar confusiones,denotaremos por g∗(w) la derivada (compleja) de la funcion g respecto a su argu-mento y reservamos la notacion (′) para denotar derivadas respecto de la variablestemporal τ .

Entonces

g∗(w) =M

(1− R

w2

). (4.1.4)

La transformacion g(w) deja fijo el infinito y manda el origen del plano w al infinito

-1 11-1

WZ =g(w)

g

Figura 4.1: g(w)

del plano z, pues g(0) = g(∞) = ∞. Buscamos que la transformacion deje tambienfijos los centros, es decir

g(±1) = ±1,

4.1 Regularizacion Lagrangiana 17

y como queremos regularizar las singularidades, pediremos que

g∗(±1) = 0

(en caso contrario la transformacion serıa un difeomorfismo alrededor de las singu-laridades y no ganarıamos nada). Al fijar estas condiciones obtenemos

g(±1) = M (±1±R) = ±1

g∗(±1) = M (1−R) = 0,

lo cual se cumple tomando R = 1 y M = 12 , de esta manera la funcion buscada es

g(w) =1

2

(w +

1

w

). (4.1.5)

Enseguida describiremos brevemente la transformacion anterior conocida comotransformacion de Birkhoff. La transformacion manda el origen a ∞ y el ∞ al ∞,tambien manda cırculos con centro en el origen en elipses cofocales con focos en ±1.De hecho

z − 1 =(w − 1)2

2w, z + 1 =

(w + 1)2

2w, (4.1.6)

de donde se observa que w = ±1 es mapeado en z = ±1. La derivada

g∗(w) =(w − 1)(w + 1)

2w2(4.1.7)

muestra que la transformacion es conforme en todo el plano excepto en los puntosw = ±1, donde la derivada se anula. De (??) se obtiene facilmente

|z − 1|+ |z + 1| = |w|2 + 1

|w|

de donde se sigue que la circunferencia |w| = r es enviada en la elipse

|z − 1|+ |z + 1| = r +1

r. (4.1.8)

Analogamente las rectas w = λeiθ son enviadas en las hiperbolas

|z − 1| − |z + 1| = − cos θ.

La involucion w → 1w corresponde a una inversion respecto del cırculo unitario en el

plano w, seguido de una reflexion; su expresion en coordenadas polares, reiθ → 1re

−iθ,muestra que esta involucion invierte un cırculo de radio r en un cırculo de radio 1/rinvirtiendo su orientacion. Pero esta involucion deja invariante el lado derecho de(??) , luego la transformacion (??) puede entenderse ası:

1. Es 2 a 1, excepto en los puntos fijos w = ±1, de hecho manda cırculos de radior y 1/r en la misma elipse.

18 Regularizacion

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

w1

w2

Figura 4.2: Geometrıa del mapeo x+ iy = g(w1 + iw2)

2. En particular, la circunferencia unitaria en el plano w, es enviada en el seg-mento [−1, 1] de manera 2 a 1: al recorrer dicho cırculo entre 0 y π se recorreel segmento de 1 a -1 y al recorrerlo de π a 2π se recorre el segmento de -1 a 1.

En la Figura ?? se muestra el efecto de la transformacion del plano w (izquierda)sobre el plano x–y: cırculos de radios recıprocos r y 1/r son enviados en la mismaelipse, en tanto que el cırculo unitario del plano w es enviado en el segmento [−1, 1].

Ahora es necesario transformar la ecuacion (??) que esta en coordenadas (z, τ)a coordenadas (w, s), con z = g(w) y donde s sera la nueva variable temporal conla propiedad dτ

ds = |g′(w)|2, que ayudara a eliminar las singularidades. Observemosque

z′ =dz

dτ= g∗(w)

(dw

dτ

)z′′ =

d2z

dτ2= g∗∗(w)

(dw

dτ

)2

+ g∗(w)d2w

dτ2. (4.1.9)

Ahora requerimos de las expresiones para(dwdτ

)2y de d2w

dτ2. Por una parte tenemos

quedw

dτ=ds

dτ

dw

ds=

1

|g∗(w)|2dw

ds(4.1.10)

y que

d2w

dτ2=

d

ds

(1

|g∗(w)|2dw

ds

)ds

dτ

=

(1

|g∗(w)|2d2w

ds2− 2

|g∗(w)|3

(d

ds|g∗(w)|

)dw

ds

)1

|g∗(w)|2(4.1.11)


calculemos

d

ds|g∗(w)| =

d

ds

√g∗(w)g∗(w)

=g∗∗(w)dwds g

∗(w) + g∗(w)g∗∗(w)dwds

2

√g∗(w)g∗(w)

(4.1.12)

=g∗∗(w)g∗(w)

2|g∗(w)|dw

ds+g∗(w)g∗∗(w)

2|g∗(w)|dw

ds. (4.1.13)

Ası, abreviando el argumento, (??) queda:

d2w

dτ2=

1

|g∗|2

(1

|g∗|2d2w

ds2− g∗∗g∗

|g∗|4

(dw

ds

)2

− g∗g∗∗

|g∗|4

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2)

(4.1.14)

De (??) y (??) se obtiene

g∗∗(w)

(dw

dτ

)2

+ g∗(w)d2w

dτ2= 2

∂U

∂z. (4.1.15)

Sustituyendo (??) y (??) en (??):

g∗∗(w)

(1

|g∗(w)|2dw

ds

)2

+g∗(w)

(1

|g∗(w)|4d2w

ds2− g∗∗(w)g∗(w)

|g∗(w)|6

(dw

ds

)2

− g∗g∗∗(w)

|g∗(w)|6

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2)

= 2∂U

∂z.

Reagrupando

g∗(w)

|g∗(w)|4d2w

ds2+

(g∗∗(w)

|g∗(w)|4− g∗(w)g∗∗(w)g∗(w)

|g∗(w)|6

)(dw

ds

)2

−g∗2g∗∗(w)

|g∗(w)|6

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 = 2

∂U

∂z

o bieng∗(w)

|g∗(w)|4d2w

ds2− g∗(w)2g∗∗(w)

|g∗(w)|6

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 = 2

∂U

∂z. (4.1.16)

Transformemos ahora el lado derecho de la ultima ecuacion para que quede en termi-nos de w:

2∂U

∂z= 2

(∂U

∂w

∂w

∂z+∂U

∂w

∂w

∂z

)(4.1.17)

notemos que ∂w∂z = 0 pues w no depende de z y que

∂w

∂z=

1∂z∂w

=1

∂z∂w

=1

g∗(w).

20 Regularizacion

Ası (??) se expresa como

g∗

|g∗|4d2w

ds2− g∗2g∗∗

|g∗|6

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 =

2

g∗∂U

∂w

d2w

ds2− g∗g∗∗

|g∗|2

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 =

2|g∗|4

|g∗|2∂U

∂w

d2w

ds2− g∗g∗∗

|g∗|2

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 = 2|g∗|2∂U

∂w. (4.1.18)

Ahora consideremos un cierto nivel de energıa h (cte.), donde

h =1

2

∣∣∣∣dzdτ∣∣∣∣2 − U,

para obtener una expresion de∣∣dwds

∣∣2 que sera sustituida en (??).

dz

dτ= g∗(w)

dw

dτ= g∗(w)

dw

ds

ds

dτ=

g∗(w)

|g∗(w)|2dw

ds,

h =1

2

1

|g∗|2

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 − U ⇒

∣∣∣∣dwds∣∣∣∣2 = 2|g∗(w)|2(U + h) (4.1.19)

Ası (??) se transforma en:

d2w

ds2− g∗g∗∗

|g∗|22|g∗|2(U + h) = 2|g∗|2∂U

∂w

d2w

ds2= 2

(g∗g∗∗(U + h) + |g∗|2∂U

∂w

)(4.1.20)

Se puede verificar que el lado derecho de (??) es la derivada parcial respecto a w de2|g∗|2(U + h), de tal manera que la ecuacion (??) se reduce a:

d2w

ds2= 2

∂

∂w

(|g∗(w)|2(U + h)

)(4.1.21)

En efecto:

2∂

∂w

(|g∗|2(U + h)

)= 2

∂

∂w

(g∗g∗(U + h)

)= 2

(g∗g∗∗(U + h) + g∗g∗

∂U

∂w

)= 2

(g∗g∗∗(U + h) + |g∗|2∂U

∂w

)Teorema 1. Sea z = g(w) = 1

2

(w + 1

w

)con U = µ

|z+1|+1−µ|z−1| entonces |g

∗(w)|2(U+

h) es regular en w = ±1, i.e. tiene derivadas continuas en ±1, inclusive.


Demostracion: Tenemos

U(w, w) =2µ|w|

|w + 1|2+

2(1− µ)|w||1− w|2

. (4.1.22)

Verifiquemos esto ultimo:

z =1

2

(w +

1

w

)implica que

z ± 1 =1

2

(w +

1

w

)± 1 =

1

2

(w2 ± 2w + 1

w

)=

1

2w(w ± 1)2

por lo que1

|z ± 1|=

2|w||w ± 1|2

ası sustituyendo 1|z+1| y 1

|z−1| en la expresion para U en terminos de z se obtiene

(??).

Veamos que |g∗(w)|2(U + h) es regular en w = ±1.

g∗(w) =1

2

(1− 1

w2

)=

1

2w2

(w2 − 1

)=

1

2w2(w + 1)(w − 1)

de ahı que

|g∗(w)|2 = |w + 1|2|w − 1|2

4|w|4

al multiplicar por U + h nos queda

|g∗(w)|2(U + h) =|w + 1|2|w − 1|2

4|w|4

(2µ|w|

|w + 1|2+

2(1− µ)|w||1− w|2

+ h

)=

µ

2

|w − 1|2

|w|3+

1− µ

2

|w + 1|2

|w|3+h|w + 1|2|w − 1|2

4|w|4

=1

2|w|3(µ|w − 1|2 + (1− µ)|w + 1|2

)+h|w + 1|2|w − 1|2

4|w|4,

la cual es una funcion continua en w = ±1. De hecho la derivada existe y es continuaen w = ±1 como queriamos demostrar.

Obtengamos ahora la expresion explıcita de (??) Para derivar respecto a w re-querimos expresar a (??) en terminos de w. Vamos por partes:

µ|w − 1|2 + (1− µ)|w + 1|2 = µ(w − 1)(w − 1) + (1− µ)(w + 1)(w + 1)

= µ(ww − w − w + 1) + (1− µ)(ww + w + w + 1)

= (w + w)(1− 2µ) + ww + 1

22 Regularizacion

|w + 1|2|w − 1|2 = (w − 1)(w + 1)(w − 1)(w + 1)

= (w2 − 1)(w2 − 1)

Calculemos el lado derecho de (??)

2∂

∂w

(|g∗(w)|2(U + h)

)= 2

∂

∂w

((w + w)(1− 2µ) + ww + 1

2(ww)3/2+h(w2 − 1)(w2 − 1)

4(ww)2

)=

∂

∂w

((w + w)(1− 2µ) + ww + 1

(ww)3/2

)+

∂

∂w

(h(w2 − 1)(w2 − 1)

2(ww)2

)Ası

∂

∂w

((w + w)(1− 2µ) + ww + 1

(ww)3/2

)=

1

2

−w + 2µw + ww − 3w + 6µw − 3

ww2(ww)1/2

=1

2

(2µ− 1)(3w + w) + ww − 3

w3/2w5/2

y

∂

∂w

(h(w2 − 1)(w2 − 1)

2(ww)2

)= h

2(ww)2(w2 − 1)2w − (w2 − 1)(w2 − 1)4w2w

4(ww)4

= h(ww)2(w2 − 1)w − (w2 − 1)(w2 − 1)w2w

(ww)4

= h(w2 − 1)w2w(w2 − w2 + 1)

(ww)4

=h(w2 + 1)

w2w3

De esta manera la ecuacion (??) nos queda

d2w

ds2=

1

2

(2µ− 1)(3w + w) + ww − 3

w3/2w5/2+h(w2 + 1)

w2w3 (4.1.23)

4.2. Regularizacion Hamiltoniana

Las regiones de Hill se definieron en la seccion (3.1). Son regiones en el espaciode configuracion donde el movimiento es permitido para un valor dado de la energıah. En esta seccion vamos a determinar las regiones de Hill en el plano regularizadow. Graficaremos las regiones de Hill en las variables originales y en las variablesregularizadas.

Partimos del Hamiltoniano en variables adimensionales

H =1

2|pz|2 −

µ

|z + 1|− 1− µ

|z − 1|(4.2.1)

Deseamos efectuar la transformacion puntual

z = g(w) =1

2

(w +

1

w

)(4.2.2)

4.2 Regularizacion Hamiltoniana 23

El siguiente lema muestra como podemos completarla a una transformacion sim-plectica

Lema 1. Sea z = g(w) una transformacion analıtica. Entonces la transformacionde coordenadas (w,W ) → (z, pz) es simplectica, si Re(pzdz) = Re(Ww).

Demostracion: La condicion equivale a pxdx+ pydy =W1dw1 +W2dw2 que implica

dpx ∧ dx+ dpy ∧ dy = dW1 ∧ dw1 + dW2 ∧ dw2.

Lema 2. La transformacion de coordenadas (w,W ) → (z, pz), pz = W

g∗(w)con z =

g(w) analıtica, es simplectica.

Demostracion: De hecho se satisface pzdz =Ww.

Lema 3. (Truco de Poincare) Sea f una funcion suave real y siempre positiva. Lassoluciones del sistema Hamiltoniano asociado a H sobre el nivel de energıa H=h ylas soluciones del sistema Hamiltoniano asociado a H = (H − h)f sobre el nivel deenergıa H = 0 difieren en la parametrizacion de la variable independiente dt

dτ = f .

Demostracion: Las ecuaciones de Hamilton para H respecto al parametro τ son

dζ

dτ= J∇(H − h)f = J(f∇H + (H − h)∇f),

pero sobre el nivel de energıa H = 0 es H = h, por lo que

dζ

dτ= fJ∇H ⇒ 1

f

dζ

dτ= J∇H

si hacemos la reparametrizacion indicada entonces

dζ

dτ= J∇H,

que son las ecuaciones de Hamilton para H.

Ahora queremos aplicar la transformacion de Birkhoff (??), completar a unatransformacion canonica y reparametrizar las soluciones con

dt

dτ= |g∗(w)|2

(la razon de usar esta reparametrizacion es precisamente eliminar las singulari-dades). Si bajo el cambio de coordenadas z = g(w) y esta reparametrizacion, lassingularidades z = ±1 son sustituidas por puntos regulares del campo Hamiltonianoasociado a H, diremos que hemos regularizado las singularidades.

Aplicamos el Lema ?? a la transformacion de Birkhoff, luego debemos hacer

z =1

2

(w +

1

w

), pz =

2w2W

w2 − 1(4.2.3)

24 Regularizacion

Usando (??) y (??) en (??) obtenemos el Hamiltoniano regularizado

H = (H − h)|g∗(w)|2 (4.2.4)

Un desarrollo muestra que

H =

(2|w|4|W |2

|w − 1|2|w|2− 2µ|w|

|w − 1|2− 2(1− µ)|w|

|w + 1|2− h

)|w + 1|2|w − 1|2

4|w|4(4.2.5)

=|W |2

2− µ|w + 1|2

2|w|3− (1− µ)|w − 1|2

2|w|3− h|w + 1|2|w − 1|2

4|w|4= 0

donde indicamos que el nivel de interes es H = 0.

4.3. Regiones de Hill regularizadas

Como |W |2 ≥ 0, a partir de la ecuacion (??), se sigue las regiones permitidas enel plano w son

µ|w + 1|2

2|w|3+

(1− µ)|w − 1|2

2|w|3+h|w + 1|2|w − 1|2

4|w|4≥ 0 (4.3.1)

que definen las regiones de Hill regularizadas.

Observacion 1. De (??) se sigue que para w = −1, se tiene |W |2 = µ y para w = 1,se tiene |W |2 = 1−µ por lo cual hemos sustituido cada singularidad z = ±1 por uncırculo, topologicamente S1.

La frontera de la region de Hill (??) corresponde a la igualdad y se puede escribircomo

2|w|(µ|w + 1|2 + (1− µ)|w − 1|2

)+ h|w + 1|2|w − 1|2 = 0 (4.3.2)

o bien como una curva de nivel

2|w|(

µ

|w − 1|2+

1− µ

|w + 1|2

)= −h (4.3.3)

Las expresiones (??) y (??) son equivalentes ya ninguno de los puntos w = ±1 lasatisface.

En la Figura se muestran algunas regiones de Hill, en coordenadas originales yen coordenadas regularizadas.

4.3 Regiones de Hill regularizadas 25

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-1.1

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

w1

w2 h=-1.1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-1

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

w1

w2 h=-1

Figura 4.3: Regiones de Hill regularizada (derecha) y las correspondientes regionesde Hill en las variables originales (izquierda).

26 Regularizacion

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-0.7

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

w1

w2 h=-0.7

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y h=-0.5

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

w1

w2 h=-0.5

Figura 4.4: Regiones de Hill regularizada (derecha) y las correspondientes regionesde Hill en las variables originales (izquierda).

Capıtulo 5

Teorema de Hamilton Jacobi

La idea de funcion principal de Hamilton esta sugerida por una tecnica que esimportante en optica geometrica. Esta es una funcion de la cual se puede derivar ladinamica posible del sistema. Explıcitamente la funcion principal S es la integral deaccion

S =

∫ tf

t0

Ldt (5.0.1)

tomada a lo largo de una solucion de las ecuaciones de Lagrange, es decir, un caminoen el q-espacio satisfaciendo la ecuacion de movimiento. Al menos localmente esposible obtener una expresion en la que se obtiene a S como funcion de las posicionesiniciales, finales y los tiempos de salida y arribo.

S = S(q10, q20, ..., qn0; q1f , q2f , ..., qnf ; t0, tf ) (5.0.2)

para ello es necesario que q1f , q2f , ..., qnf pertenezca un campo de extremales (veasepor ejemplo Arnold, Metodos Matematicos de la Mecanica). Nosotros, sin embargono usaremos esta expresion.

5.1. El teorema de Hamilton–Jacobi

Una integral completa para la ecuacion diferencial parcial de Hamilton

∂S

∂t+H

(q;∂S

∂q; t

)= 0 (5.1.1)

es una funcion S de clase C2 conteniendo n constantes arbitrarias independientesα1, α2, ..., αn, tales que el determinante∥∥∥∥ ∂2S

∂qr∂αs

∥∥∥∥ = 0 (5.1.2)

en cierto dominio del plano q–α.

De esta manera la funcion principal se expresa en terminos de q ’s y t y los nparametros α.El recıproco es precisamente el corazon del Teorema de Hamilton–Jacobi.

27

28 Teorema de Hamilton Jacobi

Teorema 2. Si S(q1, q2, ..., qn;α1, α2, ..., αn; t) es una integral completa de la ecuacionde Hamilton–Jacobi

∂S

∂t+H (q, α, t) = 0 (5.1.3)

entonces las soluciones de las ecuaciones de Hamilton vienen dadas por las integralesde las ecuaciones Hamilton

∂S

∂αr(q1, q2, . . . , qn, α1, α2, . . . , αn, t) = −βr, (5.1.4)

∂S

∂qr(q1, q2, . . . , qn, α1, α2, . . . , αn, t) = pr, r = 1, 2, . . . , n (5.1.5)

donde las β’s son n constantes arbitrarias.

Demostracion: Las ecuaciones (??), (??) determinan las q ’s y las p’s como fun-ciones de t y los vectores de parametros arbitrarios α, β. En efecto, por el teore-ma de la funcion implıcita, la condicion (??) permite expresar a partir de (??) aqr = qr(α, β, t) y al sustituir en (??) se obtiene

pr =∂S

∂qr(q(α, β, t), α, t)

es decir

qr = qr(α;β; t), (5.1.6)

pr = pr(α;β; t), (5.1.7)

Tenemos que mostrar que las funciones ası obtenidas satisfacen las ecuaciones deHamilton para valores arbitrarios de α’s y β’s al menos en algun dominio de (α, β).Ahora S satisface (??) para todos los valores de q;α; t en el dominio apropiado,ası que sustituyendo (??), (??) y derivando parcialmente respecto a α1, tenemos

∂2S

∂α1∂t+

n∑r=1

∂2S

∂α1∂qr

∂H

∂pr

(q;∂S

∂q; t

)= 0 (5.1.8)

es decir∂2S

∂α1∂t+

n∑r=1

∂2S

∂α1∂qr

∂H

∂pr(q; p; t) = 0 (5.1.9)

como funcion de (α;β; t).

De la ecuacion∂S

∂α1= −β1 (5.1.10)

si sustituimos qr = qr(α;β; t), pr = pr(α;β; t) de (??), (??) y derivamos parcialmenterespecto a t, tenemos

∂2S

∂t∂α1+

n∑r=1

∂2S

∂qr∂α1

∂qr∂t

= 0, (5.1.11)

5.1 El teorema de Hamilton–Jacobi 29

Como S es de clase C2 las derivadas mixtas pueden intercambiarse a voluntad; ası de(??) y (??) tenemos

n∑r=1

∂2S

∂qr∂α1

∂qr∂t

− ∂H

∂pr(q; p; t)

= 0. (5.1.12)

y dado que el determinante (??) es no nulo, entonces

∂qr∂t

=∂H

∂pr, r = 1, 2 . . . , n. (5.1.13)

que es la primera de las ecuaciones de Hamilton.

En seguida sustituimos de nuevo la integral completa en (??) y derivamos par-cialmente con respecto a q1,

∂2S

∂q1∂t+∂H

∂q1(q; p; t) +

n∑r=1

∂2S

∂q1∂qr

∂H

∂pr(q; p; t) = 0. (5.1.14)

como funcion de (α;β; t). Ahora en la ecuacion

p1 =∂S

∂q1(5.1.15)

donde hemos sustituido q´s sus valores en terminos de α´s, β’s y t ; ası derivandoparcialmente respecto a t, tenemos

∂p1∂t

=∂2S

∂t∂q1+

n∑r=1

∂2S

∂qr∂q1

∂qr∂t

. (5.1.16)

Ahora∂2S

∂q1∂t=

∂2S

∂t∂q1,

∂2S

∂q1∂qr=

∂2S

∂qr∂q1, (5.1.17)

y por lo tanto, en virtud de (?? y ??), (??) es equivalente a

∂p1∂t

= −Hq1 (q; p; t) . (5.1.18)

El mismo metodo establece las n ecuaciones similares

∂pr∂t

= −∂H∂qr

(q; p; t) , r = 1, 2, ...., n. (5.1.19)

Las ecuaciones (??) y (??) prueban que las funciones qr y pr satisfacen las ecuacionesde Hamilton.

∂qr∂t

=∂H

∂pr,

∂pr∂t

= −∂H∂qr

, r = 1, 2, ..., n, (5.1.20)

para valores arbitrarios de α’s y β’s y el teorema queda probado.

Observacion 2. Las ecuaciones (??), (??) y (??) se llaman comunmente las inte-grales de las ecuaciones de Hamilton, por razon de que al expresar a partir de (??),


(??) las q’s yp’s como funciones de los parametros arbitrarios α y β se obtienensoluciones de las ecuaciones de Hamilton.

Es importante considerar los casos donde L y H no contiene a t explıcitamente,esto es

H = H(q1, q2, ..., qn; p1, p2, ..., pn), (5.1.21)

en este caso existe la integral de energıa

H = h. (5.1.22)

Para determinar la integral completa escribimos

S = −ht+K, (5.1.23)

donde h = α1 es una de las constantes arbitrarias yK es una funcion de (q1, q2, ..., qn)involucrando h = α1 y n−1 constantes arbitrarias adicionales α2, α3, ..., αn. En estecaso la ecuacion diferencial parcial de Hamilton queda

H

(q;∂K

∂q

)= h, (5.1.24)

que se conoce como la ecuacion modificada de Hamilton–Jacobi. Ahora necesitamosuna integral completa para esta ecuacion, una que involucre n−1 nuevas constantesarbitrarias, ninguna de las cuales es meramente aditiva. Las integrales de las ecua-ciones de movimiento son

t− t0 =∂K

∂h, (5.1.25)

−βr =∂K

∂αr, r = 2, 3, ..., n, (5.1.26)

pr =∂K

∂qr, r = 1, 2, ..., n, (5.1.27)

donde hemos escrito t0 en lugar de β1, es decir el origen del tiempo t0 es una de lasconstantes arbitrarias β1.

Las ecuaciones (??) determinan la trayectoria en el espacio de configuracion q,sin referencia a la velocidad con las que se recorre la trayectoria; la ecuacion (??)determina la relacion entre la posicion en la trayectoria y el tiempo, a partir de lacual se obtienen las segundas derivadas de la posicion respecto del tiempo; estasson precisamente las soluciones de las ecuaciones de Euler–Lagrange Finalmente,las ecuaciones (??), (??) determinan los momentos como funcion del tiempo quecompletan la solucion al problema de Hamilton.

5.2. Un ejemplo sencillo

Consideremos el caso del oscilador armonico en una dimension (vease por ejemplo[?] [p. 434-436]:

H =1

2m(p2 +m2ω2q2)

5.2 Un ejemplo sencillo 31

Como el sistema es autonomo podemos considerar la ecuacion modificada de Hamilton–Jacobi (??)

2

2m

[(∂K

∂q

)2

+m2ω2q2

]= α

donde podemos identificar la constante de integracion α como la energıa. Estaecuacion se puede integrar de inmediato,

K =√2mα

∫dq

√1− mω2q2

2α(5.2.1)

de modo que

S =√2mα

∫dq

√1− mω2q2

2α− αt. (5.2.2)

Aunque la integral (??) no presenta dificultad alguna, no es necesario calcularla sinosu derivada parcial. La ecuacion para la trayectoria se deduce de la integral

β′ =∂S

∂α=

√√√√m

2α

dq√1− mω2q2

2α

(donde hemos denotado la constante de integracion por β′ para reservar la notacionβ para mas adelante), que despues de integrar nos da

t+ β′ =1

ωarc sen

(q

√mω2

2α

).

Esta ultima ecuacion puede invertirse para dar a q en funcion de t:

q =

√2α

mω2sin(ωt+ β) (5.2.3)

donde β = β′ω, que es la forma familiar de la solucion para el oscilador armonico.La integral para el momento se obtiene vıa

p =∂S

∂q=∂K

∂q=√

2mα−m2ω2q2 (5.2.4)

que al sustituir a q como funcion de t nos da

p =√2mα cos(ωt+ β).

No es difıcil encontrar una relacion entre las condiciones iniciales q0, p0 en t = 0con las constantes α y β: Aplicando la relacion de energıa en t = 0 obtenemos

2mα = p20 +m2ω2q20.

Finalmente la constante de fase β se relaciona con q0, p0 por

tanβ = mωq0p0.


Vemos entonces que las coordenadas canonicas β, α son en realidad la fase de laoscilacion y la energıa.

Podemos comprobar la relacion (??) a posteriori. En efecto si sustituimos (??)en la expresion (??) obtenemos

S = 2α

∫cos2(ωt+ β)dt− αt = 2α

∫(cos2(ωt+ β)− 1

2)dt. (5.2.5)

Por otro lado el Lagrangiano evaluado a lo largo de la solucion dada por (??) y (??)y recordando que p = mq, es

L =1

2m(p2 −m2ω2q2) = α(cos2(ωt+ β)− sin2(ωt+ β))

= 2α(cos2(ωt+ β)− 1

2) (5.2.6)

Comparando (??) con (??) vemos que se verifica (??)

Capıtulo 6

Sistemas separables con dos grados de

libertad

En algunos casos sucede que podemos determinarK como una suma de funcionesde coordenadas separadas, cada funcion involucra precisamente una de las qr (porsupuesto las α’s o algunas de ellas). Si tal integral completa de (??) existe el sistemase dice separable en las coordenadas elegidas. La separabilidad es una propiedadligada al sistema y a las coordenadas elegidas para describir el problema.

6.1. Condiciones necesarias para la separabilidad

Vamos a considerar unicamente sistemas de coordenadas generalizadas ortogo-nales, es decir la energıa cinetica T contiene solo terminos cuadrados, no terminosmixtos. Denotamos las coordenadas Lagrangianas por x, y y la funcion Hamiltonianapor

H =1

2

(apx

2 + bpy2)+ V, (6.1.1)

donde a, b y V estan dadas por funciones de (x, y); tambien supondremos que estasfunciones son de clase C1 en el dominio apropiado (x,y). Primero establecemos lascondiciones que son necesarias para la separabilidad. La ecuacion diferencial parcialmodificada de Hamilton–Jacobi para el sistema (??) es

1

2

a

(∂K

∂x

)2

+ b

(∂K

∂y

)2

+ V = h. (6.1.2)

Si esta admite una integral completa de la forma

K(x, y, α, h) = F (x, h, α) +G(y, h, α), (6.1.3)

donde α es una segunda constante arbitraria, entonces

1

2

a

(∂F

∂x

)2

+ b

(∂G

∂y

)2

= h− V, (6.1.4)

para (x, y, h, α) en un dominio apropiado. Por el momento escribimos (??) en unaforma mas simple

aθ + bφ = h− V, (6.1.5)

33

34Sistemas separables con dos grados de

libertad

donde θ = 12

(∂F∂x

)2involucra solo a x, h, α y φ = 1

2

(∂G∂y

)2involucra solo a y, h, α.

De (??) tenemos que

aθh + bφh = 1, (6.1.6)

aθα + bφα = 0, (6.1.7)

donde el sufijo h denota diferenciacion respecto a h y el sufijo α denota diferenciacionrespecto a α. Notemos que a y b son positivos para todos los valores de (x,y) dadoque son coeficientes en la formula para la energıa cinetica. Vemos de (??) que ni θαni φα pueden hacerse cero identicamente, y de (??) que ni θh ni φh tampoco puedenhacerse cero identicamente. Ademas

θhφα − θαφh =∂(θ, φ)

∂(h, α)=∂F

∂x

∂G

∂y

∂(∂F∂x ,

∂G∂y

)∂(h, α)

tampoco es identicamente nulo dado que F + G es una integral completa de laecuacion (??). Obtenemos la solucion de las ecuaciones lineales (??,??,??) para a,b y V utilizando regla de Cramer.

V =

hθh−θθα

− hφh−φφα

θhθα

− φφα

=p+ q

X + Y, (6.1.8)

donde p, X son funciones solo de x, q, Y son funciones solo de y. Estos valores debenser independientes de valores fijos de h y α que hemos elegido, y esto sugiere que hy α aparecen linealmente en θ y φ, veremos que esta conjetura es correcta. Ası

a =1θα

θhθα

− φhφα

=P

X + Y, (6.1.9)

b =− 1

φα

θhθα

− φhφα

=Q

X + Y, (6.1.10)

donde P = P (x), Q = Q(y); y P y Q tambien deben ser independientes de losvalores asignados de h y de α. Ası finalmente si el sistema es separable, H debetener la forma

H =1

2(X + Y )(Ppx

2 +Qpy2) +

p+ q

X + Y, (6.1.11)

donde X, P , p son funciones solo de x, y Y , Q, q son funciones solo de y.

6.2. Sistemas de Liouville

Veamos ahora que estas condiciones son suficientes, es decir, el sistema para elcual

T =1

2(X + Y )

(x2

P+y2

Q

)=

1

2(X + Y )(Ppx

2 +Qpy2)

(6.2.1)

V =p+ q

X + Y,

6.3 Estudio del movimiento 35

donde las funciones involucradas satisfacen las condiciones de separabilidad antesmencionadas, es separable. La ecuacion diferencial parcial modificada para tal sis-tema es

1

X + Y

1

2P

(∂K

∂x

)2

+1

2Q

(∂K

∂y

)2

+ p+ q

= h, (6.2.2)

y podemos encontrar una integral completa para la forma requerida F+G si hacemos

1

2P

(∂F

∂x

)2

= hX − p+ α

(6.2.3)

1

2Q

(∂G

∂y

)2

= hY − q − α

Entonces obtenemos la integral completa requerida

F +G = K =

∫ √2

P(hX − p+ α)dx+

∫ √2

Q(hY − q − α)dy (6.2.4)

donde las integrales se interpretan en el sentido usual. Volviendo un poco atras a laprueba de la necesidad, nos damos cuenta que se verifican las formulas

θ =hX − p+ α

P, φ =

hY − q − α

Q.

6.3. Estudio del movimiento

Las integrales de las ecuaciones de movimiento (??), (??) y (??) son

t− t0 =∂K

∂h=

∫X√

2P (hX − p+ α)dx+

∫Y√

2Q(hY − q − α)dy,

(6.3.1)

−β =∂K

∂α=

∫1√

2P (hX − p+ α)dx−

∫1√

2Q(hY − q − α)dy,

(6.3.2)

px =∂K

∂x=

√2

P(hX − p+ α), (6.3.3)

py =∂K

∂y=

√2

Q(hY − q − α). (6.3.4)

Para la solucion del problema de Lagrange, es decir el movimiento en el espacio deconfiguracion (x, y), solo necesitamos las ecuaciones (??), (??), las cuales podemos

36Sistemas separables con dos grados de

libertad

escribir de manera compacta, en la forma

dx√R

=dy√S

=dt

X + Y, (6.3.5)

dondeR = R(x) = 2P (hX − p+ α)

yS = S(y) = 2Q(hY − q − α).

Capıtulo 7

Separabilidad en coordenadas elıpticas

cofocales

En esta seccion mostraremos que el Hamiltoniano de los dos centros fijos esseparable de acuerdo a la definicion de las secciones anteriores. Supondremos que lapartıcula en movimiento tiene masa m0 y los puntos fijos tienen masa m1 y m2, loscuales estan situados en (−c, 0) y (c, 0) respectivamente. Se denota por r1 y r2 lasdistancias dem0 am1 ym2, respectivamente como se indica en la Figura ??. Aunquedesde un principio hemos usado variables adimensionales, en esta seccion usaremosvariables dimensionales con el fin de aclarar el papel que juegan los parametrosinvolucrados en el sistema de coordenadas.

Se usaran coordenadas elıpticas cofocales (λ, µ) definidas como sigue1: Sean

λ =1

2(r1 + r2), µ =

1

2(r1 − r2) (7.0.1)

y note que las curvas λ = cte. describen elipses cofocales, en tanto que µ = cte.representa hiperbolas cofocales.

(-c,0) (c,0)

m0

r

m 1 m 2

r1 2

Figura 7.1: Problema de los dos centros fijos

1No confundir la variable µ con el parametro de masas usado anteriormente

37

38Separabilidad en coordenadas elıpticas

cofocales

Ası la curva λ = cte. es una elipse con focos en los puntos fijos y µ = cte. es unahiperbola con los mismos focos.

Notese que la distancia entre los puntos fijos es 2c y que el mınimo valor der1 + r2 se obtiene cuando la partıcula de masa m0 se encuentra en el segmento queune a los puntos fijos y su valor es 2c, por lo que se cumple que

λ ≥ c. (7.0.2)

Por otra parte las hiperbolas cortan al segmento antes mencionado, ası el maximovalor de | r1 − r2 | es 2c, cuando alguna hiperbola pasa por uno de los puntos fijos,es por ello que se cumple que

−c ≤ µ ≤ c. (7.0.3)

Utilizando estas coordenadas, el eje vertical esta dado por µ = 0, el segmentoque une a los puntos fijos por λ = c, en el rayo (−∞,−c) por µ = c y en el rayo(c,∞) por µ = −c, como se muestra en la Figura ?? .

l=c m=-c=cm(-c,0) 0

Figura 7.2: Coordenadas elıpticas cofocales

7.1. Relacion entre las coordenadas cartesianas (x, y) ylas coordenadas elıpticas (λ, µ)

En esta parte retomamos el uso de de las variables sin adimensionar, ya que esimportante distinguir la absisa de los focos o centros fijos −c y c de los valores −1 y

7.1 Relacion entre las coordenadas cartesianas (x, y) y las coordenadas elıpticas (λ, µ) 39

1 que toman en las variables adimensionales. Al final, si se desea, se pueden aplicarlas sustituciones requeridas para adimensionar el sistema.

De la Figura ?? se tiene que

r12 = (x− c)2 + y2 = x2 − 2xc+ c2 + y2 (7.1.1)

r22 = (x+ c)2 + y2 = x2 + 2xc+ c2 + y2. (7.1.2)

Al calcular la semisuma de (??) y (??) se obtiene

1

2(r1

2 + r22) = x2 + y2 + c2. (7.1.3)

Por otra parte se tiene que

λ2 =1

4(r1 + r2)

2 =1

4(r1

2 + 2r1r2 + r22) (7.1.4)

µ2 =1

4(r1 − r2)

2 =1

4(r1

2 − 2r1r2 + r22), (7.1.5)

y al sumar las ecuaciones (??) y (??) se obtiene

λ2 + µ2 =1

2(r1

2 + r22). (7.1.6)

Ası de (??) y (??) se obtiene

λ2 + µ2 = x2 + y2 + c2 (7.1.7)

Al calcular la resta de (??) y (??) se obtiene

r22 − r1

2 = (x2 − 2xc+ c2 + y2)− (x2 + 2xc+ c2 + y2) = 4xc

de ahı que

xc =1

4(r1

2 − r22). (7.1.8)

Por otra parte al calcular el producto de λ por µ se obtiene

λµ =1

2(r1 + r2)

1

2(r1 − r2) =

1

4(r1

2 − r22),

por lo que

−λµ =1

4(r2

2 − r12). (7.1.9)

Ası de (??) y (??) se obtiene la primera ecuacion que relaciona a x, λ y µ.

xc = −λµ. (7.1.10)

Enseguida se utilizan (??) y (??), para obtener una ecuacion que relacione a ycon λ y µ.


cofocales

A la ecuacion (??) se le multiplica por c2 y se sustituye xc de la ecuacion (??).

c2x2 + c2y2 + c2c2 = c2(λ2 + µ2),

eso implica que

λ2µ2 + c2y2 + c2c2 = c2(λ2 + µ2).

Al despejar c2y2 se obtiene

c2y2 = λ2c2 − λ2µ2 − c2c2 + c2µ2

= λ2(c2 − µ2)− c2(c2 − µ2)

= (λ2 − c2)(c2 − µ2),

ası se obtiene la ecuacion que relaciona a y con λ y µ

c2y2 = (λ2 − c2)(c2 − µ2). (7.1.11)

Ahora, la energıa cinetica en coordenadas cartesianas es:

T =1

2m0(x

2 + y2), (7.1.12)

es por ello que se necesitan ecuaciones que relacionen las derivadas de las variablesde ambos sistemas coordenados respecto al tiempo. Al derivar (??) respecto a t seobtiene

x = −1

c(λµ+ µλ), (7.1.13)

al derivar (??) respecto a t se obtiene

2c2yy = (λ2 − c2)(−2µµ) + (c2 − µ2)2λλ, (7.1.14)

al dividir (??) por 2c2y2 usando (??) se obtiene

2c2yy

2c2y2=

(λ2 − c2)(−2µµ)

2(λ2 − c2)(c2 − µ2)+

(c2 − µ2)2λλ

2(λ2 − c2)(c2 − µ2),

eso implica quey

y=

λλ

λ2 − c2− µµ

c2 − µ2,

de ahı que

y2 = y2

(λλ

λ2 − c2− µµ

c2 − µ2

)2

. (7.1.15)

Ası se obtiene, al sustituir y2 en (??) usando (??), la ecuacion que relaciona a y conlas coordenadas (λ, µ)

y2 =(λ2 − c2)(c2 − µ2)

c2

(λλ

λ2 − c2− µµ

c2 − µ2

)2

. (7.1.16)

7.1 Relacion entre las coordenadas cartesianas (x, y) y las coordenadas elıpticas (λ, µ) 41

Enseguida se utilizan los resultados anteriores para expresar a la energıa cinetica encoordenadas elıpticas. La expresion para T usando (??) y (??) es

T =m0

2(λ2 − µ2)

(µ2

c2 − µ2+

λ2

λ2 − c2

)(7.1.17)

De aquı en adelante se considerara que m0 = 1.

Recordando que los momento conjugados se obtienen mediante

Pλ =∂T

∂λ= λ

λ2 − µ2

λ2 − c2

Pµ =∂T

∂λ= µ

λ2 − µ2

c2 − µ2,

se tiene que

λ2 = P 2λ

(λ2 − c2

λ2 − µ2

)2

, (7.1.18)

µ2 = P 2µ

(c2 − µ2

λ2 − µ2

)2

. (7.1.19)

Al sustituir (??) y (??) en (??), se obtiene la expresion para la energıa cinetica,

T =1

2(λ2 − µ2)

((λ2 − c2)P 2

λ + (c2 − µ2)P 2µ

). (7.1.20)

Por otra parte la energıa potencial es

V = −γm0(m1

r1+m2

r2),

donde γ es la constante de gravitacion, una constante positiva. De (??) se observaque λ+ µ = r1 y que λ− µ = r2 por lo que

V = −γ( m1

λ+ µ+

m2

λ− µ)

= −γ(m1(λ− µ) +m2(λ+ µ)

λ2 − µ2)

= −γ(m1 +m2)λ− γ(m1 −m2)µ

λ2 − µ2,

Definiendo,

k1 = γ(m1 +m2) (7.1.21)

k2 = γ(m1 −m2), (7.1.22)


cofocales

se obtiene una expresion reducida para la energıa potencial V en terminos de λ y µ.

V = −k1λ− k2µ

λ2 − µ2(7.1.23)

En lo sucesivo se supondra que m1 > m2 > 0, luego

k1 > k2 > 0. (7.1.24)

con k2 = 0 en el caso lımite m1 = m2.

Ası de (??) y (??) se obtiene que la expresion para el Hamiltoniano es

H =1

2(λ2 − µ2)

((λ2 − c2)P 2

λ + (c2 − µ2)P 2µ

)− k1λ− k2µ

λ2 − µ2(7.1.25)

La cual es la suma de las energıas cinetica y potencial, y resulta ser una ecuacionseparable por tener la forma ??, es decir es un sistema de Lioville.

7.2. Restriccion del movimiento

Las integrales (??) para la trayectoria se pueden escribir en la forma

dλ√R

=dµ√S

=dt

λ2 − µ2, (7.2.1)

donde

R = 2(λ2 − c2)(hλ2 + k1λ+ α) (7.2.2)

S = −2(c2 − µ2)(hµ2 + k2µ+ α). (7.2.3)

Las integrales (??) son integrales elıpticas, para resolverlas es necesario separarlasen casos, donde se consideran las relaciones entre las raıces de R y las raıces de S.Haciendo

L = hλ2 + k1λ+ α (7.2.4)

M = hµ2 + k2µ+ α, (7.2.5)

se observa que, para que el movimiento sea posible, se debe cumplir que

L ≥ 0 y M ≤ 0, (7.2.6)

pues R y S deben ser no negativos, ya que los terminos (λ2 − c2) y (c2 − µ2) son nonegativos, por las cotas (??) y (??).

A los ceros L se les denota por λ1, λ2 y a los ceros de M por µ1, µ2, enseguidase demuestra que λ1, λ2 son reales.

Lema 4. Las raıces λ1, λ2 de L = hλ2 + k1λ+ α son reales.

7.2 Restriccion del movimiento 43

Demostracion: Supongase que L tiene raıces complejas, eso implica que el discrimi-nante

k12 − 4hα < 0. (7.2.7)

Por otra parte (??) implica que k22 − 4h < k1

2 − 4h, que junto con (??) implicaque k2

2 − 4h < 0, lo cual significa que M tendrıa soluciones complejas y dado que haparece en ambas parabolas acompanando a los terminos cuadraticos, se violarıa lacondicion (??).

El hecho que λ1 y λ2 son reales, nos permite realizar la clasificacion de lastrayectorias del problema en el plano (λ1, λ2) en lugar de usar el plano (h, α).

La condicion (??) implica que si h < 0 , λ ∈ [λ1, λ2] y si µ1 y µ2 son reales,µ ∈ (µ1, µ2)

c ver Figura ??, mientras que si h > 0, λ ∈ (λ1, λ2)c y µ ∈ [µ1, µ2];

ademas en el caso h > 0, µ1, µ2 no pueden ser complejos, pues si lo fueran entoncesM > 0 lo cual contradice la condicion M ≤ 0. Ver Figura ??.

L

1 2

M

y

x

1 2l l

Figura 7.3: Los polinomios L = hλ2 + k1λ+α y M = hµ2 + k2µ+α para h < 0, losvalores permitidos son L ≥ 0 y M ≤ 0.

Ahora se encuentran curvas en el plano (λ1, λ2) relacionadas con las raıces de Ry S, dado que en ellas y alrededor de ellas se dan comportamientos diferentes en lassoluciones del problema. A dichas curvas se les llaman curvas crıticas.

Definicion 1. Una curva en el plano λ1–λ2 se llama crıtica si las raıces de algunode los polinomios L(λ) o M(µ) coinciden o bien alguna de las raıces coinciden conlos valores extremos λ ≥ c, −c ≤ µ ≤ c.

Sin perdida de generalidad vamos a suponer que λ1 ≥ λ2.

Lema 5. Sea θ > 0 definida como k1/k2 = cosh θ. Las curvas crıticas µ1 = µ2 sonel par de rectas en el plano (λ1, λ2) definidas por λ1 = e±θλ2.

Demostracion: De (??) se observa que λ1 y λ2 son raıces de

λ2 +k1hλ+

α

h= 0,


cofocales

L

1 21 2

M

m ml l

Figura 7.4: Los polinomios L = hλ2 + k1λ+α y M = hµ2 + k2µ+α para h > 0, losvalores permitidos son L ≥ 0 y M ≤ 0.

en general se cumple que

λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1λ2 = 0.

Por lo tanto se cumple que

k1h

= −(λ1 + λ2) (7.2.8)

α

h= λ1λ2 (7.2.9)

Por otra parte notese de (??) que µ1 y µ2 son raıces de

µ2 +k2hµ+

α

h= 0 (7.2.10)

Sustituyendo 1h de (??) y α

h de (??) en (??) se obtiene que µ1 y µ2 son raıces de

µ2 − k2k1

(λ1 + λ2)µ+ λ1λ2 = 0. (7.2.11)

Si µ1 = µ2, el discriminante de la ecuacion (??) es cero, lo que implica que

(λ1 + λ2)2 = 4λ1λ2

(k1k2

)2

. (7.2.12)

De la relacion (??) se sigue que k1k2

≥ 1, eso nos permite escribir

k1k2

= cosh θ, (7.2.13)

con θ ≥ 0. El caso lımite k2 = 0 (es decir de masas iguales m1 = m2) se obtienecuando θ = ∞ y θ = 0 corresponde a tomar m2 = 0 que es el problema de Kepler.


Por otra parte se tiene que

tanh2(θ/2) =sinh2(θ/2)

cosh2(θ/2)

=cosh θ − 1

cosh θ + 1=k1 − k2k1 + k2

,

usando (??) y (??) se obtiene que

tanh2(θ/2) =m2

m1. (7.2.14)

Si ademas se divide a (??) por λ22, se transforma en(λ1λ2

)2

+ 2

(1− 2

(k1k2

)2)λ1λ2

+ 1 = 0 (7.2.15)

La cual es una ecuacion de segundo grado en λ1/λ2, para resolverla se simplificaprimero el termino lineal.

2

(1− 2

(k1k2

)2)

= 2(1− 2 cosh2(θ)

)= 2

(1− 2

(eθ + e−θ

2

)2)

= 2

(1− e2θ + 2 + e−2θ

2

)= 2− (e2θ + 2 + e−2θ) = −(e2θ + e−2θ)

De esta manera la ecuacion (??) se transforma en(λ1λ2

)2

− (e2θ + e−2θ)λ1λ2

+ 1 = 0. (7.2.16)

Utilizando la formula para la ecuacion cuadratica se tiene que

λ1λ2

= e±2θ.

De esta manera se concluye que si µ1 = µ2 entonces

λ1λ2

= e±2θ (7.2.17)

es decir (λ1λ2

− e2θ)(

λ1λ2

− e−2θ

)= 0 (7.2.18)

Las ecuaciones (??) representan un par de rectas en el plano (λ1, λ2) con la mismainclinacion respecto a los ejes. Estas son dos de las curvas crıticas correspondientesa raıces iguales de M(µ): µ1 = µ2.

Consideremos ahora el caso en el que alguna de las raıces µ1, µ2 es un valorextremo: −c ≤ µ ≤ c.


cofocales

Lema 6. Las curvas crıticas µ1 = c o µ2 = c estan contenidas en la hiperbola delplano (λ1, λ2),

(λ1 − ck2/k1)(λ2 − ck2/k1) = −c2 tanh2 θ. (7.2.19)

Demostracion: Se considera de nuevo la ecuacion (??)

µ2 − k2k1

(λ1 + λ2)µ+ λ1λ2 = 0

y que una de las raıces de (??) es µ1 = c o µ2 = c, eso implica que

c2 − k2k1

(λ1 + λ2)c+ λ1λ2 = 0. (7.2.20)

Para determinar el lugar geometrico que representa (??), re-escribamos esta expre-sion de otra forma:

c2 − k2k1

(λ1 + λ2)c+ λ1λ2 + c2k2k1

= c2k2k1(

λ1 − ck2k1

)(λ2 − c

k2k1

)= c2

((k2k1

)2

− 1

)= c2(sech2 θ − 1) = −c2 tanh2 θ,

ası el lugar geometrico es la hiperbola(λ1 − c

k2k1

)(λ2 − c

k2k1

)= −c2 tanh2 θ. (7.2.21)

Lema 7. Las curvas crıticas µ1 = −c o µ2 = −c estan contenidas en la hiperboladel plano (λ1, λ2),

(λ1 + ck2/k1)(λ2 + ck2/k1) = −c2 tanh2 θ. (7.2.22)

Demostracion: La prueba es identica al lema anterior: formalmente basta cambiar cpor −c en (??) para obtener (??).

Lema 8. La recta λ1 = e2θλ2 es tangente a la hiperbola (??) en el punto (ceθ, ce−θ).

Demostracion: Sustituyendo λ1 de la relacion λ1 = e2θλ2 en (??) se obtiene

c2 − k2k1

(e2θ + 1)cλ2 + e2θλ22 = 0,

al normalizar se obtiene

λ22 −k2k1

(1 + e−2θ)cλ2 + c2e−2θ = 0. (7.2.23)


una ecuacion cuadratica en λ2. La condicion de tangencia es que esta ecuacion tengauna unica raız para λ2: Se calcula primero el discriminante,

∆ =

(k2k1

(1 + e−2θ)c

)2

− 4c2e−2θ =

(1

cosh θ(1 + e−2θ)c

)2

− 4c2e−2θ

=

(2

eθ + e−θ(1 + e−2θ)c

)2

− 4c2e−2θ = 4c2

( (1 + e−2θ

eθ + e−θ

)2

− e−2θ

)

=4c2

(eθ + e−θ)2

((1 + e−2θ

)2− e−2θ

(eθ + e−θ

)2)=

4c2

(eθ + e−θ)2

(1 + 2e−2θ + e−4θ − 1− 2e−2θ − e−4θ

)= 0;

ası la ecuacion (??) tiene solucion unica, cuando

λ2 =k1k2(1 + e−2θ)c

2=

2(1 + e−2θ)c

(eθ + e−θ)2

=(1 + e−2θ)c

eθ + e−θ=

(1 + e−2θ)c

eθ(1 + e−2θ)= ce−θ,

al sustituir λ2 = ce−θ en la relacion λ1 = e2θλ2 se obtiene que λ1 = ceθ. De estamanera el punto de interseccion de la recta λ1 = eθλ2 (donde µ1 = µ2) con lahiperbola (??) (donde µ1 = c o µ2 = c) es el punto (ceθ, ce−θ).

Lema 9. La recta λ1 = e−2θλ2 es tangente a la hiperbola

(λ1 + ck2/k1)(λ2 + ck2/k1) = −c2 tanh2 θ. (7.2.24)

en el punto (ce−θ, ceθ).

Demostracion: Es identica a la del Lema ??.

Tambien es necesario determinar que parte de la hiperbola (??) corresponde aµ1 = c y que parte corresponde a µ2 = c. Sin perdida de generalidad se supondra queµ1 ≥ µ2.

Lema 10. Sobre la curva crıtica (??) se satisface µ2 = c a la derecha del punto detangencia (ceθ, ce−θ) (ver ??) y µ1 = c a la izquierda del mismo.

Demostracion: Si µ2 = c entonces µ1 ≥ c por lo que

µ1 + µ2 ≥ 2c. (7.2.25)

Por otra parte µ2 = c es raız de

(c− µ1)(c− µ2) = c2 − (µ1 + µ2)c+ µ2µ2 = 0


cofocales

y dado que µ2 = c tambien es raız de (??) se obtiene que

k2k1

(λ1 + λ2) = µ1 + µ2, (7.2.26)

de (??) se obtiene quek2k1

(λ1 + λ2) ≥ 2c, (7.2.27)

de aquı que λ2 ≥ −λ1+2c cosh θ = −λ1+c(eθ+e−θ), esta region es la parte superiorde una recta de pendiente negativa que pasa por el punto de tangencia (ceθ, ce−θ).De esta manera se deduce que µ2 = c corresponde al lado derecho de dicho punto yen consecuencia µ1 = c corresponde al lado izquierdo.

Recordemos que si h > 0 µ1, µ2 no pueden ser complejos. En el caso que h ≤ 0se tiene

Lema 11. Si h ≤ 0 entonces las raıces µ1, µ2 son complejas en las regiones

Si la ecuacion (??) tiene raıces complejas, entonces su discriminante es negativolo que implica que

(λ1 + λ2)2 < 4λ1λ2

(k1k2

)2

. (7.2.28)

De la misma manera que se concluyo (??) a partir de (??), sucede que(λ1λ2

− e2θ)(

λ1λ2

− e−2θ

)< 0. (7.2.29)

De aquı se tienen dos casos:

I. λ1λ2

− e2θ > 0 y λ1λ2

− e−2θ < 0;

II. λ1λ2

− e2θ < 0 y λ1λ2

− e−2θ > 0;

Del primer caso se desprende

e2θ <λ1λ2

< e−2θ

lo cual es inconsistente. Por lo tanto solo el caso [II] es posible:

e−2θ <λ1λ2

< e2θ

como el termino de lado izquierdo es positivo, se sigue que λ1, λ2 tienen el mismosigno; ası hay dos subcasos posibles:

a) λ1, λ2 > 0; se sigue entonces,

λ1e−2θ < λ2 < λ1e

2θ

7.3 Coordenadas elıpticas polares (η, ξ) 49

b) λ1, λ2 < 0; se sigue entonces,

λ1e2θ < λ2 < λ1e

−2θ.

Ahora, la restriccion λ1 ≥ λ2 implica en cada caso:

a) λ1, λ2 > 0:λ1e

−2θ < λ2 < λ1e2θ & λ2 ≤ λ1

que implicanλ1e

−2θ < λ2 ≤ λ1.

b) λ1, λ2 < 0:λ1e

2θ < λ2 < λ1e−2θ & λ2 ≤ λ1

que implicanλ1e

2θ < λ2 ≤ λ1.

Ası, las regiones donde µ1, µ2 son complejas se muestran en la Figura ??.

Las curvas crıticas asociadas a los ceros de R(λ) son faciles de determinar, puesson simplemente λ1 = λ2, λ1 = c o λ2 = c. Con ello completamos todas las curvascrıticas. Estas se muestran en la Figura ??, junto con las regiones crıticas. Inclusose puede verificar que se mantienen las relaciones de vecindad en regiones del plano(µ1, µ2), ver Figura ??, respecto a las regiones en el plano (λ1, λ2), ver Figura ??.

Una vez calculadas las curvas crıticas es necesario determinar las regiones dondeel movimiento es posible. Un analisis directo pero que no se incluye aquı2 muestraque las regiones no permitidas son las regiones sombreadas en la Figura ??. La regionpermitida se particiona en exactamente ocho regiones numeradas como 1, 2, . . . , 8.Mas adelante mostramos una orbita de cada region.

7.3. Coordenadas elıpticas polares (η, ξ)

Las coordenadas elıpticas (λ, µ) nos permiten estudiar las trayectorias solo enalgun cuadrante en particular, pues existen dificultades al cambiar de un cuadrantea otro. Por ese motivo introducimos las coordenadas elıpticas polares (η, ξ), conlas cuales logramos establecer una relacion biyectiva con las coordenadas originales(x, y). El cambio entre ambos tipos de coordenadas elıpticas esta dado por:

λ = c cosh η µ = −c cos ξ, (7.3.1)

donde 0 ≤ ξ < 2π y η ∈ R.Ahora la relacion entre las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas

elıpticas polares, la obtenemos como sigue: de (??) y de (??) obtenemos que

x = −1

cλµ = c cosh η cos ξ,

2Ver [?] [p. 312-313]


cofocales

m = c1m = -c

1

-c >m

>m

12

c >m

> -

c >m

21

m > c > -c >m1 2

2

m

m> -c

1

m > c > m > -c1 2

1 2m >m > c

(c,c)

(-c,-c)

m = c2

m = -c2

m=m

1

2

(m , m )1 2

Figura 7.5: Regiones en (µ1, µ2)


m=m

1

2

(l , )1 2

m = c1m = -c

1

-c >m

>m

12

c >m

> -

c >m

21

m > c > -c >m1 2

complejos

m ,m1 2

m = -c2

2

m

m> -c

1

m > c > m > -c1 2

m = c2

1 2m >m > c

2

m ,mcomplejos

1

Figura 7.6: Curvas crıticas en (λ1, λ2)


cofocales

2l

1l

1

2

3 4

57

8

6

Figura 7.7: Regiones crıticas


y de (??) y de (??) se obtiene que

y2 =1

c2(λ2 − c2)(c2 − µ2) = sinh2 ηc2 sin2 ξ.

Ası

x = c cosh η cos ξ

y = c sinh η sin ξ.

observacion: Si fijamos η y hacemos variar ξ de 0 a 2π, generamos una elipse, y sifijamos ξ y hacemos variar η generamos una rama de una hiperbola.

Ahora obtengamos el Hamiltoniano en las coordenadas elıpticas polares; paraello utilizaremos la funcion generadora

W = µPµ + λPλ = −c cos ξPµ + c cosh ηPλ

De estas manera los momentos Pξ y Pη son

Pξ =∂W

∂ξ= c sin ξPµ

Pη =∂W

∂η= c sinh ηPλ

Por otra parte la energıa cinetica esta dada por

T =1

2(λ2 − µ2)

((λ2 − c2)Pλ

2 + (c2 − µ2)Pµ2)

=1

2c2(cosh2 η − cos ξ)

(c2 sinh2 η

pη2

c2 sinh2 η+ c2 sin2 ξ

Pξ2

c2 sin2 ξ

)=

1

2c2(cosh2 η − cos2 ξ)

(Pη

2 + Pξ2),

la energıa potencial es

V = −k1λ− k2µ

λ2 − µ2= −c k1 cosh η + k2 cos ξ

c2(cosh2 η − cos2 ξ); P = 1, Q = 1.

De a cuerdo a (??), al tomar X = c2 cosh2 η, Y = −c2 cos2 ξ, p = ck1 cosh η yq = ck2 cos ξ el nuevo Hamiltoniano tambien es separable, donde

Px2 =

2

P(hX − p+ α)

Py2 =

2

Q(hY − q − α)

De ahı que

Pη =

√2(hc2 cosh2 η + ck1 cosh η + α) (7.3.2)

Pξ =

√2(−hc2 cosh2 ξ + ck2 cosh ξ − α) (7.3.3)


cofocales

Verifiquemos que al realizar la sustitucion anterior obtenemos la relacion de energıa

H = T + V =Pη

2 + Pξ2

2c2(cosh2 η − cos2 ξ)− k1 cosh η + k2 cos ξ

c(cosh2 η − cos2 ξ)

=2(hc2 cosh2 η + k1c cosh η + α) + 2(−hc2 cos2 ξ + ck2 cos ξ − α)

2c2(cosh2 η − cos2 ξ)

− k1 cosh η + k2 cos ξ


=(hc cosh2 η + k1 cosh η) + (−hc cos2 ξ + k2 cos ξ)




=ch(cosh2 η − cos2 ξ) + (k1 cosh η + k2 cos ξ)




= h+k1 cosh η + k2 cos ξ

c(cosh2 η − cos2 ξ)− k1 cosh η + k2 cos ξ

c(cosh2 η − cos2 ξ)= h

resumiendo

H =Pη

2 + Pξ2

2c2(cosh2 η − cos2 ξ)− k1 cosh η + k2 cos ξ

c(cosh2 η − cos2 ξ)= h.

Este Hamiltoniano tiene singularidades, por lo cual se requiere regularizar sobre elnivel de energıa h. Esto se realiza con el truco de Poincare haciendo

H = (H − h)(cosh2 η − cos2 ξ), c = 1,

H =1

2(Pη

2 + Pξ2)− h(cosh2 η − cos2 ξ)− (k1 cosh η + k2 cos ξ) = 0,

dondedt

dτ= cosh2 η − cos2 ξ

η′ =∂H

∂Pη, Pη

′ = −∂H∂η

ξ′ =∂H

∂Pξ, Pξ

′ = −∂H∂ξ

Capıtulo 8

Trayectorias en las regiones del plano (λ1, λ2).

8.1. Trayectorias acotadas

Consideraremos en detalle solo cuando la energıa h < 0, en este caso λ1 > c yla orbita se encuentra dentro de la elipse λ = λ1. Si µ1, µ2 son reales, µ ∈ (µ1, µ2)

c,con estas observaciones se evidencian las formas de cuatro tipos de orbitas. En laregion 1, λ1 > λ2 > c, y el movimiento en λ es una libracion entre λ1 y λ2. En lasregiones 2,3,4, λ1 > c > λ2, y el movimiento en λ es una libracion entre λ1 y c. Enlas regiones 1 y 2 las raıces de M son ambos complejos o reales con µ1 > µ2, y elmovimiento en µ es una libracion entre +c y −c. En la region 3, c > µ1 > µ2 > −c,y las dos posibilidades para el movimiento en µ son (a) una libracion entre c y µ1,(b) una libracion entre µ2 y −c. En la region 4, µ1 > c > −c, y el movimiento en µentre µ2 y −c.

Ası en la region 1 la orbita es una curva ovalada, en general no es cerrada, y seencuentra en el anillo entre las elipses λ = λ1 y λ = λ2 ver Figura ??. La curva escerrada y por tanto periodico, si ∫ λ2

λ1dλ/

√R∫ c

−c dµ/√S

(8.1.1)

es racional. En la region 2 la orbita tiene figura de ocho encerrando a los dos centros

Figura 8.1: Orbita entre dos elipses.

fijo, ver Figura ??. En la region 3 la masa en movimiento gira alrededor de uno delos centros, ver Figura ??.

55

56 Trayectorias en las regiones del plano (λ1, λ2).

Figura 8.2: Orbita en forma de ocho.

Figura 8.3: orbitas alrededor de un centro fijo.

8.2. Integracion en terminos de funciones elıpticas

Segun sea la forma de descomponer R y S, de acuerdo a sus raıces, es la tecnica deintegracion para que utilizando los cambios de variable adecuados, transformemoslas integrales en formas conocidas, en [?] [p. 316,317] se muestra el ejemplo quedesarrollamos a continuacion, para ver otros ejemplos consultar [?]. Cabe mensionarque obtener las expresion explıcita de todas las regiones posibles, es una ardua tarea.

Consideremos solo la region 1, donde en general la orbita no es cerrada, encierraambos centros y se encuentra en el anillo λ1 ≥ λ ≥ λ2. La forma del recorrido de lacurva se deriva de la ecuacion

dλ√(λ1 − λ)(λ− λ2)(λ− c)(λ+ c)

=dµ√

(c− µ)(µ+ c)(µ1 − µ)(µ2 − µ), (8.2.1)

donde λ1 > λ2 > c > −c. El λ-movimiento es una libracion entre c y -c.

Si equiparamos cada miembro de (??) a 2dθ podemos expresar a λ y µ en termi-nos de θ usando funciones elıpticas de Jacobi1 o de Weierstrass, en una gran variedadde formas. Encontramos entonces una representacion parametrica de la curva en laforma λ = λ(θ), µ = µ(θ). Como una ilustracion, damos un metodo de integracion,como sigue:

1Pasa saber un poco de estas funciones ver [?] [p. 187]

8.3 Trayectorias 57

Al usar la sustitucionλ− λ2λ1 − λ

=λ2 − c

λ1 − c

x2

1− x2,

el primer miembro de (??) toma la forma

2√(λ1 − c)(λ2 + c)

1− x2

1− k2x2, (8.2.2)

donde

k2 =2c(λ1 − λ2)

(λ1 − c)(λ2 + c). (8.2.3)

Ası x = snu, donde u =√

(λ1 − c)(λ2 + c)θ y

λ =λ1(λ2 − c) sn2 u+ λ2(λ1 − c) cn2 u

(λ2 − c) sn2 u+ (λ1 − c) cn2 u. (8.2.4)

Similarmente al usar la sustitucion

µ+ c

c− µ=µ1 + c

µ1 − c

y2

1− y2(8.2.5)

el segundo miembro de (??) se convierte en

2√(µ1 − c)(µ2 + c)

dy√(1− y2)(1− k2y2)

, (8.2.6)

donde

k2 =2c(µ1 − µ2)

(µ1 − c)(µ2 + c). (8.2.7)

Ası y = sn v, donde v =√

(µ1 − c)(µ2 + c)(θ − θ0) y

µ = c(µ1 + c) sn2 v − (µ1 − c) cn2 v

(µ1 + c) sn2 v + (µ1 − c) cn2 v. (8.2.8)

De esta manera tenemos expresada la curva en la forma λ = λ(θ), µ = µ(θ). Elparametro k2 para la funcion elıptica Jacobiana en (??) esta dada por (??), y el cor-respondiente parametro k2 en (??) esta dado por (??). La parametrizacion anteriores util para comparar con la correspondiente solucion numerica, sin embargo caberecordar que las orbitas que nos interesan son las orbitas periodicas y de muy bajoperiodo.

8.3. Trayectorias

Las trayectorias expresadas en coordenadas elıpticas, requieren ser gene-radas entrayectorias elıpticas polares para no detenernos en detalles de signos cuando estaspasen de cuadrante a cuadrante. Ademas que entre este ultimo tipo de coordenadasy las coordenadas cartesianas existe una correspondecia biunıvoca.


Para generar las trayectorias, se realiza el procedimiento siguiente: Se seleccionaun punto (λ1, λ2) de cada una de las ocho regiones determinadas por las curvascrıticas, despues se calculan los momentos Pη, Pξ usando las integrales de Hamilton-Jacobi, luego se integran las ecuaciones de Hamilton regularizadas en las variables(η, ξ, Pη, Pξ) respecto el nuevo tiempo dt

dτ = cosh2 η− cos2 ξ, por ultimo se proyectanen las coordenadas (η(τ), ξ(τ)). El procedimiento anterior, salvo la eleccion del puntode cada region se implementa en Mathematica.

Los puntos elegidos de las trayectorias se muestran en la Figura ?? En seguida

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2Λ1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2Λ2

Figura 8.4: Eleccion de puntos en cada region

de muestra una orbita de cada una de las regiones permitidas en el plano (λ1, λ2).

Region 1, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 1.5, λ2 = 1.2, la trayec-toria se mantiene alrededor de los centros entre las elipses correspondientes a losvalores de λ1 y λ2.

Region 2, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 1.1, λ2 = 0.8, la trayec-toria se mantiene dentro de una elipse girando alrededor de cada centro en sentidoscontrarios, en forma de ocho.

Region 3, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 1.02, λ2 = 0, la trayectoriase mantiene dentro de una elipse alrededor de uno de los centros, tambien se muestraun acercamiento.

Region 4, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 1.5, λ2 = 0, la trayectoriase mantiene dentro de una elipse, a la derecha de una recta y alrededor de uno delos centros.

Region 5, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 1.1, λ2 = −1.5, latrayectoria pasa por fuera de una elipse, de manera tangencial y es una trayectoriade escape (la energıa es de signo positivo y su valor es h = 2.5).

8.3 Trayectorias 59

-1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

x

yΜ=0.021686

-1 0 1 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

yΜ=0.021686

Figura 8.5: Regiones 1 y 2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

x

yΜ=0.021686

-1.15 -1.1 -1.05 -1 -0.95 -0.9 -0.85 -0.8

-0.05

0

0.05

0.1

x

y Μ=0.021686

Figura 8.6: Region 3 y un acercamiento


-1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

yΜ=0.021686

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x

yΜ=0.021686


-3 -2 -1 0 1-1

0

1

2

3

4

5

6

x

yΜ=0.021686

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

x

yΜ=0.021686


Region 6, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 0.99, λ2 = −4, no existeelipse cofocal que delimite a esta trayectoria, pasa cerca de uno de los centros, entreellos y cerca del otro centro, es una trayectoria de escape (la energıa es de signopositivo y su valor es h = 0.332226). La region de Hill correspondiente es todo elplano.

Region 7, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 0, λ2 = −4, no existeelipse cofocal que delimite a esta trayectoria, pasa muy cerca de uno de los centros,es una trayectoria de escape (la energıa es de signo positivo y su valor es h = 1/4).La region de Hill correspondiente es todo el plano.

Region 8, ver Figura ??: Un punto de la region es λ1 = 0, λ2 = −0.6, noexiste elipse cofocal que delimite a esta trayectoria, pasa entre los centros, es una

8.3 Trayectorias 61

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

0

1

2

3

x

yΜ=0.021686

Figura 8.9: Region 8

trayectoria de escape (h = 1.6666), parece que es una parabola. La region de Hillcorrespondiente es todo el plano.

Capıtulo 9

Simetrıas del problema

Recordemos que las ecuaciones de movimiento del problema de los dos centrosfijos en variables adimensionales es

x′′ = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32, (9.0.1)

y′′ = −µyr31

− (1− µ)y

r32, (9.0.2)

donde r1 =√

(x+ 1)2 + y2, r2 =√

(x− 1)2 + y2.

Las ecuaciones se puede expresar como un sistema de primer orden,

x′ = u,

y′ = v,

u′ = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32, (9.0.3)

v′ = −µyr31

− (1− µ)y

r32.

El sistema escrito en esta la forma presenta la simetrıa mecanica

S1(t, x, y, u, v) = (−t, x, y,−u,−v) (9.0.4)

y la simetrıa respecto del eje x,

S2(t, x, y, u, v) = (−t, x,−y,−u, v) (9.0.5)

Proposicion 1. Cualquiera de los cambios de variable Si : R4 → R4 definidos en(??),(??) deja invariante las ecuaciones (??).

Demostracion: Efectuando el cambio de variable (??) en (??) obtenemos

(−x′) = −u,(−y′) = −v,

−(−u′) = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32, (9.0.6)

−(−v′) = −µyr31

− (1− µ)y

r32.

63

64 Simetrıas del problema

donde el cambio de signo (−x′), (−y′), (−u′), (−v′), viene de aplicar la regla de lacadena al cambio de variable t→ −t. Vemos que el sistema queda invariante.

Analogamente efectuando el cambio de variable (??) en (??) obtenemos

(−x′) = −u,−(−y′) = v,

−(−u′) = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32, (9.0.7)

(−v′) = +µy

r31+

(1− µ)y

r32.

que se puede escribir

x′ = u,

y′ = v,

u′ = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32, (9.0.8)

v′ = −µyr31

− (1− µ)y

r32.

obtenemos de nuevo el sistema (??).

Para masas iguales se tiene la simetrıa adicional respecto del eje y:

S3(t, x, y, u, v) = (−t,−x, y, u,−v) (9.0.9)

Proposicion 2. Para masas iguales: µ = 1/2, el cambio de variable S3 : R4 → R4

(??), deja invariante las ecuaciones (??).

Demostracion:

Para µ = 1/2, el sistema (??) queda

x′ = u,

y′ = v,

u′ = −x+ 1

2r31− x− 1

2r32, (9.0.10)

v′ = − y

2r31− y

2r32.

con r1 =√

(x+ 1)2 + y2, r2 =√

(x− 1)2 + y2. Efectuemos el cambio de variableindicado en (??):

−(−x)′ = u,

(−y′) = −v,

(−u′) = −−x+ 1

2r31− −x− 1

2r32,

−(−v′) = − y

2r31− y

2r32.

9.1 Simetrıas como equivariancias 65

donde ahora r1 =√

(x− 1)2 + y2, r2 =√

(x+ 1)2 + y2. Este sistema pude ree-scribirse como

x′ = u,

y′ = v,

u′ =−x+ 1

2r31+

−x− 1

2r32,

v′ = − y

2r31− y

2r32.

Haciendo ρ1 = r2 =√

(x+ 1)2 + y2, ρ2 = r1 =√

(x− 1)2 + y2, queda

x′ = u,

y′ = v,

u′ = −x+ 1

2ρ31− x− 1

2ρ32,

v′ = − y

2ρ31− y

2ρ32.

el mismo sistema (??).

9.1. Simetrıas como equivariancias

Es conveniente entender las simetrıas que se han introducido desde un punto devista mas funcional. Para ello denotemos un sistema dinamico gene-ral por

z′ = f(z), z ∈ Rn (9.1.1)

Definicion 2. Decimos que un mapeo lineal σ : Rn → Rn es una simetrıa del sistemadinamico (??) si

f(σ(z)) = ±σ(f(z)). (9.1.2)

Si el signo es − decimos que la simetrıa invierte el tiempo; en caso contrario decimosque preserva el tiempo.

Cuando f(σ(z)) = σ(f(z)) se dice tambien que f conmuta con σ2 o que fes σ2–equivariante. Analogamente, si f(σ(z)) = −σ(f(z)) se dice que f es σ2–antiequivariante. Estaremos interesados principalmente en simetrıas que inviertenel tiempo es decir respecto de las cuales el campo es anitequivariante.

Proposicion 3. Si z(t) es una solucion definida en [0, T ] y σ una simetrıa quepreserva el tiempo entonces σ(z(t)) es una solucion definida en [0, T ]. Si la simetrıaσ invierte el tiempo entonces σ(z(−t)) es una solucion definida en [−T, 0].

Demostracion: Supongamos que σ preserva el tiempo. Sea γ(t) = σ(z(t)). Por laregla de la cadena y debido a que σ es lineal,

γ′(t) = σ(z′(t)) = σ(f(z(t)) = f(σ(z(t)) = f(γ(t))


donde usamos la propiedad (??) con el signo +. Por lo tanto γ(t) es solucion queesta definida en [0, T ].

Supongamos ahora que σ invierte el tiempo y sea como antes γ(t) = σ(z(−t))para t ∈ [−T, 0]. Usando los mismos argumentos llegamos a

γ′(t) = σ(−z′(−t)) = −σ(f(z(−t)) = f(σ(z(−t)) = f(γ(t))

por lo que γ(t) es una solucion definida en [−T, 0]

Podemos ahora refrasear los resultados de las Proposiciones ?? y ?? como sigue:Definamos las simetrıas σi : R4 → R4 como sigue

σ1(x0, y0, u0, v0) = (x0, y0,−u0,−v0)

σ2(x0, y0, u0, v0) = (x0,−y0,−u0, v0)

y en el caso µ = 1/2

σ3(x0, y0, u0, v0) = (−x0, y0, u0,−v0)

es decir σi no son sino las restricciones de las simetrıas Si definidas en el espaciofase extendido R×R4, a R4. Podemos verifica entonces que las simetrıas σ1, σ2 sonsimetrıas que invierten el tiempo, de acuerdo a la Definicion ??.

La existencia de una simetrıa permite extender una solucion bajo ciertas condi-ciones.

Definicion 3. Sea σ : Rn → Rn una simetrıa lineal del sistema (??) y denotemoslos puntos fijos de Σ por

Σ = z0 ∈ Rn | σ(z0) = z0 (9.1.3)

al cual llamaremos el plano de simetrıa.

Proposicion 4. Sea z(t) una solucion definida en [0, T ] tal que z(0) ∈ Σ entonces

z(t) =

z(t) t ∈ [0, T ]σ(z(−t)) t ∈ [−T, 0] (9.1.4)

es la unica solucion definida en [−T, T ] con condicion inicial z(0).

Demostracion: Se sigue de la Proposicion ?? que z(t) es solucion en [−T, 0] y en [0, T ]por separado, pero como z(0) ∈ Σ entonces ambas partes coinciden en t = 0. Porunicidad de soluciones z(t) es la unica solucion definida en [−T, T ] con la condicioninicial z(0).

Mediante una modificacion del argumento anterior podemos generar orbitasperiodicas

9.2 Orbitas periodicas σ2–simetricas 67

Teorema 3. Sea z(t) una solucion definida en [0, T/2] tal que z(0), z(T/2) ∈ Σentonces z(t) pude extenderse a una solucion periodica de periodo T .

z(t) =

z(t) t ∈ [0, T/2]

σ(z(−t)) t ∈ [−T/2, 0] (9.1.5)

Demostracion: Por la Proposicion anterior z(t) es una solucion definida en [−T/2, T/2]pero como ademas z(T/2) ∈ Σ entonces z(T/2) = z(T/2) y z(−T/2) = σ(z(T/2)) =z(T/2), es decir

z(T/2) = z(−T/2)

y por unicidad z(t) debe ser una orbita periodica de perıodo T .

9.2. Orbitas periodicas σ2–simetricas

Vamos ahora a concretar las condiciones que nos da el Teorema ?? para obtenerorbitas periodicas simetricas para el problema de los centros fijos respecto de lasimetrıa

S2(t, x, y, u, v) = (−t,−x, y,−u, v).

Denotemos la solucion del sistema (??) al tiempo t por

z(t, z0) = (x(t, x0, y0, u0, v0), y(t, x0, y0, u0, v0), u(t, x0, y0, u0, v0), v(t, x0, y0, u0, v0))

con z0 = (x0, y0, u0, v0), la condicion inicial al tiempo t = 0.

Proposicion 5. Si una orbita z(t, z0) con z0 = (x0, 0, 0, v0) satisface

y(T/2, x0, 0, 0, v0) = 0 (9.2.1)

u(T/2, x0, 0, 0, v0) = 0 (9.2.2)

para algun T > 0, entonces z(t, z0) es una solucion periodica de perıodo T que essimetrica respecto de la simetrıa σ2.

Demostracion: El plano de simetrıa de σ2 es

Σ2 = (x0, y0, u0, v0) | y0 = u0 = 0 (9.2.3)

y las condiciones (??) y (??) son precisamente las condiciones para que la curva cortedos veces el plano de simetrıa. El resultado se sigue entonces del Teorema ??.

La condicion inicial y las condiciones en (??,??) significa que la trayectoria tienedos cruces perpendiculares con el eje x, uno al inicio y el otro al tiempo T/2 talcomo se muestra en la Figura ??.

Para la condicion inicial en (??,??) solo dos parametros son independientes eltiempo de corte con el eje x, t0, y x0 ya que v0 se puede despejar de la relacion deenergıa

1

2

(u2 + v2

)=

µ

r1+

1− µ

r2+ h, (9.2.4)


Figura 9.1: Ejemplos de orbitas periodicas simetricas

poniendo en esta u = 0, y = 0; es decir

v0 = ϑ(x0, h, µ) =

√2

(h+

µ

|x0 + 1|+

1− µ

|x0 − 1|

). (9.2.5)

9.3. Lıneas de simetrıa

Consideremos la seccion de Poincare Σ definida por la ecuacion y = 0. Si fijamosla energıa genericamente esta seccion tiene dimension 2. Esta seccion tiene dos com-ponentes definidas por el signo al despejar v de la relacion de energıa (??), las cualesdenotamos por Σ±.

Consideremos Σ+, la cual puede parametrizarse por x–u. La relacion de energıadefine la region accesible en la seccion Σ+ definida por la ecuacion

(x, u) | 2(h+

µ

|x− 1|+

1− µ

|x+ 1|

)− u2 ≥ 0

a la cual seguiremos llamando region de Hill. En la Figura ?? se muestra la regionde Hill para un valor negativo de la energıa y masas iguales. Las asıntotas verticalescorresponden a colision con los primarios. La lınea de simetrıa se muestra en rojo.

El plano de simetrıa (??) se intersecta con Σ+ a lo largo del eje x que llamaremosentonces la lınea de simetrıa asociada a la simetrıa σ2,

Γ0 = (x, u) ∈ Σ+ | u = 0.

Podemos tomar como condiciones iniciales puntos sobre la lınea Γ0 y seguirlos porel flujo hasta su proxima interseccion con la misma seccion Σ+. De hecho podemostomar toda la lınea de simetrıa exceptuando sus extremos.

Los extremos de Γ0 corresponden a v = 0 que junto con y = 0 implican v = y = 0 de(??) y por lo tanto la solucion permanece sobre el plano y = 0 para toda t; en particular noes transveral a Σ+ y no esta definida su siguiente interseccion con Σ+.

Pues bien siguiendo por el flujo la lınea Γ0, se obtienen las sucesivas intersecciones dela imagen de Γ0 con la seccion Σ+ que se denotan por Γ2, Γ4, . . . . No es difıcil probar elsiguiente resultado

Proposicion 6. La interseccion de lıneas de simetrıa Γi ∩ Γj son puntos periodicos deperıodo divisor de |i− j|.

9.3 Lıneas de simetrıa 69

-4 -2 0 2 4-10

-5

0

5

10

x

px

Figura 9.2: Region de Hill en la seccion de Poincare Σ+ parametrizada por x–u. Lalınea de simetrıa Γ0 se muestra en rojo. Deberan omitirse los puntos que correspon-den a colision.

Cabe notar que llamamos “perıodo.el numero de veces que la solucion intersecta a laseccion Σ+ antes de coincidir. Ası por ejemplo la intersecciones Γ2∩Γ0 son puntos periodicosde periodo 2, la interseccion Γ4 ∩ Γ0 contiene la interseccion Γ2 ∩ Γ0 y puntos periodicos deperiodo 4, etc. La interseccion Γ4 ∩Γ2 son puntos periodicos de periodo 2, etc. En la Figura?? se muestran algunos ejemplos de estas curvas que por abuso de lenguaje llamaremos“lıneas de simetrıa”(en realidad) solo Γ0 debıa llamarse lınea de simetrıa).


0.5 1 1.5 2 2.5 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Figura 9.3: Intersecciones sucesivas de la imagen de Γ0 por el flujo con la seccion Σ+

Capıtulo 10

El metodo de continuacion analıtica

En esta seccion veremos un metodo clasico debido a Poincare, para obtener orbitasperiodicas de un sistema autonomo dependiente de un parametro. Consi-deremos el sistemade clase C1 respecto de la coordenada x y el parametro real µ en una region D × (−ϵ, ϵ) ⊂Rn × R.

x = F (x, µ) (10.0.1)

El metodo consiste en obtener orbitas periodicas cercanas a orbitas conocidas del sistemacuando µ = 0, aplicando el teorema de la funcion implıcita. Por ello se conoce tambien comoel metodo de continuacion analıtica.

10.1. Motivacion

Denotemos la solucion al tiempo t del sistema (??) que tiene por condicion inicial ξ altiempo t = 0, por x(t, ξ, µ). Suponga que para µ = 0 se tiene una orbita periodica de periodoT0, con condicion inicial ξ(0): x(t+ T0, ξ

(0), 0) = x(t, ξ(0), 0). Para un valor del parametro µcercano a 0, buscamos una solucion periodica de periodo T cercano a T0 y condicion inicialξ cercana a ξ0. Por unicidad, esto es equivalente a resolver la ecuacion de periodicidad

x(T, ξ, µ)− ξ = 0. (10.1.1)

Este es un sistema de n ecuaciones con n+1 incognitas: la condicion inicial ξ y el periodo T ;es necesario imponer restricciones adicionales para poder resolver dicha ecuacion. Busquemospor ejemplo, orbitas de periodo fijo T0 (en general en sistemas autonomos este tipo de orbitasno existen, pero lo tomaremos como una motivacion). Por hipotesis, el sistema (??) admiteuna solucion para µ = 0, ξ = ξ0. Denotemos en lo sucesivo X(T, ξ, µ) = ∂x

∂ξ (T, ξ, µ).

Por teorema de la funcion implıcita, si el operador1 : Rn → Rn,

X(T0, ξ0, 0)− In (10.1.2)

es invertible, entonces existe una curva diferenciable ξ(µ) definida en un entorno de 0 enuna vecindad de ξ0 tal que ξ(0) = ξ0, satisfaciendo

x(T0, ξ(µ), µ)− ξ(µ) = 0; (10.1.3)

es decir las curva de condiciones iniciales ξ(µ) define una familia de orbitas periodicas de-pendientes del parametro µ. Ahora bien, ¿Como calcular el Jacobiano (??)? La respuesta ladan las ecuaciones variacionales. Estas son ecuaciones lineales con coeficientes dependientesdel tiempo que se obtienen al linealizar a lo largo de una orbita de referencia.

1In denota la funcion identidad en Rn.

71

72 El metodo de continuacion analıtica

10.2. Las ecuaciones variacionales

En esta seccion veremos algunas propiedades de las ecuaciones variacionales de sistemasautonomos. En las siguientes dos proposiciones, el parametro µ no juega ningun papel, porlo cual lo omitiremos de la notacion:

x = F (x) (10.2.1)

donde F es continuamente diferenciable en un dominio D ⊂ Rn.

Proposicion 7. Sea x(t, ξ) una solucion del sistema (??) con condicion inicial x(0, ξ) = ξ.Entonces la matriz de derivadas parciales X(t, ξ) = ∂x

∂ξ (t, ξ) satisface el sistema lineal concoeficientes variables

d

dtX(t, ξ) =

∂F

∂x(x(t, ξ)) ·X(t, ξ) (10.2.2)

y la condicion inicialX(0, ξ) = In. (10.2.3)

Demostracion. Ya que x(t, ξ) es solucion,

x(t, ξ) = F (x(t, ξ)),

Como F y el flujo son funciones de clase C1, la composicion es diferenciable, ası que derivandorespecto de ξ y la regla de la cadena se obtiene

∂x

∂ξ(t, ξ) =

∂F

∂x(x(t, ξ)) · ∂x

∂ξ(t, ξ)

pero x(t, ξ) es de clase C2, ya que el campo es de clase C1, luego

∂x

∂ξ(t, ξ) =

∂2x

∂ξ∂t(t, ξ)

=∂2x

∂t∂ξ(t, ξ)

=d

dt

∂x

∂ξ(t, ξ)

de donde se sigue el resultado.

Observaciones:

Observacion 3. La ecuacion (??) es una ecuacion diferencial matricial y junto con (??) esequivalente a los n problemas de condicion inicial

δx =∂F

∂x(x(t, ξ))δx, δx(0) = δi (10.2.4)

donde δi, i = 1, 2, . . . , n son los vectores canonicos en Rn. El sistema (??) o equivalentemente(??) se llaman las ecuaciones variacionales a lo largo de la orbita x(t, ξ).

Observacion 4. Si la solucion de referencia x(t, ξ) es periodica, entonces el sistema varia-cional (??) o (??) tienen coeficientes periodicos. En este caso, la matriz X(T, ξ) = ∂x

∂ξ (T, ξ)

se llama una matriz de monodromıa (cualquier otra solucion de ?? con condicion inicial|X(0, ξ)| = 0 se llama una matriz de monodromıa).

10.2 Las ecuaciones variacionales 73

Observacion 5. Para un sistema lineal con coeficientes periodicos x = A(t)x, A(t + T ) =A(t), el teorema de Floquet afirma que existe un cambio lineal de coordenadas con coe-ficientes T–periodicos x = P (t)y que lo reduce a un sistema lineal con coeficientes con-stantes: y = By. En el caso mas simple que B sea diagonalizable: B = diag(λ1, . . . , λn) yM(t) = diag(eλ1t, . . . , eλnt) es una matriz fundamental que satisface M(0) = In; en partic-ular M(T ) = diag(eλ1T , . . . , eλnT ) es una matriz de monodromıa; los numeros, en generalcomplejos, ρi = eλiT se llaman multiplicadores caracterısticos y λiT son los exponentes deFloquet.

Proposicion 8. Para el sistema (??), si x(t, ξ) es una solucion periodica de periodo T ,entonces 1 es valor propio de la matriz de monodromıa X(T, ξ) con vector propio F (ξ).

Demostracion. En efecto de

x(t, ξ) = F (x(t, ξ)),

se obtiene derivando respecto de t,

x(t, ξ) =∂F

∂x(x(t, ξ)) · x(t, ξ)

es decir x(t, ξ) es solucion del sistema variacional, como ∂x∂ξ (t, ξ) es una matriz fundamental,

existe un vector c tal que∂x

∂ξ(t, ξ) · c = x(t, ξ)

evaluando en t = 0 obtenemos

c = x(0, ξ)

por lo tanto∂x

∂ξ(T, ξ) · x(0, ξ) = x(T, ξ) = x(0, ξ)

la ultima igualdad se sigue de que la solucion es periodica. Por lo tanto x(0, ξ) = F (x(0, ξ)) =F (ξ) es un vector propio con valor propio 1.

La ultima proposicion trae como consecuencia que el operador (??) sea degenerado pues1 es siempre valor propio de X(T0, ξ0, 0) por ser el sistema (??) autonomo.

La idea de Poincare para eliminar la degeneracion de la matriz de monodromıa asoci-ada a una orbita periodica x(t, ξ0) de un sistema autonomo como (??), consiste en tomarun hiperplano2 Σ que pase por ξ0 y transversal a F (ξ0). Por la continuidad respecto decondiciones iniciales y la transversalidad, la aplicacion τ : Σ → R que asocia a cada ξ ∈ Σel tiempo del siguiente cruce con Σ, esta bien definida en una vecindad de ξ0 en Σ. Laaplicacion de Poincare

ψ(ξ) = x(τ(ξ), ξ); (10.2.5)

esta bien definida y es de clase C1 en un entorno U ⊂ Σ conteniendo a ξ0 (vease la Figura ??).Si el sistema depende de un parametro µ tal como (??), entonces tambien τ(ξ, µ) y ψ(ξ, µ)dependen de la misma manera; en este caso usaremos la notacion ψµ(·) = ψ(·, µ), paraenfatizar la dependencia del parametro.

2Se puede considerar en vez de Σ una hipersuperficie local transversal a F (ξ0).


x0

xY(x)

F( )x0

Figura 10.1: Mapeo de Poincare

Teorema 4. Considere el sistema (??) con x(t, ξ0) una solucion periodica de periodo T0.Sea X(T0, ξ0) la matriz de monodromıa; Σ un hiperplano que pasa por ξ0 transversal a F (ξ0),Σ0 el hiperplano por el origen paralelo a Σ; ψ : Σ → Σ la aplicacion de Poincare definido enun entorno U ⊂ Σ conteniendo a ξ0. Entonces el polinomio caracterıstico se factoriza como

|X(T0, ξ0)− λIn| = (λ− 1)

∣∣∣∣ ∂ψ∂ξΣ (ξ0)− λIΣ0

∣∣∣∣Vease ([?]).

10.3. Presencia de integrales primeras

Los sistemas hamiltonianos poseen una integral primera, lo cual agrega un grado masde degeneracion a la matriz de monodromıa.

Proposicion 9. Suponga que el sistema (??), posee una integral primera: H(x(t, ξ)) =H(ξ). Si x(t, ξ) es una solucion periodica de perıodo T , entonces 1 es un valor propio demultiplicidad 2 de la matriz de monodromıa X(T, ξ).

Demostracion. Diferenciando respecto de ξ la relacion H(x(t, ξ)) = H(ξ) y de la definicionde gradiente se tiene que para cualquier v ∈ Rn,

∂H

∂x(x(t, ξ)) · ∂x

∂ξ(t, ξ) · v =

∂H

∂x(ξ) · v

⟨∇H(x(t, ξ)),∂x

∂ξ(t, ξ) · v⟩ = ⟨∇H(ξ), v⟩

⟨∂x∂ξ

(t, ξ)T∇H(x(t, ξ), v⟩ = ⟨∇H(ξ), v⟩

en particular evaluando en t = T ,

∂x

∂ξ(T, ξ)T∇H(ξ) = ∇H(ξ) (10.3.1)

lo cual dice que∇H(ξ) es un vector propio izquierdo de ∂x∂ξ (T,ξ) o bien un valor propio derecho

de ∂x∂ξ (T,ξ)

T , con valor propio 1. Como los valores propios de una matriz y su transpuesta

son iguales, lo tanto 1 es valor propio de ∂x∂ξ (T,ξ).

Corolario 1. Con las mismas hipotesis de la proposicion anterior, el plano Σ ortogonal a∇H(ξ)es invariante bajo la matriz de monodromıa X(T, ξ).

10.3 Presencia de integrales primeras 75

Demostracion. Sea v ∈ Σ, por lo tanto ⟨v,∇H(ξ)⟩ = 0. De (??) se sigue⟨∂x

∂ξ(T, ξ) · v,∇H(ξ)

⟩=

⟨v,∂x

∂ξ(T, ξ)T∇H(ξ)

⟩= ⟨v,∇H(ξ)⟩ = 0

y por lo tanto ∂x∂ξ (T, ξ) · v ∈ Σ.

Observacion 6. El corolario anterior es la version infinitesimal del teorema de conservacionde la energıa, es decir la hipersuperficie H−1(H(ξ)) es invariante bajo el flujo x(t, ξ).

Teorema 5. Suponga que el sistema (??) posee una integral primera y una solucion periodi-ca x(t, ξ) de periodo T . Existe una base de Rn tal que

|X(T, ξ)− λIn| = (λ− 1)2|∂ψ∂ξ

(ξ)− λIn−2|.

donde ψ es la aplicacion de Poincare asociada a un plano Σ′ de codimension 2 ortogonal a∇H(ξ0) y transversal a F (ξ0).

Demostracion. Por el teorema anterior, el hiperplano Σ con normal ∇H(ξ) es invariantebajo X(T, ξ). Sea σ1 = ∇H(ξ) y σ2, . . . , σn una base de Σ. En esta base la matriz demonodromıa se expresa como

X(T0, ξ) =

(∗ 0∗ X(T, ξ)|Σ

)(10.3.2)

Para determinar la primera columna, escribamos

X(T, ξ) · σ1 = c1σ1 + (c2σ2 + · · ·+ cnσn).

Por definicion del plano Σ, el termino entre parentesis es ortogonal a σ1; luego usando (??)se tiene

c1⟨σ1, σ1⟩ = ⟨σ1, X(T, ξ) · σ1⟩= ⟨X(T, ξ)Tσ1, σ1⟩= ⟨σ1, σ1⟩.

Por lo tanto c1 = 1 y la descomposicion (??) es

X(T, ξ) =

(1 0∗ X(T, ξ)|Σ

). (10.3.3)

Ahora aplicamos la misma idea que en el Teorema ??, pero esta vez considerando la restric-cion X(T, ξ)|Σ : Σ → Σ, es decir consideremos un hiperplano Σ′ ⊂ Σ transversal al campoF (ξ0); de esta manera se factoriza

X(T, ξ)|Σ =

(1 −∇Στ(ξ0)

0 ∂ψ∂ξ (ξ0)

). (10.3.4)

Sustituyendo (??) en (??) se obtiene el resultado.

Este teorema de generaliza naturalmente


Teorema 6. Suponga que el sistema (??) posee r integrales primeras Hi, i = 1, 2, . . . , ry una solucion periodica x(t, ξ) de periodo T . Si los gradientes ∇Hi, i = 1, 2, . . . , r sonlinealmente independientes a lo largo de la orbita periodica x(t, ξ), entonces existe una basede Rn tal que

|X(T, ξ)− λIn| = (λ− 1)r+1|∂ψ∂ξ

(ξ)− λIn−2|.

donde ψ es la aplicacion de Poincare asociada a un plano Σ′ de codimension r+1, ortogonalal subespacio generado

Span(∇H1(ξ0),∇H2(ξ0), . . . ,∇Hr(ξ0))

y transversal a F (ξ0). En particular 1 es un multiplicador caracterıstico de multiplicidadr + 1.

Consideremos el sistemax = F (x, µ)

con r integrales primeras Hi, i = 1, 2, . . . , r dependientes de µ posiblemente. Denotemos por

Sc,µ = x ∈ Rn | Hi(x, µ) = ci, i = 1, 2, . . . , r.

Suponemos que para µ = 0 el sistema posee una orbita periodica de perıodo T sobre lasuperficie integral S0,0.

Teorema 7. Si la matriz de monodromıa asociada a la orbita periodica p(t) para µ = 0,posee r + 1 multiplicadores caracterısticos iguales a 1, entonces existe, para µ pequeno, unafamilia de orbitas periodicas p(t, c, µ) dependientes de c y µ con perıodos T (c, µ) cercanosa T contenidas en la superficie integral Sc,µ. Precisamente: p(t, c, µ) → p(t) y T (c, µ) → Tcuando c→ 0, µ→ 0. La familia p(t, c, µ) es tan suave como F y las Hi.

Vease [?].

En particular para un sistema Hamiltoniano se tiene

Proposicion 10. Si un sistema Hamiltoniano con dos grados de libertad tiene una integralprimera que sea independiente del Hamiltoniano a lo largo de la orbita periodica p(t) entoncessus multiplicadores caracterısticos son todos iguales a 1.

Demostracion: Porque entonces 1 tendrıa multiplicidad 3 como multiplicador caracterıstico,por ser autonomo y tener dos integrales primeras independientes. Por el teorema del valorpropio simplectico (vease apendice B) el cuarto valor propio tiene que ser 1.

Capıtulo 11

Imposibilidad de continuar orbitas Keplerianas

Para µ = 0 el problema de los centros fijos se reduce a un problema de Kepler. Unapregunta natural es determinar si las orbitas Keplerianas se pueden continuar analıticamentepara µ pequeno al problema de los dos centros fijos.

En el problema circular restringido de tres cuerpos Poincare llama orbitas del primertipo aquellas que se obtienen por continuacion analıtica a partir de orbitas circulares ydel segundo tipo aquellas que se obtienen a partir de orbitas elıpticas. En este problemalas orbitas circulares se pueden continuar debido a que las integrales primeras de energıa ymomento angular se vuelven independientes a lo largo de las soluciones circulares para µ = 0,por lo que la Proposicion ?? no se aplica. De hecho se prueba que existen dos multiplicadorescaracterısticos iguales a 1 y otros dos de la forma exp(i2π/β) siendo β la frecuencia angular(movimiento medio) de la orbita circular; por lo tanto si se evitan las resonancia es posiblecontinuar la orbita circular al problema restringido. Para las orbitas elıpticas, las integralesde energıa y momento angular son independientes, de modo que los multiplicadores sontodos iguales a 1 por el mismo teorema (??) por lo que el teorema de continuacion ?? nose puede aplicar. En cambio se puede usar un argumento de simetrıa y variables apropiadasllamadas de Delaunay que permiten probar que es posible continuar orbitas elıpticas. Enesta seccion probaremos que no es posible continuar las orbitas circulares.

Teorema 8. Para cualquier valor de la energıa h < 0, ninguna orbita circular x = 1+aeiωt,a3ω2 = 1, del problema de Kepler con µ = 0, se puede continuar a una orbita periodica, nia una orbita σ2–simetrica del problema de los centros fijos para µ suficientemente pequenoy positivo.

Comencemos por escribir las ecuaciones del problema de los dos centros fijos (??) ennotacion compleja z = x+ iy′ como

z′′ = −µ(z + 1)

|z + 1|3− (1− µ)(z − 1)

|z − 1|3= − z − 1

|z − 1|3+ µ

(z − 1

|z − 1|3− z + 1

|z + 1|3

)(11.0.1)

Para µ = 0 se reduce al problema de Kepler con origen en z = 1,

ζ ′′ = − ζ

|ζ|3(11.0.2)

con ζ = z − 1. Como es bien sabido, la ecuacion (??) admite las soluciones periodicascirculares

ζ = aeiωt, a3ω2 = 1 (Tercera ley de Kepler). (11.0.3)

La energıa de una orbita circular es h = −1/(2a).

77

78 Imposibilidad de continuar orbitas Keplerianas

11.1. Multiplicadores caracterısticos iguales a 1, orbitascirculares

De acuerdo a la teorıa general, si las integrales de la energıa y de Euler son independientesa lo largo de la orbita circular, entonces los 4 multiplicadores caracterısticos son iguales a1 y no es posible hacer la continuacion analıtica respecto de µ pequeno. Verifiquemos estaafirmacion

Proposicion 11. Los multiplicadores caracterısticos de las ecuaciones variacionales de (??)a lo largo de la orbita circular ζ = aeiωt son todos iguales a 1.

Demostracion: Escribamos ζ = x + iy, δζ = δx + iδy. Las ecuaciones variacionales de laecuacion (??) son

δζ = − δζ

|ζ|3+

3ζ

|ζ|5(xδx+ yδy) (11.1.1)

o bien

δζ +δζ

|ζ|3− 3ζ

|ζ|5Re(ζdζ) = 0. (11.1.2)

donde ζ es el conjugado de ζ y Re denota la parte real. Evaluando los coeficientes a lo largode la orbita periodica circular (??) obtenemos el sistema lineal con coeficientes periodicos

δζ +δζ

a3− 3eiωt

a3Re(e−iωtdζ) = 0. (11.1.3)

De acuerdo a la teorıa de Floquet, existe un cambio lineal de coordenadas que reduce elsistema (??) a un sistema lineal con coeficientes constantes. En este caso podemos hacerexplıcito el cambio de coordenadas:

δζ = ueiωt. (11.1.4)

en efecto se tiene

δζ = ueiωt,

δζ = (u+ iωu)eiωt

δζ = = (u+ 2iωu− ω2u)eiωt.

Sustituyendo en (??) se obtiene, usando la tercera ley de Kepler (??),

u+ 2iωu+

(−ω2 +

1

a3

)u− 3

a3Reu = 0

u+ 2iωu− 3

2ω2(u+ u) = 0. (11.1.5)

La solucion general de esta ecuacion con coeficientes constantes es

u =

(3ie−itω

2ω+ieitω

2ω− 2i

ω

)c1 +

(−3it− 3e−itω

ω+eitω

ω+

2

ω

)c2

+

(−6itω − 9

2e−itω +

3

2eitω + 4

)c3 + ic4

y por lo tanto la solucion general en δζ es:

δζ =i(3− 4eitω + e2itω

)c1

2ω+

(eitω(2− 3itω) + e2itω − 3

)c2

ω(11.1.6)

+1

2

(4eitω(2− 3itω) + 3e2itω − 9

)c3 + ieitωc4. (11.1.7)

11.1 Multiplicadores caracterısticos iguales a 1, orbitas circulares 79

Calculemos ahora la matriz de monodromıa. Antes de proceder comentemos sobre lascondiciones iniciales: Recordemos que δζ = δx+ iδy, δζ ′ = δu+ iδv Por lo tanto:

Sea δζ1 la solucion con condiciones iniciales: δζ(0) = 1, δζ ′(0) = 0 entonces δx(0) = 1,δy(0) = 0, δx′(0) = 0, δy′(0) = 0 y por lo tanto,

δx =∂x

∂x0, δy =

∂y

∂x0, δu =

∂u

∂x0, δv =

∂v

∂x0

es decir

δζ1 =∂x

∂x0+ i

∂y

∂x0, δζ ′1 =

∂u

∂x0+ i

∂v

∂x0.

Sea δζ2 la solucion con condiciones iniciales: δζ(0) = i, δζ ′(0) = 0 entonces δx(0) = 0,δy(0) = 1, δx′(0) = 0, δy′(0) = 0 y por lo tanto,

δx =∂x

∂y0, δy =

∂y

∂y0, δu =

∂u

∂y0, δv =

∂v

∂y0,

es decir

δζ2 =∂x

∂y0+ i

∂y

∂y0, δζ ′1 =

∂u

∂y0+ i

∂v

∂y0.

Sea δζ3 la solucion con condiciones iniciales: δζ(0) = 0, δζ ′(0) = 1 entonces δx(0) = 0,δy(0) = 0, δx′(0) = 1, δy′(0) = 0 y por lo tanto,

δx =∂x

∂u0, δy =

∂y

∂u0, δu =

∂u

∂u0, δv =

∂v

∂u0,

es decir

δζ3 =∂x

∂u0+ i

∂y

∂u0, δζ ′1 =

∂u

∂u0+ i

∂v

∂u0.

Sea δζ4 la solucion con condiciones iniciales: δζ(0) = 0, δζ ′(0) = i entonces δx(0) = 0,δy(0) = 0, δx′(0) = 0, δy′(0) = 1 y por lo tanto,

δx =∂x

∂v0, δy =

∂y

∂v0, δu =

∂u

∂v0, δv =

∂v

∂v0,

es decir

δζ4 =∂x

∂v0+ i

∂y

∂v0, δζ ′4 =

∂u

∂v0+ i

∂v

∂v0.

Para ello primero calculamos las soluciones correspondientes a las condiciones iniciales:

• δζ1(0) = 1, δζ ′1(0) = 0:

δζ1(t) =

eitω(−6itω − 9

2e−itω +

3

2eitω + 4

)− eitω

(−3it− 3e−itω

ω+eitω

ω+

2

ω

)ω

(11.1.8)

• δζ2(0) = i, δζ ′2(0) = 0:

δζ2(t) = eitω(3ie−itω

2ω+ieitω

2ω− 2i

ω

)ω + ieitω (11.1.9)


• δζ3(0) = 0, δζ ′3(0) = 1:

δζ(t) = eitω(3ie−itω

2ω+ieitω

2ω− 2i

ω

)(11.1.10)

• δζ4(0) = 0, δζ ′4(0) = i:

δζ(t) = eitω(−3it− 3e−itω

ω+eitω

ω+

2

ω

)(11.1.11)

Luego la matriz de monodromıa

M =

(δζ1(T ) δζ2(T ) δζ3(T ) δζ4(T )δζ ′1(T ) δζ ′2(T ) δζ ′3(T ) δζ ′4(T ))

)con T = 2π/ω. Resulta en

M =

1 0 0 0

−6π 1 0 − 6πω

6πω 0 1 6π0 0 0 1

(11.1.12)

El ultimo renglon muestra que λ = 1 es un valor propio; quitando el ultimo renglon y laultima columna obtenemos una matriz triangular inferior con unos en la diagonal, de dondese sigue que λ = 1 es un valor propio de multiplicidad 4.

11.2. Imposibilidad de continuar orbitas circulares porsimetrıa

Veamos ahora si es posible continuar la orbita circular imponiendo la condicion de quesea simetrica respecto de a simetrıa σ2. Para ello consideremos las ecuaciones de periodicidad(??), (??)

f(t0, x0, µ) = y(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, h, µ), µ) = 0

g(t0, x0, µ) = u(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, h, µ), µ) = 0

Hagamos µ = 0 y fijemos la energıa h en un valor negativo. La solucion circular (??),concretamente

x(t) = 1 + a cos(ωt) (11.2.1)

y(t) = a sin(ωt) (11.2.2)

u(t) = x′(t) = −aω sin(ωt) (11.2.3)

v(t) = y′(t) = aω cos(ωt) (11.2.4)

tiene por condicion inicial en t = 0,

(x0, y0, u0, v0) = (1 + a, 0, 0, aω)

y para t0 = π/ω se satisface

f(π/ω, a, 0) = y(π/ω, 1 + a, 0, 0, aω, µ = 0) = a sin(π) = 0

g(π/ω, a, 0) = u(π/ω, 1 + a, 0, 0, aω, µ = 0) = −aω sin(π) = 0.

11.2 Imposibilidad de continuar orbitas circulares por simetrıa 81

Por el teorema de la funcion implıcita, si el determinante de la matriz∂f

∂t

∂f

∂x0

∂g

∂t

∂g

∂x0

(11.2.5)

evaluado en t0 = π/ω, x0 = 1 + a, µ = 0, es diferente de cero, entonces existe una curvade clase C1, t0(µ), x0(µ) definida en una vecindad de µ = 0, que satisface las ecuaciones deperiodicidad

y(t0(µ), x0(µ), 0, 0, ϑ(x0(µ), h, µ), µ) = 0

u(t0(µ), x0(µ), 0, 0, ϑ(x0(µ), h, µ), µ) = 0

ademas de t0(0) = π/ω, x0(0) = 1 + a. Ası x0(µ) es una curva de condiciones iniciales parauna solucion periodica σ2–simetrica de perıodo 2t0(µ).

Proposicion 12. El determinate de la matriz jacobiana (??) es igual a cero

Demostracion: La matriz (??) en forma explıcita es:∂y

∂t

∂y

∂x0+

∂y

∂v0ϑ′x0

∂u

∂t

∂u

∂x0+∂u

∂v0ϑ′x0

, (11.2.6)

donde las derivadas parciales van evaluadas en (π/ω, 1+a, 0, 0, aω), para µ = 0. Las derivadasrespecto de t se calculan de la siguiente manera:

∂y

∂t= y′(t) = v(t) = aω cos(ωt),

usando (??). En particular en t = π/ω,

∂y

∂t= −aω. (11.2.7)

De la misma manera,∂u

∂t= u′(t) = −aω2 cos(ωt),

usando (??). En particular en t = π/ω,

∂u

∂t= aω2. (11.2.8)

Las derivadas parciales respecto de x0 se obtienen resolviendo las ecuaciones varia-cionales (??), (??) con la condicion inicial (??). La solucion a dichas variacionales se obtienenprecisamente de (??), vgr.

δζ1 =∂x

∂x0+ i

∂y

∂x0, δζ ′1 =

∂u

∂x0+ i

∂v

∂x0

como funciones de t y de las condiciones iniciales, de aquı que

∂y

∂x0= ℑ(δζ1),

∂u

∂x0= Re (δζ ′1),


luego

∂y

∂x0= −3tω cos(tω) + 2 sin(tω) +

1

2sin(2tω),

∂u

∂x0= ω(3tω cos(tω) + sin(tω)− sin(2tω)).

Evaluando en t = π/ω,

∂y

∂x0= −3π (11.2.9)

∂u

∂x0= −3πω. (11.2.10)

Analogamente∂y

∂v0= ℑ(δζ4),

∂u

∂v0= Re (δζ ′4),

luego

∂y

∂v0=

−3tω cos(tω) + 2 sin(tω) + sin(2tω)

ω,

∂u

∂v0= 3tω cos(tω) + sin(tω)− 2 sin(2tω)

Evaluando en t = π/ω,

∂y

∂v0=

3π

ω(11.2.11)

∂u

∂v0= −3π. (11.2.12)

Finalmente la expresion (??) para ϑ con µ = 0 es

ϑ(x0, h, µ = 0) =

√2

(h+

1

|x0 − 1|

)por lo que ϑ(1 + a, h, µ = 0) =

√2(h+ 1

a ) y

ϑ′x0(x0, h, 0) =

− x0−1|x0−1|3√

2(h+ 1

|x0−1|

)sustituyendo x0 = 1 + a con a > 0 obtenemos

ϑ′x0(1 + a, h, 0) =

− 1a2√

2(h+ 1a )

pero para una orbita circular h = −1/(2a), luego

ϑ′x0(1 + a, h, 0) =

− 1a2√1a

= − 1

a3/2= −ω (11.2.13)

Sustituyendo todos estos valores: (??), (??), (??), (??), (??), (??), (??) en la matriz (??)obtenemos (

−aω 3π +(3πω

)(−ω)

aω2 −3πω + (−3π)(−ω)

)=

(−aω 0aω2 0

).

cuyo determinante es 0.

Capıtulo 12

Continuacion numerica respecto de µ

Supongamos que para µ = µ0 se conoce la condicion inicial (x0, 0, 0, v0) de una orbitaperiodica simetrica, el metodo de continuacion analıtica consiste en encontrar las condicionesiniciales necesarias para obtener otra orbita periodica vecina con parametro µ0 + ∆µ ycondicion inicial (x0 + ∆x0, 0, 0, v0 + ∆v0). Es importante remarcar que a lo largo de estaseccion mantenemos el valor de la energıa fijo. La continuacion respecto del parametro µ,para un valor fijo de la energıa h, lo realizaremos con un algoritmo de dos etapas. En laprimera etapa se predice la condicion inicial de la orbita periodica vecina y en la segundaetapa la corregimos usando el metodo de Newton. Contar con una buena prediccion esnecesario, pues el metodo de Newton es de convergencia local.

12.1. El Metodo predictor

En lo sucesivo haremos explıcita la dependencia de ϑ(x0, µ) omitiendo la dependenciaen h, ya que se mantendra constante. En el metodo predictor (??), (??) debemos resolverel sistema de ecuaciones

y(t0 +∆T, x+∆x0, 0, 0, ϑ(x0 +∆x0, µ0 +∆µ), µ0 +∆µ) = 0,

u(t0 +∆T, x+∆x0, 0, 0, ϑ(x0 +∆x0, µ0 +∆µ), µ0 +∆µ) = 0

para los incrementos ∆t0, ∆x0 y ∆µ. Si expandimos respecto de los incrementos y retenemossolo los terminos de primer orden, obtenemos el sistema lineal aproximado

∂y

∂t(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)∆t0 +

∂y

∂x0(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)∆x0 +

∂y

∂v0(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0), µ0)ϑ

′x0(x0, µ0)∆x0

= − ∂y

∂v0(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′µ0(x0, µ0)∆µ− ∂y

∂µ(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0), µ0)∆µ

∂u

∂t(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)∆t0 +

∂u

∂x0(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)∆x0 +

∂u

∂v0(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0), µ0)ϑ

′x0(x0, µ0)∆x0

= − ∂u

∂v0(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′µ0(x0, µ0)∆µ− ∂u

∂µ(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0), µ0)∆µ

Si el determinante de la matriz ∂y

∂t

∂y

∂x0+

∂y

∂v0ϑ′x0

∂u

∂t

∂u

∂x0+∂u

∂v0ϑ′x0

, (12.1.1)

83

84 Continuacion numerica respecto de µ

donde las derivadas parciales de y, u van evaluadas en (t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) y la derivadaparcial ϑ′x0

en (x0, µ0), es diferente de cero, entonces podemos determinar ∆t0 y ∆x0 enfuncion de ∆µ como solucion del sistema

∂y

∂t

∂y

∂x0+

∂y

∂v0ϑ′x0

∂u

∂t

∂u

∂x0+∂u

∂v0ϑ′x0

∆t0

∆x0

= −∆µ

∂y

∂µ+

∂y

∂v0ϑ′µ

∂u

∂µ+∂u

∂v0ϑ′µ

(12.1.2)

con la matriz de coeficientes evaluada (t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) y la derivada parcial ϑ′x0en

(x0, µ0).

12.2. Las ecuaciones variacionales

Las derivadas parciales del sistema (??) se calculan mediante las ecuaciones variacionalescomo sigue: reescribamos las ecuaciones de movimiento como

x′ = u,

y′ = v,

u′ = −µ(x+ 1)

r31− (1− µ)(x− 1)

r32, (12.2.1)

v′ = −µyr31

− (1− µ)y

r32.

entonces:

∂y

∂t(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = y′(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)

= v(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0),

∂u

∂t(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = u′(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)

= −µ0(x+ 1)

r13− (1− µ0)(x− 1)

r13

con r1 =√(x+ 1)2 + y2, r2 =

√(x− 1)2 + y2 evaluados en la solucion x(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0),

y(t0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0).

El resto de las derivadas parciales que aparecen en (??) se obtienen como sigue: ya que

ϑ(x0, µ0) =

√2

(h+

µ

|x0 + 1|+

1− µ

|x0 − 1|

)entonces

ϑ′x0(x0, µ0) = −

µ0(x0+1)|x0+1|3 + (1−µ0)(x0−1)

|x0−1|3

ϑ(x0, µ0). (12.2.2)

Las derivadas parciales ∂y∂x0

, ∂u∂x0

del sistema lineal (??) se obtienen resolviendo las ecuaciones


variacionales

d

dt

∂x

∂x0

∂y

∂x0

∂u

∂x0

∂v

∂x0

= A

∂x

∂x0

∂y

∂x0

∂u

∂x0

∂v

∂x0

, (12.2.3)

donde A denota la matriz derivada del campo vectorial definido por el sistema (??):

0 0 1 00 0 0 1

− µr13 − 1−µ

r23 + 3µ(x+1)2

r15 + 3(1−µ)(x−1)2

r25

3µ(x+1)yr15 + 3(1−µ)(x−1)y

r25 0 03µ(x+1)y

r15 + 3(1−µ)(x−1)yr25 − µ

r13 − 1−µr23 + 3µy2

r15 + 3(1−µ)y2r25 0 0

.(12.2.4)

Al sistema variacional (??) se le adjunta la condicion inicial

∂x

∂x0

∂y

∂x0

∂u

∂x0

∂v

∂x0

(0) =

1

0

0

0

. (12.2.5)

En efecto, de las condiciones iniciales para la solucion

x(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0)) = x0,

y(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0)) = 0,

u(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0)) = 0, (12.2.6)

v(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0)) = ϑ(x0, µ0).

se obtiene, derivando ambos miembros respecto de x0,

∂x

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) +

∂x

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′x0(x0, µ0) = 1,

∂y

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) +

∂y

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′x0(x0, µ0) = 0,

∂u

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) +

∂u

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′x0(x0, µ0) = 0, (12.2.7)

∂v

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) +

∂v

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′x0(x0, µ0) = ϑ′x0

(x0, µ0),


Por otro lado para calcular las derivadas respecto a v0 partimos de:

x(0, x0, 0, 0, v0) = x0,

y(0, x0, 0, 0, v0) = 0,

u(0, x0, 0, 0, v0) = 0, (12.2.8)

v(0, x0, 0, 0, v0) = v0.

y ahora derivamos respecto a v0 y evaluamos en (0, x0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) para obtener:

∂x

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂y

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂u

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0, (12.2.9)

∂v

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 1.

Sustituyendo (??) en (??) obtenemos

∂x

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 1,

∂y

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂u

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0, (12.2.10)

∂v

∂x0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

que es la condicion inicial (??) para la variacional (??).

Las derivadas respecto a v0, satisfacen el sistema variacional

d

dt

∂x

∂v0

∂y

∂v0

∂u

∂v0

∂v

∂v0

= A

∂x

∂v0

∂y

∂v0

∂u

∂v0

∂v

∂v0

(12.2.11)

donde A es la misma matriz (??) y la condicion inicial que ya hemos deducido antes en (??),vgr.,

∂x

∂v0

∂y

∂v0

∂u

∂v0

∂v

∂v0

(0) =

0

0

0

1

. (12.2.12)


Finalmente las derivadas parciales respecto de µ en (??) se calculan resolviendo el sistemavariacional inhomogeneo

d

dt

∂x

∂µ

∂y

∂µ

∂u

∂µ

∂v

∂µ

= A

∂x

∂µ

∂y

∂µ

∂u

∂µ

∂v

∂µ

+

0

0

−x+ 1

r13− x− 1

r23

−y(

1

r13− 1

r23

)

. (12.2.13)

La ecuacion variacional inhomogenea (??) se suple de la condicion inicial homogenea

∂x

∂µ

∂y

∂µ

∂u

∂µ

∂v

∂µ

(0) =

0

0

0

0

(12.2.14)

Justifiquemos esta afirmacion: a partir de las condiciones iniciales para la solucion

x(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = x0,

y(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

u(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0, (12.2.15)

v(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = ϑ(x0, µ0).

Derivando (??) respecto de µ y evaluando en (0, x0, 0, 0, v0(x0, µ0), µ0) se obtiene

∂x

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′µ(x0, µ0) +

∂x

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂y

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′µ(x0, µ0) +

∂y

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂u

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′µ(x0, µ0) +

∂u

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂v

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0)ϑ

′µ(x0, µ0) +

∂v

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = ϑ′µ(x0, µ0).

pero

∂x

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂y

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂u

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂v

∂v0(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 1,


luego

∂x

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂y

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂u

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

∂v

∂µ(0, x0, 0, 0, ϑ(x0, µ0), µ0) = 0,

que es la condicion inicial (??).

12.3. El metodo corrector

El metodo predictor nos da aproximaciones iniciales t(0)1 , x

(0)1 para las raıces del sistema

y(t1, x1, 0, 0, v1) = 0,

u(t1, x1, 0, 0, v1) = 0,

para un valor de µ1 = µ0+∆µ y energıa h. Al igual que antes, de las tres incognitas t1, x1, v1podemos eliminar v1 de la relacion de energıa

v1 = ϑ(x1, h, µ1) ≡ ϑ(x1)

donde hemos simplificado la notacion pues, h y µ1 permaneceran fijos en lo sucesivo.

Al aplicar el metodo de Newton para resolver el sistema

f(t1, x1) = y(t1, x1, 0, 0, ϑ(x1)) = 0, (12.3.1)

g(t1, x1) = u(t1, x1, 0, 0, ϑ(x1)) = 0, (12.3.2)

obtenemos la recurrencia(t1

(n+1)

x1(n+1)

)=

(t1

(n)

x1(n)

)−(

∆t1(n)

∆x1(n)

)donde (∆t1

(n),∆x1(n))T es la solucion del sistema

∂f

∂t1

∂f

∂x1

∂g

∂t1

∂g

∂x1

∆t1

(n)

∆x1(n)

=

y(t1(n), x1

(n), 0, 0, ϑ(x1(n)))

u(t1(n), x1

(n), 0, 0, ϑ(x1(n)))

. (12.3.3)

Para la primera columna de la matriz (??) se tiene

∂f

∂t1(t

(n)1 , x

(n)1 ) = y′(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )) = v(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )),

∂g

∂t1(t

(n)1 , x

(n)1 ) = u′(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )) = −µ1(x+ 1)

r13− (1− µ1)(x− 1)

r23

con r1 =√(x+ 1)2 + y2, r2 =

√(x− 1)2 + y2 evaluados en la solucion x(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )),

y(t(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )).

12.3 El metodo corrector 89

La segunda columna de (??) esta constituida por las derivadas parciales

∂f

∂x1(t

(n)1 , x

(n)1 ) =

∂y

∂x1(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )) +

∂y

∂v1(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 ))ϑ′(x

(n)1 ),

∂g

∂x1(t

(n)1 , x

(n)1 ) =

∂u

∂x1(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 )) +

∂u

∂v1(t

(n)1 , x

(n)1 , 0, 0, ϑ(x

(n)1 ))ϑ′(x

(n)1 ).

(12.3.4)

donde las parciales respecto de x1 se obtienen del sistema variacional analogo a (??) con lacondicion inicial (??), explıcitamente:

d

dt

∂x

∂x1

∂y

∂x1

∂u

∂x1

∂v

∂x1

= A

∂x

∂x1

∂y

∂x1

∂u

∂x1

∂v

∂x1

, (12.3.5)

y

∂x

∂x1

∂y

∂x1

∂u

∂x1

∂v

∂x1

(0) =

1

0

0

0

. (12.3.6)

De la misma manera las derivadas parciales respecto de v1 en (??) se calculan a partir delsistema variacional

d

dt

∂x

∂v1

∂y

∂v1

∂u

∂v1

∂v

∂v1

= A

∂x

∂v1

∂y

∂v1

∂u

∂v1

∂v

∂v1

, (12.3.7)

y la condicion inicial

∂x

∂v1

∂y

∂v1

∂u

∂v1

∂v

∂v1

(0) =

0

0

0

1

. (12.3.8)

Capıtulo 13

Resultados numericos

En esta seccion se presentan algunos resultados numericos del problema de los doscentros fijos. Se presentan como sigue: En la Seccion ?? se presentan algunos mapas dePoincare tomando como seccion transversal el plano y = 0 y cualquier direccion de cruce,es decir y > 0 o y < 0. Primero fijamos h = −0.7 y variamos µ desde µ = 0.5 a µ = 0.99.Para µ = 1 todos los puntos son puntos fijos del mapeo de Poincare. En seguida mostramosalgunos mapas de Poincare para µ = 1/2 y variando la energıa por varlores negativos.

En la Seccion ?? aplicamos la tecnicas de lıneas de simetrıa para calcular algunas orbitasperiodicas simetricas para µ = 1/2. Calculamos las primeras tres lıneas de simetrıa tan solopara mostrar la gran riqueza de orbitas periodicas. Se muestran tambien algunas de esasorbitas periodicas.

13.1. Mapas de Poincare

Se toma la seccion y = 0 con cualquier signo de y al momento de cruce. En las siguientesFiguras se muestran los mapas de Poincare en el plano fase regularizado w1–W1 (ver seccion4.2) y en el plano fase original x–px

13.2. Lıneas de simetrıa

En esta seccion se presentan algunos ejemplos de lıneas de simetrıa calculadas paraµ = 1/2 y h = −1. Este es el valor crıtico de la energıa para el cual la frontera de la regionde Hill tiene una punto crıtico que corresponde a un punto de equilibrio del sistema que no

-2 -1 0 1 2x

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

px

Μ=0.5, h=-0.7

-3 -2 -1 0 1 2 3u1

-3

-2

-1

0

1

2

3

U1

Μ=0.5, h=-0.7

Figura 13.1: Mapas de Poincare. Plano fase original x–px (izq.) y plano fase regu-larizado w1–W1 (der.)

91

92 Resultados numericos

-2 -1 0 1 2x

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

px

Μ=0.8, h=-0.7

-2 -1 0 1 2 3 4u1

-4

-2

0

2

4

U1

Μ=0.8, h=-0.7


-2 -1 0 1 2x

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

px

Μ=0.9, h=-0.7

-2 -1 0 1 2 3 4u1

-4

-2

0

2

4

U1

Μ=0.9, h=-0.7


-2 -1 0 1 2x

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

px

Μ=0.99, h=-0.7

-1 0 1 2 3 4u1

-4

-2

0

2

4

U1

Μ=0.99, h=-0.7



0.5 1 1.5 2 2.5 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

-1

-0.5

0.5

1

Figura 13.5: Lıneas de simetrıa en el plano x–u (izq.) y un acercamiento (der.)

es mas que el punto de reposo inestable a la mitad entre los primarios. En las siguientesfiguras se muestran las las primeras tres lıneas de simetrıa Γ2, Γ4 y Γ6, tanto en el planooriginal x–u como en el plano regularizado w1–W1.

Como puede observarse en el plano original, es muy difıcil extraer informacion sobre lasintersecciones de las lıneas de simetrıa debio a que son asintoticas a la recta de colision x = 1.En las siguientes figuras se muestran las lıneas de simetrıa en la variables regularizadas y seobserva claramente la dinamica de las lıneas de simetrıa

A partir de las intersecciones de lıneas de simetrıa se puede obtener una aproximaciona la condicion inicial de la orbita periodica simetrica en la Figura ??.


0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

1

2

Figura 13.6: Las primeras tres lıneas de simetrıa Γ2 (-), Γ4 (...) y Γ6 (-.-)

0.6 0.8 1.2 1.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.9 0.95 1.05 1.1

-0.1

-0.05

0.05

0.1

Figura 13.7: Acercamiento de las primeras tres lıneas de simetrıa Γ2 (-), Γ4 (...) yΓ6 (-.-)


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75-1

-0.5

0

0.5

1h=-1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2h=-1

Figura 13.8: Orbitas periodicas simetricas en el plano original (izq.) y en el planoregularizado (der.) La orbita en rojo que conecta los puntos crıticos (der) se mapeaen una orbita de colision (izq.) y las orbitas en verde y azul (der.) se mapean en unamisma orbita en azul (izq.)

Capıtulo 14

Continuacion de orbitas periodicas

Para µ = 0 las orbitas Keplerianas circulares no se pueden continuar analıticamente,debido a que los multiplicadores son todos iguales a 1 y el determinante relevante paracontinuarlas por simetrıa (??) se anula. Las orbitas elıpticas tampoco pueden continuarsepues sus multiplicadores son todos iguales a 1 debido a que las integrales de energıa y de Eulerson independientes a lo largo de estas. Las orbitas elıpticas tampoco pueden continuarse porsimetrıa ya que usando coordenadas de Delaunay (l, g, L,G) como en el problema restringido,para µ == el Hamiltoniano toma la forma

H =1

2L

y el determinante equivalente a (??) es igual a cero. Por lo tanto no es posible continuar lasorbitas Keplerianas al problema de los centros fijos. Esto habla del alto grado de degeneraciondel problema de Kepler, un hecho bien conocido.

Sin embargo para µ = 1/ se pueden calcular algunas orbitas periodicas simetricas medi-ante el metodo de lıneas de simetrıa, y una vez calculadas se puede intentar su continuacionanalıtica de manera numerica.

Esto fue hecho para dos orbitas particulars: La orbita ocho y una orbita que llamamosde “carnero”pues la mitad de ella semeja el carnero (Aries) del horoscopo.

14.1. Continuacion de la orbita ocho

En las Figuras ??, ?? se muestran cuatro fases de la orbita ocho para un valor fijo dela energıa, comenzando con µ = 1/2 y finalizando con el ultimo valor de µ = antes de quela familia termine en colision con el primario en (1, 0). Por simetrıa, esta familia nace encolision con el primario (−1, 0) para µ = 0.9186. Ası, tenemos completamente descrito elorigen y final de esta familia, al menos para el valor de energıa h = −0.7. El diagrama debifurcacion de la familia se muestra en la Figura ??.

14.2. Continuacion de la orbita del carnero

En las siguientes figuras se muestran cuatro fases de la orbita del carnero para un valorfijo de la energıa h = −0.7, comenzando con µ = 1/2 y finalizando con el ultimo valor deµ antes de que la familia termine en colision con el primario en (1, 0). Por simetrıa, estafamilia nace en colision con el primario (−1, 0) para µ = .9488. Ası, tenemos completamentedescrito el origen y final de esta familia, al menos para este valor de la energıa..

El diagrama de bifurcacion de la familia se muestra en la Figura ??

97

98 Continuacion de orbitas periodicas

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Μ =0.5002

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Μ =0.7094

Figura 14.1: Fases de la familia de la orbita ocho

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Μ =0.814

-1 -0.5 0.5 1

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

Μ =0.9186

Figura 14.2: Fases de la familia de la orbita ocho

0.6 0.7 0.8 0.9Μ

1.05

1.15

1.2

1.25

x0 Diagrama de bifurcación órbita ocho

Figura 14.3: Diagrama de bifuracion de la familia ocho para µ ∈ [0.5, 0.9186)

14.2 Continuacion de la orbita del carnero 99

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Μ =0.5002

-1 -0.5 0.5 1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

Μ =0.7244

Figura 14.4: Fases de la familia de la orbita del carnero

-1 -0.5 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Μ =0.8367

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

0.2Μ =0.9488

Figura 14.5: Fases de la familia de la orbita del carnero

0.6 0.7 0.8 0.9Μ

1.2

1.3

1.4

x0 Diagrama de bifurcación órbita del carnero

Figura 14.6: Diagrama de bifurcacion de la familia del carnero para µ ∈ [0.5, .9488)

100 Continuacion de orbitas periodicas

Capıtulo 15

Conclusiones

El problema de los dos centros fijos en el plano es integrable, como fue exhibidopor Euler, pues existen dos integrales primeras: la energıa y la integral de Euler.La energıa nos permitio calcular las regiones de Hill; en particular mostrar que paraenergıa negativa las regiones de Hill son acotadas. Este resultado se interpreta de lasiguiente manera: si la energıa cinetica no domina sobre la energıa potencial entoncesla masa en movimiento no alcanza a escapar de la accion gravitatoria de los centrosfijos, lo que implica que el movimiento tiene lugar en una region de area finita.

Debido a que el problema presenta singularidades debidas a colision con alguno de losprimarios es necesario regularizar las ecuaciones, al realizarse lo anterior, las orbitaspueden pasar cerca de los centros fijos, incluso pueden continuar aun si la trayectoriacolisiona con uno de estos centros, incluso la colision no es obstaculo para continuarorbitas.

Se regularizaron las ecuaciones usando varios metodos:

• El mapeo de Birkhoff y regularizacion Lagrangianas.

• El mapeo de Birkhoff y regularizacion Hamiltoniana.

• Regularizacion Hamiltoniana usando coordenadas elıpticas cofocales.

• Regularizacion Hamiltoniana usando coordenadas elıpticas cofocales polares.

Se estudiaron las condiciones bajo las cuales un sistema con dos grados de libertad esseparable en el sentido de la ecuacion de Hamilton-Jacobi es separable.

Se mostro la separabilidad del problema en coordenadas elıpticas cofocales y elıpticaspolares.

Se estudiaron las simetrıas del problema.

El estudio de las lıneas de simetrıa proporciono una buena herramienta para visualizarla existencia de orbitas periodicas de diferentes periodos.

Se calcularon algunas familias de orbitas periodicas simetricas para masas iguales.

Se aplico el metodo de continuacion analıtica para seguir las orbitas periodicas simetri-cas para masas distintas.

Las orbitas circulares no cumplen las condiciones para que funcione la continuacionanalıtica.

Las orbitas que permitieron la continuacion analıtica, fueron la orbita en forma deocho y la orbita del carnero.

101

102 Conclusiones

Apendice A

Formas diferenciales

A.1. Pullback y derivada exterior

Una 1–forma diferencial en Rn con coordenadas x = (x1, . . . , xn) es una expresion formal

α =

n∑i=1

ai(x)dxi. (A.1.1)

Una 2–forma diferencial en Rn es una expresion formal

ω =n∑

1≤i<j≤n

aij(x)dxi ∧ dxj . (A.1.2)

Las 1–formas diferenciales se integran sobre curvas: si C : [0, 1] → Rn, C(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) =x(t), es suave a trozos,∫

C

α =

∫C

n∑i=1

ai(x)dxi ≡∫ 1

0

n∑i=1

ai(x(t))dxidt

dt,

y la integral no depende de la parametrizacion de la curva C.

Las 2–formas diferenciales se integran sobre superficies: si S : [0, 1]×[0, 1] → Rn, S(u, v) =(x1(u, v), . . . , xk(u, v)) = x(u, v), es suave excepto en un conjunto de medida cero entoncesse define∫

S

ω =

∫S

n∑1≤i<j≤n

aij(x)dxi ∧ dxj =∫[0,1]2

n∑1≤i<j≤n

aij(x(u, v))∂(xi, xj)

∂(u, v)du dv

donde

∂(xi, xj)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂xi∂u

∂xi∂v

∂xj∂u

∂xj∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣Estas integrales son invariantes bajo reparametrizaciones de la superficie que preservan laorientacion.

En general una k–forma diferencial es una expresion formal

β =∑

1≤i1<i2<···<ik≤n

ai1i2···ik(x)dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · dxik (A.1.3)

que integra sobre k-superficies parametrizadas,

S(u1, u2, . . . , uk) = (x1(u1, u2, . . . , uk), . . . , xn(u1, u2, . . . , uk))

= x(u1, u2, . . . , uk)

103

104 Formas diferenciales

∫S

β =

n∑1≤i<j≤n

ai1i2···ik(x(u1, u2, . . . , uk))∂(x1, x2, . . . , xk)

∂(u1, u2, . . . , uk)du1du2 · · · duk

donde

∂(x1, x2, . . . , xk)

∂(u1, u2, . . . , uk)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x1

∂u1· · · ∂x1

∂uk

.... . .

...∂xk

∂u1· · · ∂xk

∂uk

∣∣∣∣∣∣∣Definicion 4. Sea β una k–forma diferencial (??), f : Rn → Rn un cambio de coordenadas,x = f(u) el pullback de β bajo el cambio de coordenadas es

f∗(β) =n∑

1≤i<j≤n

ai1i2···ik(x(u1, u2, . . . , uk))∂(x1, x2, . . . , xk)

∂(u1, u2, . . . , uk)du1 ∧ du2 ∧ · · · ∧ duk. (A.1.4)

La diferencial exterior de una 1–forma (??) se define como

dα =n∑i=1

∂ai∂xj

(x)dxj ∧ dxi (A.1.5)

y de la 2–forma (??) como

dω =∑k

∑1≤i<j≤n

∂aij∂xk

(x) dxk ∧ dxi ∧ dxj . (A.1.6)

En general,

Definicion 5. La diferencial exterior de la k–forma (??) es la k + 1–forma

dβ =∑k

∑1≤i1<i2<···<ik≤n

∂ai1i2···ik∂xk

(x) dxk ∧ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · dxik . (A.1.7)

Definicion 6. Una k-forma β se dice cerrada, si dβ = 0 y exacta, si existe una k−1-formaγ tal que β = dγ.

El siguiente resultado se conoce como el Lema de Poincare

Lema 12. Si β es una k-forma cerrada entonces para cada punto x ∈ Rn existe una vecindadU ⊂ Rn de x donde β es exacta.

Observacion 7. El Lema de Poincare depende fuertemente de la topologıa del dominiodonde este definida la forma cerrada. Por ejemplo si solo esta definida en una vecindad de xen Rn, es suficiente que la vecindad sea estrellada respecto de x, i.e. si y ∈ U entonces todoel segmento xy esta contenido en U .

Los siguientes resultados se conocen como naturalidad del pullback.

Proposicion 13. Se satisfacen la siguientes propiedades

1. f∗(α ∧ β) = f∗(α) ∧ f∗(β).

2. f∗(dα) = d f∗(α).

A.2 Formas simplecticas y campos Hamiltonianos 105

A.2. Formas simplecticas y campos Hamiltonianos

De las diversas operaciones exteriores, para nuestro proposito sera necesario revisar comouna k–forma se puede contraer con un campo vectorial resultando en una k − 1 forma.

Definicion 7. La contraccion de la k–forma β (??) y el campo vectorial

X =∑i

Xi(x)∂

∂xi

es la k − 1–forma

iXβ =∑i1

∑1≤i1<i2<···<ik≤n

ai1i2···ik(x)Xi1(x) ∧ dxi2 ∧ · · · dxik

Observacion 8. En terminologıa tensorial se dice que ai1i2···ik es un tensor covarianteantisimetrico y que Xi es un tensor contravariante. Entonces ai1i2···ikX

i1 es la contraccionde los tensores respecto del ındice i1, donde el ındice repetido i1 indica suma.

Sea ω una 2–forma X, Y dos campos vectoriales. Entonces podemos contraer repetida-mente resultando en un escalar (una funcion escalar de x)

iY iXω ≡ ω(X,Y ) (A.2.1)

La aplicacion ası definida resulta bilineal antisimetrica:

ω(X,Y ) = −ω(Y,X)

ω(λX + Y,Z) = λω(X,Z) + ω(Y,Z)

siendo X, Y , Z campos vectoriales y λ un escalar.

Definicion 8. Una 2–forma se dice que es no degenerada, si ω(X,Y ) = 0, para todo campovectorial Y implica X = 0. En otras palabras, la aplicacion de campos vectoriales a 1–formasen Rn, X(Rn) → Λ1(Rn), X 7→ iXω es inyectiva.

Definicion 9. Una forma simplectica ω en R2n es una 2-forma cerrada no degenerada;si ademas ω = dα la forma se dice exacta simplectica. Se dice que (R2n, ω) es un espaciosimplectico.

Ejemplo 1. La 2-forma en R2n con coordenadas (q, p):

ω =n∑i=1

dpi ∧ dqi (A.2.2)

es una forma simplectica exacta. Por ejemplo ω = d(∑i pidqi), pero tambien ω = −d(

∑i qidpi).

Es no degenerada porque si

X =∑j

(Aj

∂

∂qj+Bj

∂

∂pj

)entonces

iXω =n∑i=1

Bidqi −Aidpi = 0 (A.2.3)

106 Formas diferenciales

implica Ai = Bi = 0, i = 1, 2, . . . , n.

Observacion 9. La forma simplectica (??) se llama la forma simplectica canonica de R2n.Observe que la forma (??) tiene coeficientes constantes (no dependen de x). En este caso la2-forma se puede identificar con una forma bilineal antisimetrica como sigue: Sean

X =∑i

Ai∂

∂qi+Bi

∂

∂pi, Y =

∑i

Li∂

∂qi+M i ∂

∂pi

campos vectoriales, entonces (??) se reduce a

ω(X,Y ) = iY (

n∑i=1

Bidqi −Aidpi) =

n∑i=1

BiLi −AiM i

que se puede escribir como

ω(X,Y ) = (L,M)

(0 In

−In 0

)(AB

). (A.2.4)

La matriz

J =

(0 In

−In 0

)(A.2.5)

se llama la matriz simplectica canonica de R2n. Con esto (R2n, J) es un espacio vectorialsimplectico.

Observacion 10. El teorema de Darboux afirma que localmente, toda forma simplectica esequivalente a la forma canonica bajo un cambio de coordenadas simplectico.

Definicion 10. Un campo vectorial

X = Ai(q, p)∂

∂qi+Bi(q, p)

∂

∂pi

se dice Hamiltoniano, si existe una funcion escalar H(q, p) diferenciable tal que

iXΩ = −dH (A.2.6)

Proposicion 14. Sea

X = Ai(q, p)∂

∂qi+Bi(q, p)

∂

∂pi

un campo vectorial con Hamiltoniano H(q, p) entonces las componentes del campo vectorialson

X =∂H

∂pi

∂

∂qi− ∂H

∂qi

∂

∂pi

y las curvas integrales satisfacen las ecuaciones de Hamilton

qi =∂H

∂pi

pi = −∂H∂qi

.

Demostracion: De la expresion (??) y por se Hamiltoniano, se tiene

iXω =n∑i=1

Bidqi −Aidpi = −n∑i=1

∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi

comparando coeficientes se sigue el resultado.

Apendice B

Transformaciones canonicas y funciones

generadoras

Las transformaciones simplecticas son aquellas que preservan la forma de las ecuacionesde Hamilton. Una clase importante se obtiene a partir de lo que se llama una funciongeneradora. En esta seccion recordamos los aspectos mas elementales que son necesariospara desarrollar con soltura la ecuacion de Hamilton–Jacobi.

Definicion 11. La forma simplectica en R2n = Rn × Rn con coordenadas z = (q, p)T es laforma bilineal antisimetrica definida por la matriz

J =

(0 In

−In 0

)(B.0.1)

donde In denota la matriz identidad n× n, vgr.,

ω(z, w) = zTJw, z, w ∈ R2n (B.0.2)

Observacion 11. Note que se la matriz J satisfacen las siguientes propiedades: JT = −J ,J2 = −I2n, J3 = −J , J−1 = −J .

Definicion 12. Una transformacion lineal M : R2n → R2n se dice simplectica si MTJM =J , equivalentemente ω(Mz,Mw) = ω(x,w). Una difeomorfismo f : R2n → R2n (cambio decoordenadas) se dice simplectico (simplectica) si M = Df(x) : R2n → R2n es simplecticapara toda x ∈ R2n.

Lema 13. Si M es una matriz simplectica, entonces M−1 = −JMTJ .

Demostracion:(−JMTJ)M = −J(MTJM) = −J2 = In

de donde se sigue el resultado.

Proposicion 15. El conjunto de transformaciones lineales simplecticas forman un subgrupodel grupo del grupo general lineal GL(n,R).

Demostracion:

Es claro que la identidad es simplectica. SiM y N son simplecticas entoncesMTJM = Jy NTJN = J , luego

(MN)TJ(MN) = NT (MTJ)MN = NTJN = J

y por lo tanto MN es simplectica. Para ver que M−1 es simplectica, usaremos el lemaanterior: M−1 = −JMTJ .

107

108 Transformaciones canonicas y funciones generadoras

(M−1)TJM−1 = (−JMTJ)TJM−1 = −(JMJ)JM−1 = JMM−1 = J

Lema 14. Sea M una matriz simplectica; entonces |M | = ±1.

Demostracion: Como MTJM = J se sigue que |MT ||J ||M | = |J |, luego |M |2 = 1, por lotanto |M | = ±1.

Observacion 12. De hecho se puede probar que para una matriz simplectica se satisface|M | = 1. La prueba es mas elaborada y usa la idea de escribir el polinomio caracterıstico deuna matriz antisimetrica como el cuadrado de un polinomio, llamado Pfafiano.

Teorema 9 (del valor propio simplectico). si p(λ) es el polinomio caracterıstico de unamatriz simplectica M , entonces

p(λ) = λ2np

(1

λ

).

Demostracion: Como M−1 = −JMTJ se sigue que M = −J(MT )−1J , luego

|M − λI| = | − J(MT )−1J − λI| = |J |2| − (MT )−1 + λI|= | − (MT )−1 + λM t(MT )−1| = | − I + λMT |||(MT )−1|

= = | − I + λM | = λ2n|M − 1

λJ | = λ2np

(1

λ

)

Si f : Rn×Rn → Rn×Rn es una transformacion de coordenadas y escribimos f(Q,P ) =(q(Q,P ), p(Q,P )), en terminos de sus componentes, entonces la matriz Jacobiana puedeentonces particionarse como

M =∂(q, p)

∂(Q,P )=

(A BC D

)(B.0.3)

La siguiente proposicion caracteriza entonces a una transformacion simplectica, en terminosde la particion (??) de su matriz Jacobiana:

Proposicion 16. Un cambio de coordenadas (??) es simplectico si y solo si

(a) ATC y BTD son simetricas.

(b) DTA−BTC = In.

En particular para toda j, l∑i

(∂pi∂Qj

∂qi∂Ql

− ∂pi∂Ql

∂qi∂Qj

)= 0. (B.0.4)

∑i

(∂pi∂Pj

∂qi∂Pl

− ∂pi∂Pl

∂qi∂Pj

)= 0. (B.0.5)

∑i

(∂pi∂Pj

∂qi∂Ql

− ∂pi∂Ql

∂qi∂Pj

)= δjl. (B.0.6)

109

Demostracion: la condicion MTJM = J equivale a(AT CT

BT DT

)(0 In

−In 0

)(A BC D

)=

(0 In

−In 0

).

Comparando bloques se tiene

ATC − CTA = 0

BTD −DTB = 0

ATD − CTB = In

BTC −DTA = −In

Las primeras dos igualdades dan la afirmacion (a); las siguientes son equivalentes a la afir-macion (b).

De (??) se tiene

(Aij) =

(∂qi∂Qj

), (Cij) =

(∂pi∂Qj

), (Bij) =

(∂qi∂Pj

), (Dij) =

(∂pi∂Pj

),

y de la condicion (ATC − CTA)lj = 0 se sigue

0 =∑i

(AilCij − CilAij) =∑i

(∂qi∂Ql

∂pi∂Qj

− ∂pi∂Ql

∂qi∂Qj

).

Analogamente la condicion BTD −DTB = 0 es = 0 es

0 =∑i

(BilDij −DilBij) =∑i

(∂qi∂Pl

∂pi∂Pj

− ∂pi∂Pl

∂qi∂Pj

)=∑i

(∂qi∂Pl

∂pi∂Pj

− ∂qi∂Pj

∂pi∂Pl

).

que son las identidades (??) y (??). Las relacion (??) se obtiene de la identidad (DTA −BTC)lj = δlj . En efecto,

δjl =∑i

(DijAil −BijCil) =∑i

(∂pi∂Pj

∂qi∂Ql

− ∂qi∂Pj

∂pi∂Ql

)=

∑i

(∂pi∂Pj

∂qi∂Ql

− ∂pi∂Ql

∂qi∂Pj

).

Corolario 2. El conjunto de difeomorfismos simplecticos Symp(R2n) es un subgrupo delgrupo de difeomorfismos de R2n, Diff(R2n), ambos de dimension infinita.

Definicion 13. La 2–forma simplectica canonica en R2n = Rn×Rn con coordenadas (q, p)es

ω = dp ∧ dq =n∑i=1

dpi ∧ dqi (B.0.7)

Observacion 13. Para simplificar la notacion, en lo sucesivo ındices repetidos indican suma.

Proposicion 17. Consideremos un cambio de coordenadas f : Rn×Rn → Rn×Rn, (q, p) =f(Q,P ) y las formas simplecticas canonicas ω = dp ∧ dq, Ω = dP ∧ dQ. La transformacionde coordenadas es simplectica si y solo si

f∗(ω) = Ω (B.0.8)


Demostracion:

f∗(dpi ∧ dqi) =(∂pi∂Qj

dQj +∂pi∂Pj

dPj

)∧(∂qi∂Ql

dQl +∂qi∂Pl

dPl

)=

∂pi∂Qj

∂qi∂Ql

dQj ∧ dQl +∂pi∂Pj

∂qi∂Pl

dPj ∧ dPl

+∂pi∂Qj

∂qi∂Pl

dQj ∧ dPl +∂pi∂Pj

∂qi∂Ql

dPj ∧ dQl

=

(∂pi∂Qj

∂qi∂Ql

− ∂pi∂Ql

∂qi∂Qj

)dQj ∧ dQl +

(∂pi∂Pj

∂qi∂Pl

− ∂pi∂Pl

∂qi∂Pj

)dPj ∧ dPl

+

(∂pi∂Pj

∂qi∂Ql

− ∂pi∂Ql

∂qi∂Pj

)dPj ∧ dQl

Los coeficientes de dQj ∧dQl, dPj ∧dPl son cero debido a (??) y (??), por (??) el ultimotermino es

δjldPj ∧ dQl = dPj ∧ dQj = Ω.

Consideremos ahora las 1–formas diferencial en el contradominio R2n con coordenadas(q, p) y en el dominio R2n con coordenadas (Q,P )

α = pdq =n∑i=1

pidqi, A = PdQ =n∑i=1

PidQi. (B.0.9)

y observe que ω = dα, Ω = dA, es decir las formas simplecticas son exactas.

Proposicion 18. Si el cambio de coordenadas f : R2n → R2n es simplectico; α, A son las1–formas (??), entonces existe una funcion W (Q,P ), posiblemente definida localmente, talque

f∗(α)−A = dW (B.0.10)

Demostracion: Como

d (f∗(α)−A) = d f∗(α)− dA = f∗(dα)− Ω = Ω− Ω = 0.

por lema de Poincare toda forma cerrada es localmente exacta, luego existe una funcionW (Q,P ) localmente definida posiblemente, tal que (??).

Observacion 14. La relacion (??) se acostumbra escribir como

pidqi − PidQi = dW. (B.0.11)

“donde pi y la diferencial dqi se expresan como funciones de Q y P a traves del cambio decoordenadas”(vease por ejemplo Pollard [p. 67]) y W es funcion de Q.. Alternativamentepodemos considerar que el lado izquierdo de (??) es una 1–forma α en el espacio productoR2n × R2n de coordenadas (Q,P, q, p). De hecho ω = dpi ∧ dqi − dPi ∧ dQi es una formasimplectica en R2n×R2n exacta pues ω = dα. El espacio simplectico

(R2n × R2n, ω

)contiene

a la grafica de f :Γf = (Q,P, q, p) | (q, p) = f(Q,P ).

y si iΓf: Γf → R2n × R2n denota la inclusion, entonces

i∗Γf(ω) = i∗Γf

(dα) = d (i∗Γf(α)) = 0

111

Por el lema de Poincarei∗Γf

(α) = dW (B.0.12)

para alguna funcion local W definida sobre Γf con coordenadas (Q,P ). La ultima expresiones precisamente (??).

Lema 15. Las siguientes 1–formas diferenciales en R2n × R2n

F1 = pkdqk − PkdQkF2 = qkdpk + PkdQkF3 = pkdqk +QkdPkF4 = qkdpk −QkdPk

difieren por la diferencial de una funcion escalar.

Demostracion: Se puede verificar que

F1 = −F2 + d∑i

piqi

F1 = F3 + d∑i

QiPi

F1 = −F4 + d∑i

(piqi − PiQi)

Veamos la verificacion de la primera identidad para ilustrar el proceso conocido como trans-formada de Legendre Primero notemos que

F1 = pkdqk − PkdQk = −(PkdQk − pkdqk)

Las variables independientes son Qk y qk debemos sustituir qk por pk como variable inde-pendiente ası que sumamos y restamos

F1 = −(PkdQk − pkdqk ± qkdpk) = −(PkdQk + qkdpk − (pkdqk + qkdpk))

= −(PkdQk + qkdpk − d(pkqk)) = −(PkdQk + qkdpk) + d(pkqk)

= = −F2 + d(pkqk)

Corolario 3. Si el cambio de coordenadas f : R2n → R2n es simplectico entonces existenfunciones Wi(Q,P ), i = 1, 2, 3, 4 tales que

f∗(pkdqk)− PkdQk = dW1

f∗(qkdpk) + PkdQk = dW2

f∗(pkdqk) +QkdPk = dW3

f∗(qkdpk)−QkdPk = dW4

Teorema 10. Si el cambio de coordenadas f : R2n → R2n es simplectico entonces

1. Si ∣∣∣∣∂f1∂P

∣∣∣∣ = 0, (B.0.13)

entonces existe una funcion S(q,Q) tal que

∂S

∂qk= pk,

∂S

∂Qk= −Pk. (B.0.14)


2. Si ∣∣∣∣∂f2∂P

∣∣∣∣ = 0, (B.0.15)

entonces una funcion S(p,Q) tal que

∂S

∂pk= qk,

∂S

∂Qk= Pk (B.0.16)

3. Si ∣∣∣∣∂f1∂Q

∣∣∣∣ = 0, (B.0.17)

entonces existe una funcion S(q, P ) tal que

∂S

∂qk= pk,

∂S

∂Pk= Qk (B.0.18)

4. Si ∣∣∣∣∂f2∂Q

∣∣∣∣ = 0, (B.0.19)

entonces existe una funcion S(p, P ) tal que

∂S

∂pk= qk,

∂S

∂Pk= −Qk (B.0.20)

Demostracion: La relacion ,pkdqk − PkdQk = dW1

es una relacion entre formas diferenciales sobre la variedad Γf de dimension 2n, la cualnaturalmente esta parametrizada por (Q,P ), ası que W1 es funcion de (Q,P ). Si el cambiode coordenadas es q = f1(Q,P ), p = f2(Q,P ) y se satisface la condicion (??), entonces esposible despejar P = g1(q,Q) y se puede parametrizar Γf con las variables (q,Q) como sigue

Γf = (Q,P, q, p) | P = g1(q,Q), p = f2(Q, g1(q,Q)).

Si hacemos, S(q,Q) =W1(Q, g1(q,Q)) entonces

pkdqk − PkdQk = dS(q,Q)

con (q,Q) variables independientes, implica

pk =∂S

∂qk(B.0.21)

−Pk =∂S

∂Qk. (B.0.22)

En el resto de los casos, las condiciones de no degenericidad respectivas implican que Γf sepuede parametrizar como sigue:

Caso 2: q = f1(Q,P ), p = f2(Q,P ),∣∣∣∣∂f2∂P

∣∣∣∣ = 0 ⇒ P = g2(p,Q)

luego

Γf = (Q,P, q, p) | P = g2(p,Q), q = f1(Q, g2(p,Q)), S(p,Q) =W2(Q, g2(p,Q)).

113

Luego

qkdpk + PkdQk = dS(p,Q)

con (p,Q) variables independientes, implica

qk =∂S

∂pk(B.0.23)

Pk =∂S

∂Qk. (B.0.24)

Caso 3: q = f1(Q,P ), p = f2(Q,P ),∣∣∣∣∂f1∂Q

∣∣∣∣ = 0 ⇒ Q = g1(q, P )

luego

Γf = (Q,P, q, p) | Q = g1(q, P ), p = f2(g1(q, P ), P ), S(q, P ) =W2(g1(q, P ), P ).

Luego

pkdqk +QkdPk = dS(q, P )

con (q, P ) variables independientes, implica

pk =∂S

∂qk(B.0.25)

Qk =∂S

∂Pk. (B.0.26)

Caso 4: q = f1(Q,P ), p = f2(Q,P ),∣∣∣∣∂f2∂Q

∣∣∣∣ = 0 ⇒ Q = g2(p, P )

luego

Γf = (Q,P, q, p) | Q = g2(p, P ), q = f1(g2(p, P ), P ), S(p, P ) =W2(g2(q, P ), P ).

Luego

qkdpk −QkdPk = dS(p, P )

con (q, P ) variables independientes, implica

qk =∂S

∂pk(B.0.27)

−Qk =∂S

∂Pk. (B.0.28)

El teorema anterior tiene una version recıproca: Supongamos que esta dada una fun-cion S de 2n variables con las correspondientes ecuaciones de transformacion (??), (??),(??) y (??), queremos dar condiciones suficientes para que dichas ecuaciones definan unatransformacion canonica; al menos localmente.


Teorema 11. 1. Sea S(q,Q) una funcion escalar de clase C2. Las ecuaciones implıcitas

pk =∂S

∂qk(q,Q) (B.0.29)

−Pk =∂S

∂Qk(q,Q). (B.0.30)

bajo la condicion de no degeneracion∣∣∣∣ ∂2S

∂Qk∂qj

∣∣∣∣ = 0 (B.0.31)

definen una transformacion de coordenadas

q = f2(Q,P ), p =∂S

∂q(f2(Q,P ), Q)

que es simplectico.

2. Sea S(p,Q) una funcion escalar de clase C2. Las ecuaciones implıcitas

qk =∂S

∂pk(p,Q) (B.0.32)

Pk =∂S

∂Qk(p,Q). (B.0.33)


∂Qk∂pj

∣∣∣∣ = 0 (B.0.34)


p = f2(Q,P ), q =∂S

∂p(f2(Q,P ), Q)

que es simplectico.

3. Sea S(q, P ) una funcion escalar de clase C2. Las ecuaciones implıcitas

pk =∂S

∂qk(q, P ) (B.0.35)

Qk =∂S

∂Pk(q, P ). (B.0.36)


∂Pk∂qj

∣∣∣∣ = 0 (B.0.37)


q = f2(Q,P ), p =∂S

∂q(f2(Q,P ), P )

que es simplectico.

B.1 Ecuaciones de Hamilton 115

4. Sea S(p, P ) una funcion escalar de clase C2. Las ecuaciones implıcitas

qk =∂S

∂pk(p, P ) (B.0.38)

−Qk =∂S

∂Pk(p, P ). (B.0.39)


∂Pk∂pj

∣∣∣∣ = 0 (B.0.40)


p = f2(Q,P ), q =∂S

∂p(f2(Q,P ), P )

que es simplectico.

B.1. Ecuaciones de Hamilton

Si H : Rn × Rn → R es una funcion de clase C2, las ecuaciones de Hamilton estandefinidas por el sistema dinamico

q =∂H

∂q(B.1.1)

p = −∂H∂p

, q, p ∈ Rn (B.1.2)

donde ∂H∂q = ( ∂H∂q1 , . . . ,

∂H∂qn

)T , etc. que se pueden escribir como

z = J∇H(z), z = (q, p)T . (B.1.3)

Proposicion 19. Sea f : R2n → R2n un cambio simplectico de coordenadas de clase C1,z = f(Z). Entonces las ecuaciones (??) se transforman en las ecuaciones de Hamilton

Z = J∇H(Z), Z = (Q,P )T , (B.1.4)

con Hamiltoniano H(Z) = H(f(Z)).

Probaremos primer el siguiente lema

Lema 16. ∇H(Z) = Df(Z)T∇H(f(Z)).

Demostracion: Por definicion de gradiente, para cualquier W ∈ R2n se cumple,

⟨∇H(Z),W ⟩ = DH(Z) ·W = DH(f(Z)) ·Df(Z) ·W= ⟨∇H(f(Z)), Df(Z) ·W ⟩ = ⟨∇Df(Z)T ·H(f(Z)),W ⟩,

de donde se sigue la afirmacion.

Veamos ahora la demostracion de la Proposicion. Por la regla de la cadena y con z =f(Z), de (??) se sigue

Df(Z) · Z = J∇H(f(Z))

Z = Df(Z)−1J∇H(f(Z))

= −JDf(Z)TJ2∇H(f(Z))

= JDf(Z)T∇H(f(Z))

= J∇H(Z).

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