UNIDAD 03: CONSTRUCCIONES DE PRECISIÓN

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE LAS CURVAS GEOMÉTRICAS:

SECCIONES CÓNICAS

Las llamadas cónicas son las secciones de un cono producidas por un plano.

Circunferencia: el plano es perpendicular al eje del cono.

Elipse: el plano forma un ángulo con el eje del cono superior al que forma la generatriz con el

eje, y es inferior a 90º.

Parábola: cuando el plano es paralelo a una generatriz del cono.

Hipérbola: cuando el ángulo que forma el plano con el eje del cono es inferior al que forma la

generatriz con dicho eje.

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta

distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar

geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la

circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Elementos de la circunferencia Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro; Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros; Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia; Arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Longitud de la circunferencia

La longitud de una circunferencia es:

L = 2*π*r

Dónde: “r” es la longitud del radio.

π: (“Pi”) es el valor 3.14159265.

ELIPSE Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices. Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

1.- MÉTODO PARA DIBUJAR UNA ELIPSE DADOS SUS DOS EJES.

1. Trazar el eje mayor AB y el eje menor CD. 2. Haciendo centro en el punto medio “O”, se trazan dos circunferencias concéntricas con

radios OA y OC. 3. Usando líneas (Ej. X-X), dividir ambas circunferencias (Por lo menos 7 partes cada

cuadrante). 4. Por los puntos de la circunferencia grande, trazar líneas paralelas al eje CD (verticales). 5. Por los puntos de la circunferencia pequeña trazar líneas paralelas al eje AB

(horizontales). 6. Donde estas líneas se intersecten, ese será un punto perteneciente a la elipse. 7. Repetir esto con todos los puntos de ambas circunferencias. 8. Por último con una plantilla de curvas (pistolete) unir los puntos de la elipse.

9.

2.- MÉTODO APROXIMADO PARA DIBUJAR UNA ELIPSE DADOS SUS DOS EJES.

1. Trazar el eje mayor AB y el eje menor CD. 2. Trazar la línea AC. 3. Centro en O, trazar un arco de radio OA, que corte la prolongación de OC en el punto E. 4. Centro en C, trazar un arco de radio CE, que corte al segmento AC en el punto F. 5. Trazar la mediatriz del segmento AF, de manera que corte al eje AB en el punto K, y que corte

a la prolongación de CD en el punto J. 6. Con la distancia OK hallar el punto L en el eje AB (ver gráfico). Con la distancia OJ hallar el

punto M en el eje CD. 7. Trazar el segmento JL y prolongarlo un tanto. Asimismo, desde el punto M trazar las líneas

MK y ML, y prolongarlas un tanto. 8. Centro en J y con radio JC trazar el arco TT. Centro en M hacer un arco similar. 9. Centro en K y con radio KA trazar un arco entre los puntos T y T anteriores. Hacer lo mismo

desde el punto L. 10. Repasar la elipse con lápiz HB.

3.- MÉTODO PARA DIBUJAR UNA ELIPSE DADO EL EJE MAYOR AB Y LOS FOCOS F Y F’.

- Se traza el eje mayor AB y se le busca el punto medio M y por él se traza una línea perpendicular a AB. - Sobre el eje mayor AB se ubican los puntos F y F’. - Se marcan varios puntos arbitrarios entre O y F’. - Haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura OA marcamos unos arcos que corten la línea perpendicular a AB, consiguiéndose los puntos C y D, puntos del eje menor de la elipse. - Luego haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura A1 marcamos unos arcos. - Luego haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura B1 marcamos unos arcos. - Donde se corten los arcos están los primeros puntos por donde pasa la elipse. - Hacer lo mismo con los restantes puntos entre O y F’, hasta conseguir todos los puntos de la elipse. - Por último con una plantilla de curvas unir los puntos de la elipse.

PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P en el plano cuya distancia a un punto

fijo F (foco), es igual a su distancia a una recta fija l (directriz).

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA: 1. Vértice: (V) Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. 2. Foco: Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice. 3. Eje de simetría (l1 ) recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y foco. 4. Cuerda (CE) es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola. 5. Directriz (l ) recta fija, perpendicular al eje de simetría. 6. Cuerda focal (AB) Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el

foco. 7. Lado Recto (LR) (Latus rectum). Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría. 8. Radio Vector (PF): Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

3.- MÉTODO PARA DIBUJAR UNA PARÁBOLA DADOS EL VÉRTICE Y DISTANCIA DEN EJE FOCAL.

1. Dividimos a la recta AB, en número de partes iguales (1, 2, 3, 4, etc). 2. Del vértice O, trazamos rayos hacia estos puntos obtenidos. 3. Trazamos la semicircunferencia AB, con centro en la recta AB. 4. Haciendo c entro en A, trazamos arcos, que partan desde los puntos 1, 2, 3,4, etc., hasta

la semicircunferencia, interceptándolo en los puntos m, n, etc. 5. Desde los puntos m, n, etc, trazamos líneas perpendiculares al eje focal. 6. De las líneas O1,y las últimas líneas trazadas se interceptan en un punto, el cual es un

punto por donde pasa la parábola. 7. Se Repite el procedimiento y se completa el lado faltante.

4.- MÉTODO PARA DIBUJAR UNA PARÁBOLA DADOS LA DIRECTRIZ BC, EL VÉRTICE “A” Y EL EJE E-E’.

1. Se ubica el vértice A, se traza directriz BC y se traza el eje E-E’. - Haciendo centro en “E” y

con abertura EA se traza un arco que corte el eje y ubique el punto “F” que es el foco de la parábola.

2. Se marcan varios puntos arbitrarios entre E y E’. - Se trazan rectas paralelas a la directriz por cada uno de los puntos arbitrarios entre E y E’.

3. Haciendo centro en “F” y con abertura A1 se describen unos arcos que corten a la línea que pasa por el punto 1 a ambos lados del eje consiguiendo los puntos G y G’.

4. Hacer lo mismo con los restantes puntos entre E y E’, hasta conseguir todos los puntos de la parábola.

5. Por último con una plantilla de curvas unir los puntos de la parábola.

5.- CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLA CONOCIDO VÉRTICE. 1. Dividimos los lados OA y AB en un mismo número de partes, obteniendo los puntos 1, 2,

3, 4, etc. 2. Unimos el vértice conocido (O) con cada uno de los puntos obtenidos de la recta AB. 3. Trazamos paralelas por los puntos 1, 2, 3, etc, de la recta A. 4. Finalmente, los puntos de la parábola, serán las intersecciones correspondientes a la

paralela 1 con la recta O1, paralela 2 con la recta O2, y así sucesivamente. 5. Se repite de igual manera y se completa el otro lado.

6.- CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLA DADO EL FOCO “F” Y LA DIRECTRIZ “AB”.

1. Dados el foco F y la directriz AB. 2. Dibujar una línea DE paralela a la directriz y a cualquier distancia CZ. 3. Con centro en F y radio CZ, trazar arcos que intersecten a la línea DE en los puntos Q y R,

los cuales son puntos de la parábola. 4. Determine por lo menos 5 puntos en la horizontal que contiene al foco F, dibujando

paralelas a AB por cada uno de ellos y repitiendo el proceso anterior. 5. Unir los puntos hallados (ver gráfico). 6. Ocurrirá que una tangente a la parábola en un punto determinado será bisectriz del

ángulo formado por la línea focal FG y la línea SG perpendicular a la directriz.

HIPÉRBOLA Es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos ( F′ Y F ) llamados focos, es siempre igual a una constante 2a .

ELEMENTOS:

a) V1, V2: vértices del eje mayor

b) F1, F2: focos.

c) C: centro de la hipérbola.

d) Segmentos LR: lado recto

e) F1F2: segmento focal

f) Rectas LD, LD´: directrices

g) Recta LF: eje focal

h) LA, LA′: asíntotas

i) LN: recta normal

j) PF1, PF2: radio vector.

k) EE′: cuerda focal

l) V1V2: eje transverso

j) B1B2: eje conjugado

7.- CONSTRUCCIÓN DE HIPÉRBOLA DADO FOCOS Y EJE TRANSVERSO.

1. Se elige un punto A del eje y con radios AM y AN y centros respectivamente en F1 y F2, se

trazan arcos que se cortan dos a dos.

2. Se eligen otros puntos B, C, etc y se repite la operación.