Tema2 Resueltos Calculo Numerico Integrales

Bloque II. Aproximacin Numrica Tema 2 Integracin Numrica

Ejercicios resueltos II.2-1 Aproxima el valor de las siguientes integrales definidas por los mtodos

del rectngul o, del punt o medi o, del trapecio y de Simpson, t omando para todos los casos el mismo valor de h = 0.1. Calcula el error que se comete en cada caso en relacin con el valor exacto que se proporciona.

2 2

0) 3 8a x dx b e 10) 1.71828xdx

1 2 3 41

) 2 5 3.3333c x x x x dx 32 1) 0.8284271d dxx 2

21

2 1) 1.09861xe dxx x

1

20

1) 0.7853981

f dxx

Solucin

2 2

0) 3 8a x dx 2 0.1 20b a nh n n

Rectngulo: 10

nb

iai

f x dx h f x

2 2 2 222

03 0.1 3 0 3 0.1 3 1.8 3 1.9 7.41x dx

8 7.41 0.59ERROR

Punto medio: 1

00

2 12

nb

ai

if x dx h f x h

2 2 2 22203 0.1 3 0.05 3 0.15 3 1.85 3 1.95 7.995x dx

8 7.995 0.005ERROR

Trapecio: 112

nb

iai

hf x dx f a f b h f x

Matemticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximacin Numrica. Tema 2. Integracin Numrica

MATEMTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza Ana Isabel Allueva Pinilla Jos Luis Alejandre Marco

Ejercicios resueltos 1

2 2 2 2 2 2220

0.13 3 0 3 2 0.1 3 0.1 3 0.2 3 1.8 3 1.9 8.012

x dx

8 8.01 0.01ERROR

Simpson: 1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i

h h hf x dx f a f b f x f x 1

2 2 2 2 222

0

2 2 2 2

0.1 0.23 3 0 3 2 3 0.2 3 0.4 3 1.6 3 1.83 3

0.4 3 0.1 3 0.3 3 1.7 3 1.9 83

x dx

2

8 8 0ERROR

1

0) 1.71828xb e dx 1 0.1 10b a nh n n

Rectngulo: 10

nb

iai

f x dx h f x

1 0 0.1 0.8 0.9

00.1 1.6337994xe dx e e e e

1.71828 1.6337994 0.0844806ERROR

Punto medio: 1

00

2 12

nb

ai

if x dx h f x h

1 0.05 0.15 0.85 0.95

00.1 1.717566086xe dx e e e e

1.71828 1.717566086 0.000713914ERROR

Trapecio: 112

nb

iai


1 0 1 0.1 0.2 0.8 0.9

0

0.1 0.1 1.63379942

xe dx e e e e e e

1.71828 1.6337994 0.0844806ERROR

Simpson: 1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i





1 0 1 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

0.1 0.23 3

0.4 1.6610067213

xe dx e e e e e e

e e e e e

1.71828 1.661006721 0.0572733ERROR

1 2 3 41

) 2 5 3.3333c x x x x dx 2 0.1 20b a nh n n

Rectngulo: 10

nb

iai

f x dx h f x

1 2 3 41

2 5 0.1 1 0.9 0.8 0.9 3.3733x x x x dx f f f f

3.3733 3.3333 0.04ERROR

Punto medio: 1

00

2 12

nb

ai

if x dx h f x h

1 2 3 41

2 5 0.1 0.95 0.85 0.85 0.95

3.3133625

x x x x dx f f f f

3.3333333 3.3133625 0.0199708ERROR

Trapecio: 112

nb

iai


1 2 3 4

1

0.12 5 1 12

0.1 0.9 0.8 0.8 0.9 3.3733

x x x x dx f f

f f f f

3.3733 3.3333 0.04ERROR

Simpson: 1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


1 2 3 4

1

0.12 5 1 13

0.2 0.8 0.6 0.6 0.83

0.4 0.9 0.7 0.7 0.9 3.3334666673

x x x x dx f f

f f f f

f f f f

Matemtic imer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximacin Numrica. as. Pr

Tema 2. Integracin Numrica

MATEMTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza Ana Isabel Allueva Pinilla

Jos Luis Alejandre Marco


3.333466667 3.333333333 0.000133334ERROR

3

2

1) 0.8284271

d dxx

1 0.1 10b a nh n n

Rectngulo: 10

nb

iai

f x dx h f x

32

1 0.1 2 2.1 2.8 2.9 0.8433409021dx f f f f

x

0.843340902 0.828427 0.014913902ERROR

Punto medio: 1

00

2 12

nb

ai

if x dx h f x h

32

1 0.1 2.05 2.15 2.85 2.951

0.828292655

dx f f f fx

0.828292655 0.828427 0.000134345ERROR

Trapecio: 112

nb

iai


3

2

1 0.1 2 31 2

0.1 2.1 2.2 2.8 2.9 0.828696241

dx f fx

f f f f

0.828696241 0.88427 0.000269241ERROR

Simpson: 1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


3

2

1 0.1 2 31 3

0.2 2.2 2.4 2.6 2.83

0.4 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 0.8284280563

dx f fx

f f f f

f f f f f

0.828428056 0.828427 0.00000105593ERROR

Matemtic imer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximacin Numrica. as. Pr

Tema 2. Integracin Numrica




221

2 1) 1.09861xe dxx x

1 0.1 10b a nh n n

Rectngulo: 10

nb

iai

f x dx h f x

2 21 2 1 0.1 1 1.1 1.8 1.9 1.132685544x dx f f f fx x

1.132685544 1.09861 0.034075544ERROR

Punto medio: 1

00

2 12

nb

ai

if x dx h f x h

2 21 2 1 0.1 1.05 1.15 1.85 1.951.098242635

x dx f f f fx x

1.098242635 1.09861 0.000367365ERROR

Trapecio: 112

nb

iai


2

21

2 1 0.1 1 22

0.1 1.1 1.2 1.8 1.9 1.09935221

x dx f fx x

f f f f

1.09935221 1.09861 0.00074221ERROR

Simpson: 1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


2

21

2 1 0.1 1 23

0.2 1.2 1.4 1.6 1.83

0.4 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 1.0986155053

x dx f fx x

f f f f

f f f f f

1.098615505 1.09861 0.00000550486ERROR

Matemtic imer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximacin Numrica. as. Pr Tema 2. Integracin NumricaMATEMTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza Ana Isabel Allueva Pinilla Jos Luis Alejandre Marco


120

1) 0.7853981

f dxx

1 0.1 10b a nh n n

Rectngulo: 10

nb

iai

f x dx h f x

1 20 1 0.1 0 0.1 0.8 0.9 0.8099814971 dx f f f fx

0.809981497 0.785398 0.024583497ERROR

Punto medio: 1

00

2 12

nb

ai

if x dx h f x h

1 20 1 0.1 0.05 0.15 0.85 0.9510.785606496

dx f f f fx

0.785606496 0.785398 0.000208496ERROR

Trapecio: 112

nb

iai


1

20

1 0.1 0 11 2

0.1 0.1 0.2 0.8 0.9 0.784981497

dx f fx

f f f f

0.784981497 0.785398 0.000416503ERROR

Simpson: 1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


1

20

1 0.1 0 11 30.2 0.2 0.4 0.6 0.83

0.4 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.7853981533

dx f fx

f f f f

f f f f f

0.785398153 0.785398 0.000000153485ERROR





II.2-2 Calcula el rea de la regin li mitada po r las sigui entes grficas utilizando el mtodo de Simpson con h = 0.01 para obtener la integral definida correspondiente.

) 1

0 ( )

0

1

a y x

y EJE OX

x

x

2) 1

0 ( )

1

2

b y x

y EJE OX

x

x

Solucin



) 1

0 ( )

0

1

a y x

y EJE OX

x

x

3

10

1A x dx 2

1 0.01 100b a nh n n

Simpson:

1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


1

0

0.011 0 13

0.02 0.02 0.04 0.96 0.983

0.04 0.01 0.03 0.97 0.99 1.53

x dx f f

f f f f

f f f f

-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1 y x 1 y 0

x 0 x 1


2) 1

0 ( )

1

2

b y x

y EJE OX

x

x



2 21

1A x dx

1 0.01 100b a nh n n

Simpson:

1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


2 2

1

0.011 1 23

0.02 1.02 1.04 1.96 1.983

0.04 1.01 1.03 1.97 1.99 3.3333333333

x dx f f

f f f f

f f f f

II.2-3 Calcula el volumen del slido de rev olucin generado al girar alrededor

del eje OX las siguientes grficas. Utiliza el mtodo de Simpson con h = 0.1 para obtener la integral definida correspondiente.

2) 1

1

1

a y x

x

x

21) 22

12

b y x x

y x

Solucin

2) 1

1

1

a y x

x

x

1 221V x dx 1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5 y x2 1

x 1

y 0

x 2




-1 1

1 y x21 x 1 x 1

2 0.1 20b a nh n n

Simpson:

1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


1 22

1

0.11 1 13

0.2 0.8 0.6 0.6 0.83

0.4 0.9 0.7 0.7 0.9 1.0666933333

x dx f f

f f f f

f f f f

1.066693333V

21) 2

212

b y x x

y x

1 2 3 4-0.5

0.5

1

1.5

2 y x x21 2

2

y x12

Puntos de corte:

,x xx x x x x x x x x2 2 22 4 3 0 3 0 0 32 2

Se calcula el volumen generado por la grfica de arriba (volumen lleno) y se le resta el volume n generado po r la gr fica de abajo (volumen del agujero):

2 22 43 3 3 3 2

0 0 0

43 3 2

0

2 2 42 2 4

1524 4

x x xV x dx dx x x dx dx

x x x dx

23

0 4x


3 0.1 30b a nh n n Simpson:

1 2 21 1

2 43 3 3

n nb

i iai i


43 3 2

0

15 0.12 3 04 4 3

0.2 0.2 0.4 2.6 2.83

0.4 0.1 0.3 2.7 2.9 5.400013

x x x dx f f

f f f f

f f f f

5.40001V




Tema2 Resueltos Calculo Numerico Integrales

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