CAPITULO5.ECUACIONESDIFERENCIALESDEORDENN2

5.1.Introduccin

Unaecuacindiferencialdesegundoordenesunaexpresinmatemticaenlaqueserelacionaunafuncinconsusderivadasprimeraysegunda.Esdecir,unaexpresindeltipo()

Laecuacinanteriorsediceescritaenformanormalcuandotenemos:()

5.2.Reduccindeorden

Estemtodoconsisteenreducirelproblemaderesolverunaecuacindiferencialdesegundoordenaunproblemaderesolverunaomsecuacionesdiferencialesdeprimerorden.Casosaconsiderar

5.2.1.Ecuacionesquenocontienenlavariabley.Sealaecuacin()=0.Haciendo,sededuce.Portantolaecuacindiferencialdadasetransformaenlaecuacindiferencialdeprimerorden

fx,p,p'0

Resolviendoestaecuacinseobtienep,dedondefinalmente,setiene

ypxdxyx,C1,C2

5.2.2.Ecuacionesquenocontienelavariablex.Sealaecuacin()=0.Haciendo,setiene

y

dydx

dpdydydx

p

dpdy

Laecuacindadasetransformaen

fy,p,pdpdy

0

Resolviendoestaecuacinseobtienep,dedondeposteriormenteseobtiene

1

yx,C1,C2

5.3.Ecuacionesdiferencialeslinealesdesegundoorden

Laecuacinlinealgeneraldesegundoordenpuedeescribirseenlaformaestndar

yPxyQxyRx

EnlacualP(x),Q(x),R(x)sonfuncionesconocidas

Teorema1.DeexistenciayunicidadparaelproblemadelvalorinicialSeanP,Q,RfuncionescontinuasenunintervaloIyseax0I.Seany0,y0dosnmerosrealescualesquiera.Elproblemadelvalorinicial

yPxyQxyRx,yx0y0,yx0y0

tienesolucinnicadefinidaenI

5.4.Ecuacionesdiferencialeslinealeshomogneasdesegundoorden

Laecuacinlinealgeneraldesegundoorden

yPxyQxyRx

eshomognea,siR(x)=0,xI

yPxyQxy0

Teorema2.Seanverifica

y1,y2solucionesdelaecuacinlinealhomogneaenunintervaloI.Entoncesse

1.

y1y2esunasolucinenI

2.Paracualquierconstantec,

cy1esunasolucinenI

2

Lasrelaciones(1)y(2)sepuedencombinardelaformasiguiente.Siy1,y2sondossolucionesdelaecuacinanteriorc1y1c2y2esunasolucinparadosconstantescualesquiera

Definicin1.Lassoluciones

y1,y2sonlinealmentedependientesenunintervaloIsiexistendos

nmerosrealesnotodosnulostalesquec1y1+c2y2=0

Silarelacinanteriorsolamenteseverificasic1=c2=0entoncesy1,y2sonlinealmenteindependientes.Lassolucionesy1,y2formanunsistemafundamentaldesolucionessisonlinealmenteindependientes

Teorema3.Estudiodelwronskianoparalaindependencialineal

Sealaecuacinhomogneadesegundoorden()(),yseany1,y2solucionesdelaecuacindiferencialdadaenelintervaloI.SedemuestraquesielWronskianode[y1,y2]quevienedadoporeldeterminante

Wy1,y2

y1xy2xy1xy2x

esdistintodecero,entoncesy1,y2sonlinealmenteindependientes

Teorema4.Seany1,y2solucionesindependientesde:()()enunintervaloI.Sedemuestraquetodasolucindelaecuacindiferencialesdelaformay=c1y1+c2y2,siendoc1,c2constantes.Lacombinacinlineal:c1y1+c2y2eslasolucingeneraldelaecuacindiferencialsiy1,y2sonlinealmenteindependientes.Estasolucincontienetodaslasposiblessolucionesdelaecuacindiferencial

5.4.1.Obtencindeunasegundasolucinapartirdeunasolucionconocida.Sealaecuacinlinealhomogneadesegundoorden

()()

Supongamosqueseconoceunasoluciny1delaecuacindiferencial.Setratadebuscarunasegundasolucinlinealmenteindependientedelaforma

y2(x)=u(x)y1(x)

3

Calculemosy2,y2ysustituyamosenlaecuacindiferencial,setieneentonces

2y1Py1y1Py1Qy1y1u''u'u0

Comoy1Py1Qy10.Lanuevaecuacindiferencialser

uy12y1Py1u0

Haciendo,laecuacindiferencialdadasetransformaen

pPp02y1y1

Ecuacinlinealdedondeobtenemosp.Acontinuacinsecalculauenfuncindep,conlocualy2(x)=u(x)y1(x)esunasolucindelaecuacindiferencialoriginal,siendoy1,y2linealmenteindependientesyaqueu(x)noesconstante.Portantoy1,y2formanunconjuntofundamentaldesolucionesdelaecuacinoriginal.Lasolucingeneralesdelaformay=c1y1+c2y2

5.5.Ecuacionesdiferencialesdesegundoordenconcoeficientesconstantes

Estaecuacinesdelaforma()

Supongamosq(x)=0.Estaecuacintienesiempresolucionesdeltipoexponencialdelaformay=erx.Lasustitucindeestasolucinenlaecuacindiferencialnosda

r

2

arberx0

Comoerx0,x,setieneque.Estaecuacinsellamaecuacincaractersticadelaecuacindiferencial.Lasracesdanvaloresderparaloscualeserxesunasolucindelaecuacin.Estasracesson

r

aa24b2

Lasracespuedenser:Dosracesrealesdistintas.Unarazrealdoble.Racescomplejasconjugadas

4

1.Laecuacincaractersticatienedosracesrealesdistintas.Seanr1yr2estasraces,portanto

y1er1x,y2er2xsonsolucionesdelaecuacin

diferencial.Estassolucionessonlinealmente

2.Laecuacincaractersticatienedosracesrealesiguales.Enestecaso:a-4b=0.Unasolucindeestaindependientesencualquierintervaloporserelwronskiano0,luegoy1,y2formanunconjuntofundamentaldesoluciones,portantolasolucingeneraldelaecuacinhomogneaes

yc1erx1c2er2x

2

xecuacindiferenciales:ye

a2

Paraobtenerunasegundasolucinbuscamossolucionesdelaforma:

()().Lasolucingeneraldelaecuacindiferencialser

xyxc1c2xe

a2

3.Laecuacincaractersticatienedosracescomplejasconjugadas.Enestecaso:a2-4b0

Pararesolverestaecuacinsehaceelcambiot=Lx,conlocuallaecuacindiferencialdadasetransformaenlaecuacindecoeficientesconstantes

()

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