Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

UNIDAD 2: Álgebra lineal.

Tema 5. Introducción al Álgebra lineal.

Problemas

1. En IR2 se definen:

22121

22112121

,,

,,,

aaaa

bababbaa

Estudiar si le dotan de la estructura de espacio vectorial. 2. Escribir el vector )5,3(u como combinación lineal de )2,1(1 u , )1,0(),1,1( 32 uu de

dos formas diferentes y en ambos casos con todos los coeficientes no nulos. 3. Comprobar que los vectores 1u y 2u del ejercicio anterior son linealmente independientes y

hallar todas las combinaciones lineales posibles de estos vectores que dan lugar al vector u . 4. Demostrar que el conjunto )1,0(),1,1(),2,1(2 S es sistema generador de IR2. 5. Hallar las coordenadas del vector 3+1i respecto de las bases canónica y iiB 1,23

del espacio vectorial de los números complejos. 6. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

a) )1,1,2(1 S .

b) )0,0,0(2 S .

c) )0,0,0,0(),0,1,2,3(),1,2,0,1(3 S .

d) )1,0,2,0(),0,1,1,2(),1,0,1,0(),0,1,0,2(4 S .

e) )1,0,1,0(),0,1,0,2(5 S .

f) )1,0,2,0(),0,1,1,2(),0,1,0,2(6 S .

g) )1,0,31(),3,0,1(7 S .

h) )0,1,0(),1,0,31(),3,0,1(8 S .

7. Demostrar:

a) 0con 1 uuS es un conjunto de vectores linealmente independientes.

b) 02 S es un conjunto de vectores linealmente dependientes.

c) Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector 0 , es un conjunto de vectores line-almente dependientes.

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d) Si puuu ,...,, 21 son linealmente dependientes, uno de ellos se puede expresar como com-

binación lineal del resto. e) Si x depende linealmente de puuu ,...,, 21 , y a su vez cada iu depende linealmente de

rwww ,...,, 21 , entonces x depende linealmente de estos últimos.

f) Si nuuu ,...,, 21 son linealmente independientes, también lo son los vectores

nvvv ,...,, 21 , siendo: nn uuuvuuvuv .......;;; 2121211 .

g) Si nvvv ,...,, 21 son linealmente independientes, también lo son los vectores

wvvv n ,,...,, 121 , donde ,...2211 nnvbvbvbw con 0nb .

8. Encontrar tres bases distintas de IR2. 9. Calcular k para que los vectores 2,,3,3,1,2,2,1,1 k sean linealmente dependientes y

encontrar la dependencia (combinación lineal) que hay entre ellos.

10. Demostrar que 32 2,2,2,1 xxxB forman una base del espacio vectorial IP3(x) y

hallar las coordenadas del polinomio 33 x respecto de B. 11. Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de los espacios

vectoriales que se indican y en caso afirmativo hallar su dimensión y una base. a) 032/,, zyxzyxA en IR3.

b) 5/,, zyxzyxB en IR3.

c) IR/3,2, xxxxC en IR3.

d) IR,/,,2 babbabaD en IR3.

e) 432,IR/ 212

210 aaaxaxaaE i en IP2(x).

f) IR/44

220 iaxaxaaF en IP4(x).

12. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio engendrado por los siguientes

conjuntos de vectores: a) 1,3,1,2,1,2 A .

b) 12,3,2,7,3,3,1,2,2,1,0,1 B . A. de la Villa, “Problemas de Álgebra con esquemas teóricos”, Ed. CLAGSA, 1998. (Tema 1)