INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”SAIA PORLAMAR

ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

TEOREMA DE CLAPEYRON

Realizado por:Jessica Parra

C.I.: 24.696.113Correo: jessicaparra1507@gmail.com

TEOREMA DE LOS 3 MOMENTOSEl teorema de los tres momentos o teorema

de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

VIGAS CONTINUASCuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las

reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Donde:M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.

Los términos (6A1a1)/L1 y (6A2b2)L2 pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:Tramo 1-2:M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0Tramo 2-3:M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0Tramo 3-4:M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

M4L4 + 2M5(L4 + L0) + M0L0 + (6A4a4)/L4 + (6A0b0)/L0 = 0

M4L4 + 2M5L4 + (6A4a4)/L4 = 0O sea :

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

M1 = 0M2 = PL1

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

R1=(M2-M1)/L1 < r2="">Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

R1=(M2-M1)/L1R2=(M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2R3=(M2-M3)/L2 + (M4-M3)/L3R4=(M3-M4)/L3 + (M5-M4)/L4R5=(M4-M5)/L4

Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionante en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.