Tarea 2Tarea 2

ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS (EDH)HOMOGENEAS (EDH)

ANTECEDENTESANTECEDENTES¿Qué es una Ecuación Diferencial?¿Qué es una Ecuación Diferencial?– Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o mas funciones. Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o mas funciones.

Dependiendo del numero de variables independientes respecto de las que Dependiendo del numero de variables independientes respecto de las que se derivan . Se dividen en:se derivan . Se dividen en:

– EC. dif. Ordinaria: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola EC. dif. Ordinaria: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.variable independiente.

– EC. dif. Derivadas parcial: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos EC. dif. Derivadas parcial: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o mas variables.o mas variables.

¿Qué es el orden de una Ecuación?¿Qué es el orden de una Ecuación?– Es el orden de la derivada mas alta en una ecuación diferencial.Es el orden de la derivada mas alta en una ecuación diferencial.¿A que se le llama solución?¿A que se le llama solución?– Es una función que al remplazar una función incógnita, en cada Es una función que al remplazar una función incógnita, en cada

cazo con las derivadas correspondientes, verifica la ecuación , es cazo con las derivadas correspondientes, verifica la ecuación , es decir, la convierte en una identidad.decir, la convierte en una identidad.

– Existen DOS tipos de Soluciones que son:Existen DOS tipos de Soluciones que son:– Solución General: Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su Solución General: Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su

cantidad de constantes.cantidad de constantes.– Solución Parcial: Es un caso partícula de la solución general, en Solución Parcial: Es un caso partícula de la solución general, en

donde lasdonde las constante (es) recibe un valor especifico. constante (es) recibe un valor especifico.

ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEASHOMOGENEAS

Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

Sería homogénea ya que todos los términos de ambos Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por numerador como denominador por xx3 o 3 o yy3 en función de 3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:cambios análogos, que son:

o bien o bien

Así se simplifica enormemente y suele quedar Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las cambio, sustituyendo las uu((x,yx,y) por su valor como ) por su valor como función que se ha establecido.función que se ha establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:ecuación diferencial de primer orden de la forma:

Introduciendo la variable Introduciendo la variable uu = = yy//xx; la solución de la anterior ; la solución de la anterior ecuación viene dada por:ecuación viene dada por:

Formas de saber el grado de la Formas de saber el grado de la EDHEDH

Forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy=0Forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy=0Inspeccion:Inspeccion:– M(tx,ty)--M(tx,ty)-- tⁿf(x,y) tⁿf(x,y)– N8tx,ty)--N8tx,ty)-- n=grado de la exprecion n=grado de la exprecionSea: f(x,y) = √xSea: f(x,y) = √x³y³³y³ f(tx,ty)= f(tx,ty)= √t√t³³xx³t³y³³t³y³

= = √t√t³(³(xx³y³)³y³)=t³’² =t³’² √x√x³y³------por lo tanto³y³------por lo tanto

Es homogenea de 3/2 GradoEs homogenea de 3/2 Grado

Por SUMA: f(x,y) = √xPor SUMA: f(x,y) = √x+y(4x+3y)+y(4x+3y)– f(tx,ty) = √txf(tx,ty) = √tx³+ty³(4tx+3ty)³+ty³(4tx+3ty)– = √t(x= √t(x+y)[t(4x+3y)]+y)[t(4x+3y)]– = t= t½½√(x√(x+y)[t(4x+3y)]+y)[t(4x+3y)]– = t= t³’²[³’²[√x√x+y(4x+3y)]+y(4x+3y)]– Homogenea de 3/2 gradoHomogenea de 3/2 grado

f(x,y)=x²-y-------no homogenea no se f(x,y)=x²-y-------no homogenea no se define el gradodefine el grado

Elementos clave para las EDH Elementos clave para las EDH cambio de variablescambio de variables

Y=Mx dy=Mdx+xdu Y=Mx dy=Mdx+xdu

X=My dx=Mdy+yduX=My dx=Mdy+ydu

U=x+y y=U-xU=x+y y=U-x– dy=du-dxdy=du-dx

EJEMPLO:EJEMPLO:(y+xcos(y/x)dx)-xdy=0(y+xcos(y/x)dx)-xdy=0(ux+xcos(ux/x)dx-x(udy+xdu)=0(ux+xcos(ux/x)dx-x(udy+xdu)=0Sustitumos “y” y “dy” Sustitumos “y” y “dy” como anterior se indicacomo anterior se indica

(u+cosu)dx=udx-xdu=0---(u+cosu)dx=udx-xdu=0---algebraalgebraUdx+cosudx-udx-xdu=0Udx+cosudx-udx-xdu=0Cos udx-xdu=0Cos udx-xdu=0∫∫dx/x-∫du-cosu=0dx/x-∫du-cosu=0Log x- ∫sec udu=0Log x- ∫sec udu=0Log x- log |sec u +tg u|=CLog x- log |sec u +tg u|=CVolvemos a sustituir “u”Volvemos a sustituir “u”Log x – log |sec(y/x)+tg(y/x) |=C solución Log x – log |sec(y/x)+tg(y/x) |=C solución

generalgeneral

Datos PersonalesDatos Personales

Jesús Israel Herrera CárdenasJesús Israel Herrera Cárdenas

93101829310182

B:212B:212

Centro de Enseñanza Técnica Centro de Enseñanza Técnica industrial (CETI)industrial (CETI)

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

Profesor: Ing. Cesar Octavio Martínez Profesor: Ing. Cesar Octavio Martínez PadillaPadilla