Teoria DIN Engranajes

5/9/2018 Teoria DIN Engranajes - slidepdf.com

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Universidad Pública

de Navarra

Nafarroako

Unibertsitate Publikoa

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIÓN

APUNTES DE LA ASIGNATURA:

TEORÍA DE MÁQUINASASIGNATURA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

TEMA 8MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES

JESÚS Mª PINTOR BOROBIA DR. I NGENIERO I NDUSTRIAL DPTO. DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES



DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,, EENNEERRGGÉÉTTIICCAA YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES

T EORÍA DE M ÁQUINAS - 8.2 -

INDICE

8.1 INTRODUCCIÓN.

8.2 FUNCIÓN DE LOS ENGRANAJES Y RELACIÓN DE TRANSMISIÓN.8.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES SEGÚN EL AXOIDE DEL MOVIMIENTO.

8.4 LEY GENERAL DE ENGRANE. PERFILES CONJUGADOS.

8.5 PERFILES DE LOS DIENTES.

8.5.1 Perfil de Evolvente.

8.5.2 Otros tipos de perfiles.

8.6 ENGRANAJES CILÍNDRICO-RECTOS.

8.6.1 Nomenclatura.

8.6.2 Engranajes normalizados.

8.6.3 Relaciones fundamentales.

8.6.4 Generación de engranajes.

8.6.4.1 Reproducción.

8.6.4.2 Generación por cremallera.

8.6.4.3 Generación por piñón.

8.6.5 Interferencia de tallado y de funcionamiento.

8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetración.8.6.5.2 Interferencia de funcionamiento.

8.6.6 Arco de conducción y relación de contacto.

8.6.7 Estudio analítico del perfil de evolvente.

8.6.8 Engranajes corregidos.

8.7 ENGRANAJES CILÍNDRICO-HELICOIDALES.

8.7.1 Características.

8.7.2 Plano normal y plano frontal. Relaciones angulares.

8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normal.

8.7.3 Relación de contacto.

8.7.4 Generación por cremallera.

8.8 DINÁMICA DE LOS ENGRANAJES CILÍNDRICO-RECTOS.

8.8.1 Esfuerzos de contacto.

8.8.2 Potencia transmitida y rendimiento.





8.1 Introducción

Los engranajes y las transmisiones de engranajes están presentes en muchas de lasmáquinas que podemos encontrar a nuestro alrededor, además de ayudar a mover las ruedas yhélices de nuestros medios de transporte, ya sea por tierra, mar o aire.

Sin embargo, la tecnología asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestiónnovedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a laGrecia de la antigüedad. Así, hasta hace no mucho, se decía que la primera referencia a losengranajes correspondía a Aristóteles, o a los discípulos de su escuela, y aparecía en el libro"Problemas Mecánicos de Aristóteles" (280 a.C.). Tal apreciación, sin embargo, es incorrecta ya quelo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de fricción.Para una referencia más acertada deberíamos trasladarnos hacia el año 250 a.C., cuandoArquímedes desarrolló un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseños de máquinasde guerra.

Por otro lado, el mecanismo de engranajes

más antiguo que se conserva es el mecanismode Antikythera -descubierto en 1900 en la islagriega de ese nombre en un barco hundido-. Elmecanismo, datado alrededor del año 87 D.C.,resultó además ser extremadamente complejo(incluía trenes de engranajes epicicloidales) ypodría tratarse de una especie de calendariosolar y lunar.

Con anterioridad a este descubrimiento, sehabía venido considerando como la primeraaplicación conocida de engranajes diferencialesepicicloidales al llamado "carro que apuntahacia el Sur " (120-250 D.C.): un ingeniosomecanismo de origen chino (Fig. 8.0) quemantenía el brazo de una figura humanaapuntando siempre hacia el Sur (considerando,eso sí, que en las ruedas del carro no existíadeslizamiento). Figura 8.0 – Carro que apunta hacia el Sur.

Posteriormente, la tecnología de los engranajes apenas sufrió avances hasta llegar a lossiglos XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronomía. Asimismo, alpoco tiempo, el desarrollo en Europa de sofisticados relojes (en muchos casos destinados a

catedrales y abadías) hacia el siglo XIV impulsó también de forma importante esta tecnología.





Sería, sin embargo, un siglo más tarde (XV al XVII) cuando las teorías de engrane y lasmatemáticas de los perfiles de los dientes de los engranajes -los perfiles cicloides (Desargues) y losperfiles de evolvente (La Hire)- comienzan a ser establecidas. Y es con la revolución industrial

(mediados del XIX) cuando la ciencia de los engranajes alcanza su máximo esplendor. A partir deeste momento, la aparición de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas aplicaciones paralos engranajes, y con la llegada del automóvil -por ejemplo- la preocupación por una mayor precisión y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.

Ya en nuestros días, los métodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajeshan avanzado de forma considerable. Así, por ejemplo, nos podemos encontrar con aplicacionesaéreas en las que se utilizan engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de granvelocidad y que a su vez deben soportar un carga importante. Al mismo tiempo, por poner unejemplo, las técnicas de análisis estructural basadas en la aplicación del MEF permiten resolver losproblemas de tensiones y esfuerzos dinámicos, así como el cálculo de las frecuencias de

resonancia para este tipo de engranajes.





8.2 Función de los engranajes yrelación de transmisión

El objetivo de los engranajes es transmitir una rotación entre dos ejes con una relación

de velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas oEngrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre dosejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de los ejes.

La "Relación de Transmisión" es el cociente entre la velocidad angular de salida ω2

(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora):

µ= ω2/ ω1. Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- onegativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de transmisión esmayor que 1 (µ>1) se hablará de un mecanismo multiplicador, y si es menor que 1 (µ<1) -que sueleresultar lo más habitual- de un mecanismo reductor, o simplemente de un reductor.

Por otro lado, este objetivo de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación develocidades angulares constante se puede conseguir también mediante otros dispositivos comocorreas, cadenas, ruedas de fricción, levas o mecanismos de barras articuladas, pero todos ellostienen sus limitaciones:

- Las correas, cadenas, ruedas de fricción y levas no pueden transmitir grandes potencias.

- Los mecanismos de barras articuladas son aplicables solo en casos concretos.

Por el contrario, los engranajes presentan toda una serie de ventajas:

- Son relativamente sencillos de construir.

- Pueden transmitir grandes potencias.

- Están universalmente aceptados, de tal modo que, además, su diseño está normalizado.

- Permiten obtener soluciones variadísimas y adaptarse, por tanto, a cualquier tipo deproblema de transmisión de rotación -con relación constante- entre ejes.

Todo ello da lugar a que los engranajes sea el elemento de máquinas más utilizado: cajas develocidades, reductores, diferenciales, cadenas de transmisión, ...





8.3 Clasificación de los engranajessegún el axoide del movimiento

Sea que tenemos dos ejes cualesquiera X1 y X2, en

los que queremos obtener dos rotaciones ω1 y ω2 tales queµ= ω2/ ω1= cte.

Para conocer los axoides del movimiento, es decir losque definen el movimiento relativo del cuerpo 2 que ha degirar alrededor de X2 respecto del 1 que ha de girar alrededor de X1, daremos a todo el conjunto una rotación

igual y contraria a 1ω , con lo que el cuerpo 1 quedará

inmóvil y el 2 tendrá un movimiento resultante de 12 ω−ω ,cuyo eje instantáneo de rotación y deslizamiento definirá encada instante el movimiento de que se trata. El lugar geométrico de estos ejes definirá los axoides.

Según que los ejes sean paralelos, se corten o secrucen hablaremos de tres familias de engranajes:Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos.

ω

ω−ω

Figura 8.1 – Axoides del

movimiento.

A su vez, en todo engranaje podremos distinguir dos partes claramente diferenciadas: elnúcleo (limitado por la superficie, generalmente de revolución, del axoide) y los dientes (integradosen el axoide y cuya aplicación se verá posteriormente).

De esta manera, partiendo del tipo de axoide que caracteriza el movimiento, y considerando

la disposición de los dientes, podremos establecer una primera clasificación de los engranajes:Dientes rectos exteriores Transmiten mov. de rotación en sentido contrario.Dientes rectos interiores Transmiten mov. de rotación en el mismo sentido.

Rectos piñón cremalleraEngranes cilíndricos rectos con una de las circunfs. deradio ∞. La rotación produce la traslación.

Rectos escalonadosTransmiten potencia de forma más suave que losrectos simples.

Cilíndricos

Dientes helicoidales

Paso al límite de los escalonados. Aparecen menosgolpes entre los dientes del piñón y la rueda, luegopueden transmitir mayores potencias que los de

dientes rectos. Transmiten entre ejes paralelos.





RectosCónicos

Helicoidales

Sin fin-corona Transmiten potencias elevadas.Helicoidales de ejes cruzadosHiperbólicosHipoidales

No circularesOrientados a aplicaciones concretas, son más compactos y equilibrados queotros elementos mecánicos que puedan generar el mismo efecto (por ej.,mecanismos de barras y levas). Resultan también más costosos.

Figura 8.2 – Clasificación de los engranajes según el axoide del movimiento.





8.4 Ley general deengrane. Perfiles

conjugados

Al actuar entre sí para transmitir el movimiento de rotación, los dientes del engranajeconectados actúan de modo semejante a las levas. Cuando los perfiles de los dientes (o levas) sediseñan para mantener una relación de velocidades angulares constante, se dice que tienen"Acción Conjugada".

En general, cuando una superficieempuja a otra, el punto de contacto "c"resulta aquél en donde las superficiesson tangentes entre sí. A su vez, encualquier instante, las fuerzas de acción-

reacción están dirigidas a lo largo de lanormal común "ab". Dicha recta recibe elnombre de "Línea de Acción" y cortaráa la línea de centros "O1O2" en un puntoP llamado "Punto Primitivo".

En los mecanismos de contactodirecto, en los que se produce contactoentre superficies que deslizan y/oruedan, la relación de velocidadesangulares es inversamente proporcional

a la relación de segmentos quedetermina el "punto primitivo" sobre lalínea de centros (la demostración seapoya en el teorema de Aronhold-Kennedy), es decir:

1

2

ω1

ω2

Figura 8.3 – Ley General de Engrane.

PO

PO

2

1

1

2 =ωω

=µ (1)

donde O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 yO2 con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relación de





transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, paracada punto de contacto, deberá pasar siempre por P.

Lo visto hasta aquí permite enunciar la Ley General de Engrane:

"Para que la relación de transmisión entre dos perfiles se mantenga constante,es necesario y suficiente que la normal a los perfiles en el punto de contacto

pase en todo instante por un punto fijo de la línea de centros."

Los perfiles que cumplen esta condición se dice que son "Perfiles Conjugados". Dado unperfil cualquiera ξ1 que gira alrededor de O1, siempre se puede calcular un perfil ξ2 que girando

alrededor de O2 y en contacto con ξ1 dé lugar a una relación de transmisión constante µ=cte.; es

decir, tal que ξ2 sea el perfil conjugado de ξ1(Fig. 8.4).

Conocidos O1 y O2 y la relación de transmisión µ, se puede calcular el punto primitivo P

situado sobre la línea de centros (y por tanto las circunferencias primitivas de radios R1 y R2)resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

dPOPORR 2121 =+=+ (2)

2

1

2

1

1

2R

RPO

PO ==ωω=µ (3)

ξ

ω

ξ

ω

α

α

α

Figura 8.4 – Perfiles Conjugados.





Al lugar geométrico del punto matemático que coincide en cada instante con el punto decontacto entre ambos perfiles se le denomina "Línea de Engrane". Y el ángulo α que forma lanormal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de centros recibe el

nombre de "Ángulo de Presión". Este ángulo α determina, por tanto, la dirección en la que tienelugar la transmisión de esfuerzos entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la dirección detransmisión de esfuerzos varía y esto es algo que, desde el punto de vista dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane" que fuese una línea recta (conlo que el ángulo de presión se mantendría constante).

Los perfiles conjugados obtenidos ξ1 y ξ2 tienen, a su vez, una serie de propiedades:

- El perfil conjugado del perfil ξ2 es el

perfil ξ1.

- Si se fija ξ1

a una ruleta de radio "R1" y

la hacemos rodar sobre una base deradio "R2" obtenemos una serie deposiciones sucesivas de ese perfil (Fig.8.5). La envolvente del perfil ξ1 entodas esas posiciones es el perfilconjugado.

- Siempre la normal a dos perfilesconjugados en el punto de contactopasa por P (punto primitivo).

ξ ξ

ξξ

Figura 8.5 – Envolvente = perfil conjugado.

- Dado un perfil ξ1, si dicho perfil ξ1 es el perfil conjugado de ξ2 y éste lo es a su vez delperfil ξ3: entonces, ξ1 es perfil conjugado de ξ3 (Fig. 8.6).

ξ

ξ

ξ

Figura 8.6 – Propiedad transitiva de los perfiles conjugados.





8.5 Perfiles de los dientes

8.5.1 PERFIL DE EVOLVENTE

Interesa encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general delengrane y, por otra, sean fáciles de construir. Un perfil que cumple estas condiciones es el deevolvente (Fig. 8.7), que se emplea en la mayor parte de los engranes.

Evolvente

Circunferencia base

O

A

Figura 8.7 – Perfil de Evolvente.

La Evolvente es una curva tal que el lugar geométricode los centros de curvatura de todos sus puntos forma unacircunferencia.

De forma intuitiva, el perfil de evolvente se obtiene aldesarrollar, manteniéndolo tenso, un hilo de unacircunferencia y dibujar la trayectoria de uno de sus puntos.La circunferencia sobre la que se desarrolla se denominaCircunferencia Base , o también, evoluta.

Conocido el punto por donde debe de pasar el perfil,se puede calcular por puntos el correspondiente perfil deevolvente. Se traza la tangente a la circunferencia basedesde el punto (A), se divide en segmentos iguales y seavanza sobre la circunferencia base trasladando esossegmentos. Desde cada nuevo punto se traza la tangente(cada vez con un segmento menos), para acabar uniendo losextremos de las sucesivas tangentes.

Entre las propiedades de los perfiles de evolvente están:1- La línea de engrane es una recta.

Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico de los puntos de contacto entre perfilesconjugados. En el caso de los perfiles de evolvente la línea de engrane es AB: la tangentecomún a las circunferencias base de ambos perfiles (Fig. 8.8).

La normal a los perfiles de evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la direcciónde transmisión de los esfuerzos

El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, recibía el nombre de ángulode presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta beneficioso

desde el punto de vista dinámico.





2- Engranan a cualquier distancia entre centros.

Al modificar la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con distintoángulo de presión α' y distintos radios primitivos -R1’ y R2’-. Ello es debido a que larelación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y ρ2), yno de la distancia entre centros. Conclusión que puede deducirse de forma directaobservando la figura 8.8:

cteR

R

PO

PO

cosRcosPOBO

cosRcosPOAO

1

2

2

1

2

1

2

1

2222

1111 =µ=ωω

===ρρ

α⋅=α⋅==ρ

α⋅=α⋅==ρ(4)

αα

Figura 8.8 – Propiedades 1 y 2 de los perfiles de evolvente.3- Los perfiles de evolvente son fáciles de generar.

Apoyándose en la fórmula de Euler-Savary puede comprobarse que todos los perfiles deevolvente son conjugados entre sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituidapor un plano móvil con un perfil solidario que es una línea recta. Dicho plano apoya, a suvez, sobre una base que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje.

Sea un plano móvil, en el que seencuentra una curva Cm de centro decurvatura Om. Su conjugada en el

plano fijo es Cf , de centro de curvaturaOf . El punto de contacto entre ambases A (Fig. 8.9).

Sea también que se conocen la base yla ruleta del movimiento relativo deambos planos.

La fórmula de Euler-Savary establece:

( ctesenPOm1

OfP1 =ϕ+ (5)

Y también se verifica:

ϕ

Figura 8.9





cte2

senPO1

PO1

21=

π

+ (6)

Por lo tanto:( )

21 PO1

PO1senPOm

1OfP

1 +=ϕ+ (7)

ϕ

ρ

ϕ

Figura 8.10

La normal por P (punto primitivo) al perfil rectosiempre es tangente a la circunferencia base.

La envolvente de las distintas posiciones del perfilrecto es el perfil de evolvente. Para comprobarlobasta con demostrar que C (Fig. 8.10) es el centrode curvatura del perfil y que se encuentra sobreuna circunferencia de radio ρ.

Aplicando (7):

( ) ∞+=ϕ∞+ 1R

1senP1

OfP1 (8)

de donde: OfP=Rsenϕ.

Lo que significa que Of es un punto que está entodo momento sobre una circunferencia de centroO y radio Rcosϕ. Es decir; Of ≡C situado sobre lacircunferencia base de radio ρ=Rcosϕ.

8.5.2 OTROS TIPOS DE PERFILES

Al construir un par de ruedas dentadas, el perfil del diente de una rueda, en general, puedeelegirse arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calculará mediante elmétodo general de determinación del perfil conjugado de uno dado (Fig. 8.4).

Las ventajas asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que éste seael perfil mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse también otro tipo de perfiles,aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones específicas.

Así por ejemplo:- Engranajes Cicloides:

La cabeza del diente está trazada por una epicicloide y el pie por una hipocicloide.Tuvieron una gran difusión hace aproximadamente un siglo, en virtud de la facilidad parareproducirlos por fundición. No obstante, en la actualidad sólo se emplean en rarasocasiones para mecanismos especiales.

En estos engranajes el perfil convexo contacta con el cóncavo. Ello hace que la presiónespecífica en este tipo de contacto sea menor que cuando están en contacto dos perfilesconvexos. Sin embargo, esto mismo les hace ser muy sensibles a las variaciones en ladistancia entre ejes, precisando de un gran ajuste.





Al mismo tiempo, la velocidad dedeslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es

constante en cada una de laszonas del diente; y en amboscasos es significativamentemenor que en el caso de losengranajes de evolvente. Ello dalugar a un nivel de desgaste deldiente también inferior.

No obstante, en el punto delperfil situado sobre lacircunferencia primitiva (y que

constituye la frontera entre elperfil cóncavo y el convexo) seproduce un cambio brusco de lavelocidad de deslizamiento y,como consecuencia, elquebrantamiento superficial delmaterial alrededor de ese puntoes más probable en unengranaje cicloidal que en unode evolvente.

Figura 8.11 – Engranajes Cicloides

Por último, la línea de engrane no resulta ser una línea recta, con lo que el ángulo depresión varía. Debido a ello, varían tanto las magnitudes de las fuerzas de reacción en loscojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que conduce al aflojamiento delos cojinetes. Al mismo tiempo, al ser el desgaste del diente proporcional a la fuerza depresión, el desgaste se lleva a cabo de forma desigual.

- Engranaje de Reloj:

Utilizado en mecanismos de relojería y en ciertos aparatos. Son similares a los cicloides,pero en ellos la cabeza del diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras queel pie tiene una configuración rectilínea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen unfuncionamiento muy suave.

- Engranaje de Linterna:En ellos el perfil de los dientes de una de las ruedas es una circunferencia; esta rueda sedenomina "rueda de linterna" y sus dientes "barrotes". Los barrotes pueden estar fijos deforma solidaria al cuerpo o núcleo de la rueda, o poseer ejes que permitan su rotación -eneste caso las pérdidas por rozamiento resultan pequeñas-.

Se emplean en transmisiones lentas de grandes dimensiones que no exigen una granexactitud, ya que si bien la fabricación de la "rueda linterna" es muy sencilla, no ocurre lomismo con la otra rueda.





8.6 Engranajes cilíndrico-rectos

Los engranajes cilíndricos transmiten una rotación entre dos ejes paralelos separados unadistancia "d" y con una relación de transmisión µ= ω2/ ω1 constante dada. Sus antecesores enllevar a cabo esta tarea son los "Cilindros o Ruedas de Fricción" (Fig. 8.12), para cuyo

dimensionamiento basta con resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:dRRódRR 1221 =−=+ (9)

(cilindros exteriores o interiores)

2

1

1

2R

R=ωω=µ (10)

de donde se pueden despejar los radios de los cilindrosrozantes:

1

dR

1

dR 21

+µ

=

+µ

µ= (cils.ext.) (11)

µ−=

µ−µ

=1

dR

1

dR 21 (cils.int.) (12)

Figura 8.12 – Cilindros de Fricción

ρ

ρ

µ

ϕ

Figura 8.13

Pero en este tipo de mecanismos, latransmisión de esfuerzos es muy desfavorable, yaque el esfuerzo normal de contacto pasa por elcentro de giro sin proporcionar momento.

Por tanto, el par transmitido se reduce al

originado por la fuerza de rozamiento Froz=T=µ.N(Fig. 8.13) y como los valores de µ son reducidos,se precisan N muy elevadas para obtener unatransmisión de momentos motores pequeña.

Ello limita el empleo de ruedas de fricción y obliga a adoptar perfiles en los que se aprovecheel par creado por N. Estos mecanismos se deslizan y ruedan, uno sobre otro, y constituyen los"Mecanismos de Palancas Rodantes con Deslizamiento", pero el movimiento que proporcionanno es continuo. Para resolver esta cuestión se plantea el uso de varias palancas sucesivas igualescuyo contacto asegura la conducción sólo durante una fracción de vuelta; suficiente para que el par de palancas siguientes tome contacto y continúe la transmisión de movimiento. Surgen así las

"Ruedas Dentadas o Engranajes".





8.6.1 NOMENCLATURA

En la figura 8.14 puede observarse el desarrollo de los dientes de un engranaje cilíndrico

recto, a la vez que la nomenclatura empleada en el estudio de los engranajes.

Figura 8.14 – Nomenclatura de los engranajes

Los parámetros que permiten definir un engranaje y la nomenclatura empleada en ellos son:

- Circunf. primitiva (R), o de paso: ladel cilindro rodante o de fricciónequivalente.

- Circunf. exterior (Re): llamadatambién de cabeza o de addendum.

- Circunf. interior (Rp): Llamadatambién de fondo, de pie o dededendum.

- Anchura de cara o Longitud deldiente: dimensión del diente medidaen dirección axial.

- Addendum (a): distancia radial entrela c. primitiva y la de cabeza.

a = Re – R

- Dedendum (l): distancia radial entre lac. primitiva y la de pie: l = R - Rp

- Paso circular (p): distancia entre dospuntos homólogos de dos dientesconsecutivos. En general, se midesobre la c. primitiva: p = 2πR/z

- Paso angular (pa): ángulo entre dospuntos homólogos de dos dientesconsecutivos. pa = 2π/z

- Hueco (h): anchura del hueco entredientes sobre la c. primitiva: h = p - e

- Juego ( j): diferencia entre el hueco deun diente y el espesor del que engranacon él: j = h1 - e2

- Holgura o espacio libre de fondo (c):diferencia entre el dedendum de undiente y el addendum del que engranacon él: c = l2 - a1





- Altura del diente (hT): distancia radialentre la c. de pie y la de cabeza:

hT = a + l- Espesor del diente (e): medido sobre

la c. primitiva.

- Nº de dientes (z): nº de dientes quetiene el engranaje.

- Módulo o paso diametral (m, pd):cociente entre el diámetro primitivo delengranaje y el nº de dientes:

m = 2R/z = p/π

- Piñón, rueda, borde superior o cabeza,cara (copa), flanco, fondo o bordeinferior y radio de acuerdo o chaflán.

El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sinimportar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande -a mayor "m",mayor será el diente-. Por otro lado, y con respecto a otro tipo de pasos (p, pa) el módulo o pasodiametral tiene la ventaja de no depender del número π.

8.6.2 ENGRANAJES NORMALIZADOS

En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entresí deben de cumplir las siguientes condiciones.

- Tener el mismo módulo ( o mismo paso circular, ya que m = p / π).

- Igual ángulo de presión de generación ϕ.

- Presentar addendum y dedendum normalizados.

- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia primitiva.

Un "Sistema de Dientes" es una norma que especifica las relaciones que deben existir entreaddendum, dedendum, espesor del diente y ángulo de presión, con el objetivo de posibilitar laintercambiabilidad de las ruedas dentadas. No obstante, también hay que constatar que lanecesidad de obtener ruedas de alto poder de transmisión puede aconsejar importantesdesviaciones con respecto a lo señalado en los sistemas de ruedas normalizadas.

En el estado español, la construcción y valores a emplear para los engranajes ha sidonormalizada por el Instituto Nacional de Racionalización del Trabajo, siguiendo las recomendacionesde la norma ISO. Así, existe una normalización sobre:

- El valor a tomar para el módulo del engranaje. Están definidas tres series de valores

representadas en la tabla 8.2, de los que conviene evitar los valores comprendidos en lasseries II y III, dando preferencia a los módulos comprendidos en la serie I.

I 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20

II 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18

III 3,25 3,75 6,5

Tabla 8.2 – Series de módulos normalizados

- el tipo de diente: normal o corto. Se establecen sus dimensiones con respecto al valor del módulo "m".





Diente normal:

- addendum (a) = 1.00 m

- dedendum (l) = 1.25 m- espacio de fondo (c) = 0.25 m

Diente corto:

- addendum (a) = 0.75 m

- dedendum (l) = 1.00 m- espacio de fondo (c) = 0.25 m

- la cremallera tipo y, en consecuencia, los dientes con ángulo de presión ϕ de valor 20º;aunque, muy ocasionalmente, puedan emplearse 14.5º y 15º.

Las normas que recogen estas recomendaciones son: UNE 18016, UNE 18022 y UNE 18028

8.6.3 RELACIONES FUNDAMENTALES

A partir de la definición de módulo, puede obtenerse una expresión para la relación detransmisión "µ" en función del nº de dientes del las dos ruedas que constituyen el par de engrane:

2

1

2

1

2

1

1

2

z

z

2mz

2mz

R

R===

ωω

=µ (13)

Por lo tanto, al dentar las ruedas de fricción aparece una nueva condición sobre lasvelocidades angulares de los engranajes: la relación de transmisión viene determinada por losnúmeros de dientes de las ruedas que engranan. Al ser el número de dientes siempre un númeroentero ello implica que no será posible, en general, obtener cualquier relación de transmisión;máxime si se tiene en cuenta que también estará limitado el número máximo y mínimo de dientes asituar sobre una rueda dentada.

Por regla general, se tratará de aproximar la relación "µ" por un cociente de dos númerosenteros, de forma que el error cometido sea el menor posible, y siempre dentro de loscondicionamientos de tipo constructivo o funcional que nos vengan impuestos. En este sentido, unmétodo de aproximación posible es el de las "fracciones continuas".

8.6.4 GENERACIÓN DE ENGRANAJES

Los procedimientos de tallado de ruedas dentadas se dividen en dos grandes familias:

- Procedimientos de reproducción.

- Procedimientos de generación o rodadura.

8.6.4.1 Reproducción

En los procedimientos de tallado de ruedas dentadas por reproducción, el borde cortante dela herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por ejemplo, delhueco entre dientes contiguos). Como consecuencia, estos métodos precisan de un número elevadode herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo módulo hace falta unaherramienta para cada número de dientes puesto que el hueco interdental varía.

Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:





- Fundición: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el materialcolado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera elsobreespesor que va asociado a la fundición.

- Procesos de metalurgia de polvos (pulvimetalurgia).

- Estampación: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futurarueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas.

- Estrusión y rebanado.

- Mediante cortadores conformadores: El cortador tiene la forma exacta del huecointerdental. Cabe distinguir dos procedimientos según la máquina herramienta utilizada:

+ Cepillado: La herramienta en la sección perpendicular a la dirección de su movimientotiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el contorno del huecointerdental del engranaje a tallar.

+ Fresado: Es un método degran difusión, similar a latalla por cepillado, pero aquíen lugar de una cuchilla conforma determinada se utilizacomo herramienta una fresaespecial estandarizada -la"fresa de módulo"- cuyosdientes tienen perfilesidénticos a la forma del

hueco interdental que sepersigue. Al final de cadaoperación de fresado la fresavuelve a su posición inicial yla pieza bruta gira un ánguloigual a 1/z de vuelta parapoder fresar el siguientehueco. Figura 8.15 – Generación de engranajes: Fresado

Figura 8.16 – Evitar el acuñamiento

El elevado precio de una "fresa de módulo" y larapidez con la que se desgastan obliga a recurrir

a una cierta inexactitud en el tallado al emplear lamisma fresa para ruedas con un nº de dientescercano a aquél para el que está diseñada lafresa. Lo habitual es utilizar juegos de 8 fresas demódulo -en ocasiones también de 15 ó 26 parauna mayor exactitud- de forma que cada fresa secorresponde con el número menor de dientes desu serie, ya que al aumentar "z" disminuye elhueco interdental, evitando de esta manera elpeligro de "acuñamiento".





8.6.4.2 Generación por cremallera

Aprovechando la última propiedad del perfil de evolvente -todos los perfiles de evolvente sonconjugados a una ruleta constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es lacircunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta-, podemosgenerar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de ésta ruedesobre la circunferencia primitiva del engranaje.

La cremallera consiste en varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que puedengenerarse simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, lacremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano del dibujo(Fig. 8.17). Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira el engrane que se estátallando un ángulo ∆ϕ, se avanza la cremallera R.∆ϕ y se corta otra vez. Repitiendo esta operaciónsucesivas veces obtenemos el engrane

Figura 8.17 – Generación de engranajes: Cremallera

8.6.4.3 Generación por piñón

Como todos los perfiles de evolvente son conjugados entre sí, también podemos generar unarueda haciéndola engranar con un piñón herramienta (H) con un determinado número de dientes(zH). El proceso de tallado puede llevarse a cabo de dos formas posibles:

- Si la pieza bruta (B) de la futura rueda dentada (Fig. 8.18) se fabrica en material blando,girando ambas piezas tal y como se aprecia en la figura con velocidades ω y ωH, laherramienta (H) penetra en la pieza bruta (B) generando los perfiles conjugados a losperfiles de los dientes de la herramienta. Este método -poco extendido- se suele emplear para ruedas dentadas de módulo pequeño.





Cuando el material de partida es blandopuede ser directamente mecanizado enfrío, en caso contrario necesita de un

precalentamiento.El número de dientes generados vendrádeterminado por la relación develocidades angulares, ya que:

ωH/ω = z/zH

El procedimiento puede invertirsemanteniendo una de las ruedas fijas yvariando la velocidad angular de la otrapara obtener el número de dientes "z"

deseado. Por consiguiente basta conuna sola rueda-herramienta de módulo"m" dado para poder fabricar ruedasdentadas del mismo módulo y condiferentes números de dientes "z".

Figura 8.18 – Generación por piñón- Análogamente al caso de la cremallera, pero con una mortajadora en forma de piñón (Fig.

8.19). La rueda herramienta (H) con zH dientes se afila y convierte en herramienta decorte.

La mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén axial.

Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran unosángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares:

∆ϕH/∆ϕ = z/zH

Fi ura 8.19 – Generación de en rana es: Morta adora en forma de iñón





8.6.5 INTERFERENCIA DE TALLADO Y DE FUNCIONAMIENTO

Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a lainterferencia de la propia materia. Pueden distinguirse, en base a lo visto, dos tipos:

- Interferencia de tallado o penetración.

- Interferencia de funcionamiento.

8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetración

Habrá que diferenciar si el tallado se lleva a cabo con

cremallera o con piñón. Este tipo de interferencia tiene lugar cuando la cremallera o el piñón de generación cortan material enpuntos situados en el interior de la circunferencia base -es decir,más allá de donde termina el perfil de evolvente-.

Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y provocaun debilitamiento en la base del diente que afecta muynegativamente a sus propiedades resistentes. Figura 8.20 – Penetración

El tallado de un engranaje con cremallera se realiza haciendo rodar la "línea primitiva de lacremallera" (circunferencia primitiva de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así losdientes de la rueda se tallan como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes

de sus sucesivas posiciones).Pero hay que tener en

cuenta que el perfil de evolventetermina en el punto C -punto dela circunferencia base-, y si lalínea exterior de la cremallerapasa por debajo de C seproduce interferencia de tallado.

En la figura 8.21 se harepresentado la posición

extrema de tallado, en la que lacremallera está tallando el puntoC de evolvente (último puntoposible del perfil de evolvente.

ϕ

ϕ

ρ

Figura 8.21 – Tallado con cremallera

Para que ello no ocurra, el addendum de la cremallera "ac" deberá cumplir:

ac ≤ PM = CP senϕ = R sen2ϕ (14)

y recordando que (por definición) m = 2R / z ⇒ ϕ≤ 2c sen

2mz

a (15)





Si la cremallera está normalizada ac = m y la condición para evitar la interferencia de talladoserá:

ϕ≥ 2sen2z (16)

Por lo tanto, la generación con cremallera nos impone un límite en el número de dientes quepodemos tallar con ella. En la práctica, y dado que ϕ está normalizado y su valor suele ser de 20º,el número de dientes z ≥ 17.1 ⇒ z ≥ 18. Luego se podrán generar ruedas de más de 18 dientes

con altura de cabeza "m" y ϕ =20º .

Existen, no obstante, varios métodos que permiten salvar esta limitación:

1- Disminuir el tamaño del addendum de la cremallera a 0.8m: ⇒ z ≥ 13.68

2- Aumentar ϕ a 25º. Entonces: ⇒ z ≥ 11.2

3- Tallar engranajes corregidos, es decir, con cremallera desplazada.

Por otro lado, cuando se trata detallado de engranajes con piñón dadoque las puntas de los dientes del piñónsiguen trayectorias circulares, el problemade interferencia de tallado será más difícil que aparezca.

En este caso (Fig. 8.22), el ángulo depresión "ϕ" viene dado por el radio base del

piñón y por el radio primitivo, y la condicióna cumplir para que no se presente este tipode interferencia es que la circunferencia detallado máximo, que viene dada por lacircunferencia exterior del piñónherramienta, no penetre en la circunferenciabase de la rueda tallada más allá del puntoC1 -que C no llegue más allá de C1.

ρ

ρ

ϕ

ϕ

Figura 8.22 – Tallado con piñón

Es decir: R2 + at ≤ O2C1, siendo at el addendum del piñón de tallado. Donde recordandoque Ri = mzi/2 y siendo (O2C1)2 = (R12 + 2R1R2)sen2ϕ + R2

2 se puede obtener el número mínimode dientes que pueden tallarse con un piñón dado.

8.6.5.2 Interferencia de funcionamiento

Tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas entra en contacto con el de la otra en unpunto que "no está tallado" como función evolvente, tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane" -segmento C1C2 sobre la línea de engrane en la figura anterior-,como en el que se pretenda engranar en un punto de este segmento que no esté tallado como perfil





de evolvente (al fin y al cabo, al tallar el engranaje bien sea con cremallera, bien con piñón, nadaimplica que haya que tallar justo hasta llegar a la circunferencia base).

En el caso de que ambos engranajes hayan sido tallados con una cremallera (del mismoaddendum -para simplificar- ac) y suponiendo que en la rueda de menor número de dientes -piñón-se cumple la condición vista (15) para que no haya interferencia de tallado, el peligro deinterferencia de funcionamiento siempre estará en la rueda de menor diámetro.

ρ

ρ

ϕ

ϕ

Figura 8.23 – Tallado con cremallera

Figura 8.24 - Detalle

Se deberá cumplir:

( ) ϕ≤ϕ−ϕ−+⇒≤ senRsenRcosRaRCPAP 1222

22

2 (17)

Pero, además el addendum de la cremallera de tallado debe ser tal que el punto A estérealmente tallado. En la figura se observa que AP ≤ A'P, siendo A' el último punto de la línea deengrane tallado por la cremallera, es decir AP senϕ ≤ ac

De donde se obtiene la condición para evitar este tipo de interferencia:

( )ϕ

≤ϕ−ϕ−+sen

asenRcosRaR c2

222

22 (18)

De forma análoga, suponiendo que ambos engranajes han sido tallados con un piñón (delmismo addendum at) que cumple la condición necesaria para evitar la interferencia de tallado en larueda de menor número de dientes, para que no se presente interferencia de funcionamiento setendrá que cumplir que: AP ≤ CP (Figs. 8.25 y 8.26).

Pero si además engranamos esa rueda pequeña con otra de radio R2 ≠ Rt (radio de la

circunferencia primitiva del piñón de tallado), deberá de comprobarse que AP ≤ A'P quedesarrollado resulta:

( ) ( ) ϕ−ϕ−+≤ϕ−ϕ−+ senRcosRaRsenRcosRaR t

22

t

2

tt2

22

2

2

2 (19)





ρ

ρ

ϕ

ϕ

Figura 8.25 – Tallado con piñón

Figura 8.26 – Detalle

8.6.6 ARCO DE CONDUCCIÓN Y RELACIÓN DE CONTACTO

Se denomina ángulo de conducción (γt) al ángulo girado por el engranaje desde que dos

dientes establecen el contacto hasta que lo pierden. A su vez, arco de conducción (qt) es el arcodeterminado por el ángulo de conducción sobre la circunferencia primitiva. Cada uno de los dosengranes que forman el par de engrane tiene su propio ángulo de conducción (γτ1 y γt2), pero ambos

ángulos interceptan el mismo arco sobre la circunferencia primitiva, ya que se parte del supuestoprevio de la rodadura entre circunferencias primitivas.

Todos los puntos de contacto entre los dientes están situados en el segmento de engrane AB definido sobre la línea de engrane por las circunfs. exteriores de los engranajes (Fig. 8.27).

El punto A corresponde al contacto delflanco del diente conductor con la punta del

diente conducido y el B al punto en que se pierdeel contacto entre la punta del diente conductor yel flanco del diente conducido.

Dentro de ese contacto entre los dosdientes se distingue una fase de aproximación -entre el instante en el que los dos dientes entranen contacto (A) y el instante en el que el puntode contacto es el punto primitivo P- y una fasede retroceso o alejamiento -desde el instanteanterior hasta el momento en el que ambosdientes dejan de estar en contacto (B)-.

Figura 8.27 – Zona de engrane





A partir de ahí se definen:

- AP: Segmento de aproximación.

- γa: Ángulo de aproximación.- qa: Arco de aproximación.

- BP: Segmento de alejamiento.

- γr : Ángulo de alejamiento.- qr : Arco de alejamiento.

De la definición de evolvente se deduce que existe una relación directa entre las distanciasmedidas sobre la línea de engrane y el ángulo girado por el engranaje. En efecto, de la idea intuitivade ver la evolvente como un hilo que va enrollándose en la circunferencia base, se concluye que lasdistancias medidas sobre la línea de engrane -lo que se acorta el hilo- son iguales a los arcosmedidos sobre la circunferencia base -lo que se recoge el hilo sobre la circunferencia-.

ρ

γ

γ

Figura 8.28

Entonces se cumplirá (Fig. 8.28) que:

AP=A'P' y PB=P'B'.

Y se trata de determinar qué ángulo giran losengranajes cuando se pasa del punto de contacto en A alcontacto en B. Sabemos que:

ρ=γ

ρ=γ⇒

γρ=

γρ=

22r

22a

2r 2

2a2

PB

AP

PB

AP(20)

Por geometría:

( ) ϕ−ρ−+=−= senRaRPDADAP 222

222 (21)

( ) ϕ−ρ−+=−= senRaRBDPDPB 121

211 (22)

El arco de conducción será por lo tanto:

( ) ( )2222r 2a2t PBAPRRq ρ+ρ=γ+γ= (23)

que de forma desarrollada puede expresarse:

( ) ( ) ( ) ϕ+−ρ−++ρ−+ρ= senRRaRaRRq 2122

222

21

21122t (24)

Por otro lado, se llama relación de contacto (εc) al cociente entre el arco de conducción y el

paso circular (εc

= qt

/ p). Da una idea del número de dientes que engranan en cada instante ynunca podrá ser menor que la unidad. Por ejemplo, una relación de contacto de 1.8 significa que el80% del tiempo hay dos pares de dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 20%restante sólo hay uno.

Cuanto mayor sea esta relación de contacto, menor será el esfuerzo que soporta cada diente-ya que el esfuerzo de transmisión se reparte entre un número mayor de dientes- y, por tanto, mayor podrá ser la potencia a transmitir por el par de engrane. El interés se fijará por ello en la obtenciónde relaciones de contacto altas. Normalmente, se recomienda que la relación de contacto alcance,por lo menos, un valor de 2, a poder ser entero y nunca menor que 1 -o, mejor dicho, nunca menor que 1.2, para evitar que los errores de fabricación y montaje den lugar a una εc<1-.





Por otro lado, las cada vez mayores exigencias de confort obligan a reducir el nivel de ruidoen los engranajes. En este ruido existen dos componentes fundamentales: el ruido provocado por elchoque de dos dientes en el momento en que empiezan a engranar, y el ruido generado por el

rozamiento entre dos dientes que están deslizando entre sí. Ambos casos dependen directamentede la fuerza que deba transmitir cada par de dientes, y ello depende -como se ha visto- de larelación de contacto: cuanto mayor sea ésta, menor será el esfuerzo normal entre los dientes queestán engranando y, por lo tanto, menor será el ruido de engrane y mayor el confort.

8.6.7 ESTUDIO ANALÍTICO DEL PERFIL DE EVOLVENTE. ESPESOR DEL DIENTE

θ

ρψ

Figura 8.29 – Perfil de evolvente. Estudio analítico

Observando la Figura 8.29 y teniendoen consideración el sentido físico de laevolvente (desenrolle de un hilo), el arco BA

coincide con AT, luego:

( ) ( )( )

( )ψ+θ=ψ

=

ψ+θρ=

ψρ=

tg

ABarcAT

ABarc

tgAT

(25)

de donde despejando θ se obtiene ladenominada Función Evolvente de Ψ:

( )ψ=ψ−ψ=θ Evtg (26)

y, a su vez, despejando Ψ resulta la FunciónEvolvente Inversa de θ:

( )θ=ψ −1Ev (27)

Dado el ángulo Ψ, calcular su función evolvente (θ) resulta sencillo, basta una simplecalculadora; sin embargo, el problema inverso es más complicado y su resolución precisa el uso devalores tabulados y su posterior interpolación, o el empleo de una calculadora programable.

A partir de aquí, la ecuación del perfil de evolvente puede escribirse en coordenadas polares(r, θ) de la forma::

( )( )θ

ρ=ψ

ρ= −1Evcoscosr (28)

Para hallar el espesor del diente en un punto T, conocido dicho espesor en otro punto A, elanálisis de la Figura 8.30 de la página siguiente permite establecer las siguientes relaciones:

AAA

TTT

R2e

R2e

β⋅⋅=

β⋅⋅=(29)

( ) ( ) AATT

AATT

EvEv β+ψ=β+ψ

β+θ=β+θ(30)





Operando:

( ) ( )TAAT EvEv ψ−ψ+β=β (31)

Y sustituyendo en (29):( ) ( )[ ]TATATT EvEvR2R2e ψ−ψ⋅⋅+β⋅⋅= (32)

( ) ( )[ ]TATA

ATT EvEvR2

R2

eR2e ψ−ψ+= (33)

De donde se puede deducir la formula que nospermite calcular el espesor del diente en un puntocualquiera T, conocido el espesor en un punto A:

( ) ( )[ ]

ψ−ψ⋅+⋅= TAA

A

TT EvEv2R

e

Re (34) Figura 8.30

Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva(es decir, A está sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin corrección,como se verá en el próximo apartado) se verifica que eA = p/2 = mπ/2, siendo ΨA = ϕ = Ángulo depresión.

Figura 8.31 - Apuntamiento

Al mismo tiempo, la expresión (34) obtenida permitedeterminar el addendum máximo permitido en los dientes paraevitar el apuntamiento -para evitar que el espesor del diente lleguea hacerse 0 como se aprecia en la Figura 8.31-. Para ello, bastacon aplicar dicha expresión para un punto de la circunferenciaexterior del diente y obligar a que su espesor en ese punto sea ≥ 0.

8.6.8 ENGRANAJES CORREGIDOS

Los engranajes vistos hasta ahora son engranajes normales o tallados a cero, es decir,tallados de forma que la circunferencia primitiva de tallado (la que rueda sobre la línea primitiva delpiñón o de la cremallera) tiene igual espesor de diente que de hueco. Además del interés que sepuede tener en obtener una relación de contacto razonable y en mejorar la resistencia mecánica de

los dientes de las ruedas, estos engranajes tienen dos importantes limitaciones:- Un nº de dientes mínimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado (16):

ϕ≥

2sen

2z (35)

- La distancia entre centros viene impuesta por la normalización de los módulos y losnúmeros de dientes, ya que:

( )2121 zz2

mRRd +=+= (36)





La solución a estas necesidades y problemas viene dada por los engranajes corregidos. Laidea consiste en tomar como línea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generaciónpor cremallerauna línea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco.

Es decir, consiste (Fig. 8.32)en desplazar la cremallera unacantidad 'x·m', donde “x” es llamadofactor de corrección y “m” el módulodel engranaje. Una correcciónpositiva, evitará la interferencia detallado y el apuntamiento del diente.

ϕ ϕ

Figura 8.32 – Corrección positiva en tallado con cremallera

Se puede, en tal caso, plantear el problema de interferencia de tallado de modo inverso:conocido el número de dientes a tallar, calcular cuál será el factor de corrección mínimo para que notenga lugar interferencia de tallado.

ϕ

ϕ

ρ

Figura 8.33 – Corrección con cremallera

Analizando la Figura 8.33 adjunta,donde se ha desplazado la cremallerauna distancia x·m, puede deducirse quepara que no exista interferencia de talladoha de cumplirse que:

( ) ϕ≤− senCPx1m (37)

siendo

ϕ=ϕ=ϕ 22 sen

2

mzsenRsenCP

De donde, recordando (35):

itelím

2

zz1

2senz

1x −=ϕ

−≥ (38)

Por otro lado, en lo referente a la limitación de la distancia entre centros, sean dos ruedas R 1 y R2 talladas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1 , x2. Si x1 y x2 sonpositivos, las ruedas no engranarán a la distancia d = R1 + R2, porque ha aumentado el espesor delos dientes en las circunferencias primitivas de tallado, y cada diente no cabe en el hueco de la otrarueda. Análogamente, si ambas son negativas, existirá gran holgura entre el espesor del diente y el

hueco sobre la circunferencia primitiva. Y cabe la posibilidad de que x1 y x2 sean de signoscontrarios.

En cualquier caso, las ruedas engranarán a otra distancia entre ejes y los radios de lascircunferencias primitivas de tallado no coincidirán con los de las circunferencias primitivas defuncionamiento.

Tal y como se observa en la Figura 8.34 de la página siguiente, los nuevos radios primitivosde funcionamiento R1v y R2v se hallarán situando los engranajes a una distancia tal que el espesor del diente de una rueda coincida con el hueco de la otra. La nueva distancia de engrane será ahorad = R1v + R2v. Por otro lado, al variar la distancia también variará el ángulo de presión, designadopor ϕv.





ρ

ρϕ

ϕ

ρ

ρϕ

ϕρ

ρϕ

ϕ

Engranajes sin corrección Engranajes corregidos Condiciones de funcionamiento

Figura 8.34 – Condiciones de funcionamiento de engranajes corregidos

Las circunferencias base no varían, por lo que se cumple:

VV222

VV111

cosRcosR

cosRcosR

ϕ=ϕ=ρ

ϕ=ϕ=ρ(39)

Para deducir las condiciones de funcionamiento de los engranajes corregidos habrá queestudiar la forma en que varía el espesor del diente. Partimos para ello (Fig. 8.35) de unacremallera en la que colocamos la línea primitiva y la línea media (línea en la que la que la anchuradel diente es igual a la anchura del hueco, y que en el caso de engranajes no corregidos coincidecon la línea primitiva). Podemos distinguir:

ϕ

Figura 8.35

- e: espesor del diente tallado a cero -con lacircunferencia primitiva normal-

e = p/2 = mπ/2 (40)

- e': espesor del diente tallado con lacircunferencia primitiva con corrección(circunferencia primitiva de tallado).

ϕ⋅⋅⋅+= tgmx2e'e (41)

Los espesores de los dientes sobre las circunferencias primitivas de tallado serán entonces:

ϕ⋅⋅⋅+π=

ϕ⋅⋅⋅+π=

tgmx22me

tgmx22me

2,2

1,1

(42)

con lo que al variar el espesor del diente y en igual medida, pero con signo contrario, la anchura delhueco en las circunferencias primitivas de tallado, éstas ya no podrán ser las circunferenciasprimitivas de funcionamiento.





Teniendo en cuenta la expresión vista para el espesor de un diente para un radio dadoconocido el espesor en otro punto del mismo (34), los espesores del diente en las nuevascircunferencias primitivas de funcionamiento serán:

( ) ( )[ ]

ϕ−ϕ⋅+⋅= V1

,1

V1,V1 EvEv2

R

eRe (43)

( ) ( )[ ]

ϕ−ϕ⋅+⋅= V2

,2

V2,

V2 EvEv2R

eRe (44)

E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobrelas circunferencias primitivas de funcionamiento:

1

V1

1

V1

1

V1V

,V2

,V1

R

Rm

mR2

R2

z

R2pee π=

π=

π==+ (45)

Sustituyendo (43) y (44) en la expresión (45) anterior queda:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1

V1V

2

,2

V2V1

,1

V1 R

RmEvEv2

R

eREvEv2

R

eR π=

ϕ−ϕ++

ϕ−ϕ+ (46)

que, operando, resulta:

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ }1

V1V2

,2

2

V2V1

,1

1

V1

R

RmEvEvR2e

R

REvEvR2e

R

Rπ=ϕ−ϕ++ϕ−ϕ+ (47)

Teniendo en cuenta que, según (39) la relación de radios permanece constante,

2V

1V

2

1

2

1

R

R

R

R==

ρ

ρ, se puede simplificar esta expresión quedando:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] π=ϕ−ϕ++ϕ−ϕ+ mEvEvR2eEvEvR2e V2,2V1

,1 (48)

Sustituyendo (40) y (41), sacando factor común y simplificando:

( )( )

( ) ( )[ ] 0EvEv2

zzmtgxxm V

2121 =ϕ−ϕ

++ϕ+ (49)

Luego de la condición geométrica de que un engranaje engrane con otro sin juego, se obtieneuna relación entre las correcciones y las condiciones de funcionamiento:

( ) ( )( )( )

ϕ+

++ϕ=ϕ tg

zz

xx2EvEv

21

21V (50)





8.7 Engranajes cilíndrico-helicoidales

8.7.1 CARACTERÍSTICAS

Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los pequeñoserrores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en pequeños choques alempezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al ser variable con el tiempoel número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de contacto del 1,7), ello setraduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo mismo que un diente soportetoda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir, variaciones bruscas de la fuerzatransmitida a cada diente.

Debido a esto, los engranajes cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen vibraciones, ruidos,...).

Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajesrectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce comoengranajes cilíndricos escalonados (Fig. 8.36) y su funcionamiento es tanto más suave cuantomayor es el número de escalones en los que es tallado el engranaje.

Figura 8.36 – Las ruedas helicoidales pueden considerarse el límite de una rueda escalonadaLa idea de los engranajes helicoidales surge así como el paso al límite de los engranajes

escalonados, en donde los saltos son tan pequeños (infinitesimales) que hay continuidad (Fig. 8.36).En ellos, el engrane de dos dientes empieza y termina de forma gradual, lo que se traduce en unamarcha más “suave” (menos ruido y vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permitenobtener, con cualquier número de dientes, una relación de contacto tan grande como se desee.





8.7.2 PLANO NORMAL Y PLANO FRONTAL. RELACIONES ANGULARES

En una rueda

helicoidal (Fig. 8.37), unasección por un plano normalal eje de giro presenta unperfil análogo al de unarueda de dientes rectos(perfil de evolvente, ángulode presión, línea deengrane, ...). Este es elperfil frontal de la rueda,situado sobre el planofrontal o aparente. Figura 8.37 – Angulo de inclinación en el cilindro base βb

En sucesivos planos paralelos al anterior, se va repitiendo el mismo perfil, pero desfasadorespecto al plano frontal de tal manera que la base del flanco del diente traza sobre el cilindro debase de las evolventes una hélice de ángulo de inclinación βb (ángulo de inclinación en el cilindrobase).

Figura 8.38 – Helicoide reglado

La forma que toman los flancos delos dientes es una superficie llamadahelicoide reglado. Esta superficie es laque engendra el segmento AB de laFigura 8.38 cuando el plano ABCD se

enrolla sobre el cilindro base o ruedasobre él sin deslizar. Cualquier secciónde esta superficie por un plano tangenteal cilindro base es una línea recta, ycualquier sección perpendicular al eje delcilindro es una evolvente.

En un engranajecilíndrico de ruedashelicoidales (Fig. 8.39),las dos ruedas deben

tener las hélices desentidos contrarios(una a derechas y laotra a izquierdas), peroambas con el mismovalor del ángulo deinclinación βb. Es decir:βb1 = -βb2

Figura 8.39 – La hélice del cilindro primitivo ≠ de la del cilindro base

Cada rebanada de las ruedas de espesor infinitesimal engrana como si se tratara de unarueda de dientes rectos con un perfil igual al perfil frontal o aparente. En sucesivos planos paralelosal anterior, se reproduce el mismo engrane pero con un cierto retraso o adelanto. Es decir, que a





efectos de engrane dos ruedas helicoidales se comportan igual que dos ruedas rectas cuyo perfil fuera el perfil frontal o aparente. Así, los axoides son dos cilindros de contacto, el ángulo de presiónϕ será el ángulo de presión del perfil frontal o ángulo de presión aparente ϕa, y los radios de las

circunferencias primitivas o axoides (R1 y R2) se calcularán con las mismas expresiones vistas paraengranajes de dientes rectos:

d = R1 + R2 (51)

R1 = ρ1 / cosϕa (52)

R2 = ρ2 / cosϕa (53)

Ahora bien, la traza del flanco de un diente sobre el cilindro primitivo es también una hélice,pero con un ángulo de inclinación (β) mayor que el de la hélice del cilindro base (Fig. 8.39). Ello esdebido a que esta nueva hélice se desarrolla sobre un cilindro de mayor radio. Observando la Figura8.40, puede demostrarse que el ángulo de inclinación sobre el cilindro primitivo o ángulo de

inclinación de funcionamiento (β) es:tgβ = tgβb / cosϕa (54)

Tanto la hélice del cilindro primitivo comola del cilindro base deben tener el mismo pasoaxial (H: avance axial correspondiente a unavuelta completa de la hélice), que es unacaracterística general del diente.

Desarrollando ambos cilindros sobre unplano (Fig. 8.40) puede verse que:

HR2tg,

H2tg b π=βπρ=β (55)

De donde se deduce, como afirmábamosen (54):

ab cosRtgtg ϕ=ρ=ββ (56)

Figura 8.40 – Relación entre β y βb

8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normal

Por definición, una cremallera es una rueda dentada de radio infinito, en la que el cilindroprimitivo se convierte en un plano primitivo. La cremallera correspondiente a una rueda helicoidal esuna cremallera de dientes inclinados. Los dientes de esta cremallera tienen una generatrizrectilínea, pero están inclinados respecto a la dirección transversal de la cremallera el ángulo deinclinación sobre el cilindro primitivo β (Fig. 8.41). Los flancos de estos dientes son planos, igual quelos de una cremallera recta; pero en una cremallera de este tipo cabe distinguir dos planos o perfilesdiferentes que pueden apreciarse en la Figura 8.41:

- El perfil frontal o aparente ( de datos ϕa, ma y a), que se obtiene cortando la cremallerapor un plano perpendicular al eje de la rueda. Este perfil es conjugado del perfil frontal deuna rueda helicoidal y es el que define la manera de engranar la cremallera con la rueda.





- El perfil normal (de datos ϕn, mn y a), que se obtiene cortando la cremallera por un planonormal a la directriz de los dientes. Este plano forma un ángulo β con el plano frontal oaparente (Fig. 8.41). Este perfil es el que debe tenerse en cuenta en el tallado de la rueda

y al calcular la resistencia de los dientes.

Figura 8.41 – Perfil frontal y perfil normal de una cremallera de dientes inclinados

La Figura 8.42 representa lacremallera cortada por un plano normal yotro frontal, y permite determinar la

relaciones angulares entre losparámetros definidos en cada plano.

Por la forma de hacer estassecciones se comprende que los dosperfiles tendrán el mismo addendum oaltura de cabeza (a). No obstante, elperfil frontal resulta un perfil más estirado(como un acordeón), con un mayor paso(un mayor módulo) y un mayor ángulo depresión (ϕ).

De la Figura se deduce que:pn = pa·cosβ ⇒ mn = ma·cosβ (57)

qn = qa·cosβ

y como:

qa = a·tgϕa , qn = a·tgϕn

resulta

tgϕn = tgϕa·cosβ (58)

Figura 8.42 – Relación perfil normal vs. frontal

En una rueda helicoidal existe también el perfil frontal, pero no cabe definir un perfil normal yaque, por la forma alabeada del diente, no cabe cortarlo por un plano que sea perpendicular a la





superficie del diente en todos los puntos de corte. Por ello, cuando se habla del perfil normal deuna rueda helicoidal se sobreentiende que se está hablando del de la herramienta utilizada paratallarlo.

8.7.3 RELACIÓN DE CONTACTO

Se llama salto de base (sb) de undiente helicoidal al arco que avanza unextremo del diente con respecto del otro,medido sobre el cilindro base (Fig. 8.43).

Llamando “b” a la anchura de larueda y recordando el ángulo de hélice

sobre el cilindro base (βb), será:sb = b·tgβb (59)

Figura 8.43 – Salto de un diente (sb)

La existencia del salto mejora notablemente la relación de contacto o coeficiente derecubrimiento de un engranaje helicoidal. En efecto, cuando un extremo del diente deje de engranar,el otro extremo todavía tendrá que girar un arco (sb) para dejar de engranar; de modo que el arco deconducción queda aumentado en un valor igual al salto, y será la suma del correspondiente al perfilfrontal (visto para los engranajes cilíndricos rectos) más el salto.

πρ⋅β⋅+

=ρ⋅+

=εa

bt

a

bt

mRtgbq

pRsq

(60)

Una buena norma de proyecto es hacer que el salto (sb) sea siempre mayor que el pasoaparente, con lo cual la relación de contacto será siempre mayor que la unidad por pequeño quesea la relación de contacto del perfil frontal. Esta propiedad permite utilizar un trozo muy pequeñode la línea de engrane (AB), y por lo tanto addendums tan pequeños como se quiera, sinpreocuparse de si la relación de contacto será suficiente. Una altura de cabeza pequeño tiene laventaja de que el diente es más robusto y , además, el contacto se realiza siempre más cerca delpunto primitivo (polo del movimiento relativo) con lo que el deslizamiento es menor (y, por lo tanto,también será menor el desgaste por rozamiento).

La libertad de escoger el pequeño trozo útil (AB) dentro de la línea de engrane (CD) permiteadaptarse a condiciones especiales. En particular, si interesa mucho reducir el rozamiento y el

ruido, conviene situar el segmento de engrane (AB) completamente del lado de salida de la línea deengrane, o sea del lado de la rueda conducida.

Estas propiedades se llevan al límite en los perfiles de contacto instantáneo, en los cuales losperfiles se modifican de modo que sólo se toquen al pasar por un punto próximo al punto primitivo P.En este caso, el coeficiente de recubrimiento frontal es prácticamente nulo y la continuidad delengrane se confía al salto (sb).

8.7.4 GENERACIÓN POR CREMALLERA





La cremallera que se utiliza en los engranajes cilíndricos helicoidales es idéntica a la usadapara tallar dientes rectos, pero inclinada una ángulo ###β respecto al eje del cilindro (Fig. 8.44). Elproceso a seguir para el tallado será también el mismo.

a - Engranaje cilíndrico recto b - Engranaje cilíndrico helicoidal

Figura 8.44 – Tallado con cremallera de un engranaje cilíndrico

El perfil de la herramienta se convierte en el perfil normal de la cremallera generadora

imaginaria. En cambio, el perfil frontal o aparente de la cremallera generadora tendrá un paso y unángulo de presión mayores. Si los datos nominales de la herramienta son m t, ϕt y at, los datos delperfil frontal de la superficie generadora serán:

ttat

tatt

ta aa,cos

tgtg,

cos

m

cos

pp =

β

ϕ=ϕ

β

⋅π=

β= (61)

Las ruedas helicoidales pueden también tallarse a cero o con desplazamiento, aunque la tallacon desplazamiento tiene mucho menos interés que en el caso de ruedas rectas.

Los datos intrínsecos que determinan la rueda obtenida quedan definidos con su perfilfrontal y su ángulo de inclinación:

- El perfil frontal se calcula igual que si fuese una rueda de dientes rectos tallada con unacremallera recta cuyo perfil fuera el perfil frontal calculado en (61); es decir, empleando(ϕta mta) en lugar de (ϕt mt) –o, lo que es lo mismo, (ϕa ma) en lugar de (ϕ m); ya querueda y herramienta tenían el mismo módulo y el mismo ángulo de presión-.

- El ángulo de inclinación de la hélice de la base (βb) obtenida se calcula aplicando laexpresión (54)

tgβb = tgβ · cosϕat (62)

Por lo tanto, los engranes helicoidales serán estudiados en las secciones frontales o

aparentes, necesitando para ello definir los llamados parámetros aparentes:





βπ

=β

=cos

m

cos

pp a (63)

β=

cosmma (64)

Es decir, el paso en una sección de engranaje helicoidal puede tomar distintos valorescambiando el ángulo β.

Sobre cada sección trabajaremos como si se tratara de un engranaje cilíndrico recto, perocambiando### m por ma y ϕ### por ϕa, recordando (58):

β⋅ϕ=ϕ costgtg a (65)

Podremos también estudiar el número de dientes mínimo para evitar la interferencia de

tallado:

a2

a2a

a2

a2 sen

cos2

mzsen

2

zmsenRcosRRm ϕ

β=ϕ=ϕ=ϕ−≤

a2sen

cos2z

ϕβ

≥ (66)

Del mismo modo, la distancia entre centros vendrá dada por:

( )β⋅

+

cos2

zzm=

2

zm+

2

zm=R+R=d 212a1a

21 (67)

Donde se observa que en los engranajes helicoidales la distancia entre centros depende deun parámetro más: cosβ. Por ello, en la práctica no se utilizan engranajes helicoidales corregidos,ya que basta con cambiar el ángulo β para conseguir la distancia entre centros deseada.





8.8 Dinámica de engranajes

8.8.1 ESFUERZOS DE CONTACTO

Al estudiar la cinemática de los engranajes, se ha descrito la línea de engrane como el lugar geométrico de los sucesivos puntos de contacto entre la rueda y el piñón. Así, las rectas que unenpuntos de la línea de engrane con el punto primitivo P representan las sucesivas normales a losperfiles de los dientes en el momento de contacto y, por ello, a su vez representan la dirección enque uno de los perfiles transmite fuerza sobre el otro (suponiendo que no exista rozamiento).

Si los perfiles en contacto erán perfiles de evolvente, la línea de engrane resultaba ser unalínea recta. Por lo tanto, en este caso, la fuerza transmitida es de dirección constante, lo quedinámicamente constituye un efecto muy favorable frente a cualquier otro perfil de diente. En lodesarrollado a lo largo de este apartado consideraremos, en todo momento, que los perfiles de losdientes son perfiles de evolvente.

La fuerza de un diente sobre otro (F), si se desprecia el rozamiento, es perpendicular a lasuperficie del diente; por lo tanto, no es tangente al cilindro primitivo de funcionamiento o axoide. Engeneral, F tendrá una componente tangencial (T), una radial (R) y una axial (A), relacionadas entresí por la geometría del diente. La componente tangencial (T), que es la única que da unmomento respecto al eje de giro, queda determinada por el par transmitido . Las otrascomponentes quedan determinadas en función de T:

- Engranajes Cilíndrico-rectos: El punto decontacto evoluciona a lo largo de la recta deengrane para los perfiles de evolvente. Elempuje F tiene, considerando que no existe

rozamiento, la dirección de la línea de engrane.Por ello, aunque su punto de aplicación vacambiando de posición, F pasa siempre por elpunto primitivo P (Fig. 8.45). Trasladando elempuje al punto P se puede descomponer en:

T = F·cosϕ R = F·senϕ (68)

o, en función de los pares transmitidos:

T = M1/R1 = M2/R2 (69)

R = T·tgϕ (70)

Figura 8.45 – Fuerza sobre un diente

cilíndrico-recto





- Engranajes Cilíndrico-helicoidales: La carga F corta siempre al eje instantáneo delmovimiento relativo (pasa siempre por el punto primitivo P del perfil frontalcorrespondiente), pero su posición exacta respecto a las caras frontal y trasera de la rueda

dentada depende de qué trozo del diente esté engranando:En la Figura 8.46, se supone aplicada en un puntointermedio de la rueda, pudiéndose deducir que:

T = F·cosϕ·cosβ (71)

A = F·cosϕ·senβ (72)

R = F·senϕ (73)

o bien, en función de los pares transmitidos:

T = M1/R1 = M2/R2 (74)

A = T·tgβ (75)

R = T·tgϕ /cosβ (76)

En este caso, debe tenerse especial cuidado a lahora de establecer el sentido de la componenteaxial A.

Figura 8.46 – Fuerza sobre un diente

cilíndrico-helicoidal

La figura 8.47 puede servir de orientación para determinar correctamente dicho sentido.

Figura 8.47 – Sentidos de la componente axial

8.8.2 RENDIMIENTO

Sea el caso de la figura 8.48 donde una primera rueda motora engrana con una segundarueda conducida . Si consideramos la presencia de rozamiento, aparecerá una fuerza que seopone al deslizamiento relativo entre los dientes de ambas ruedas.

Para estudiar ese deslizamiento relativo paramos la rueda introduciendo en el sistema unavelocidad angular de –ω1. En tal caso, la ω de la rueda será: ωr = ω1 + ω2 (puesto que ω1 y ω2 eran de sentido opuestos al tratarse de engranajes exteriores).





El punto de contacto, como perteneciente a larueda , tenderá a ir hacia abajo, y la fuerza derozamiento se opondrá a ese desplazamiento.

Aparecen así dos fuerzas iguales y de sentidoscontrarios sobre cada uno de los dientes (Fig. 8.48) yde valor igual a µ·F.

Tomando momentos respecto de O1 y O2:

( ) 0xsenRFcosRFM 111 =−ϕµ+ϕ⋅− (77)

( ) 0xsenRFcosRFM 222 =+ϕµ+ϕ⋅− (78)

Se define el rendimiento η como:

1najegraendelsalequePotencia

2najegraendelsalequePotencia=η (79)

Por lo tanto:

2

1

1

2

11

22

R

R

M

M

M

M⋅=

ω⋅ω⋅−

=η (80)

Figura 8.48 – Rozamiento entre engranajes

Introduciendo las expresiones (77) y (78) en (80) y recordando que el coeficiente derozamiento puede expresarse como µ=tgα:

( )( )

1

2

2

1

11

22

RxFtgsenFtgcosF

RxFtgsenFtgcosF

R

R

xsenRFcosRF

xsenRFcosRF⋅⋅α+ϕ⋅⋅α−ϕ

⋅⋅α−ϕ⋅⋅α−ϕ

=⋅−ϕµ−ϕ⋅+ϕµ−ϕ⋅

=η

Operando, obtenemos la expresión del rendimiento en función del punto de contacto:

1

2

RxFsensensenFcoscosF

RxFsensensenFcoscosF

⋅⋅α+αϕ−αϕ

⋅⋅α−αϕ−αϕ=η ⇒

( )

( )1

2

Rxsencos

Rxsencos

⋅α+ϕ+α

⋅α−ϕ+α=η (81)

De donde puede deducirse que para que el rendimiento h → 1 ha de cumplirse que:

- x → 0, α → 0 (que ambos valores sean lo menores posibles).- R1, R2 → ∞ (que las circunferencias pirmitivas de funcionamiento sean grandes).

Calcularemos un valor mediopara el rendimiento; para ello, hayque recordar que, siendo P (puntoprimitivo) el polo del movimientorelativo entre ambas ruedas dentadas,la velocidad de deslizamiento en elpunto de contacto es (Fig. 8.49):

vd = (ω1+ω2)·l (82)

Figura 8.49 – Velocidad de deslizamiento en el punto de

contacto





En tal caso, el espacio diferencial recorrido por la fuerza de deslizamiento en un dt es:

ds = vd·dt = (ω1+ω2)·l·dt (83)

Además, los ángulos girados por las ruedas y en ese intervalo diferencial (ω1·dt yω2·dt), se pueden expresar (recordando como a partir de la definición del perfil de evolventededucíamos que los segmentos medidos sobre la recta de engrane son iguales a los arcos descritossobre la circunferencia base):

ω1·dt = dl / R1·cosϕ (84)

ω2·dt = dl / R2·cosϕ (85)

Sustituyendo (84) y (85) en (83) e integrando el “ds” entre 0 y l1, l2 respectivamente (longs. delos segmentos de aproximación y alejamiento sobre el segmento de engrane, Fig. 8.49):

ϕ

+= cos

dlRl

Rl

ds21

(86)

ϕ⋅

+=

ϕ

+== ∫ ∫ cos2

l

R1

R1

dl· lcos

1R1

R1

dsS21

21

l

'021

l

'01

11

(87)

ϕ⋅

+=

ϕ

+== ∫ ∫ cos2

l

R1

R1

dl· lcos

1R1

R1

dsS22

21

l

'021

l

'02

22

(88)

ϕ⋅+

+=+=

cos2

ll

R

1

R

1SSS

22

21

21

21 (89)

En tal caso, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento será:

ϕ⋅+

+⋅⋅µ=

cos2

ll

R1

R1

FW22

21

21roz (90)

Por otro lado, el trabajo aprovechable de la fuerza motora (trabajo útil) es:

( )21útil llFW +⋅= (91)

De donde se deduce que el rendimiento medio es:

( )( )

21

22

21

21

22

21

2121

21

ll

ll

R

1

R

1

cos21

1

cos2

ll

R

1

R

1FllF

llF

++

+⋅

ϕ⋅µ

+=

ϕ⋅+

+⋅⋅µ++⋅

+⋅=η (92)

Expresión que permite concluir que para que el rendimiento aumente es necesario:

- Minimizar el coeficiente de rozamiento (µ) entre las superficies de los dientes.

- Aumentar el radio (R1 y R2) de los cilindros primitivos de funcionamiento.

- Aumentar el cosϕ; es decir, disminuir el ángulo de presión ϕ.

- Minimizar las longitudes (l1 y l2) de los segmentos de aproximación y alejamiento.

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