7/23/2019 Taller de Clculo Vectorial 1

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TALLER DE CLCULO VECTORIAL

PROBLEMA 4.63

Determinar los mximos y mnimos de la funcin:

)3)(3)(3(),( yxyxyxf

Solucin:

Para comenzar hallaremos los puntos crticos de la funcin

)62)(3()3()3()3(),(

yxyxyxy

x

yxf

)62)(3(

),(yxy

x

yxfDerivada parcial con respecto a x

)62)(3()3()3()3(),(

yxxyyxx

y

yxf

)62)(3(

),(yxx

y

yxfDerivada parcial con respecto a y

Comox

yxf

),(y

y

yxf

),(estn definidas para todo xy ylos nicos puntos

crticos son aquellos en los cuales las derivadas parciales de primer orden son

cero. Para localizar estos puntos, se hacenx

yxf

),(y

y

yxf

),(igual a cero, y

se resuelven las ecuaciones:

1_0)62)(3(),(

Ecuacionyxyx

yxf

2_0)62)(3(),(

Ecuacionyxxy

yxf

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Como podemos observar de la Ecuacin_1 y Ecuacin_2 obtenemos 4 casos:

aEcuaciony 1_0)3(

bEcuacionyx 1_0)62(

aEcuacionx 2_0)3(

bEcuacionyx 2_0)62(

De la ecuacin_1a tenemos 3y ,remplazando en la Ecuacin_2a y Ecuacin_2b

obtendremos los puntos:

)3,3(1P )3,0(2P

De la ecuacin_2a tenemos 3x,

remplazando en la Ecuacin_1b obtenemos elpunto:

)0,3(3P

Finalmente de la Ecuacin_1b:

xyyx 260)62(

Remplazando en la Ecuacion_2b tenemos:

206306)26(2 xxxx

Cuando 2x Entonces 2y por lo tanto:

)2,2(4P

Ahora encontraremos aplicaremos el criterio de la segunda derivada

62),(

2

2

y

x

yxf

62),(

2

2

x

y

yxf

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922),(),(

22

yx

xy

yxf

yx

yxf

Ahora construiremos la matriz Hessiana:

62922

92262

),(),(

),(),(

)(

2

22

2

2

2

xyx

yxy

y

yxf

xy

yxf

yx

yxf

x

yxf

fH

Remplazamos )3,3(1P , )3,0(2P , )0,3(3P y )2,2(4P

1.

9)3,3(03

30

6)3(29)3(2)3(2

9)3(2)3(26)3(2)3,3(

HDetH

2.

9)3,0(63

30

6)0(29)3(2)0(2

9)3(2)0(26)3(2)3,0(

HDetH

3.

9)0,3(03

36

6)3(29)0(2)3(2

9)0(2)3(26)0(2)0,3(

HDetH

4.

3)2,2(21

12

6)2(29)2(2)2(2

9)2(2)2(26)2(2

)2,2(

HDetH

Debido a que )3,3(HDet , )3,0(HDet y )0,3(HDet son menores quecero podemos afirmar teniendo en cuenta el criterio de la segunda derivada y la

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matriz Hessiana que )3,3(1P , )3,0(2P y )0,3(3P son puntos silla de la de la

funcin.

Finalmente como 0)2,2( HDet y 02)2,2(

2

2

x

fSe puede asegurar

teniendo en cuenta el criterio de la segunda derivada y la matriz Hessiana que la

funcin tiene un mximo relativo en el punto )2,2(4P .