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FUNCIONES DE UNA VARIABLE POLINOMIOS DE TAYLOR

Tema 1 Grado en Ingeniería Mecánica

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga al día sus conocimientos en los siguientes contenidos:

Funciones elementales: gráfica, dominio, imagen, simetría y traslaciones.

Definición de derivada. Tabla de derivadas.

Problemas de optimización.

DEFINICIÓN DE DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN

1 Definición de derivada

La expresión ( ) ( )f x f a

x a

-

- se denomina cociente incremental de f en el punto a para un valor

de x x aD = - .

Esta expresión representa la pendiente de la secante a la gráfica de la función f que une los puntos

( )( ),a f a y ( )( ) ( )( ), ,x f x a x f a x= +D +D .

Definición (Derivada).‐ La derivada de una función ( )y f x= en un punto a es el límite del

cociente incremental, ( ) ( ) ( ) ( )

0lim limx a x

f x f a f a x f a

x a x D

- +D -=

- D

T1 FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR

2

Este valor representa la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto

( )( ),a f a . Se denota por

´f a ó ( )dya

dx ó ( )df

adx

( ) ( )0

tg limx

f a x f a

xa

D

+D -=

D

Si una función f es derivable en el punto a la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

en el punto ( )( ),a f a es ( ) ( )( )'y f a f a x a= + - . Si ( )' 0f a ¹ , la ecuación de la recta normal es

( ) ( ) ( )1

'y f a x a

f a= - - .

2 Reglas de derivación

REGLAS DE DERIVACIÓN ( )f f x= , ( )g g x= , a Î

Producto por un número ( ) ' 'a f a f⋅ = ⋅

Suma y resta ( ) ' ' 'f g f g+ = + ( ) ' ' 'f g f g- = -

Producto y cociente ( ) ' ' 'f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅

'

2

' 'f f g f g

g g

æ ö ⋅ - ⋅÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø

Composición ( )( ) ( )( ) ( )' ' 'f g x f g x g xé ù = ⋅ê úë û

Derivada de la función inversa ( ) ( ) ( ) ( )'

1 11

'f x con f x y

f y- -= =

Regla de la cadena

Si ( )y f u= es derivable en ( )g x y ( )u g x= es derivable en x , entonces la función compuesta

( )( ) ( )( )y f g x f g x= = es derivable en x , siendo la derivada

( ) ( ) ( )( ) ( )´ ´ ´f g x f g x g x=

que se puede expresar también con la siguiente notación dy dy du

dx du dx= .

CÁLCULO I – GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA

3

La dependencia de unas variables respecto de otras se puede indicar mediante un diagrama de dependencia, que para este caso sería: y u x

TIPO FUNCIÓN DERIVADA

Tipo potencial

ay x=

( )a

y f xé ù= ê úë û

1ay a x -¢ = ⋅

( ) ( )1a

y a f x f x-é ù¢ ¢= ⋅ê úë û

y x=

( )y f x=

1

2y

x¢ =

( )( )2

f xy

f x

¢¢ =

Tipo exponencial

xy e=

( )f xy e=

xy e¢ =

( ) ( )f xy e f x¢= ⋅

xy a=

( )f xy a=

logxy a a= ⋅

( ) ( ) logf x

y a f x a¢= ⋅ ⋅

Tipo logarítmico

logy x=

( )logy f x=

1y

x¢ =

( )( )f x

yf x

¢¢ =

loga

y x=

( )loga

y f x=

1 1.log

yx a

¢ =

( )( )

1.log

f xy

af x

¢¢ =

Tipo seno

seny x=

seny f x

cosy x¢ =

( ) ( )' cosy f x f x¢ =

Tipo coseno

cosy x=

( )( )cosy f x=

seny x¢ = -

( ) ( )( )' seny f x f x¢ = - ⋅

Tipo tangente

tgy x=

( )( )tgy f x=

22

11

cosy tg x

x

( ) ( )2

1.

cosy f x

f x¢ ¢=

x

f(g(x))

g f

g(x)


4

TIPO FUNCIÓN DERIVADA

Tipo cotangente

cotgy x=

( )( )cotgy f x=

2

1

seny

x

-¢ =

( ) ( )2

1

seny f x

f x

-¢ ¢= ⋅

Funciones arco

arcseny x=

( )arcseny f x=

2

1

1y

x¢ =

-

( )( )

2

1

1y f x

f x¢ ¢= ⋅

-

arccosy x=

( )arccosy f x= 2

1

1y

x

-¢ =-

( )( )

2

1

1y f x

f x

-¢ ¢= ⋅-

arctgy x=

( )arctgy f x= 2

1

1y

x¢ =

+

( ) ( )2

1.

1y f x

f x¢ ¢=

+

3 Derivada de la función implícita

Cuando la función viene dada en forma explícita, es decir, de la forma y f x calcular la derivada

de f se reduce a aplicar la definición o alguna de las reglas de derivación estudiadas. Sin embargo,

muchas veces una función viene dada a través de una ecuación de la forma , 0F x y en la que

no es fácil, o resulta imposible, obtener explícitamente y en función de x . Este tipo de funciones reciben el nombre de funciones implícitas de una variable.

Definición (Función implícita).‐ Una ecuación de la forma ( ), 0F x y = define a la variable y

como función implícita de x , en un entorno de 0 0

( , )x y , si existe un intervalo D centrado en

0x de forma que, para todo x en D , existe ( )y f x= tal que se verifica ( )( ), 0F x f x = .

Para este tipo de funciones se debe proceder de la siguiente manera para obtener la derivada de y

respecto de x :

1. Se derivan ambos miembros de la expresión con respecto a x , aplicando la regla de la cadena, teniendo en cuenta que y es función de x .

2. Se despeja la expresión dy

dx.

Por ejemplo, si se considera la función dada mediante 3 2 8 3 5 0x y y x+ - - = se tendrá:


5

3. Derivando ambos lados de la igualdad y aplicando la regla de la cadena suponiendo que y

es función de x

2 2 3 73 2 8 3 0dy dy

x y x y ydx dx

+ + - =

4. Despejando

2 2

3 7

3 3

2 8

dy x y

dx x y y

-=

+

4 Derivada de la función inversa

Si ( )y f x= es una función inyectiva y derivable en x y además ( )' 0f x ¹ , entonces la función

inversa, 1f - , también es derivable en ( )y f x= , verificándose

( ) ( ) ( )1 1f y

f x- ¢ =

¢

5 Derivada enésima

Si ( )y f x= es derivable en un dominio D queda definida la función derivada:

( )' :

'

f D

x f x

Si esta función ( )'f x a su vez es derivable se puede calcular su derivada, ( ) ( )' 'f x , que recibe el

nombre de derivada segunda. Se denota,

( )2

2''

d yf x

dx=

Este proceso puede continuar y se tendría la derivada de orden n o derivada enésima que

consistiría en derivar la función n veces. Si la función es ( )y f x= se denotará:

( )(n

n

n

d yf x

dx=

x

x

f f-1

f(x)


6

FÓRMULA DE LEIBNIZ (Derivada enésima de un producto).‐ Si f y g son derivables hasta el

orden n entonces la función ( ) ( ) ( )h x f x g x= es derivable hasta el orden n y además

( ) ( ) ( )(( nnh x f g x= ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( 1 ( 1 ' (' ...0 1 1

n n n nn n n nf x g x f x g x f x g x f x g x

n n- -

æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷-ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø

Nota 1

El factorial de un número natural n se define como

Por ejemplo,

Se cumple que

Nota 2

Los números combinatorios se definen como

( ),

!

! !n m

n nC

m m n m

æ ö÷ç ÷ç= =÷ç ÷ç ÷ç -è ø

siendo n un número natural y 0 m n£ £

El número combinatorio Cn,m representa el número de grupos distintos de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, de forma que cada grupo se diferencie de otro en algún elemento (combinaciones de n elementos tomados de m en m).

6 Recta tangente. Aproximación lineal

Definición (Diferencial).‐ Sea ( )y f x= una función derivable en un intervalo abierto que

contiene al número x , ‐ La diferencial de x es igual al incremento de x , x dxD =

‐ La diferencial de y se define como ( )'dy f x dx=

Interpretación geométrica: La diferencial de y para un incremento de x , x dxD = , es igual al incremento de la ordenada de la recta tangente correspondiente a ese incremento de x .

! 1 2 ... 3 2 1

0! 1

n n n n

1! 1 2! 2 1 2 3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24 5! 5 4 3 2 1 120 6! 6 5 4 3 2 1 720

! 1 !n n n n


7

Diferencial segunda

( ) ( )( )

2

22 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d y d dy d f x dx df x dx f x d dx

f x dx dx f x d x f x dx f x d x

é ùé ù é ù¢ ¢ ¢= = = + =ê ú ê ú ê úë û ë û ë ûé ù¢¢ ¢ ¢¢ ¢= + = +ê úë û

Aproximación lineal. Consideremos la gráfica de una función y f x derivable en el punto a .

Si dibujamos la tangente en el punto ,a f a vemos que para valores x próximos al punto a , los

valores que toman la ordenada de la recta tangente y la función casi coinciden. Diremos por ello que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a es una linealización (aproximación

lineal) de la función en ese punto.

Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente en el punto ( )( ),a f a tiene por pendiente

( )´f a se tendrá que su ecuación es:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )´ ´y f a f a x a y f a f a x a- = - = + -

La expresión ( ) ( ) ( )( )´L x f a f a x a= + - se denomina linealización (aproximación lineal)

de f en a

( ) ( ) ( ) ( )( )´f x L x f a f a x a» = + -


8

POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICIÓN Y CÁLCULO

7 Definición

Definición (Polinomio de Taylor).‐ Supongamos que ( )f x es una función derivable n veces

en el punto x a= . Se define el polinomio de Taylor de grado n correspondiente a la función f en el punto x a= como

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

(

0'' (

2

;!

'...

1! 2 ! !

kn k

nk

nn

f aT f x a x a

kf a f a f a

f a x a x a x an

=

é ù = - =ê úë û

= + - + - + + -

å

En el caso en que 0a = el polinomio se llama de MacLaurin.

Veamos algunas propiedades que nos permitirán obtener polinomios de Taylor a partir de otros conocidos

Sean f y g funciones que admiten polinomio de Taylor hasta el grado n en el punto a

entonces se cumplen las propiedades siguientes:

Linealidad: ( ) ( ) ( ); ; ;n n nT f g a T f a T g aa b a b+ = +

Derivación, integración: 1; ' ';n nT f a T f a

Otras operaciones: Se puede obtener el polinomio de productos y cocientes de funciones a partir de los correspondientes a cada una de las funciones involucradas.

8 Resto enésmo

Definición (Resto n‐ésimo de Taylor).‐ Sea f una función para la que existe ( );nT f x aé ù

ê úë û . Se

define el resto n‐ésimo de Taylor correspondiente a la función f en el punto x a= , y lo

escribiremos ( );nR f x aé ù

ê úë û como

( ) ( ) ( ); ;n nR f x a f x T f x aé ù é ù= -ê ú ê úë û ë û

La expresión

( ) ( ) ( ); ;n n

f x T f x a R f x aé ù é ù= +ê ú ê úë û ë û

se llama fórmula de Taylor de ( )f x de grado n en el punto x a= .

En las proximidades del punto x a= se verifica no sólo que el resto enésimo es pequeño

(infinitésimo) sino que se hace pequeño en comparación con ( )nx a- . Esto se expresa en el

siguiente teorema.


9

TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable n veces en el punto x a= y ( );nR f x aé ù

ê úë û es su

correspondiente resto de Taylor entonces

( )( )

;lim 0

n

nx a

R f x a

x a

é ùê úë û =-

Resto de Lagrange

( ) ( )( ) ( )

( 11

;1 !

nn

n

f tR f x a x a

n

++é ù = -ê úë û +

siendo t un punto intermedio entre a y x .

Resto de Cauchy. Sea f es una función derivable 1n + veces en un intervalo abierto I, que

contenga al punto x a . Si ( );nR f x aé ù

ê úë û es el resto enésimo de Taylor correspondiente a la

función f en el punto x a entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( 1

;!

nn

n

f tR f x a x t x a

n

+

é ù = - -ê úë û

siendo t un punto intermedio entre a y x . Resto Integral

( 1

;!

nxn

n

a

f tR f x a x t dt

n

definido si la derivada 1n + de f es integrable en el intervalo I.

APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS

9 Infinitésimos. Definición

En el cálculo de límites de funciones surgen las mismas indeterminaciones que en el caso de sucesiones y se aplican las mismas técnicas para su resolución. Una de esas técnicas consiste en la comparación de los órdenes de infinitud o los órdenes de magnitud de los infinitésimos que producen estas indeterminaciones.

Definición (Infinitésimo).‐ Una función ( )xj es un infinitésimo para si tiende a cero

cuando x se aproxima al punto a , ( )lim 0x a

xj

=


10

PROPOSICION.‐ ‐ La suma, diferencia y producto de infinitésimos para x a= es un infinitésimo para x a= ‐ El producto de un infinitésimo para x a= por una función acotada en un entorno del punto a es un infinitésimo para x a= .

10 Orden de un infinitésimo

Definición (Infinitésimos del mismo orden, orden superior y orden inferior).‐ Se dice que

( )xj y ( )xm son dos infinitésimos del mismo orden para x a= si

( )( )

lim 0,x a

xcon

x

jl l l

m= ¹ ¹ ¥ . En este caso se escribe ( ) ( )( )x O xj m= .

x y ( )xm son equivalentes para x a= si ( )( )

lim 1x a

x

x

j

m=

x es de orden superior a ( )xm para x a= si ( )( )

lim 0x a

x

x

j

m= .

En este caso se escribe x o x

Definición (Infinitésimos de orden p).‐ Decimos que un infinitésimo es de orden p para x a=

si ( ) ( )px O x aj æ ö÷ç= - ÷ç ÷è ø es decir, si ( )

( )lim 0,

px a

xcon

x a

jl l l

= ¹ ¹ ¥

-

PROPOSICION.‐ El orden de un infinitésimo para x a= no varía al sumarle o restarle otro de orden superior para x a= .

Consideremos ahora x un infinitésimo de orden p para x a , esto significa que

( )( )

lim 0,px a

xcon

x a

jl l l

= ¹ ¹ ¥

-

En este caso se tiene que:

p p p px x a o x a x x a o x a


11

11 Parte principal de un infinitésimo

Definición (Parte principal de un infinitésimo).‐ Si ( )xj un infinitésimo de orden p para

x a= y se cumple ( )

( )lim 0,

px a

xcon

x a

jl l l

= ¹ ¹ ¥

-

La expresión ( )px al - se llama parte principal de dicho infinitésimo.

Nótese que ( )xj es un infinitésimo equivalente a su parte principal.

PRINCIPIO DE SUSTITUCION.‐ Si en la expresión de un límite se sustituye un infinitésimo que sea factor o divisor por su parte principal o por otro equivalente, el valor del límite no se ve alterado.

IMPORTANTE: Cuando los infinitésimos aparezcan como sumandos la sustitución de un infinitésimo por otro equivalente puede conducir en general a errores

Tabla de equivalencias

Si 0x entonces sen x x»

Si 0x entonces 2

1 cos2

xx- »

Si 0x entonces tgx x»

Si 0x entonces ( )log 1 x x+ » . Esta equivalencia se puede expresar de la

siguiente manera: si 1x entonces ( )log 1x x» -

Si 0x entonces ( ) ( )log 1 0k kx x k+ » >

Si 0x entonces 1 logxa x a- »

Si 0x entonces arcsen x x»

Si 0x entonces arctgx x»

Si 0x entonces ( )1 1ax ax+ » +

Si 0x entonces ( ) término de menor gradonP x »


12

Cálculo de la parte principal utilizando polinomios de Taylor

Sea ( )y f x= una función que es un infinitésimo para x a con todas sus derivadas nulas

hasta el orden 1k - en el punto a y cumpliendo ( )( 0kf a ¹ .

Utilizando la fórmula de Taylor se tendrá:

( ) ( )( ) ( )(

!

kk kf a

f x x a o x ak

æ ö÷ç= - + - ÷ç ÷è ø

De esta expresión se deduce que el orden del infinitésimo ( )y f x= para x a es k y su

parte principal es ( ) ( )

(

!

kkf a

x ak

- .

12 Infinitos

Definición (Infinitos).‐ Una función ( )xw es un infinito para x a= si tiende a infinito cuando

x se aproxima al punto a , es decir, si ( )limx a

xw

= ¥

OBSERVACION.‐ Todo lo visto anteriormente para infinitésimos puede aplicarse a infinitos teniendo

en cuenta que si ( )xw es un infinito para x a= entonces

( ) ( )1

xx

jw

= es un infinitésimo para x a=

En particular, la sustitución de infinitos en la expresión de un límite se rige por las mismas reglas que las de los infinitésimos.

Definición (Infinitos de orden inferior, superior).‐ Sean ( )xw y ( )xt dos infinitos para x a=

se dice que:

x es un infinito de orden inferior a ( )xt para x a= si ( )( )

lim 0x a

x

x

w

t=

x es un infinito de orden superior a ( )xt para x a= si ( )( )

limx a

x

x

w

t= ¥

x es un infinito del mismo orden que ( )xt para x a= si

( )( )

lim 0,x a

xcon

x

wl l l

t= ¹ ¹ ¥

En el caso particular de que 1l = entonces se dice que son equivalentes.


13

Definición (Infinito de orden p).‐ Decimos que un infinito ( )xw para x a= es de orden p si

( )

( )

lim 0,1x a

p

xcon

x a

wl l l

= ¹ ¹ ¥

-

A continuación, se dan en la tabla los denominados órdenes fundamentales de infinitud para x tendiendo a infinito. Según se avance de izquierda a derecha en las columnas los órdenes de infinitud van decreciendo.

Potencial ‐ Exponencial

Exponencial Potencial Logaritmo

0

axx

a 1

xb

b > 0

cx

c

( )log

1 0

p

qx

q p> >

APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN

13 Extremo relativo y absoluto

Definición (Extremo relativo).‐ Sea y f x una función real definida sobre un dominio D

. Decimos que f tiene

un mínimo relativo en un punto a DÎ si existe un intervalo ( ),a r a r- + contenido

en D de forma que ( ) ( )f x f a> para ( ),x a r a rÎ - + , x a¹ .

un máximo relativo en un punto a D si existe un intervalo ( ),a r a r- + contenido

en D de forma que ( ) ( )f x f a< para ( ),x a r a rÎ - + , x a¹ .

Si un punto es mínimo o máximo relativo se dice que es un extremo relativo o local.

Definición (Extremo absoluto).‐ Sea ( )y f x= una función real definida sobre un dominio D

. Decimos que f alcanza

su valor mínimo absoluto en un punto a DÎ si ( ) ( )f x f a> para x D , x a¹ .

su valor máximo absoluto en un punto a DÎ si ( ) ( )f x f a< para x DÎ , x a¹ .

Si un punto es mínimo o máximo absoluto se dice que es un extremo absoluto o global.


14

PROPOSICIÓN.‐ Consideremos una función ( )y f x= con derivadas hasta el orden 1n en

el punto a , entonces se podrá escribir

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

2''' ...

2 ! !

nn nf a f a

f x f a f a x a x a x a o x an

æ ö÷ç- = - + - + + - + - ÷ç ÷è ø

Supongamos que ( 1' '' ... 0nf a f a f a , entonces

Si n es par y ( )( 0nf a > entonces en el punto a la función tiene un mínimo local.

Si n es par y ( )( 0nf a < entonces en el punto a la función tiene un máximo local.

Si n es impar en el punto a hay un punto de inflexión.

APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. DERIVACIÓN NUMÉRICA

En este apartado se considera el caso en que solo se conoce el valor de una función en n puntos,

1, , ...,o nx x x , equiespaciados. En este caso, se puede calcular una aproximación de la derivada en

x a= , ( )'f a , siendo a cualquiera de estos n puntos, utilizando diferencia progresiva, diferencia

regresiva o diferencia centrada.

14 Diferencia progresiva ( ) ( ) ( )'

f a h f af a

h

+ -»

Para acotar el error que se comete en esta aproximación hay que tener en cuenta la fórmula de Taylor de grado 1,

( ) ( ) ( ) 1'f a h f a f a h R+ = + +

Luego

( ) ( ) ( )1'

f a h f a Rf a

h h

+ -= -

Como

21R O h , entonces el error de truncamiento

( ) ( ) ( ) ( )'f a h f a

Error f a O hh

+ -= - =

Una cota del error podría obtenerse considerando que

( )''

1

2 !

f tRh

h= con ,t a a hé ùÎ +ê úë û

Si M es una cota de ''f t en

,a a hé ù+ê úë û

entonces una cota del error será:

1

2 !

R MError h

h= £


15

15 Diferencia central ( ) ( ) ( )'

2

f a h f a hf a

h

+ - -»

Para acotar el error que se comete en esta aproximación hay que tener en cuenta la fórmula de Taylor de grado 2, y las expresiones

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3' ''

1! 2 !

f a f af a h f a h h O h+ = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3' ''

1! 2 !

f a f af a h f a h h O h- = - + +

Restando

( ) ( ) ( ) ( )3' 2f a h f a h f a h O h+ - - = +

es decir,

( ) ( ) ( ) ( )3

'2 2

O hf a h f a hf a

h h

+ - -= -

Luego, el error de truncamiento

( ) ( ) ( ) ( )2'2

f a h f a hError f a O h

h

+ - -= - =

Observación: Es interesante ver que la diferencia centrada aproxima mejor el valor de la derivada que las diferencias progresivas y regresivas, ya que en el primer caso el error es un infinitésimo de orden 2 mientras que en los restantes casos es de orden 1.

Ejercicios propuestos

Determinar el dominio de las siguientes funciones

a) ( ) 3log

3

xf x

x

æ ö+ ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç -è ø

b) ( ) 1

2f x x

x= - +

+

Solución:

a) ( ) ( ), 3 3,Domf = -¥ - È ¥

b) ( 2, 0Domf ù= - úû

Estudiar la simetría o paridad de las siguientes funciones:

a)

3

2

sen( ) ,

cos 4

x x xf x

x x

+ +=

+ +

b) 4 2

5 3

1( ) .

1

x xg x

x x

+ +=

+ +

c) 2 2y x x= + d) 3y x x= -

e) 2seny x= f) 1

x xy

x=

+

g) ( )cos 3y x= -

Solución:

Simetría impar las funciones de los apartados: a), d) y f).

1

2


16

Simetría par las funciones: e) y g). No tienen simetría las funciones: b) y c).

Dibujar de forma aproximada la gráfica de las siguientes funciones elementales e indicar si se trata de funciones pares o impares:

a) 2 4 6y x x= - + b) ( )arctgy x=-

c) ( )cosy x= - d) tgy x=-

e) 5xy e-= + f) 9xy =-

g) ( )21y x= - ; h) 1 logy x= + ;

i) 1y x= - j) 3y x=- +

k) 1y x= - l) 1

3yx

= +

m) 3y x= + n) Ch2

x xe ey x

-+= =

ñ) Sh2

x xe ey x

--= =

Analizar la continuidad y derivabilidad

de la función ( ) 2 4 2 1f x x x= - - + + .

Hacer también la representación gráfica de la función.

Solución: ( )f x es continua x" Î y es

derivable { }2, 2x" Î - - .

Sean las funciones

( ) 2f x x ax b= + + y ( ) 3g x x c= - con

, , .a b cÎ Se pide:

a) Determinar la relación entre los parámetros a , b, c para que las gráficas de las dos

funciones se corten en el punto ( )1,2 .

b) Determinar los valores de a , b y c para que cumpliéndose las condiciones anteriores, las

funciones ( )f x y ( )g x tengan en el punto

( )1,2 la misma tangente.

Solución: a) 1 1a b c= - =-

b) 1 0 1a b c= = =-

En la figura se han dibujado las gráficas

de tres funciones: ( ), ( ) y ( )f x f x f x¢ ¢¢ .

Determinar qué gráfica corresponde a cada función y por qué

Solución: azul o‐‐‐o: ( )f x , roja ‐‐‐: ( )f x¢ ,

verde ‐‐‐‐‐‐: ( )f x¢¢

3

4

5

6


17

a) Hallar las ecuaciones de la tangente y la

normal a la curva 3 2 4( ) ( 2 1)f x x x x= - + - , en 1x =

b) Determinar si las rectas tangentes a la

curva de ecuación 12

4y xx

=- + , en sus

puntos de corte con la recta 2 0x y+ =

son paralelas entre sí. c) Obtener las ecuaciones de las rectas

tangente y normal a la curva xy a= , en

1x = .

Solución: a) Recta tangente: ( )1 12 1y x- = -

Recta normal: ( )11 1

12y x- = - -

Los puntos de corte son:

( ) ( )6, 2 6 6, 2 6y- - + . Son paralelas.

Recta tangente: ( )log 1y a a a x- = - ;

Recta normal: ( )11

logy a x

a a

-- = -

a) Un punto en el plano se mueve a lo

largo de la curva de ecuación 2 1y x= + , de

manera que la variación de la abscisa respecto

al tiempo es 4dx

dt= . Calcular la variación de la

ordenada respecto del tiempo, dy

dt, cuando

3x = .

b) Hallar dy

dx si

2

2

3

1

u uy

u

+=

-, senu x=

c) Una rueda de un metro de radio gira a diez revoluciones por segundo. Si se marca un punto P de ella, hallar la velocidad de desplazamiento horizontal de ese punto para los siguientes ángulos:

(c.1) 0q = (c.2) 6

pq = (c.3)

3

pq =

Solución:

a) 12

10 b)

2

3

2 sen 3 3 sen

cos

dy x x

dx x

- - -=

c1) 0 /m sg c2) 10 /m sgp-

c3) 10 3 /m sgp-

Derivar implícitamente

a) 1

1 log 1 0xye

æ ö÷ç ÷- + =ç ÷ç ÷çè ø

b) arctgyxy

x=

Solución: a) 'y

yx

-=

b) 3 2

3 2'

y yx yy

x xy x

+ +=-

+ -

Hallar la derivada enésima de

a) ( ) cosf x x= en 0x =

b) ( ) senf x x= en 0x =

c) ( ) xf x e= en 0x =

d) ( ) ( )log 1f x x= + en 0x =

e) 2

1( )

1f x

x=

-

f) 2

4( )

( 1) ( 1)

xf x

x x=

- +

g) ( ) ( )( )( )log 3 2f x x x= - - en

2x <

h) ( ) ( )cosf x a ax=

Solución:

a) ( )( cos2

nf x x npæ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( )(

00

1 ( 2 )n

m

si n imparf

si n par n m

ìïïï= íï - =ïïî

b) ( )( sen2

nf x x npæ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( )(

00

1 ( 2 1)n

m

si n parf

si n impar n m

ìïïï= íï - = +ïïî

c) ( )(n xf x e= ( )( 0 1nf =

d) ( ) ( ) ( ) ( )1( 1 1 ! 1n nnf x n x- -

= - - +

( ) ( ) ( )1( 0 1 1 !nnf n-

= - -

e) ( ) ( )( ) ( )

(

1 1

1 ! 1 1

2 1 1

n

n

n n

nf x

x x+ +

é ù- ê ú

ê ú= -ê ú- +ê úë û

7

8

9

10


18

f)

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

(

1 2 1

1 ! A

2 11 1A

1 1 1

nn

n n n

f x n

n

x x x+ + +

= -é ù

+ê úê ú= + -ê ú- - +ê úë û

g) ( ) ( )( ) ( )

( 1 11 !

3 2

n

n nf x n

x x

é ùê úê ú= - - +ê ú- -ê úë û

h) ( 1( ) cos2

n n nf x a ax

p+æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø

a) Explicar en qué consiste aproximar el valor

de una función de una variable en un entorno de un punto, utilizando la diferencial en dicho punto. Aplicación: ¿Con qué precisión tendríamos que medir el radio r de una esfera para

calcular el área de la superficie, 24S rp= , con un margen de variación del 1% de su valor exacto? Expresar el error como porcentaje del valor exacto del radio.

b) Hallar dy para la función 3 3(2 4)y x= +

. Calcular el valor aproximado de ( 0.5)y - ,

utilizando la diferencial. c) Obtener un valor aproximado de

3 126 y de 65 Solución:

a) Se debe medir r con un error que no difiera más del 0.5% del valor exacto.

b) 2 39 2 4dy x x dx= + ( 0.5) 8y - »

c) 3 376126 5.013

75» =

1

65 8 8.062516

» + =

a) Expresar en potencias de 2x - el

polinomio 4 3 2( ) 5 5 2P x x x x x= - + + + .

b) Desarrollar en potencias de 1x + el

polinomio 5 4 2( ) 2 1P x x x x x= + - + + .

Solución: a)

( ) ( ) ( ) ( )

4 3 2

4 3 2

( ) 5 5 2

2 3 2 2 7 2

P x x x x x

x x x x

= - + + + =

= - + - - - - -

b)

( ) ( ) ( ) ( )

5 4 2

5 4 3 2

( ) 2 1

1 3 1 2 1 1

P x x x x x

x x x x

= + - + + =

= + - + + + + +

a) Escribir la fórmula de Taylor con el Resto de

Lagrange para la función ( ) 1f x x= +

para 0a = y 4n = . Acotar el Resto para

0.5, 0.5x é ùÎ -ê úë û .

b) Dada la función ( )2

x xe ef x

-+= , calcular

el polinomio de MacLaurin de grado 4 y

hallar el valor aproximado de (0.1)f

utilizando dicho polinomio. Estimar el error cometido en la aproximación.

Solución: a)

( ) ( )

( )( )

4 4

2 3 4 5

9/2

1 ; 0 ; 0

5 71 ,

2 8 16 128 256 1

0,

x T f x R f x

x x x x x

t

t x

+ = + =

= + - + - +⋅ +

Î

é ù é ùê ú ê úë û ë û

( )

5

54

9/2

7, 0 0.5

256( ) 7

, 0.5 0256 1

xsi x

R x xsi x

x

ìïï < £ïïïï£ íïï - £ <ïïï +ïî

b)

( ) ( )

( )

2 4

4

2 4

; 0 12 2 24

1 1 2412010.1 1

2400002 10 24 10

x xe e x xf x T f x

f

-+= » = + +

@ + + =⋅ ⋅

é ùê úë û

( ) 6

4

10.1 10

8error R -= £ ⋅

Se considera la aproximación

2 , 02

xb x b b

b+ @ + > . Justificar la

procedencia de la aproximación y estimar el

error cometido al aproximar 27 considerando

5b = . Solución:

La aproximación se justifica a partir del polinomio de Taylor de grado 1 de la función

( ) 2f x b x= + en el punto 0a = para

valores de x próximos a 0. El error cometido es

menor que 1/250.

11

12

13

14


19

Sea la función ( ) 1f x x= -

a) Hallar el polinomio de Taylor de grado n en 0a = .

b) Escribir el resto de Lagrange. c) Utilizando el resto de Lagrange determinar

una cota superior del error cometido para la aproximación cuadrática de la función considerando 0.1x =

Solución: a)

( ) ( )2

2 3 !!1 ;0 1

2 !2

kn

n kk

kx xx T f x

k=

-é ù- @ = - - ⋅ê úë û å

donde

( ) ( )( )2 3 !! 2 3 2 5 5 3 1k k k- = - - ⋅ ⋅

Nota: El bifactorial de un número natural se define de la siguiente manera:

( )( )( )( )

1 0

!! 2 4 2 1

2 4 3 1

si n

n n n n si n es par

n n n si n es impar

ìï =ïïïï= - - ⋅íïïï - - ⋅ïïî

Por ejemplo,

8!! 8 6 4 2 13!! 13 11 9 7 5 3= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b)

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( )

( 1

1

1

2 1 /21

; 01 !

2 1 !!0,

1 !2 1

n

n

n

n

nn

f tR f x x

n

n xt x

nt

+

+

+

++

é ù = ⋅ =ê úë û +

- -= ⋅ Î

+⋅ -

c)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

(33

2

3

5/23 0.1

3 3

5/2 3 3 44 4

0,1 0.13!

3 10

3!2 1

10 10 1 1

16 9 102 0.9 2 0.9

t

f tR

t

-

=

- -

= =

= ⋅ £⋅ -

£ £ = <⋅

a) Demostrar que para 0x , 2

x y

1 1x+ - son infinitésimos

equivalentes. b) Hallar un infinitésimo equivalente a

3( ) log(1 )f x x x= + en 0x = .

c) Determinar el orden de los infinitésimos cuando 0x

(c.1) 2( ) sen 2 cos 1f x x x= + -

(c.2) 3

5

3( )

sen 16

xf x

x x=

+

Solución: a)

0 0

/ 2 1 1lim lim 1

21 1x x

x x x

xx

+ += ⋅ =

+ -

b) 3 4/3( ) log(1 )f x x x x= ⋅ + »

c.1) El orden es 2 y el valor principal es 27

2x

c.2) El orden es 1 y el valor principal es 3 x

a) Hallar el punto más cercano y el más

alejado de la parábola 24y x= - al punto

( )0,1 , para valores de la x dentro del

intervalo 2,2x é ùÎ -ê úë û .

b) Determinar la longitud de los lados de un triángulo isósceles de perímetro unidad y área máxima. Comentar el resultado.

Solución:

a) más lejano:( )0, 4 , más próximos:

5 3,

2 2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø,

5 3,

2 2

æ ö÷ç ÷ç- ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

b) Los tres lados deben ser iguales y medirán 1/3, se trata de un triángulo equilátero.

Estudiar el comportamiento en el origen de las funciones:

a) ( ) sen (1 cos )f x x x= -

b) ( ) ( ) ( )20 3sen 2 tgf x x x x=

c) ( ) ( )( ) ( )2

2tg log 1 1 cosf x x x= - ⋅ -

Solución: (a) En 0x = hay un punto de inflexión. (b) En 0x = hay un mínimo. (c) En 0x = hay un máximo.

15

16

17

18


20

Test de autoevaluación

Dada la función ( ) 2f x x= - .

Indicar cuál de las siguientes respuestas nos

describe el dominio de ( )f x :

A) ( , 2ù-¥ - úû

B) )0,é ¥êë

C) ( ), 2 2,ù é-¥ - È ¥ú êû ë

D) Ninguna de las anteriores

En 0x = la función 33

0( ) sen

0 0

x xx

f x xx

ìï -ï ¹ïï= íïï =ïïî presenta una discontinuidad: A) Evitable. B) De salto finito. C) Es continua. D) Ninguna de las anteriores.

Las rectas tangente y normal a la

curva ( ) , 0xf x x x= > en el punto de

abscisa 1x = son respectivamente: A) 1, 1y x y x= + =- + .

B) 1, 1y x y x=- - = + .

C) , 2y x y x= =- + .

D) Ninguna de las anteriores.

El polinomio de Taylor de grado 2 de la

función 3( )f x x= en 1a = - es:

A) 3 2

2

1 1; 1 1 ( 1) ( 1)

3 9T x x xé ù- = - + + + +ê úë û

.

B) 3 2

2

1 2; 1 1 ( 1) ( 1)

3 9T x x xé ù- = - + - + -ê úë û

C) 3 2

2

1 2; 1 1 ( 1) ( 1)

3 9T x x xé ù- = - + + - +ê úë û

D) Ninguna de las anteriores

El polinomio de MacLaurin de grado

tres para la función ( ) log(1 )f x x= + aproxima

el log(1.2) con el valor y el error indicados.

A) log(1.2) 0.1827» ; 33 10error -£ ⋅

B) log(1.2) 0.1827» ; 44 10error -£ ⋅

C) log(1.2) 0.1827» ; 510error -£


Sea ( )f x una función continua y

derivable, cumpliendo las condiciones:

(2) 1f = , (2) 0f ¢ = , (2) 1f ¢¢ = y (2) 3f ¢¢¢ = .

La fórmula de Taylor con el resto de Lagrange

para ( )f x , utilizando el polinomio de Taylor de

tercer grado en el punto 2a = es:

A) ( )2 31 1( ) 1 ( 2) ( 2) , 2,

2 2f x x c c x= + - + - Î

B) ( )(4

2 3 4( )1 1( ) 1 ( 2) ( 2) ( 2) , ,2

2 2 24

f cf x x x x c x= + - + - + - Î

C) ( )2 3 4( )1 1( ) 1 ( 2) ( 2) ( 2) , 2,

2 2 6

f cf x x x x c x

¢¢¢= + - + - + - Î


La derivada de la función implícita

( )y f x= , definida por la ecuación

2 2

logx yy

arctgx a

æ öæ ö ÷ç +÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ç ÷è ø

es

A) dy x y

dx x y

-=

+.

B) dy x y

dx x y

+=

-.

C) dy x

dx x y=

-.


Determinar el valor de x dónde alcanza el máximo la función

2( ) ( 0; 0)a a xf x x e x a-= > >

A) x a= . B) 0x = C) x e= D) Ninguna de las anteriores

Para aproximar el valor de a , se

utiliza la recta tangente a la función ( )f x x=

1

2

3

4

5

6

7

8

9


21

en el punto 1x = y se obtiene 1.05a » .

¿Cuál será el punto a? A) 1.20a = B) 1.15a = C) 1.10a = D) Ninguna de las anteriores.

El valor de 30

tg senlimx

x x

x

- es:

A) 1

2

B) 1

4

C) 1 D) Ninguna de las anteriores

Dados los infinitésimos para x ¥

( ) 3f x sen

x

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø ( ) 3/1 xg x e= -

( ) ( )3/log xh x e= - ( ) ( )3/1 xk x arctg e= -

podemos afirmar que: A) Todos son equivalentes. B) Sólo son equivalentes g y h. C) Sólo son equivalentes f y h. D) No se cumple ninguna de las afirmaciones anteriores

La función ( ) 4f x x= tiene en el

origen: A) Un punto de inflexión. B) Un máximo. C) Un mínimo. D) No se cumple ninguna de las afirmaciones anteriores.

Soluciones del Test:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C D C A B B B A C A D C

Ejercicios resueltos

Calcular la derivada de las siguientes funciones, simplificando al máximo el resultado.

a) sen(sen(sen( )))y x= b) arccosy x= c)

1

1

x

xy a-+=

Solución

a) ( )( ) ( )cos sen sen cos sen cosy x x x¢ =

(b) Se cumple arccos cosy x x y= = .

Derivando los dos miembros de la última igualdad respecto de x y aplicando la regla de la cadena se obtiene:

11 sen

seny y y

y¢ ¢= - ⋅ = -

Como

2 2sen 1 cos 1y y x= - = -

se concluye finalmente

2

1

1y

x¢ = -

-

10

11

12

1


22

(c) Se cumple 1

1 1log log

1

x

x xy a y a

x

-+ -

= =+

Derivando respecto de x los dos miembros de esta última igualdad y aplicando la regla de la cadena se tiene que

1

12 2 2

1 2 log 2 log 2 log

(1 ) (1 ) (1 )

x

xa a ay y y y ay x x x

-+¢ ¢ ¢= - = - = -

+ + +

Un punto P se mueve sobre la parábola 2x y= situada en el primer cuadrante de forma

que su coordenada x está aumentando a razón de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que el punto P se aleja del origen cuando x=9.

Solución

Se trata de un problema de razones de cambio relacionadas. La función distancia de un punto

situado en las coordenadas (x, y) al origen es: ( ) ( ) ( )2 2d t x t y t= +

Si el punto (x, y) está en la parábola 2x y= será:

2d t x t x t

La velocidad a la que se aleja del origen aplicando la regla de la cadena es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1/2

21' 2 ' '

2d t x t x t x t x t x t

-= + ⋅ +

En el instante en que x=9 y teniendo en cuenta que ( )' 5 /x t cm seg= se concluye que la

velocidad a la que el punto P se aleja del origen es:

( ) ( )1/2

21 95 959 9 2 9 5 5

2 2 90 6 10

-+ ⋅ ⋅ + = =

En una empresa la fuerza laboral L se mide en horas‐trabajador y es una función del

tiempo, ( )L f t= . Sea ( )M g t= la producción media por persona. Suponga que la producción

Q está dada por el producto LM. En cierto momento la fuerza laboral L está creciendo a un ritmo

2

3


23

de 4% anual y la producción media está creciendo a una razón de 5% al año. Encontrar la razón de cambio de la producción total cuando Q=10.

Solución

Datos del problema: Q LM f t g t

0 ' 04

0 ' 05

dLL

dtdM

Mdt

= ⋅

= ⋅

Se pide: dQ dL dM

M Ldt dt dt

10

0 '04 0 '05 0 '09 0'09 0,9Q

dQL M L M L M Q

dt

a) Sea ( ) ( )seng x f x= , sabiendo que ( )' 0 0f = calcular ( )'g p . Comprobar además el

resultado obtenido para una función f concreta.

b) Supongamos que un cubo de hielo se derrite conservando su forma cúbica y que éste volumen decrece proporcional al área de su superficie. ¿Cuánto tardará en derretirse si el cubo pierde ¼ de su volumen durante la primera hora?

c) ¿Qué precisión debe de tener la medida del radio r de una esfera para calcular el área de su superficie dentro de un 1% de su valor real? (Superficie de una esfera: 24 r )

Solución

a) Aplicando la regla de la cadena,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' ' sen cos ' ' sen cos ' 0 1 0g x f x x g f fp p p= = = - =

Por ejemplo, podemos considerar

( ) ( ) ( ) ( )22 sen senf x x g x f x x= = =

Se tendría para este ejemplo

( ) ( )( ) ( )' 2 sen cos ' 2 sen cos 0g x x x g p p p= = ⋅ =

B) Se considera ( )x x t= el lado del cubo en el instante t , su volumen y su superficie es:

3 26V x S x= =

Como el volumen decrece proporcional al área de la superficie se tendrá:

26dV

K xdt

= - es decir, 2 23 6 2dx dx

x K x kdt dt

= - = -

Integrando: ( )2 2dx

k x t kt Adt

= - = - +

4


24

Para t=0 se tiene que ( )0x A= , luego A es el lado del cubo antes de empezar el deshielo.

Como además se sabe que el cubo de hielo disminuye ¼ de su volumen en la primera hora se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 30 1 0 1 0

4 4V V V V V- = =

3 332

4k A A 3 3

3 32 2 1

4 4k A A k A

æ ö÷ç ÷ç- + = = - ÷ç ÷ç ÷çè ø

lo que nos da una relación entre la constante k y el lado inicial del cubo A,

3

1

2 31

4

A

k=

-

Se nos pregunta el valor de t en el que x(t)=0, luego se tendrá que calcular

( )3

12 0 11

2 31

4

Ax t kt A t horas

k=- + = = = »

-

b) Sea rD el error en la medida de r. Sea SD el error en la medida del área de la superficie, correspondiente al error rD .

Sabemos que,

21 14

100 100S S rpD £ =

La aproximación lineal de S es 8dS

S r r rdr

Expresando la condición del enunciado se tiene,

24 0, 58

100 200 100

r rr r r r

pp D £ D £ =

Por lo tanto se deberá medir el radio con un error menor que el 0,5 por ciento del valor verdadero.

Dada la curva 2 2 2 6 6 0x y x y+ - + + = , se pide representarla y calcular la recta

tangente y normal a dicha curva en el punto P( )2, 3 3- + .

Solución

Completando cuadrados

( ) ( )22 22 2 22 6 6 2 6 1 1 66 3 9x y x y x yx y yx++ - + + = - + + = - - -+ ++

Se tiene que

5


25

( ) ( )2 22 2 2 6 6 0 1 3 4x y x y x y+ - + + = - + + =

luego la curva es una circunferencia centrada en el punto (1, ‐3) y de radio 2. Para calcular la pendiente de la recta tangente calculamos la derivada en el punto P. Derivando implícitamente:

2 22 2 ' 2 6 ' 0 '

2 6

xx yy y y

y

-+ - + = = -

+

en el punto P

( )2 2 2 1

'32 3 3 6

Py

⋅ -= - = -

- + +

la ecuación de la recta tangente es: ( ) ( )13 3 2

3y x= - + - -

y la de la recta normal ( ) ( )3 3 3 2y x= - + + -

Una persona conduce en dirección sur a 64 km/h y pasa por Madrid a las 12 del mediodía. Otra persona va hacia el este a 60 km/h, pasando por Madrid 15 minutos más tarde. ¿A qué velocidad se separan a las 14h?.

Solución

Sea x , el espacio recorrido hacia el este por el coche que va en esta dirección, en el instante t .

Sea y , el espacio recorrido hacia el sur por el coche que va en esta dirección, en el instante t .

El instante 0t = es a las 12:15h. Por tanto a las 14h es 7 / 4t = .

0

16y km= , es el espacio recorrido por el coche que va hacia el sur en 0t = .

6


26

600 7 / 4

16 64

x tt

y t

ìï =ïï £ £íï = +ïïî

La distancia entre ambos vehículos en el instante t es: 2 2( ) ( ) ( )s t x t y t= +

y la variación de esta distancia con el tiempo (velocidad de separación de los vehículos) se obtiene derivando con respecto de t :

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (60 )60 (16 64 )64

( ) ( ) (60 ) (16 64 )

ds t x t x t y t y t t tv

dt x t y t t t

¢ ¢+ + += = =

+ + +

En la gráfica se han representado las curvas de las distancias de los dos móviles a Madrid en cada instante t a partir de las 12:15h, así como la distancia y la velocidad de separación entre ellos.

Los valores de estas funciones a las 14h ( 7 / 4t = ), son:

Distancia recorrida por el coche que va hacia el este: (7 / 4) 105x km=

Distancia recorrida por el coche que va hacia el sur: (7 / 4) 128y km=

Distancia entre ambos vehículos: (7 / 4) 165.56s km=

Velocidad de separación de ambos vehículos: (7 / 4) 87.53 /v km h=


27

Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva definida por la ecuación 3 2 2 24 3 6 5 8 9 14 0x xy x xy y x- + - - + + = en el punto ( 2,2)- .

Solución

Si m es la derivada de y respecto de x de la función definida implícitamente por

3 2 2 24 3 6 5 8 9 14 0x xy x xy y x- + - - + + =

entonces:

Recta tangente en ( 2,2)- : 2 ( 2)y m x- = +

Recta normal en ( 2,2)- : 1

2 ( 2)y xm

- = - +

Para hallar m se deriva implícitamente la ecuación y se particulariza en ( 2,2)-

2 2 1112 3 6 12 5 5 16 9 0 ( 2,2)

2x y xyy x y xy yy y¢ ¢ ¢ ¢- - + - - - + = - = -

Por tanto,

Recta tangente en ( 2,2)- : 11

2 ( 2)2

y x- = - +

Recta normal en ( 2,2)- : 2

2 ( 2)11

y x- = +

Calcular la derivada enésima de las siguientes funciones

a) ( )( )2

1

1f x

x=

- b) ( ) 2cosf x x=

Solución

7

8


28

Derivando sucesivas veces la función ( )( )

( ) 2

2

11

1f x x

x

-= = -

-

( ) ( )( ) 3' 2 1f x x

-= - -

( ) ( )( )( ) 4'' 2 3 1f x x

-= - - -

( ) ( )( )( )( ) 5''' 2 3 4 1f x x

-= - - - -

………………………………..

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( 1 1 ! 1n nnf x n x

- += - + -

b) Derivando la función ( ) 2cosf x x=

( ) 2 sen cos sen2 cos 22

f x x x x xpæ ö÷ç¢ ÷= - = - = +ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 sen 2 2 cos 22

f x x xp

pæ ö÷ç¢¢ ÷= - + = +ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 2 32 sen 2 2 cos 2

2.......................................................................

f x x xp

pæ ö÷ç¢¢¢ ÷= - + = +ç ÷ç ÷çè ø

( )( 12 cos 2 , 12

n n nf x x n

p-æ ö÷ç ÷= + ³ç ÷ç ÷çè ø

a) Utilizar el polinomio de Taylor de segundo grado para calcular aproximadamente 0,2e . Dar una cota del error cometido.

b) Aproximar 3 e con error menor que 0, 01 .

Solución

a) Derivando sucesivas veces

( )220,2

( ) (0) 10,2

( ) (0) 1 1 1 0,2 1,222 2

( ) (0) 1

x

x x

x

f x e fx

f x e f e x e

f x e f

üï= = ïïïï¢ ¢= = » + + » + + =ýïï¢¢ ¢¢ ï= = ïïþ

Para calcular el error cometido se calcula la derivada tercera:

( ) ( )x cf x e f c e¢¢¢ ¢¢¢= =

y se tiene en cuenta que:

00 0,2 0 1 3 3c cc c e e e e< < < < < < < <

con lo cual, una cota del error cometido es

9


29

( )32

3 0, 008(0,2) 0,2 0, 004

6 6

ceR

⋅= < =

b) Escribimos el polinomio de Taylor de grado n en el origen, de la función ( ) xf x e= :

2

( 1 1 1( ( )

( 1 ( 1)

( ) (0) 1

( ) (0) 1 12 !...................................... ( )

( )( ) (0) 1( 1)! ( 1)!

( ) (0) 1

x

nx x

n n c nn x n

n

n x n

f x e fx xf x e f e x

nf c x e x

R xf x e fn n

f x e f

+ + +

+ +

üï= = ïï ìïï ïï¢ ¢= = » + + + +ïï ïï ïï ý íï ïï ï = =ï ï= = ï ï + +ï ïîï= = ïïþ

Teniendo en cuenta que 1

03

c< < , se tiene

0 3 3c ce e e e< < < <

una cota del resto es:

1 11 1

33 31 1

3 ( 1)! ( 1)! 3 ( 1)!

n n

c

n n

e

Rn n n

+ +æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çæ ö ÷ ÷ç çè ø è ø÷ç ÷ = < =ç ÷ç ÷ç + + +è ø

Para encontrar de qué grado n debe considerarse el polinomio, basta tomar n cumpliendo:

1 10, 01

1003 ( 1)!n n< =

+3 ( 1)! 100n n + >

Dando valores a n :

2

3

1 3.2 6 100

2 3 .3 ! 54 100

3 3 .43! 648 100 3

n

n

n n

= = <

= = <

= = > =

se concluye que el polinomio de Taylor buscado es el tercero, con lo cual resulta que una

aproximación de 3 1/3e e= con un error menor que una centésima es:

2 33 1/3 (1 / 3) (1 / 3)1

1 1, 393 2 ! 3 !

e e= » + + + =

Determinar los valores de a y b para que el infinitésimo de la expresión

( ) sen tgf x x a x b x= + + , cuando x tiende a cero, sea del mayor orden posible.

Solución

Vamos a sustituir los primeros términos de los polinomios de Taylor de sen x y tgx , en la

expresión de ( )f x . Para que dicha expresión sea un infinitésimo del mayor orden posible,

calcularemos los valores de a y b adecuados que nos anulen los primeros términos.

El polinomio de Taylor de orden 5 de sen x en el origen es

10


30

3 5

se n( )3 ! 5 !

x xx x» - +

El polinomio de Taylor de orden 5 de tg( )x se obtiene dividiendo entre sí los primeros

términos de los polinomios de Taylor de las funciones sen x y cos x , así

( )

3 5

3 5

2 4

se n( ) 1 23! 5 !tgcos( ) 3 15

12! 4 !

x xxx

x x x xx x x

- += » = + +

- +

Luego el polinomio de Taylor de orden 5 de ( )f x es

( )

( )

3 53 5

5

3 5

1 2; 0

3 ! 5 ! 3 15

21

3! 3 5 ! 15

x xT f x a x b x x x

a b a ba b x x x

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + + + + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç÷ç è øè øæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + + + - + + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Empezamos anulando los coeficientes de 3, ,x x hasta que no sea posible

términos en x : 1 0a b+ + =

términos en 3x : 03 ! 3

a b- + =

resolviendo este sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, se obtiene la solución

2 1;

3 3a b= - = -

Con estos valores de a y b , ( )f x será un infinitésimo de orden 5. El término de grado 5 es el que

nos dará el valor principal, que calculamos

2 162 16 13 3

5! 15 120 120 20

a b a b - -++ = = = -

El valor principal de ( )f x es 5

20

x- .

Sea 2sen

( )sen

senxxe x ax bxf x

x x

+ + +=

a) Obtener los valores de a y b para que ( )f x sea continua en 0x = .

b) Hallar a y b para que ( )f x sea infinitésimo en 0x = . En este caso hallar el orden de

( )f x y un infinitésimo de la forma pAx que sea equivalente a ( )f x .

Solución

a) Para 0x = , la función no está definida ya que se el denominador se anula.

11


31

Veamos si se puede extender la definición de la función en dicho punto por continuidad, esto es,

si es posible calcular a y b con la condición de que exista 0

lím ( )x

L f x

= . Si fuera posible,

bastaría definir (0)f L= para garantizar la continuidad en el origen.

Utilizamos aproximaciones de Taylor de tercer grado:

3

3sen

sen6

1 sen 16

x

xx x

xe x x

ìïï » -ïïïíïï » + » + -ïïïî

Sustituyendo,

3 32

sen 2

30 0

16 6sen

lim limsen

6

x

x x

x xx x x ax bx

xe x ax bxL

x x xx x

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ - + - + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+ + += = =

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 3 4

02 4

1 12 1

6 6lim 11

6

x

x a x b x xb

x x

+ + + - -= = +

-, si 2a = -

Por tanto f es continua en el origen si 2a = - y b es cualquier valor real.

b) Para que f sea un infinitésimo en el origen debe ser 0L = , es decir 2a = - y 1b = - .

En este caso,

3 42

20 0 02 4

1 1

6 6lim ( ) lim lim1 66

x x x

x x x xf x

xx x

- - - -= =

--

Sea ( ) pg x Ax= , para que ( )g x sea infinitésimo equivalente a ( )f x debe cumplirse,

( )2 2

220 0 0

1( )

lim 1 lim lim 1 6( ) 66 1

p ppx x x

f x x x x x A

g x Ax AxAx x p+

ìïï- - - - = -ïï= = = íï-- ï =ïïî

Por tanto, 1

( )6

g x x= - .

Se consideran los rectángulos que están situados en la región del plano limitada por las

curvas 2

2

xy = e 2y x= , que tienen un vértice en cada curva, que tienen sus lados paralelos

a los ejes y sus lados horizontales miden 1

2 (ver figura). Determinar de entre todos ellos, aquél

que tiene área máxima.

12


32

Solución

Sean las coordenadas del punto P: 21,2

a aæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

.

Entonces las coordenadas del punto Q son 1 1, 2

2 2a aæ öæ ö÷ç ÷÷çç ÷- - ÷çç ÷÷çç ÷ç ÷è ø÷çè ø

El área del rectángulo es: 21 1 12

2 2 2A AP AQ a a

æ öæ ö ÷ç ÷ ÷çç ÷= = - - ÷çç ÷ ÷çç ÷ç ÷è ø ÷çè ø

1 10 2 1 1

2 2 1A a a a

a

æ ö÷ç ÷¢ = - = - =ç ÷ç ÷çè ø-

Resolviendo esta ecuación resulta 1a = luego P1

1,2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø y Q

1,1

2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø. El rectángulo solución es

entonces un cuadrado.

Calcula los lados del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en la elipse de

ecuación 2 2

2 21

x y

a b+ =

Solución

Función a maximizar: 4Area xy=

Será máxima cuando:

( )0 4( ) 0

d Areay xy

dx¢= + =

13


33

Se calcula y ¢ derivando implícitamente la ecuación de la elipse:

2

2 2 2

2 20

x yy b xy

a b a y

¢¢+ = = - Sustituyendo en 0y xy ¢+ = se tiene:

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 20 0

a y x b b xa y x b y

a y a

-= - = =

Y como x e y están sobre la elipse, verificarán 2 2

2 21

x y

a b+ = , por tanto:

2 2

2 2

2 21 ,

2 2

x x a bx y

a a+ = = =

Por la naturaleza geométrica del problema se deduce que éstos valores sólo pueden corresponder a un máximo de la función Área. El valor del área máxima será

2Area ab=

Dada las funciones f y g derivables se considera la función 2h x f x g x . Calcula

( )' 2h sabiendo que: ( )2 1g = , ( )' 2 2g = , ( )4 3f = , ( )' 4 4f = .

Solución

Aplicando la regla de la cadena a la función ( ) ( )( )2h x f x g x= se tiene que:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2' ' 2 'h x f x g x xg x x g x= +

Sustituyendo en x=2

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )' 2 ' 4 2 4 2 4 ' 2 ' 4 4 8 4 12 48h f g g g f= + = + = ⋅ =

Dada la función ( ) log 12

xf x

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø, se pide calcular, utilizando un polinomio de Taylor,

un valor aproximado de ( )log 0.5 con un error menor que 210- .

Solución

Como se pide obtener un valor aproximado para log(0.5) se tendrá que 1

log 1 log2 2

xæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

para x=1. Tomamos a=0.

En este ejercicio se trata de escribir el resto del polinomio de Taylor de grado n de la función f en el punto a=0 cuando el valor de x=1 y, una vez acotado, analizar para qué valor de n se podría

asegurar que el resto es menor que 210- . La expresión del resto de orden n en general es:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( 11

,1 !

nn

n

f tR x x a t a x

n

++

= - Î+

En este caso

14

15


34

( ) ( )( ) ( )

( 1

0,11 !

n

n

f tR x t

n

+

= Î+

Calculamos entonces la derivada de orden n+1 de f.

( ) log 12

xf x

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( ) 11 1 1' 2

2 21

2

f x xx x

-æ ö÷ç ÷= - = = -ç ÷ç ÷ç -è ø-

( ) ( )( ) 2'' 1 2f x x

-= - -

( ) ( )( )( ) 3''' 1 2 2f x x

-= - - - …

( ) ( ) ( ) ( )1( 1 1 ! 2n nnf x n x- -

= - - -

El resto del polinomio de Taylor de grado n para a=0 y x=1 tiene por expresión:

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )( )

1 1

1

1 ! 2 11 0,1

1 ! 1 2

n n n

n n

n tR t

n n t

- + +

+

- - -= = Î

+ + -

Acotando el resto:

( )( )( )

( )1

1 11 0,1

11 2n nR t

nn t+

= < Î++ -

Para asegurar que el resto sea menor que 210- basta elegir n cumpliendo

1 1

1 100n<

+

es decir, n=100.

Para calcular el valor aproximado de log(0.5) calculamos la aproximación por el polinomio de Taylor de grado 100

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(100

2 100

100

' 0 '' 0 00 ...

1! 2 ! 100 !

f f fT x f x x x= + + + +

Considerando siendo ( ) ( )(1 !

02

n

n

nf

-= - y 1x = .

Estudiar la existencia de extremo en el origen de la función

( ) ( sen )(Ch 1)f x x x x x= - -

Solución

Considerando los polinomios de Taylor en el origen:

16


35

3 3

sen6 6

x xx x x x

æ ö÷ç ÷- » - - =ç ÷ç ÷÷çè ø

2 2

2 21 1

2 2Ch 1 Ch 1

2 2 2 2

x x

x xx x

e e x xx x

-

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ + + - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+= » » + - »

se tiene

3 2 6

( ) ( sen )(Ch 1)6 2 12

x x xf x x x x x x= - - » =

Como la primera derivada no nula en el origen de la función ( )f x es la sexta, siendo además

positiva, la función tiene un mínimo local en este punto.

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