Experimento de Franck-HertzGabriela Rojas y Carlos Santander

Ayudante Alvaro Adrian 4 de mayo de 2015

Resumen.

OBJETIVO

Esta experiencia tiene por objetivo verificar dos he-chos fsicos: si es posible excitar tomos mediante bom-bardeo de electrones de baja energa; y si la energa trans-ferida por los electrones a los tomos tiene siempre valo-res discretos.

INTRODUCCIN

El experimento de Franck y Hertz se realiz por pri-mera vez en 1914 por James Francky Gustav y LudwigHertz. Tiene por objeto probar la cuantizacin de los ni-veles de energa de los electrones en los tomos. Esteexperimento es uno de los fundamentales de la fsicacuntica, pues confirm el modelo cuntico del tomode Bohr al demostrar que los tomos solamente podanabsorber cantidades especficas de energa (cuantos). De-bido a este trabajo, Franck y Hertz recibieron el premioNobel de fsica en 1925.

Para este experimento Franck y Hertz utilizaron unmontaje como el esquematizado en la Figura 1, cuyoscomponentes esenciales son: un tubo contenedor de mer-curio en estado gaseoso (llenado al vaco) con un ctodoen uno de sus extremos interiores que es calentado in-directamente para producir electrones libres que puedenser acelerados si se establece una diferencia de potencialentre el ctodo y una grilla polarizada ubicada dentro deltubo a cierta distancia del ctodo y cerca de un nodoubicado en el otro extremo interior del tubo. Entre estenodo y la grilla se estableci una tensin (fija) en senti-do inverso (y de magnitud cercana a los 1,5 [V]) pensadapara retardar el movimiento de los electrones acelerados.[4]

Para comprender lo que sucede dentro del tubo deMercurio durante este experimento, debe tenerse en con-sideracin el siguiente marco terico:

Cuando un electrn liberado del ctodo del tubo deMercurio es acelerado por cierta diferencia de potencialentre la grilla y el ctodo, es altamente probable quedurante su trayecto a travs del tubo choque con algunos

tomos del gas de Mercurio. Estos choques pueden serelsticos o inelsticos [2].

Si durante su trayecto a travs del tubo un electrnacelerado slo efecta choques elsticos con los tomosde mercurio, su energa cintica en algn punto p delinterior de tubo (Kp) est dada por la relacin:

Kp = eVp (1)

donde Vp es la diferencia de potencial entre el punto py el ctodo del tubo, y e la carga elctrica del electrn.

Si vp es la magnitud de la velocidad promedio delelectrn en el punto p y m es la masa del electrn, larelacin anterior tambin puede escribirse como [1]: :

12mvp2 = eVp (2)

Pero si durante su trayecto a travs del tubo un electrnacelerado efecta choques elsticos y choques inelsticoscon los tomos de mercurio, su energa cintica en algnpunto p del interior de tubo (Kp) estar dada por laexpresin:

Kp = eVpdE (3)donde dE es la suma de todas las porciones de energa

que el electrn ha perdido en cada colisin inelsticaantes de llegar a p.

Por otro lado, dado que la tensin de retardo entre elnodo y la grilla se fija en 1,5 [V], cualquier electrnacelerado lograr incidir en el nodo slo si al momentode atravesar la grilla cuenta con una energa cintica Kmayor a 1,5 [eV], equivalente al trabajo que debe realizarel electrn para recorrer el camino hacia el nodo. SiV esel voltaje entre la grilla y el ctodo, y dE es la suma detodas las porciones de energa que el electrn pierdeen cada choque inelstico antes de llegar a la grilla,de lo anterior y considerando la ecuacin (3)podemosestablecer que:

K = eV dE (4)

y que entonces un electrn acelerado alcanzar el nodosi se cumple que:

eV dE > 1,5 (5)De la expresin (5) podemos obtener la siguiente ex-

presin para la cantidad total de energa que un electrnpuede transferir a los tomos de mercurio debido a lascolisiones inelsticas durante su trayecto desde el ctodoa la grilla:

dE < eV 1,5 (6)Es posible estimar el camino libre que cada electrn

acelerado recorre antes de chocar con algn tomo deMercurio. Este camino es llamado camino libre medio ytambin es conocido como distancia promedio entre co-lisiones. Ha sido determinado usando la Teora Cinticade los gases y est dado por la siguiente expresin [3]:

l =1

2nv(7)

donde es la seccin eficaz (o rea efectiva) de lascolisiones y nv es el nmero de tomos de mercurio porunidad de volumen.

Los gases reales que ms se aproximan al comporta-miento de un gas ideal son los gases monoatmicos encondiciones de baja presin y alta temperatura. UsandoLa Ley de los Gases Ideales, la expresin (7) tambinpuede expresarse como:

l =kBT2NAp

(8)

donde kB es la constante de Boltzmann, T es la tempe-ratura del gas, NA el nmero de Avogadro y p la presindel gas.

Sea el tiempo promedio entre colisiones de electro-nes con tomos de Mercurio. Se define la probabilidadpor unidad de tiempo de que un electrn experimente unacolisin como [7]:

P=1

(9)

Relacionando la velocidad v de un electrn a travs deltuvo con el camino libre medio l tenemos que:

v=l

(10)

De la ley de distribucin de Maxwell-Boltzmann, apli-cable al estudio de un sistema cuyas partculas puedenocupar un conjunto de niveles discretos de energa, sepuede obtener la siguiente relacin entre la presin p yla temperatura T de un gas ideal:

p= p0 exp( EkBT

)(11)

donde p0 es la presin del gas a nivel del mar, E laenerga potencial de las molculas individuales respectoal nivel del mar, y kB es la constante de Boltzmann.

De acuerdo a la ecuacin (11) y considerando el rangode temperatura de 300 K a 500 K (es decir de 27 Ca227 C), la presin del mercurio en pascales en funcinde la temperatura queda determinada segn la siguienteexpresin [5]:

p= 8,710(9 3110T ) (12)donde se ha considerado que exp(x) = 10x log(e)

MONTAJE EXPERIMENTAL YPROCEDIMIENTO

Instrumentos

Horno de Franck-HertzFuente de voltajeAmplificador linealOsciloscopioMultitesterTermmetro de mercurioConectores

Figura 1. 1: Horno de Franck-Hertz. 2: Fuente de voltaje. 3:Amplificador lineal. 4: Osciloscopio. 5: Multitester. 6: Term-metro.

Procedimiento

Se dispusieron los instrumentos como indica la ima-gen de la Figura 1. Donde el voltaje entre la grilla (reji-lla) y el nodo del tubo de Frank-Hertz, que est al inte-rior del horno, es de 1.5 [V]. Luego se realiz el siguienteprocedimiento:

1. Se encendi el horno de Frank-Hertz con la perillaen el valor 4. Lo cual corresponde a una temperaturaque vara entre 130 Cy 137 C.

2. Se encendi la fuente de voltaje en el modo manualpara poder lograr determinar el voltaje mximo delmodo de barrido. Luego se activo el modo barridode sta.

3. Se activ el amplificador con una impedancia de1013[].

4. Se configur el osciloscopio, de modo que midierala corriente que incida en el nodo durante inter-valos de tiempo continuos de 0,01 [s] (a travs delCanal 2), mientras el voltaje entre la grilla y el c-todo fuera variando (en modo barrido) entre 0 [V]y 40 1 [V] (medido a travs del Canal 1).

5. Se midi, por medio del osciloscopio, la intensi-dad de corriente que incida en el nodo respecto altiempo, y el voltaje entre la grilla y el ctodo respec-to al tiempo, durante cuatro ciclos del voltaje entre 0[V] y 40 1 [V], y se registraron los datos digitalesen un dispositivo USB conectado al osciloscopio.

6. Se repiti la experiencia, pero ahora con el hornode Frank-Hertz con la perilla en el valor 5, quecorresponde a una temperatura que vara entre 155Cy 162 C

RESULTADOS EXPERIMENTALES YANLISIS

El osciloscopio registr aproximadamente un total de30 mediciones de intensidad de corriente para cada va-lor de voltaje distinto. Considerando esto, se obtuvo elpromedio de stas 30 mediciones de la intensidad de co-rriente y estos promedios, asociados a intervalos de tiem-po de 0,3 [s] (30 intervalos de 0,01 [s]) se representarongrficamente junto a la variacin del voltaje respecto alos mismos intervalos de tiempo de 0,3 [s]. Los valoresdel voltaje variaron en intervalos continuos de 0,8 [V].Las barras de errores presentes en cada grfico (que sepueden apreciar en el grosor de las curvas) son la incer-tidumbre de estos promedios. 1

Los valores de la intensidad de corriente respecto altiempo, y del voltaje entre la grilla y el ctodo respectoal tiempo, obtenidos para el horno de Franck Hertz a unatemperatura de 1353 C, y 1583 C se representanen el grfico de la Figura 2, y Figura 3, respectivamente.

Con los datos de los grficos de la Figura 2, y Figura3 elaboramos un nuevo grfico para representar la inten-sidad de corriente versus el voltaje entre la grilla y el

1 La incertidumbre se calcul de la siguiente manera:

2

(ni=1 xi x)2

n(n1)

Figura 2. Datos obtenidos en el osciloscopio para una tempe-ratura de 1353 C. En el grfico el voltaje est representadopor el magenta, y la corriente por el cyan.

Figura 3. Datos obtenidos en el osciloscopio para una tempe-ratura de 1583 C. En el grfico el voltaje est representadopor el color magenta, y la corriente por el cyan.

ctodo. Estos estn representados en la Figura 4, y la Fi-gura 5, para la temperatura de 1353 C, y 1583 C,respectivamente.

Cada uno de los picos de los grficos de la Figura 4 yla Figura 5 podemos relacionarlo con un instante pre-vio a la ltima colisin inelstica entre algunos de loselectrones acelerados y los tomos de mercurio, luego dela cual estos electrones llegaran a la grilla con una ener-ga cintica K insuficiente para desplazarse hasta el no-do del circuito (5), lo que disminuira la intensidad decorriente detectada por el osciloscopio, tal como mues-tran los grficos.

Si nos atenemos al decaimiento de la corriente debidoal aumento del voltaje luego de cada pico, este puede serexplicado en base a la ecuacin (2) pues el aumento del

Figura 4. Datos obtenidos para una temperatura de1353 C. El promedio de las diferencias de voltaje entre ca-da mximos es de 4,2 0,011 [V] y entre cada mnimo es de3,9330,047 [V]

Figura 5. Datos obtenidos para una temperatura de1583 C. El promedio de las diferencias de voltaje entre cadamximo es de 4,058 0,002 [V], y entre cada mnimo es de4,5910,003 [V]

voltaje entre la grilla y el ctodo aumenta la energa cin-tica de los electrones acelerados en todos los puntos delinterior del tubo de mercurio. Ahora, considerando quelos electrones se desplazan un camino libre medio (7) enun tiempo medio (??), a lo que aumenta la probabilidadde choques inelsticos entre estos y los tomos y por en-de disminuye progresivamente la cantidad de electronescon energa cintica suficiente para llegar al nodo, y ascomo lo muestran los grficos, disminuye tambin la in-tensidad de corriente.

Considerando lo anterior y la ecuacin (energa cin-tica), a partir de los valores de voltaje de cada pico po-demos obtener la energa cintica de los electrones ace-

lerados cierto instante antes de chocar inelsticamentecon los tomos de Mercurio; y a partir de los valores devoltaje de cada valle podemos obtener la energa cinti-ca de los electrones cuando hay mayor probabilidad dechoques inelsticos.

Figura 6. Corresponde al grfico de la Figura 4 corrigiendola diferencia de 1.5 V

Figura 7. Corresponde al grfico de la Figura 5 corrigiendola diferencia de 1.5 V

CONCLUSIONES

Por qu 1,5 Volt entre la rejilla y el nodo? Para evitarregistrar datos debido al ruido en el filamento (ruidotermico). BIEN!!!

los electrones del filamento que forman la corrienteionizaron los tomos y luego los chocan? Al parecer s.Al parecer el voltaje entre filamento (del ctodo) ioni-za parte de los tomos del gas (los ms cercanos al fila-mento), y los electrones "liberados"de estas ionizaciones,fueron acelerados por la tensin entre el filamento y larejilla. Luego, estos electrones acelerados chocaron con

tomos "neutros.en el gas. ****PERO DEBO CONFIR-MAR LO QUE OCURRE EN EL FILAMENTO. (pue-de que el filamento simplemente le .entregue.electronesal gas. Quizs por la temperatura, los electrones del fila-mento "saltan.al gas.) Esto da lo mismo!!

Por qu la corriente se vuelve constante (o cero?) des-pus de cierto valor del voltaje antes de 40 V? No sevuelve cero despus de cierto valor del voltaje, pues NOHAY QUE MIRAR el grfico I vs V de la perilla 4. Hayque mirar el grfico I vs V de la perilla 5. Y en este grfi-co la corriente slo se hace constante en un intervalo "detiempo"muy pequeo (vi los datos y son 1,09 [s] apro-ximadamente), y ocurre entre los 4,8 [V] y los 9,6 [V].Lo que tiene mucho sentido!! Tanto sentido que no con-siderara que la corriente "se hace constante", sino msbien, slo aumenta lentamente. Lo que sucede en esterango de voltaje, es que a los 4,8 [V] los electrones lle-gan a la regilla con una energa igual a 4,8 [eV], lo que.alcanza.a ser la cantidad de energa que necesita el tomode mercurio para cambiar de nivel energtico. Es decir,justo en la rejilla, cada electrn le da su energa al tomo,y queda sin velocidad, no pudiendo atravesar la barrerade los 1,5 [V] contarios. Por esto, en este voltaje la co-rriente disminuye tanto (tiene su valor ms bajo), y estemomento est representado en el primer valle de la grfi-ca (ese valle pequeo que ni pescbamos y que est antesde la zona onstante"de la corriente). Luego al aumentarel voltaje la corriente tambin aumenta, pero lentamente.Esto quiere decir que los voltajes cercanos y mayores a4,8 [V] no son "suficientemente altos"para aumentar lacantidad de electrones que "logren.atravesar la barrera de1,5 [V]. Si miramos la simulacin dada por la gua delexperimento, se muestra que a medida que se aumenta elvoltaje entre la rejilla y el ctodo, el primer choque ocu-rre cada vez ms cerca del filamento del ctodo. O sea,que a mayor voltaje, ms espacio fsico de aceleracintiene el electrn, y por lo tanto mayor probabilidad dellegar a la grilla con energa suficiente para atravesar labarrera de los 1,5 [V]. Esto explica un poco porqu a vol-tajes bajos, cercanos a 4,8 [V] la corriente aumenta pocoal aumentar ligeramente el voltaje. Sin embargo, sobrelos 9,6 [V] la corriente vuelve a subir proporcionalmenteal Voltaje hasta el pico que indica dos choques. muchotollo?

***Por qu la transicin de "baja energa"del tomode mercurio es 4,9 V? Esta transicin tiene alguna rela-cin con la primera ionizacin del mercurio (son proce-sos distintos?)?

Esta transicion no tiene q ver con la ionizacion del Hg.Slo tiene que ver con el movimiento de los electrones devalencia del Hg de niveles menos energticos a ms ener-gticos. 4,9 V es aparentemente la transicion de menorenerga, pero hay experimentos que encontraron transi-ciones energticas menores. Al chocar el electron con untomo de Hg pueden ocurrir transiciones mayores o me-

nores a las de 4,9. No slo ocurre la de menor energa.Por qu aumentan la cantidad de picos cuando se au-

menta la temperatura? Para responder la pregunta, po-demos analizar el suceso al revs. Por qu aumenta latemperatura cuando aumenta la cantidad de picos? Queaumente la cantidad de picos quiere decir que disminuyeEL ESPACIO necesario para que un electrn acelere losuficiente para adquirir una energa igual a 4,9 [eV]. Yconsiderando primero que acelerar es aumentar la velo-cidad (de cierto valor inicial Vi a cierto valor Vf ) y porotro lado que un electrn con 4,9 [eV] tiene una veloci-dad "determinada"v dada por la relacin: eV = 1/2mv2 ,entonces podemos inferir que cuando sube la temperatu-ra del gas EL ESPACIO necesario para que un electrnaumente de cierto valor inicial Vi al valor v (conocido)disminuye. Si slo nos atenemos a las leyes de la Mec-nica Clsica, lo anterior slo puede explicarse asociandoel aumento de temperatura al aumento de la velocidadinicial del electrn, de modo que "necesite menos espa-cio"para alcanzar el valor v, respecto al caso de menortemperatura. O sea, mayor temperatura implicara mayorvelocidad promedio del electrn, es decir mayor velo-cidad inicial y por lo tanto el electrn necesitara "me-nos espacio"para aumentar su velocidad al valor v. Perosi nos atenemos a las leyes de la Mecnica Relativista,uff... en ese caso, una fuerza constante ya no produce unaaceleracin constante. De hecho, a medida que aumentala velocidad, la aceleracin tiende a disminuir. Cada vezuesta ms.aumentar la velocidad, por que necesitaranms espacio para alcanzar la velocidad v... y en ese ca-so debieran disminuir la cantidad de choques. Asi es que,por conclusin, o la velocidad "v"no es relativista, o todolo que he dicho est malo.

***BUSCAR RELACIN ENTRE TEMPERATU-RA, VELOCIDAD DEL ELECTRN, VOLTAJE DEACELERACIN, ESPACIO DE ACELERACIN.

La veloc depende principalmente del voltaje entre elcatodo y la grilla.

si aumenta la T disminuye el camino libre medio, ycon ello aumenta la cant de choques por espacio. Loschoques debieran ocurrir a mayor voltaje que a menor T.

-Carlos (del pasado): en realidad la cantidad de picosdeberan ser los mismo, no alcanzamos a ver los otrosporque ocurre el cortocircuito. Lo que no entiendo espor qu la intensidad de los picos aumenta. Para quese produzca el cortocircuito la cantidad y energa delos electrones debera ser mayor, pero en este caso latemperatura es ms baja, por lo que las energas tambin.No entiendo de dnde sale la energa que permite que seproduzca eso...

-Carlos (del presente): Estuve viendo si habauna temperatura ptima para jugar con el horno deFranck-Hertz y me encontr con esto: -https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2013/469/45761/1/Documento9.

pdf -http://www.ifsc.usp.br/~lavfis/images/BDApostilas/ApFranck-Hertz/ExpFranck-Hertz-TuboNovo-555854s.pdfAmbas pginas dicen que para mercurio fro se correriesgo de cortocircuito. Adems dice que la temperaturaptima para usarla es de 180. Nosotros para el primerexperimento la usamos con 135 CC y para el segundo158 ms o menos... Quizs por eso al aumentar el voltajea cierto punto se produce el cortocircuito y despus loselectrones se quedan colisionando con los tomos demercurio y ah sale la emisin de fotones... Ahora, lode la intensidad no s muy bien por qu es mayor, peroestuve viendo los datos y al parecer los datos del se-gundo experimento estn corridos, y por eso se ven msgrandes. Fjate en los dibujos que tom la mquina, hayuna flecha calipso que indica desde dnde se toma como0 en el eje Y... Correg eso y ahora tiene sentido... Amayor temperatura ms intensidad, seguramente como laprimera curva era tan pequea aumentamos cambiamosla escala para apreciarla mejor. Por qu al inicio de lacurva V vs I se ve esa cosa fea? ya lo expliqu.

Por qu brilla el tubo cuando la corriente se vuelveconstante? Cuando el voltaje de la fuente vuelve a cero,y la corriente decae a cero, el filamento brilla. Estomuestra una emisin de fotones. Esta emisin debieraocurrir cuando el tomo de Mercurio vuelve a su estadofundamental. S, eso mismo.

-Carlos: creo que esto se puede explicar con el caminolibre medio. Esta es una medida de cunto alcanza a re-correr el electrn, aprximandamente, antes de golpearcon algn tomo. Se escribe del siguiente modo l = 1n ,donde n corresponde a la densidad de partculas, y laseccin efectiva. Como la densidad de partculas es inver-samente proporcional con la temperatura (haciendo usode la Ley de los Gases Ideales), entonces l ser propor-cional a la temperatura. Entonces cuando menor sea latemperatura ser ms probable que los electrones seanbloqueados por algn tomo de mercurio, ya que tendrnmenos camino libre medio. Sospecho que cuando ocurreel cortocircuito los electrones no son trapasan el nodoy rebotan"para interactuar nuevamente con los tomos ypor eso se aprecia un aumento en los fotones emitidos.

***Qu es el camino libre? Y qu relacin tiene conla energa cintica de los electrones, y a su vez con lacorriente?

El camino libre "promedio"q tienen los electrones paraacelerar por el gas antes de chocar (elstica o inelstica-mente) con un tomo de Hg

PREGUNTAS DE LA GUA DE LA U A partir delgrfico versus . Qu representa fsicamente la curva ob-tenida? Explique. Qu importancia representa la tensinen la rejilla? Qu valor promedio de tensin en la rejillautiliza Ud. en la experiencia?, Qu sucedera si dichovalor resultara menor al esperado? Compare los resulta-dos obtenidos en el grfico versus , con la Teora de Bohr.

Proponga un mtodo para verificar los resultados de losvalores de energa obtenidos en ste experimento. En es-te caso se utiliza gas de mercurio, Se puede utilizar otrogas?, explique.

REFERENCIAS

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