Teoria de conjuntos_y_proposiciones
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TEORIA DE CONJUNTOS Esp.. Gloria Alejandra Rubio Vanegas
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TEORIA DE CONJUNTOSEsp.. Gloria Alejandra Rubio Vanegas
CONJUNTO• conjunto se puede entender como una
colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto
NOTACION• Se representa con las letras del alfabeto
en Mayúscula y los elementos entre llaves {} y en minúscula
Ejemplo:
L={a,b,c….,z}
EXPRESIÓN DE CONJUNTOS
EXTENSION• Cuando se nombran todos sus elementos
Ejemplo:
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
COMPRENSIÓN• Cuando se nombra una propiedad o regla
o características de los elementos del conjunto
Ejemplo:
A: { x Є N / x >0 y x <11}
DEFINICION DE CONJUNTOS
CONJUNTOSINFINITOS
• A={x Є R / 0 ≤ x < 9}
• B={ x Є N / x es par}
CONJUNTOSFINITOS
• A= { x / x es una letra del alfabeto}
• B= { x / x son impares hasta el 20}
DEFINICION DE CONJUNTOS
CONJUNTOSINFINITOS
• A={x Є R / 0 ≤ x < 9}
• B={ x Є N / x es par}
CONJUNTOSFINITOS
• A= { x / x es una letra del alfabeto}
• B= { x / x son impares hasta el 20}
GRAFICO DE CONJUNTOSDIAGRAMA DE VENN
Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
1
2
1
5
1
2
4
3
Números Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 3
1
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOUNIVERSAL
• Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U
U
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOVACIO
• Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: Ø o { }
• A = Ø o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
U
A
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOUNITARIO
• Es el conjunto que tiene un solo elemento
• Ejemplo: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = { x / x es un número primo}
U
A
-3
RELACION ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN
• Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B, NOTACIÓN :
• Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.
A B
B
A
EJEMPLO DE INCLUSION DE CONJUNTOS
RELACION ENTRE CONJUNTOS
DIFERENTES
• Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
UNION• Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y
B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Simbólicamente la unión se define así:
• AUB = {x / xЄA, v , x Є B}, donde el símbolo “v” se lee “o”.
U
A B
EJEMPLO UNION DE CONJUNTOS
OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
INTERSECCION• Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B. Simbólicamente la intersección se expresa así:
• A ∩ B = {x / x Є A, ^ , x Є B} el símbolo “∩” se lee intersección y el símbolo “^ ” se lee “i”.
U
A B
EJEMPLO INTERSECCION DE CONJUNTOS
OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
DIFERENCIA• Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces se
define la diferencia entre A y B así
• Es decir son los elementos que posee el primer conjuntos que no pertenecen al segundo conjunto
U
A B
EJEMPLO DIFERENCIA DE CONJUNTOS
OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
DIFERENCIASIMETRICA
• Se define la diferencia simétrica entre dos conjuntos no vacíos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
U
A B
EJEMPLO DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS
OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
COMPLEMENTO
• Si A es un conjunto no vacío, el complemento de A, simbolizado por A’, está formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,
U
A B
EJEMPLO COMPLEMENTO DE CONJUNTOS
PROPOSICIONES• Una proposición lógica es un enunciado lingüístico que
debe cumplir con la condición de ser susceptible de poder ser verdadero o falso. Ejemplo:
“Hoy es miércoles 21 de marzo”
Puede ser verdadero o falso
V F
Las proposiciones se representa en letras minúsculas como p,q,r,s,q Ejemplo:
p= Hoy es miércoles
q= Es de Noche
Ms. Carmen Emilia Rubio V.
p : Hoy es Jueves q : es de Noche
p ^ q
p v q
¬ p
¬q
p q
p q
Esp. Alejandra Rubio V.
PROPOSICIONES
Proposición Atómica o Simple
Proposición Compuesta
Es cuando no posee
conectores lógicos
Es una o mas proposiciones
atómicas unidad con términos de
enlace o conectores lógicos
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES
• 7415 es un numero par
• RTA: SI es una proposición puesto que el 7415 no es un numero par, por lo tanto tiene una valor de verdad FALSO
• Que hora es?
• RTA: NO es una proposición puesto que a una oración interrogativa no se le puede determinar un valor de verdad.
• !Pare por favor!
• RTA: No es una proposición, puesto que una oración admirativa, no se le puede determinar un valor de verdad.
• El atardecer en la playa es romántico
• RTA: No es una proposición, puesto que es un enunciado Ambiguo por lo cual no se puede determinar un valor de verdad.
• La edad de Diana es 17 años
• RTA: SI es una proposición, puesto que el enunciado tiene un solo valor de verdad, o es verdadero o es falso para Diana
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES
• 45+18
• RTA: NO es una proposición es un enunciado incompleto
• El amanecer es bello
• RTA: NO es una proposición puesto que es un enunciado Impreciso
• 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏 = 𝟎
• RTA: NO es una proposición, puesto que es una oración en la cual no se precisa el valor de x, por lo cual no se precisa el valor de verdad
• El sabor del color es dulce
• RTA: NO es una proposición, puesto que es una oración ambigua.
• Disparen al ladrón
• RTA: Es una oración que indica una orden, la cual no tiene un valor de verdad por lo tanto NO es una proposición
• Mi banca es Gris
• RTA: SI es una proposición, puesto que es una oración Afirmativa.
Esp. Alejandra Rubio V.
VALOR DE VERDAD• Es la cualidad de veracidad que describe
apropiadamente a una proposición , esta puede ser verdadera o falsa.
Esp. Alejandra Rubio V.
TABLA DE VERDAD• Es una representación de los posibles
valores de Verdad que podría tomar una proposición
CONECTIVOS
Esp. Alejandra Rubio V.
CONJUNCIÓN “^”
Esp. Alejandra Rubio V.
p ^ qp :Las peras son rojasq: las peras son frutas
Las peras son rojas Y son frutasF ^ V = F
p q p ^ qV V V
V F F
F V F
F F F
DISYUNCIÓN “v”
Esp. Alejandra Rubio V.
p v qp : Las peras son rojas q: las peras sonfrutas
Las peras son rojas o son frutasF v V = V
p q p v qV V V
V F V
F V V
F F F
NEGACIÓN “¬”
Esp. Alejandra Rubio V.
¬pp : Las peras son rojas
Las peras no son rojasV = F
p ¬pV F
F V
CONDICIONAL “”
Esp. Alejandra Rubio V.
p qp : Las peras son rojas q: las peras sonfrutas
Si las peras son rojas entonces las peras son frutas
F V = Vp q p qV V V
V F F
F V V
F F V
BICONDICIONAL “ ”
Esp. Alejandra Rubio V.
p qp : Las peras son rojasq: las peras son frutas
Las peras son rojas si y solo si las peras son frutas
F V = F
p q p qV V V
V F F
F V F
F F V
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
Se construyen de acuerdo al número deproposiciones que tiene el ejercicio.Es decir 2n, donde n es el número deproposicionesEJEMPLO:¬p
p ¬p
V F
F V
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:¬pvq
p q ¬p ¬pvq
V V F V
V F F v
F V V V
F F V V
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:p^ ¬ q
p q ¬q p^¬q
V V F F
V F V v
F V F F
F F V F
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:
¬pqp q ¬p ¬pq
V V F V
V F F V
F V V V
F F V F
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:p ¬ q
p q ¬q p ¬q
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F
TAUTOLOGIAS• Son las llamadas proposiciones compuestas
EJEMPLO: [(p v ¬q) ¬p]
Esp. Alejandra Rubio V.
p q ¬q (p v ¬q) ¬p [(p v ¬q) ¬p]
V V
V F
F V
F F
TAUTOLOGIASProposiciones Equivalentes
• Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad. Ejemplo Demostrar que las proposiciones p q y la proposición ¬p v q son lógicamente equivalentes:
Esp. Alejandra Rubio V.
TAUTOLOGIASDoble Negación
Esp. Alejandra Rubio V.
TAUTOLOGIASDoble Negación
• Consideremos la proposición simple:
p: Hoy es Jueves
¬p: Hoy no es Jueves
¬(¬p): Hoy es Jueves
Esp. Alejandra Rubio V.
TAUTOLOGIASImplicación Directa, Contraria, Recíproca y Contrarecíproca
Esp. Alejandra Rubio V.
TAUTOLOGIASImplicación Directa, Contraria, Recíproca y Contrarecíproca
EJEMPLO: Dadas las proposiciones p: Las Ballenas son mamíferos q: Viven en el marImplicación Directa : Implicación Contraria:Implicación Recíproca: Implicación Contrarecíproca:
Si las ballenas son mamíferos viven en el marSi las ballenas no son mamíferos no viven en el mar
Si vive en el mar entonces es ballenano vive en el mar entonces no es ballena
