Tema 6: Integración · 2020. 9. 6. · Unidad 6: Integración 2º Bachillerato – Matemáticas...

Unidad 6: Integración 2º Bachillerato – Matemáticas CCSS II

75

Tema 6: Integración

1. Primitiva de una función

Como hemos visto, la derivación es una técnica que nos permite encontrar la derivada de una función

dada. Así, dada la función ( ) 3 2F x x= + , su derivada es la función ( ) ( ) 2' 3f x F x x= = .

El diagrama anterior sugiere plantearnos el proceso o técnica contraria, es decir, dada la derivada

( ) ( )'f x F x= encontrar una función ( )F x o primitiva de ( )f x de la que procede la derivada dada. Se

trata pues de, dada ( ) ( ) 2' 3f x F x x= = , hallar una primitiva de ella, por ejemplo ( ) 3 2F x x= + , de

manera que la derivada de ésta coincida con la función dada.

Esta técnica o proceso contrario a la derivación recibe el nombre de integración.

En el párrafo anterior hemos hallado una primitiva ( ) 3 2F x x= + de la función ( ) 23f x x= . Ahora bien, las

funciones ( ) 3

1 25F x x= − , ( ) 3

2 5F x x= + y en general, ( ) 3F x x C= + , donde C , son también

funciones primitivas de ( ) 23f x x= . De esto se deduce que una función f dada tiene infinitas primitivas y

la única diferencia entre dos cualesquiera de ellas es una constante.

Ejemplos

1. Dada la función ( ) 45 2f x x= − , dos primitivas suyas son ( ) 5

1 2 7F x x x= − + ;

( ) 5

2 2 13F x x x= − − . Son ambas primitivas de f , pues ( ) ( ) ( )1 2' 'F x F x f x= = . En general una

primitiva de ( )f x es una función de la forma ( ) 5 2F x x x C= − + , donde C es un número real

cualquiera (una constante).

2. Si queremos hallar, por ejemplo, la primitiva de ( ) 2 2 1f x x x= − + cuyo valor o imagen sea 3 para

2x = , calculamos la primitiva en general, y sustituimos por 2x = , es decir:

( ) 3 21 8 22 2 2 2 4 2

3 3 3F C C C= − + + = − + + = +

Este valor queremos que valga 3 , así pues 2

33

C+ = , de donde 7

3C = . Por tanto, se tiene que la

primitiva que cumple las condiciones iniciales es la función: ( ) 3 21 7

3 3F x x x x= − + + .

Función

( ) 3 2F x x= +

Función derivada

( ) ( ) 2' 3f x F x x= = DERIVACIÓN

Integral o primitiva

( ) 3 2F x x= +

Función

( ) ( ) 2' 3f x F x x= = INTEGRACIÓN


76

2. Integral indefinida. Propiedades

En el epígrafe anterior hemos visto que una función f tiene infinitas primitivas. Al conjunto de todas ellas

se le llama integral indefinida de la función f .

La integral indefinida de una función f es el conjunto de todas las primitivas de f , y se representa por

( ) ( )f x dx F x C= + , y se lee integral de ( )f x diferencial de x . C es un número real cualquiera y se

llama constante de integración.

El símbolo integral siempre va acompañado del factor dx , cuyo significado es indicar la variable respecto

de la que se integra.

Las propiedades más importantes de la integral indefinida son:

• La integral indefinida del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral indefinida de la función:

( ) ( )a f x dx a f x dx = ; a

• La integral indefinida de la suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales indefinidas de ambas funciones:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +

Ejemplos

3. 22xdx x C− = − +

4. 5 1

5 5lndx dx x Cx x

= = + x

5dx = 5 x

1 dx = 5·lnx + C

5. 2 2 25 5 52 3 2 3 2 3

4 4 4

x x xe x dx e dx x dx e dx x dx

− + = − + = − + =

335 5

2 3 23 4 4

x xxe x C e x x C− + + = − + + .

3. Métodos de integración

El cálculo de la integral indefinida de una función ( )f x dx depende del tipo de función que integramos.

Por este motivo, existe una gran variedad de métodos de integración. De todos ellos, vamos a ver durante este curso los siguientes:

➢ Método de integración por integrales inmediatas

El método de integración por integrales inmediatas consiste en transformar la función dada, mediante las propiedades de la integral indefinida, en funciones como las que figuran en la tabla siguiente de integrales inmediatas. De esta forma, podemos calcular la integral indefinida aplicando las fórmulas o expresiones que aparecen en la mencionada tabla.


77

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS TIPO DE FUNCIÓN PRIMITIVA SIMPLE PRIMITIVA COMPUESTA

Producto de un número real por una

función ( ) ( )a f x dx a f x dx = ; a ––

Suma o diferencia de funciones

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx = ––

Función constante igual a 1

1dx dx x C= = + ––

Función constante adx ax C= + ; a ––

Función identidad 2

2

xx dx C= + ––

Función potencial: 1n −

1

1

nn x

x dx Cn

+

= ++ ( ) ( )

( )1

'1

n

n f xf x f x dx C

n

+

= + +

Función exponencial de base e

x xe dx e C= + ( ) ( ) ( )'

f x f xe f x dx e C = +

Función exponencial de base a

x xa dx a C= + ( ) ( )( )

'ln

f xf x a

a f x dx Ca

= +

Función logarítmica 1

lndx x Cx

= + ( )

( )( )

'ln

f xdx f x C

f x= +

Ejemplos

6. 33 3 4 3 3 4

2 2 4 1 33

4 3

2 5 2 95 3 5 2 3 5 2 3

3 3 4 3 3 3 4

x x x x xx x dx x dx x dx x dx C C

x x

−−

+ − = + − = + − + = − − + − .

7. ( )( )

532

522

2 72 7 4

53

xx xdx C

−− = + .

8. 3 313

3

x xe dx e dx= = (fíjate que hemos dividido y multiplicado por 3 para que dentro de la integral nos

quede la derivada de 3x) 3

31

3 3

xx e

e C C= + = + .

9. ( )2 2

3

3 3

5 5 12 5ln 4 3

4 3 12 4 3 12

x xdx dx x C

x x= = − +

− − .

10. ( )1

2

2

1 2 1 1 15 2 5 2 ln 1 5

3 1 3 1 3 1

xdx x dx dx dx x x C

x x x

−−

− + = − + = − − + + = − − −

( )1

2ln 1 53

x x Cx

= − − − + + .

11. ( )2 2 2 1 2 2

1 2 1 2 22 1 2 2

x x x x x x xdx dx x x dx x dx x dx C x C

x x x

− − +

= + = + = + = + + = + +

.


78

12. ( )

2 2lnln 1 lnln

2 2

xx xdx x dx C C

x x= = + = + .

➢ Método de integración por partes

Este método de integración se basa en la utilización de la siguiente fórmula

u dv uv vdu= −

que se puede memorizar así: “un día vi una vaca vestida de uniforme” y es útil para el cálculo de integrales, por ejemplo, del tipo

( ) xf x a dx

Ejemplo

13. ( ) ( ) ( ) ( )3

3 3 3 4x

x x x x x x

x

u x dv e dxx e dx x e e dx x e e C x e C

du dx v e

= − =− = = − − = − − + = − +

= = .

Es bueno comentar aquí cómo se ha procedido. Para hacer una integral por partes tenemos que identificar en primer lugar, y valga la redundancia, dos partes. Una de ellas es u y otra de ellas es dv .

En este caso hemos hecho 3u x= − y xdv e dx= . Observa que la parte dv siempre contendrá a dx . Para saber las otras dos partes: du y v (que también aparecen en la fórmula), hemos de derivar u e integrar dv . En este caso du dx= , porque la derivada de 3x− es 1: esto es tanto como decir que la derivada de u respecto de u es igual a la derivada de 3x− respecto de x . También, para obtener v ,

se ha procedido así: x x xdv e dx dv e dx v e= = = (observa que ahora se omite la constante de

integración). Finalmente se aplica la fórmula de integración por partes, para que la parte la integral que aparece en el segundo miembro sea más sencilla de realizar que la integral que teníamos al principio.

➢ Método de integración de funciones racionales

Una función racional es de la forma ( )

( )

p xy

q x= , donde ( )p x y ( )q x son polinomios. Si el grado del

numerador es mayor o igual que el grado del denominador, se divide el primero entre el segundo, con lo

que se obtiene un cociente ( )c x y un resto ( )r x . Entonces se cumple la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( ) ( )p x q x c x r x= + . Dividiendo todos los términos entre ( )q x obtenemos:

( )

( )( )

( )

( )

p x r xc x

q x q x= +

Esta descomposición permite resolver ya algunas integrales.

Ejemplo

14. 5 4 3 2

2

2 10 16 18 9

2 3

x x x x xdx

x x

− − + + −

− − . Como el grado del numerador es 5 y el grado del denominador es

2, dividimos el primero entre el segundo y obtenemos 3 7 2x x− + de cociente y 3x− de resto. Por lo tanto:

5 4 3 2 4 23

2 2 2

2 10 16 18 9 3 7 37 2 2

2 3 2 3 4 2 2 3

x x x x x x x x xdx x x dx x dx

x x x x x x

− − + + − − − = − + + = − + +

− − − + − + .


79

Observando el ejemplo anterior, como los polinomios son sencillos de integrar, el problema se ha reducido

al cálculo de una integral del tipo ( )

( )

p xdx

q x , siendo el grado del numerador menor que el grado del

denominador. Para calcular esta última integral, en primer lugar, descompondremos en factores el

denominador ( )q x . A partir de aquí vamos a considerar tres casos.

✓ Caso 1: el denominador tiene solamente raíces reales simples

Supongamos que estas raíces simples son 1x ,

2x ,… , nx . Entonces ( ) ( )( ) ( )0 1 2 nq x a x x x x x x= − − − , y

podemos escribir ( )

( )1 2

1 2

n

n

p x AA A

q x x x x x x x= + + +

− − −, donde

1 2, , , nA A A son números que se calculan

de la forma que veremos en el siguiente ejemplo. Por lo tanto:

( )

( )( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 2

1 2

ln ln lnnn n

n

p x AA Adx dx dx dx A x x A x x A x x

q x x x x x x x= + + + = − + − + + −

− − −

Ejemplo

15. Calcularemos la siguiente integral racional: 3 2

3 2

2 9 7 6

+

+ + −x

dxx x x

.

Resolviendo la ecuación 06792 23 =−++ xxx (usar la regla de Ruffini), encontramos sus soluciones:

1

1

2x = ,

2 2x = − , 3 3x = − , que son reales y distintas (son tres raíces reales simples). Entonces:

( )( ) ( )( )( )3 2 12 9 7 6 2 2 3 2 1 2 3

2x x x x x x x x x

+ + − = − + + = − + +

3 2

3 2

2 9 7 6 2 1 2 3

x A B C

x x x x x x

+ = + +

+ + − − + +

Vamos a hallar los números A , B y C que cumplen esta condición. La suma de las tres fracciones del

segundo miembro es:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

2 3 2 1 3 2 1 2

2 1 2 3 2 1 2 3

A x x B x x C x xA B C

x x x x x x

+ + + − + + − ++ + =

− + + − + +

Como ( ) ( ) ( )3 22 9 7 6 2 1 2 3x x x x x x+ + − = − + + , los numeradores también deben ser iguales, luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 1 3 2 1 2+ = + + + − + + − +x A x x B x x C x x

Esta igualdad es cierta para cualquier valor que demos a x .

En particular, si hacemos 1

2=x resulta:

1 1 1 1 1 1 1 7 5 73 2 2 3 2 1 3 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A B C A

+ = + + + − + + − + =

de donde 2

5=A . Análogamente, si hacemos 2x = − resulta

4

5=B , y si hacemos 3x = − resulta

1C = − .


80

Por lo tanto:

( ) ( ) ( )3 2

3 2 2 5 4 5 1 1 4ln 2 1 ln 2 ln 3

2 9 7 6 2 1 2 3 5 5

xdx dx x x x C

x x x x x x

+ − = + + = − + + − + +

+ + − − + +

✓ Caso 2: el denominador tiene raíces reales múltiples

Supongamos que 1x es una raíz múltiple de orden k . Eso significa que en la descomposición de ( )q x

aparecerá ( )1−k

x x . Entonces se opera de una forma similar al apartado anterior, haciendo una

descomposición en suma de fracciones. La raíz 1x dará origen a la suma de fracciones:

( ) ( )1 2

1

11 1

−+ + +

−− −

k

k k

AA A...

x xx x x x, donde 1 2, , , kA A A son números que se calculan de la forma que

veremos en el ejemplo siguiente. Integrando la suma de fracciones anterior tenemos:

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 21 2 1 21 1 11

11 1

... ... ln1 2

k kkkk k

AA A A Adx dx dx x x x x A x x C

x x k kx x x x

− + − +

−+ + + = − + − + + − +

− − + − +− −

Ejemplo

16. Calculemos la siguiente integral: 4 3 2

1

3 5 2− − + − dxx x x x

.

Resolviendo la ecuación 4 3 23 5 2 0− − + − =x x x x encontramos que sus soluciones son 1 1=x y

2 2= −x , siendo 1x una raíz triple, es decir: ( ) ( )34 3 23 5 2 1 2− − + − = − +x x x x x x .

Luego: ( ) ( )

3 24 3 2

1

3 5 2 1 21 1= + + +

− − + − − +− −

A B C D

x x x x x xx x, y vamos a hallar los números A , B ,

C , D que cumplen esta condición. La suma de las cuatro fracciones del segundo miembro es:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3

3 2 3

2 1 2 1 2 1

1 21 1 1 2

A x B x x C x x D xA B C D

x xx x x x

+ + − + + − + + −+ + + =

− +− − − +

y como ( ) ( )34 3 23 5 2 1 2− − + − = − +x x x x x x , los numeradores deberán ser iguales, luego:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 2 1 2 1 2 1= + + − + + − + + −A x B x x C x x D x

Esta igualdad es cierta para cualquier valor que demos a x . En particular, si hacemos 2x = − , tenemos

que ( )3 1

1 2 1 1 2727

D D D= − − = − = − . Y si hacemos 1x = : 1

1 1 2 1 33

A( ) A A= + = = .

Por otro lado, si hacemos 0x = : 8

1 2 2 2 2 2 1 2 2 227

= − + − − + = − + − + =A B C D B C A D B C , y si

hacemos 2x = : 8

1 4 4 4 4 4 1 4 4 427

= + + + + = − − + = −A B C D B C A D B C .

Resolviendo el sistema formado por las dos últimas ecuaciones se obtiene 1

9B = − ,

1

27C = . Por tanto:

( ) ( )3 24 3 2

1 1 3 1 9 1 27 1 27

3 5 2 1 21 1dx dx

x x x x x xx x

− −= + + + =

− − + − − +− −


81

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )2 2

ln 1 ln 21 1 1 1 2 5ln 1 ln 2

9 1 27 27 27 276 1 18 1

x xxx x C C

xx x

− +−= − + + − − + + = + − +

−− −.

➢ Método de integración por cambio de variable

Este método se basa en la utilización de la derivada de la función compuesta o regla de la cadena. El método consiste en expresar la función que se va a integrar en función de otra variable de modo que la integral resultante sea inmediata.

Esto se consigue mediante un cambio de variable, y procediendo como sigue:

( ) ( )'x g t dx g t dt= =

( ) ( )( ) ( )'f x dx f g t g t dt=

Una vez obtenidas las primitivas de la última integral en función de t, se deshace el cambio de variable y así obtenemos la integral buscada.

Este método abarca una gran tipología de casos, por lo cual, en este curso, consideraremos los más sencillos.

Ejemplos

17. Para calcular la integral 2

3

1 7

xdx

x+ realizaremos el siguiente cambio de variable: 2 21 7x t+ = .

Derivando en ambos miembros, obtenemos 14 2x dx t dt= . Y despejando dx : 2

14 7

t tdx dt dt

x x= = .

Sustituyendo tenemos 2

2 2

3 3 3 3 31 7

7 7 7 71 7

x x tdx dt dt t C x C

xx t= = = + = + +

+ .

18. Calculemos ahora la integral 5

lndx

x x . Llamemos ln x t= . Entonces 1

dx dtx

= , con lo que dx x dt= .

Así pues ( )5 5 5

5ln 5ln lnln

dx x dt dt t C x Cx x x t t

= = = + = + .

19. Para resolver la integral 1 3

1 1

xdx

x

− +

− + hacemos el siguiente cambio de variable: 21x t− = . Entonces

2dx t dt= , con lo que 21 3 3 2 6

21 11 1

x t tdx t dt dt

t tx

− + + += =

+ +− + . Esta última integral es una integral

racional con el grado del numerador mayor que el grado del denominador. Dividiendo el numerador entre el denominador, se obtiene 2 4t + de cociente y 4− de resto (¡hazlo!). Entonces, puesto que dividiendo es igual a divisor por cociente más el resto, y posteriormente dividiendo todos los términos

entre 1t + , se tiene: ( )( )2

2 2 6 42 6 1 2 4 4 2 4

1 1

t tt t t t t

t t

++ = + + − = + −

+ +.

De esta forma obtenemos que ( )2

22 6 42 4 4 4ln 1

1 1

tdt t dt t t t C

t t

+ = + − = + − + +

+ + . Deshaciendo el

cambio de variable, finalmente: ( )1 31 4 1 4ln 1 1

1 1

xdx x x x C

x

− += − + − − − + +

− + .


82

4. Integral definida. Cálculo de áreas

Sea ( )F x una primitiva de ( )f x Es decir, supongamos que se cumple:

( ) ( ) ( ) ( )'F x f x f x dx F x= =

Llamemos A el área del recinto limitado por la gráfica de f , las rectas verticales x a= y x b= , y el eje

X . Entonces:

( ) ( ) ( )b

a

A f x dx F b F a= = −

La fórmula anterior recibe el nombre de regla de Barrow. A la expresión ( )b

a

f x dx se le llama integral

definida de f entre a y b . Los números reales a y b reciben el nombre de límites de integración ( a

sería el límite inferior y b el límite superior de integración).

En la figura siguiente se representa gráficamente la idea de integral de una función como área de un recinto.

Por razones prácticas, se introduce la notación ( )b

aF x , o simplemente ( )

b

aF x , para designar a la

diferencia ( ) ( )F b F a− .

Ejemplo

20. 3

32 2 2

11

2 3 1 9 1 8xdx x = = − = − = .

Cuando usemos la integral definida para calcular un área, daremos el resultado en “unidades cuadradas”,

cosa que vamos a notar así: 2uds o, simplemente, 2u .

En el ejemplo anterior, la integral definida 3

1

2x dx viene a indicar el área A que se encuentra encerrada

por la recta ( ) 2f x x= , las rectas verticales 1x = y 3x = , y el eje X . Por tanto, escribiremos: 3

2

1

2 8 uA xdx= = (véase la figura siguiente).


83

➢ Cálculo de áreas

✓ Caso 1

Si la función ( )f x es positiva en el intervalo ,a b (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por

encima del eje X ), para hallar el área A comprendida entre la curva f , el eje X y las rectas verticales

x a= y x b= , hallaremos una primitiva F de f y usaremos directamente la regla de Barrow (justo como

en el último ejemplo de la página anterior):

( ) ( ) ( )b

a

A f x dx F b F a= = −

Ejemplo

21. Hallar el área comprendida entre la parábola 24y x x= − .

La parábola corta al eje X en los puntos de abscisas 0x = y 4x = (para averiguar esto basta resolver

la ecuación 24 0x x− = ) y el recinto plano del que se busca el área está situado por encima del eje X :

Por lo tanto, el área buscada será:

( )4

342 2 2

00

64 324 2 32 uds

3 3 3

xA x x dx x

= − = − = − =

28 uA =

( ) 2f x x=


84

✓ Caso 2

Si la curva es negativa en el intervalo ,a b (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por debajo del

eje X ), al aplicar la regla de Barrow obtendremos un número negativo. Como el área debe ser positiva haremos los siguiente:

( )b

a

A f x dx= −

Ejemplo

22. Hallar el área comprendida entre la parábola 2 6 5y x x= − + , las rectas 1x = , 2x = y el eje X .

Como el trozo considerado se encuentra por debajo del eje X tendremos que

( )222

2 3 2 2

1 1 1

1 8 1 2 7 56 5 3 5 12 10 3 5 uds

3 3 3 3 3 3A x x dx x x x

= − − + = − − + = − − + − − + = − − =

✓ Caso 3

Si la curva es positiva y negativa a trozos en ,a b , entonces hay que integrar cada parte por separado y

sumar los valores absolutos de los resultados. Obsérvese que, en este caso, hemos de resolver la ecuación

( ) 0f x = para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje X .

Ejemplo

Vamos a calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función ( ) 3 22 5 6f x x x x= − − + . En primer

lugar, calculamos los puntos de corte de la función con el eje X . Para ello igualamos a cero y resolvemos la ecuación haciendo uso de la regla de Ruffini:


85

3 2

2

2 5 6 0 1

3

x

x x x x

x

= −

− − + = = =

. Esto quiere decir que la curva corta al eje X en los puntos ( )2,0− , ( )1,0 ,

( )3,0 , con lo que tendremos dos recintos, uno entre 2x = − y 1x = , y otro entre 1x = y 3x = .

Llamaremos 1A al área del primer recinto y

2A al área del segundo (ver figura).

En primer lugar, calculamos la integral indefinida: ( )4 3 2

3 2 2 52 5 6 6

4 3 2

x x xx x x dx x C− − + = − − + + .

Y ahora aplicamos la regla de Barrow, primero entre 2− y 1, y luego entre 1 y 3 :

( )1

4 3 21

3 2

22

2 5 1 2 5 16 16 20 37 38 632 5 6 6 6 12

4 3 2 4 3 2 4 3 2 12 3 4

x x xx x x dx x

−−

− − − + = − − + = − − + − − − − = + =

.

( )3

4 3 23

3 2

11

2 5 81 54 45 1 2 5 9 37 162 5 6 6 18 6

4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 12 13

x x xx x x dx x

− − + = − − + = − − + − − − + = − − = −

.

Por tanto, 2

1

63uds

4A = , y 2

2

16uds

3A = . De este modo el área total A del recinto es la suma de las dos

anteriores: 2 2

1 2

63 16 253uds 21,083 uds

4 3 12A A A= + = + = .

✓ Caso 4. Área comprendida entre dos curvas

Para calcular el área comprendida entre dos curvas se hallan sus puntos de intersección resolviendo la

ecuación ( ) ( )f x g x= (supongamos que se cortan en los puntos x a= y x b= , con a b ).

1A

2A


86

Posteriormente se integran ambas, restando después. Es decir, el área comprendida entre dos curvas f y

g es igual al área A comprendida entre la función diferencia f g− , y el eje X , donde ( ) ( )f x g x ,

( ),x a b : ( ) ( )( )b

a

A f x g x dx= − .

Ejemplo

23. Hallar el área encerrada entre las curvas 2y x= , 2 2 4y x x= − + + .

Hallemos los puntos de intersección de las dos curvas. Para ello resolvemos el sistema correspondiente:

2

2 2 2

22 4 2 2 4 0

2 4

y xx x x x x

y x x

= = − + + − − =

= − + +

Esta última ecuación de segundo grado tiene por soluciones 1 1x = − y 2 2x = . Por consiguiente, el área

buscada es:

( ) ( )22 2 2

2 2 2 3 2

1 1 1 1

22 4 2 2 4 4

3A x x dx x dx x x dx x x x

− − − −

− = − + + − = − + + = + + =

216 2 20 7 274 8 1 4 9 uds

3 3 3 3 3

= − + + − + − = − − = =

Veamos a continuación otro ejemplo, algo más complicado, de este caso.


87

Ejemplo

24. Hallar el área de la región limitada por las gráficas ( ) 3f x x x= − y ( ) 2g x x= .

Los cortes de f y g se obtienen resolviendo la ecuación 3 2x x x− = :

( )3 2 2

1 2 3

1 5 1 51 0 0 , ,

2 2x x x x x x x x x

− +− = − − = = = =

Además, como se puede observar en la gráfica siguiente,

( ) ( )1 5

, 02

g x f x x −

; ( ) ( )1 5

0,2

f x g x x +

Por tanto, el área A que se busca es la suma de las áreas de los recintos 1A y 2A , donde

( )( ) ( ) ( )

0 4 2 34 2 303 2

1 1 51 5

22

0,618 0,618 0,6180

4 2 3 2 2 2

x x xA x x x dx

−−

− − − = − − = − − − − − =

( ) 20 0,036 0,191 0,079 0,07582 uds= − − + =

( )

1 51 5

3 4 2 3 4 222 2 3

20

0

1,618 1,618 1,6180

3 4 2 3 4 2

x x xA x x x dx

++

= − + = − + − + − =

21,412 1,713 1,309 1,0075 uds= − + =

Finalmente tenemos:

( ) ( )1 5

023 2 2 3 2

1 2 1 50

2

0,07582 1,0075 1,08332 udsA A A x x x dx x x x dx

+

−= + = − − + − + + =


88

Ejercicios

1. Calcular las siguientes integrales:

a) 24 5 7

2

x xdx

− +

; b) 3

x dx

x ; c) 1

2 7dx

x + ; d) ( )2

1x dx+ ; e) ( )3

5x dx− ;

f) 3 5x dx+ ; g) 2

3

2

xdx ; h) ( )2 3x xe e dx−+ ; i)

2

2 2dx

x x

+

; j) ( )

31

dx

x − ;

k) 2

x xdx

x

+

; l) 2

32

xdx

x− ; m) 3 4

dx

x − ; n) ( )

23 4

dx

x − ; ñ) 3 4x dx− ;

o) ( )

5 3

1

3 4x − ; p) 4xe dx−

; q) 2 9xe dx− +

; r) 3xe dx ; s) ( )33 x dx−

2. Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales:

a) 2xxe dx ; b) 2 lnx xdx ; c) ( )ln 2 1x dx− ; d) x

xdx

e ; e) 2 2xx e dx ; f) ( )2

1 xx e dx+

3. Expresa el cociente de la forma p r

cq q= + y resuelve:

a) 2

3

xdx

x − ; b) 2 5 4

1

x xdx

x

− +

+ ; c) 2 1

2

xdx

x

−

+ ;

d) 22 2 4

2

x xdx

x

+ +

+ ; e) 3

2 1

xdx

x − ; f)3 23 1

2

x x xdx

x

− + −

−

4. Resuelve las siguientes integrales racionales:

a) 2

1

6dx

x x+ − ; b) 3

2

3

4

xdx

x − ; c) ( )( )2 25 4

dx

x x− − ; d) 2

2

1xdx

x x

+

+ ;

e) 2

4

2dx

x x+ − ; f) 2

2 4 3

xdx

x x+ + ; g) 2

2

2 5 3

3 2

x xdx

x x

− +

− + ; h) 2

16

2 15dx

x x

−

− − ;

i) ( ) ( )

2

2 4

1 3

xdx

x x

−

− + ; j) ( )( )

2 3

2 5

xdx

x x

+

− + ; k) ( )( )

2

1

1 3dx

x x− + ; l) 2

3 2

4

xdx

x

−

−

5. Aplica el método de sustitución para resolver las siguientes integrales:

a) dx

x x− ; b) 3 2x x dx+ ;

c) 3 1

x dx

x − ; d) ( )3 2

dx

x x− −


89

6. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las siguientes funciones y el eje X:

a) 2y x=

b) 26y x x= −

c) 2 2y x x= −

d) 2 4y x x= −

e) 24y x x= −

7. Halla el área del recinto limitado por la recta 3 2y x= + , el eje X y las rectas de ecuaciones 1x = y

3x = . Comprueba el resultado por métodos geométricos.

8. Halla el área del recinto limitado por la recta 2y x= − y la parábola 21

2y x= − .

9. Halla el área de la región limitada por la curva 3 28 7y x x x= − + , el eje X y las rectas 2x = y 7x = .

10. Calcula el área de la región limitada por la hipérbola 36x y = , el eje X y las rectas de ecuaciones

6x = y 12x = .

11. Halla el área comprendida entre las parábolas 2

3

xy = e 23

42

y x= − .

12. Halla el área del recinto limitado por las parábolas 2y x= e ( )2

4 2y x− = − − .

13. Calcula el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones ( ) 2 4f x x x= − + y ( ) 2 2g x x x= − .

14. Halla k para que el área limitada por la curva de ecuación ( )2

1y x k= − − y las rectas 0x = (el eje Y ) y

2x = sea igual a 210uds

3.

15. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 3 22y x x x= − + en el origen de coordenadas. Calcula

el área del recinto comprendido entre la curva y su tangente.

16. Representa gráficamente la función:

( )

2

3 2

40

4 3 0

x xsi x

f x x

x x x si x

−

= − +

Halla el área limitada por la gráfica de la función ( )y f x= , el eje X y las rectas de ecuaciones 0x = y

3x = .

Tema 6: Integración · 2020. 9. 6. · Unidad 6: Integración 2º Bachillerato – Matemáticas...

Documents

Transcript of Tema 6: Integración · 2020. 9. 6. · Unidad 6: Integración 2º Bachillerato – Matemáticas...