Calculo Diferencial

1. Calcule los siguientes limites, si existen. En otro caso, muestre porque no existe.

I) lmx2

(x2 + 5x 2)

II) lmh0

(x+ h)3 x3h

III) lmx1

x2

x 1 1

x 1IV) lm

x5x 5x2 25

V) lmx4|x 4|x 4

VI) lmh0

416 + hh

VII) lmx1

(x 1)5x5 1

VIII) lmx1

x 1x+ 3 2

IX) lmx5|5 x||x 5|

X) lmh0

(1

h

)(1

1 + h 1)

XI) lmx6

(x+ 4)3(x 6)2

XII) lmx1

x2 x2x2 + 5x 7

XIII) lmx5

3x2 13x 102x2 7x 15

XIV) lmx25

x 5

x 25XV) lm

z0(2z 8)1/3

XVI) lmk4

k2 16k 2

2. Suponga que lmx4

f(x) = 0 y lmx4

g(x) = 3. Encuentre

lmx4

g(x) + 3 lmx4

(g(x))2 lmx4

xf(x) lmx4

g(x)

f(x) 1

3. Calcule los limites pedidos

f(x) =

{3 x, x < 2;x2 + 1, x > 2

lmx2

f(x), lmx2+

f(x), lmx2

f(x)

g(x) =

x2 + 1, x < 1;

1, x = 1;x+ 1, x > 1

lmx1

g(x), lmx1+

g(x), lmx1

g(x)

h(x) =

3 x, x < 2;2, x = 2;x2 , x > 2

lmx2

h(x), lmx2+

h(x), lmx2

h(x)

i(x) =

{1

x1 , x < 1;1, x 1 lmx1 i(x), lmx1+ i(x), lmx1 i(x)

j(x) =

{ |x1|x1 x

2, x 6= 1;0, x = 1

lmx1

j(x), lmx1+

j(x), lmx1

j(x)

4. Calcule los siguientes limites

a) lmx

2

x 3

b) lmxpi

2

x2

c) lmx

1

2 + (1/x)

d) lmx

3 (2/x)4 + (

2/x2)

e) lmx

2x3 + 7

x3 x2 + x+ 7f ) lm

xx+ 1

x2 + 3

g) lmx

1

x3 4x+ 1h) lm

x7x3

x3 3x2 + 6xi) lm

x2x+ x1

3x 7j ) lm

x

3x 5x

3x+ 5x

k) lmx

2x5/3 x1/3 + 7x8/5 + 3x+

x

l) lmx

2 +x

2x

m) lmx

x1 + x4

x2 x3

n) lmx

3x 5x+ 3

2x+ x2/3 4n) lm

x(x2 + x

x2 + 2x)

o) lmx(

9x2 + x 3x)

p) lmx

x+ 29x2 + 1

1

USUARIOResaltado

5. Identifique las discontinuidades en cada una de las siguientes funciones. Tenga en cuentael dominio de la funcion.

a) f(x) = 3x52x2x3

b) f(x) =

2x 3 + x2c) f(x) = x1

x21

d) f(x) = 5x3x2

e) f(x) = 4x7(x+3)(x2+2x8)

f ) f(x) = |x+9|x+9g) f(x) = x

1x2

h) f(x) = x29x3

6. Grafique las siguientes funciones racionales usando limites

a) f(x) = 2x1

b) f(x) = (x1)(x+2)(x+1)(x2)

c) f(x) = x3x24

d) f(x) = x23x+2x+4

e) f(x) = x34xx1

f ) f(x) = x22x34x29

g) f(x) = x3(x1)(x+1)

h) f(x) = (x3)(x+2)(x)(x1)(x2)(x+1)

7. Un paciente recibe una dosis inicial de200mg de cierto medicamento. Posterior-mente se le administran dosis de 100 mg ca-da 4 horas. La figura muestra la cantidadde medicamento en la sangre en terminosdel tiempo. Calcule e interprete los limiteslaterales en t = 8

8. La ley de Charles para gases dice que si la presion permanece constante, hay una relacionentre el volumen V de un gas y su temperatura (grados centigrados), dada por

V = V0(1 +1

273T )

La temperatura T = 273 es el cero absoluto. Calcule lmT273+

V . Seria posible calcular

este limite por la izquierda?

9. El precio de un parqueadero es de 2000 por la primera media hora, y 500 por cada mediahora o fraccion adicional, hasta un maximo de 6000 Grafique la funcion que representael precio del parqueadero (esta es una funcion a trozos), teniendo cuidado de senalar lasdiscontinuidades.

10. En Relatividad, existe algo llamado masa relativa: una masa que depende de la velocidady de su observador (algun dia se lo pueden preguntar a un profesor de fisica). Se puedecalcular la masa de un objeto a partir de la velocidad v por la formula

m =m0

1 (v2/c2)donde m0 es la masa del objeto en reposo. Calcule lm

vcm. Use este resultado para mostrar

que c, la velocidad de la luz, es la maxima velocidad posible en el universo.

2

USUARIOResaltado