Tema 6 Estadística

7/25/2019 Tema 6 Estadstica

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Tema 6: INFERENCIA ESTADSTICA:Estimacin puntual e intervalos de confianza

Introduccin

En temas anteriores hemos estudiado la Estadstica Descriptiva que se dedica al

anlisis y tratamiento de datos.

A partir de ellos resume, ordena y extrae los aspectos ms relevantes de la informacin

que contienen. Sin embargo, los objetivos de la Estadstica pretenden adems extraer

conclusiones para la poblacin de la que fueron extrados.

A esta ltima tarea la llamamos Inferencia Estadstica.

Obtendremos las muestras de forma aleatoria y por tanto necesitaremos la Teora de

la Probabilidad vista anteriormente para valorar nuestras afirmaciones. Hemos visto

algunos modelos de variables discretas y continuas para una poblacin y sus

caractersticas ms importantes, como la media y varianza poblacionales y otros

parmetros. En este tema vamos a construir estimadores de los parmetros de inters

a partir de una muestra y adems vamos a estudiar qu propiedades deben tener los

estimadores para obtener buenas estimaciones.

Comenzamos recordando algunos conceptos bsicos para este tema ya introducidos

anteriormente:

La Inferencia Estadstica es una tcnica matemtica basada en el Clculo de

Probabilidades que tiene por objeto incrementar el conocimiento acerca de

una poblacin a partir de la informacin facilitada por muestras de la misma.

Poblacines un conjunto finito o infinito de individuos sobre los que interesa

estudiar una caracterstica. Por ejemplo deseamos conocer el gasto de los

turistas que pernoctan, en Galicia durante un cierto mes, en hoteles de dos,

tres o cuatro estrellas. O queremos conocer la intencin de voto de los

electores en las siguientes elecciones.


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Tema 6: Estimacin puntual e intervalos de confianza

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M. Angeles Fdez. Sotelo

Cuando se recoge informacin de la caracterstica de inters en todos y cada uno de

los elementos de la poblacin se dice que se est realizando un censou observacin

exhaustiva.

Al resultado de medir la caracterstica de inters sobre un subconjunto de la poblacinse le denomina muestra. Con esto la informacin ser manejable y evitaremos el coste

que conlleva, en algunos casos, trabajar con toda la poblacin.

El tamao muestrales el nmero de elementos que componen la muestra.

Cabe hablar de una primera distincin, al hablar de Inferencia, segn la naturaleza del

problema que se plantee:

1) Inferencia paramtrica: cuando conocemos de qu tipo es la variable de

inters y queremos averiguar el parmetro o parmetros de los que depende.

Por ejemplo, la variable de inters puede ser la estatura de una poblacin, se

sabe que es Normal y nos interesan los parmetros y 2, es decir, la media y

la varianza de la estatura. A su vez, dentro de la inferencia paramtrica,

vamos a distinguir distintos enfoques:

a) Estimacin puntual: como valor del parmetro desconocido vamos a dar

un nmero.

b)

Intervalos de confianza: daremos un intervalo que contiene al parmetro

con un cierto "nivel de confianza".

c) Test (o contraste) de hiptesis: tenemos una hiptesis sobre el valor del

parmetro desconocido y se trata de aceptar o rechazar esa hiptesis

utilizando la informacin que nos proporciona la muestra.

2) Inferencia no paramtrica: cuando no conocemos de qu tipo es la variable de

inters. Tambin se pueden plantear las tareas de estimacin, intervalos de

confianza y contrastes de hiptesis, aunque las tcnicas estadsticas son

diferentes.

Consideramos un experimento aleatorio sobre el cual medimos una cierta variable

aleatoria, que denotaremos por X. El objetivo es estudiar la variable aleatoria X, cuya

funcin de distribucin F es en mayor o menor grado desconocida.

Ejemplo 1: Provocamos una reaccin qumica y medimos el calor que se desprende: X.


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3


Nos interesa saber qu valores puede tomar y con qu probabilidades, esto es, su

distribucin.

Ejemplo 2: Queremos conocer la proporcin de individuos con cierta caracterstica en

una poblacin. El experimento consiste en extraer uno al azar y as la distribucin deBernoulli que indica la presencia de la caracterstica tiene como parmetro la

proporcin desconocida.

Suponemos que la distribucin de X, an siendo desconocida, sigue un modelo como

los del tema anterior. En el caso del calor desprendido en la reaccin del Ejemplo 1,

podra ser normal, y en el caso de la proporcin del Ejemplo 2, es claramente de

Bernoulli.

As, el problema se reduce a averiguar los parmetros caractersticos.

Vamos a estudiar los distintos enfoques citados dentro de la inferencia paramtrica.

Hacemos notar que los resultados que obtendremos son vlidos para el caso de

poblaciones infinitas o muy grandes. En caso contrario hay que hacer algunas

modificaciones, debido al cambio de valor de los errores muestrales.

ESTIMACIN PUNTUAL DE UNA MEDIA Y DE UNA PROPORCIN

Supongamos un experimento aleatorio susceptible de repeticin en unas condicionessimilares (por ejemplo, supongamos que seleccionamos personas en una comunidad).

A cada resultado del experimento le asociamos el valor de una variable de inters, X

(por ejemplo, la estatura). Supongamos que conocemos el tipo de la variable (por

ejemplo, es normal) y nos interesa el valor de un parmetro (por ejemplo, la media).

Para obtener informacin vamos a observar repetidamente la variable objeto de

estudio. Estadsticamente, eso quiere decir que vamos a considerar una muestra

aleatoria de tamao n, un conjunto de nvariables:

1 2, ,...,

nX X X

independientes y con la misma distribucin que la variable en estudio. Un valor

concreto de las n variables que constituyen la muestra aleatoria es lo que recibe el

nombre de realizacin muestral o simplemente muestra. (La idea es que vamos a

tomar una muestra de nestaturas, pero los valores de esa muestra dependen de las

personas concretas que consideremos, por tanto realmente partimos de nvariables y

despus consideraremos un valor concreto de cada una de esas variables).


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Un estadsticoes una funcin de la muestra aleatoria. Es tambin una variable

aleatoria y por tanto tendr una cierta funcin de distribucin que se denomina

distribucin del estadstico en el muestreo.

Un ejemplo de estadstico es la "media muestral" (suma de las nvariables dividido porn). Al valor del estadstico para una muestra concreta se le denomina estimacin(por

ejemplo, la media de una muestra de nestaturas).

Cuando en una variable de una poblacin desconocemos un parmetro y como valor

de ese parmetro tomamos una estimacin, diremos que estamos ante un problema

de estimacin puntual.

Cuando un estadstico se utiliza en un problema de estimacin puntual se le

denomina estimador.

Indudablemente el problema est en elegir un "buen" estimador, es decir, una funcin

de la muestra con "buenas propiedades":

Insesgado(centrado): el valor esperado del estimador (su centro) coincide con

lo que queremos estimar.

Eficiente: es el de mnima varianza entre los insesgados.

Consistente: al aumentar el tamao muestral el estimador se acerca

indefinidamente al parmetro que queremos estimar.

Formalmente,

Llamamos sesgode un estimador para un parmetro poblacional a

Sesgo ( )=E ( )-

y diremos que el estimador es insesgadosi su sesgo vale cero.

Definimos el error cuadrtico medio de un estimador

para un parmetropoblacional como

E ( -)2= (Sesgo ( ))

2+Var ( )

y diremos que dicho estimador es consistentesi lim E( - )2= 0 , cuando n tiende a .

Es intuitivo y se puede demostrar matemticamente que, en general, un buen

estimador de un parmetro poblacional (media, proporcin, etc.) va a ser el

correspondiente parmetro muestral (media de la muestra, proporcin muestral, etc.),

aunque en algn caso deba modificarse ligeramente. Por ejemplo, para estimar la

varianza de una poblacin la varianza muestral no es un estimador insesgado y

podemos sustituirlo por la cuasivarianza muestral, definida como


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5


2

2 1

1

n

i

i

X

n

(es decir, dividimos por n-1 en vez de hacerlo por n).

Observemos que, al ser la varianza muestral

22 1

n

i

i

X

sn

, se tiene

2 2

1

ns

n

Ejemplo de Estimacin Puntual

Supongamos que nuestra poblacin es un conjunto de 4 nmeros:

{0, 2, 3, 5}

y que deseamos conocer la proporcin, p, de cincos en la poblacin. Obviamente la

respuesta es:

10.25

4p

Pero vamos a utilizar argumentos propios de inferencia estadstica para obtener

aproximadamente el valor de p. (Ntese que el problema que estamos tratando

presenta caractersticas anlogas, por ejemplo, al de conocer la proporcin devotantes de un partido poltico antes de unas elecciones, proporcin de piezas que

fallan en una instalacin,).

Para resolver el problema, en lugar de trabajar con toda la poblacin, vamos a

considerar una muestra (con reemplazamiento) de tamao 2 y vamos a considerar

como estimador la proporcin de cincos en la muestra, es decir, la proporcin

muestral. Esta proporcin muestral es, en principio, una variable aleatoria, porque

depende de la muestra.

Posibles muestras (de tamao 2):

0, 0 0, 2 0, 3 0, 5

2, 0 2, 2 2 ,3 2 ,5

3, 0 3, 2 3, 3 3, 5

5, 0 5, 2 5, 3 5, 5

La proporcin muestral es, en este caso, una variable discreta, que se distribuye de la

siguiente forma:


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6


ix

ip

i ix p 2

i ix p

0 9/16 0 0

1/2 6/16 6/32 6/64

1 1/16 1/16 4/64

La media de esta variable es 0.25 (precisamente el verdadero valor de p) y su

varianza es 3/32.

Las posibles estimaciones son 0, 1/2 y 1.

Notemos que ninguna estimacin coincide con el verdadero valor dep.

Tomando muestras de tamao 3, las estimaciones que se pueden conseguir son: 0,

1/3, 2/3 y 1.

En la prctica, en un problema de estimacin puntual:

1) Fijaremos el tamao de la muestra, de acuerdo con ciertos criterios.

2) Obtendremos una muestra de tamao n, por medio de algn mtodo de

muestreo.

3) Calcularemos el valor del estadstico para nuestra muestra. Ese valor, que es

una estimacin, nos da un valor aproximado para el parmetro desconocido.

Dado que el estadstico es una variable, si elegimos una muestra distinta obtendremos

una estimacin distinta. Por eso es importante elegir un estadstico con buenas

propiedades, y un tamao adecuado para la muestra.

ESTIMACIN DE UNA PROPORCIN (O PARMETROpDE UNA BINOMIAL)

Consideremos un experimento aleatorio, E, que admite dos posibles resultados:

AyAc

siendo ( )p p A

Si X es la variable aleatoria nmero de veces que ocurre A en una prueba de este

experimento, sabemos queXes una variable aleatoria binomial de parmetros 1 yp.

Si p es desconocido, vamos a considerar 1 2, ,..., nX X X , n variables aleatorias

independientes con la misma distribucin que X, es decir, vamos a considerar n

pruebas del experimento E y definimos el siguiente estadstico al que se denomina

proporcin muestral:


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7


nmero de veces que ocurre en pruebas

A np

n

Como todo estadstico, p es una variable aleatoria. Se puede probar que para n

grande:

(1 ) ,

p pp N p

n

As pues, el estadstico p tiene las siguientes propiedades:

p tiene distribucin Normal.

p es una variable, ahora bien, aunque puede tomar diferentes valores se

verifica que

E p p . Como hemos dicho, un estadstico cuya esperanza esel verdadero valor del parmetro se dice que es insesgado.

La varianza del estadstico es importante. De poco sirve que su esperanza

coincida con el parmetro desconocido si presenta mucha varianza. En nuestro

caso lim ( ) 0n

V p

.

Ejemplo

El fabricante de un determinado tipo de lmparas desea averiguar la proporcin de

lmparas defectuosas que produce. Para ello selecciona y prueba 200 unidades y

descubre un total de 80 unidades defectuosas.

Una estimacin de la proporcinde lmparas defectuosas es

p = 80/200=0.4

ESTIMACIN DE LA MEDIA DE UNA VARIABLE NORMAL

Consideramos una poblacin en la que la variable de inters, X, sigue una distribucin2( , )N . Si

1 2

, ,...,n

X X X es una muestra aleatoria, vamos a definir el

siguiente estadstico, al que denominamos media muestral:

1 2 ...

n

X X X

n

, se tiene que

2

,Nn

.

Por tanto, vemos que este estadstico tambin es insesgado.


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Si n es grande, sigue siendo aproximadamente

2

,Nn

sin necesidad de

exigir queX sea2( , )N . Por ello, las tcnicas que veremos a continuacin para la

media de poblaciones normales, siguen siendo vlidas para poblaciones que no sean

normales, si las muestras son grandes.

Ejemplo

En una poblacin de 10000 individuos se sabe que la estatura sigue una distribucin

aproximadamente normal, y estamos interesados en estimar la estatura media. Para

ello se elige una muestra de 50 individuos elegidos al azar, se miden sus estaturas y se

calcula la media de esos 50 valores; se obtiene como media 162 cm.

Este valor, =162, constituye una estimacin de la mediade la poblacin.

OBTENCIN DE INTERVALOS DE CONFIANZA

La estimacin puntual tiene el inconveniente de que no tenemos una medida de la

seguridad con la que el estadstico se aproxima al verdadero parmetro. Para poder

dar respuesta a esta cuestin construimos intervalos de confianza, que permiten

precisar la incertidumbre existente en la estimacin.

Un intervalo de confianza es aqul cuyos extremos son funciones de una

muestra aleatoria (y por tanto variables aleatorias) y que contienen al

parmetro con una cierta probabilidad que se denomina nivel de confianza.

Sea el parmetro desconocido y1

L y2

L los extremos del intervalo. Se dice

que el intervalo 1 2,L L tiene un nivel de confianza 1 , 0 1 , sidicho intervalo contiene al parmetro con probabilidad1 .

El nivel de confianza se suele expresar en tanto por cien, as un intervalo de confianzadel 95 por cien es un intervalo de extremos aleatorios que contiene al parmetro con

una probabilidad de 0.95.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIN

Si p es la proporcin de individuos que en una poblacin verifican una cierta

propiedad, un intervalo de confianzade nivel 1 para dicha proporcinser, paravalores grandes de n:


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2 2

(1 ) (1 ) ,

p p p pp z p z

n n

Donde, como sabemos, 2z es tal que, si ZN(0,1), 2( ) 2P Z z y p denota la proporcin muestral.

Notemos que a mayor valor de n, menor longitud del intervalo de confianza y que a

mayor nivel de confianza mayor longitud del intervalo.

Ejemplo

Con los datos: El fabricante de un determinado tipo de lmparas desea averiguar la

proporcin de lmparas defectuosas que produce. Para ello selecciona y prueba 200

unidades y descubre un total de 80 unidades defectuosas. Obtener un intervalo de

confianzadel 99 por cien para la proporcin de lmparas defectuosas.

El intervalo es:

2 2

(1 ) (1 ) ,

p p p pp z p z

n n

Sustituyendo 0.4p ,2 2.575z

y n=200 se obtiene el intervalo

(0.311,0.489).

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA VARIABLE NORMAL

Consideramos ahora una poblacin en la que la variable de inters, X, sigue una

distribucin2( , )N . Vamos a estudiar el intervalo de confianza para la media,

de nivel 1 en distintas situaciones:

Cuando la varianza de la poblacin es conocida, el intervalo es:

2 2 ,z z

n n

Cuando la varianza de la poblacin no es conocida, el intervalo adecuado es:

1; 2 1; 2

,

n nt t

n n


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siendo1; 2n

t

tal que si tes una distribucin t de Student con n-1grados de

libertad, se tiene 1; 2( ) 2nP t t y es la cuasidesviacin tpica

muestral, estimacin de la desviacin tpica, que viene dada por

21

1

n

i

i

X

n

Cuando la varianza de la poblacin no es conocida, y el tamao de la muestraes grande(nmayor que 30), debido a la aproximacin de la distribucin t a lanormal, el intervalo anterior puede sustituirse por

2 2

,z z

n n

Vemos que es el mismo intervalo del caso de varianza conocida sustituyendo la

varianza por su estimacin.

Ejemplo

La administracin de una empresa desea saber el tiempo que los trabajadores

emplean en desplazarse al trabajo. Para ello observa una muestra de 200 trabajadores,

que dan un tiempo medio de 45 minutos y una desviacin tpica de 30 minutos.

Vamos a calcular un intervalo de confianza del nivel 95% para el tiempo medio.

Se trata de un caso de varianza desconocida y tamao muestral grande por lo que el

intervalo ser2 2

,z z

n n

. Teniendo en cuenta la relacin

entre la varianza y la cuasivarianza, tenemos que200

30199

. Adems

2 1.96z

. Por tanto, el intervalo tendr los lmites 45 4.17

3045 1.96

199

,

con lo cual se obtiene (40.83, 49.17).

Si la muestra fuese de solo 20 trabajadores y la media y desviacin tpica fuesen las

mismas, el intervalo sera1; 2 1; 2

,

n nt t

n n

, suponiendo que la

variable es normal.


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11


En este caso,1; 2 19;0.025

2.093n

t t

y los lmites del intervalo son

45 4.17 45 14.40530

45 2.09319

, es decir (30.595,59.405).

Observemos que es mucho ms amplio que en el caso anterior, lo cual nos confirma

que la precisin de la estimacin es mayor al aumentar el tamao de la muestra.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Consideramos dos poblaciones independientes y en cada una de ellas estudiamos la

proporcin de un suceso A. Estamos interesados en comparar las dos proporciones

(que denotaremosp1yp2), para lo cual construiremos un intervalo de confianza para la

diferenciap1-p2. Haremos n1pruebas en la primera poblacin y n2en la segunda.

Se obtiene el siguiente intervalo de confianza, para valores de n1y n2suficientemente

grandes:

1 1 2 2 1 1 2 21 2 2 1 2 2

1 2 1 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ,

p p p p p p p pp p z p p z

n n n n

siendo1

p y2

p las proporciones muestrales.

Ejemplo

Se quiere estimar la diferencia de proporciones de estudiantes de dos titulaciones que

encuentran trabajo cuando terminan sus estudios. Observados 200 individuos de cada

titulacin, con la primera se colocaron el 85% mientras quede la segunda se colocaron

el 80%. Determinar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de

proporciones.

Los valores para sustituir en la expresin del intervalo son1

p =0.85,2

p =0.80,

2z

=1.96, n1=n2=200 con lo cual se obtiene el intervalo de lmites

0.850.15 0.800.20.85 0.80 1.96200 200

, que resulta ser (-0.0243, 0.1243).

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE POBLACIONESNORMALES INDEPENDIENTES

Consideramos ahora dos poblaciones en donde las variables de inters sern X e Y,

independientes y con distribuciones2

1 1( , )N y 2

2 2( , )N respectivamente.

Con el objeto de poder comparar las dos medias, construiremos un intervalo de


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confianza para la diferencia 1-2. Tomaremos dos muestras,11 2

, ,...,n

X X X y

21 2, ,...,

nY Y Y . Al igual que en el caso de una poblacin, debemos distinguir varias

situaciones:

Las dosvarianzas sonconocidas. En este caso, el intervalo ser

2 2 2 2

1 2 1 21 2 2 1 2 2

1 2 1 2

,z zn n n n

Las varianzas son desconocidas pero podemos suponer que son iguales. Seobtiene el intervalo cuyos lmites son

1 2

2 2

1 1 2 21 2 2; 2

1 2 1 2

( 1) ( 1) 1 1

2n n

n nt

n n n n

Las varianzas son desconocidas y no podemos suponer que son iguales.Cuando los tamaos muestrales son suficientemente grandes, podemos utilizar

el mismo intervalo que en el caso de varianzas conocidas sustituyndolas por

sus estimaciones (cuasivarianzas), es decir, obtendremos el intervalo

2 2 2 2

1 2 1 21 2 2 1 2 2

1 2 1 2

,z z

n n n n

pero si las muestras son pequeas, este intervalo no resulta adecuado y debe

sustituirse2

z

por ; 2ft en dondefviene dado por la llamada aproximacin

de Welch, que no estudiaremos.

Ejemplo

Se quiere comparar la eficiencia de dos lneas de produccin de una empresa, para locual se observa el nmero de piezas fabricadas en cinco das por cada una de ellas. En

la primera han sido 50, 48, 53, 60 y 37 mientras que en la segunda 40, 51, 62, 55 y 64.

Vamos a construir un intervalo de confianza al nivel 95% para la diferencia de medias

suponiendo que las variables son normales y las varianzas son iguales (en realidad, a

partir de los datos podramos deducir que esta suposicin efectivamente es admisible,

pero no vamos a estudiar la tcnica correspondiente).


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Sabemos que en este caso el intervalo viene dado por

1 2

2 2

1 1 2 21 2 2; 2

1 2 1 2

( 1) ( 1) 1 1

2n n

n nt

n n n n

De los datos deducimos1

=49.6,2

=54.4, 21 =8.38

2, 22 =9.61

2,

1 2 2; 2 8;0.025n nt t

=2.306, n1=n2=5 y, haciendo las operaciones, resulta

24.80 2.3069.02 4.80 13.16

5 , es decir, el intervalo es

(-17.96, 8.36)

Tema 6 Estadística

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