Teoria El_plano 1

ING.MGS.SALOME DE LA TORRE RAMIREZ

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TERCERA UNIDAD

EL PLANO

DETERMINACION El plano es una superficie ilimitada, sin espesor, transparente y

bidimensional

Representación. Al plano se representa en el depurado de la siguientes maneras:

a) Por tres puntos no colineales

b) Por una recta y un punto exterior a ella Por dos rectas que se intersectan o se cortan

c) Por dos rectas que se intersectan o se cortan

d) Por dos o más rectas paralelas

e) Cuando se conoce la orientación y la pendiente del plano

f) Por cualquier figura geométrica plana

Un plano generalmente esta representado por un triángulo, en caso contrario se debe

tener cuidado que todos los puntos del contorno e interiores del plano le pertenezcan,

comprobándose esto en una vista donde el plano se proyecte de canto, observándose que

todos y cada uno de los puntos del plano se encuentren alineados en una recta que

representa al plano de filo o de canto

PUNTOS PERTENECIENTES A UN PLANO

Si un punto pertenece a un plano, dicho punto pertenecerá también a cualquier recta que

esté contenida en el plano, siempre que la recta pase por dicho punto.

RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO


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Dos o más rectas pertenecen a un plano, cuando cortan o intersectan como mínimo a dos

rectas contenidas en el plano

Una recta se encuentra contenida en un plano si pasa por un punto que pertenece al

plano y es paralela a otra que también se encuentra contenida en el plano

Observación. Si dos rectas son paralelas, se proyectarán como tales en todos los planos

de proyección sean éstos principales o auxiliares

RECTAS NOTABLES DE UN PLANO

Estas rectas son la horizontal, frontal y la de perfil que tienen una posición particular en

correspondencia con su nombre

CLASIFICACION DE LOS PLANOS

Los planos se clasifican de acuerdo a la posición que adopten con los planos principales


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de proyección, en relación a su paralelismo o su perpendicularidad con éstos

1. POR SU PARALELISMO Cuando son paralelos a uno de los planos principales de

proyección:

a. PLANOS HORIZONTALES Son aquellos que son paralelos al plano horizontal

de proyección, se proyectan en su verdadera extensión sobre éste y de canto o

como una línea en los planos frontal y lateral derecho, todos los puntos del plano

tienen la misma cota

b. PLANOS FRONTALES Son aquellos planos que son paralelos al plano frontal

de proyección, sobre éste se proyecta en su verdadera extensión, en los planos

horizontal y lateral derecho se observa al plano de canto, todos los puntos que

pertenecen al plano tiene el mismo alejamiento

c. PLANOS DE PERFIL Son aquellos que son paralelos al plano principal de

proyección de perfil, sobre éste se proyecta en su verdadera extensión, en los

planos horizontal y frontal se observa de canto, todos los puntos que pertenecen al

plano tienen el mismo apartamiento

2. POR SU PERPENDICULARIDAD Cuando son perpendiculares a uno de los

planos principales de proyección:

a. PLANOS VERTICALES Son aquellos que son perpendiculares al plano

horizontal de proyección

b. PLANOS NORMALES Son aquellos que son perpendiculares al plano frontal de

proyección

c. PLANOS ORTOPERFILES Son aquellos que son perpendiculares al plano

lateral derecho de proyección

3. PLANOS INCLINADOS Son aquellos planos que tienen posiciones diferentes a los

planos horizontal y vertical. La verdadera extensión de estos planos nunca se

observaran en los planos principales de proyección, pero la posición de canto de estos


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planos si se lo podrá observar ya sea en el plano frontal o en el plano de proyección

lateral derecho, pero nunca en el plano horizontal de proyección

4. PLANOS OBLICUOS Son aquellos planos que están inclinados con respecto a los

tres planos principales de proyección, la posición de canto y la verdadera extensión

no se observara en ningún plano principal de proyección

PLANO DE CANTO

Un plano se proyectará de canto o de filo, sobre un plano de proyección cuando

es perpendicular a este plano

Métodos para colocar a un plano de canto

Condición Necesaria y Suficiente. Para que un plano se proyecte de canto o de filo es

condición que una recta que pertenezca al plano se proyecte de punta o como un punto

sobre dicho plano de proyección

Los métodos para colocar a un plano de canto, utilizando planos auxiliares, son las

siguientes:

1º MÉTODO

Tomando una recta cualquiera del plano

PROCEDIMIENTO

1) Tomamos una recta cualquiera del plano en la proyección horizontal

2) Determinamos su proyección en un plano adyacente (frontal) mediante sus líneas de

referencia

3) Tomamos una línea de pliegue paralela a la proyección de la recta tomada sobre el

plano, proyectándose en su longitud verdadera esta recta

4) Tomamos un plano de proyección perpendicular a la longitud verdadera de la recta

sobre ésta el plano se proyectará de canto o de filo

2º MÉTODO DIRECTO

Tomando una recta notable del plano, llamada también directa

PROCEDIMIENTO


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1) Determinamos una recta notable (horizontal, frontal o de perfil) en uno de los planos

principales se proyectará en su longitud verdadera

2) Tomamos un plano auxiliar perpendicular a la longitud verdadera de la recta, sobre

ésta se proyectará el plano de canto o de filo. Cuando el plano auxiliar es

perpendicular al plano de proyección horizontal se observará el ángulo de pendiente

del plano en su verdadera amplitud

VERDADERA MAGNITUD DE UN PLANO

PROCEDIMIENTO

a) Procedimiento de los planos auxiliares

1) Tomamos una recta cualquiera del plano o una notable y utilizando un plano

auxiliar llevamos al plano, de canto o de filo

2) Utilizando otro plano auxiliar paralelo a la de canto proyectamos sobre éste al

plano, observándose en su extensión verdadera.

b) Procedimiento de la diferencia de cotas y las construcciones auxiliares

Dadas las proyecciones de un plano ABC, con el auxilio de un cuadrante y teniendo

en cuenta la diferencia de cotas y la proyección horizontal, así como la diferencia de

alejamientos, la diferencia de apartamientos con la proyección frontal y la proyección

de perfil respectivamente; de las rectas que limitan el plano, determinamos la VM de


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estas rectas y por construcción determinamos la VM. del plano dado.

c) Procedimiento de giros

Lo estaremos desarrollando en el capítulo de giros.

ORIENTACION DE UN PLANO

La orientación de un plano esta determinada por la orientación de una recta horizontal

que pertenezca al plano, el ángulo estará referido al norte o al sur y varía de 0º a 90º.

- La orientación de un plano se ve solamente en el plano horizontal.

- La nomenclatura para la orientación del plano es la misma que utilizaremos para la

orientación de una línea recta.

- Dicha orientación se enuncia en cualquiera de los sentidos de la recta horizontal,

ejemplo, en la figura tenemos; si en el plano ABC se toma el sentido AX, el plano

ABC de nuestro ejemplo se tiene una orientación S ° E.. Si lo tomamos en sentido

XA, la orientación debería ser N ° O.


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PENDIENTE DE UN PLANO

Es la tangente del ángulo de inclinación, que hace un plano dado, respecto a un plano

horizontal, la podremos expresar como tangente del ángulo, en porcentaje de pendiente,

o en grados sexagesimales. Para determinar el ángulo (diedro) de pendiente de un plano

es necesario que éste se encuentre proyectado de canto en una vista ya sea principal o

auxiliar de alzada

RECTA DE MAXIMA PENDIENTE DE UN PLANO

Es una recta contenida en un plano oblicuo perpendicular a todas las horizontales

contenidas en dicho plano

La recta de máxima pendiente mucha importancia en ingeniería y es aquella por donde

rodaría una pequeña esfera, si se le dejara rodar libremente sobre el plano.

Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina respecto a un

plano horizontal cualquieras, y esta dado por una recta contenida en aquel plano, que

hace con su proyección ortogonal en el plano horizontal, un ángulo cuya tangente es

máxima.

- La dirección en que baja la recta de máxima pendiente es hacia el vértice más bajo del

plano o paralela a ella.

- Por la razón anterior, la recta de máxima pendiente en la proyección horizontal, se

indica con flechita que apunta en esa dirección.

- Obviamente, ninguna recta contenida en el plano, tendrá mayor pendiente, que la recta

de máxima pendiente; el plano tiene pendiente igual a la recta de máxima pendiente; la

recta de máxima pendiente es la pendiente del plano.


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Nomenclatura de la pendiente y recta de máxima pendiente.

Se nota primero el ángulo que forma el plano respecto al plano horizontal (que se lee en

plano auxiliar o por diferencia de cotas en la construcción auxiliar) y luego la dirección

en que baja la recta de máxima pendiente (que se lee en el plano H ). Así, la pendiente y

la recta de máxima pendiente del plano ABC es 0°NE.

Procedimientos para determinar la pendiente y la Recta de Máxima Pendiente

(RPM) de un Plano

Es posible determinarlo por cualquiera de los procedimientos:

a) Procedimiento de los planos auxiliares.

Proyectamos al plano de canto, en una vista de elevación (es decir adyacente al

plano H.). En esta vista, dicho plano de canto mostrará la amplitud del ángulo de

inclinación respecto a la horizontal o paralela a ella.

.

b) Procedimiento de la diferencia de cotas y proyección auxiliar


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Teniendo en cuenta el criterio de que una recta de máxima pendiente es

perpendicular a todas las horizontales contenidas en el plano, realizamos las

construcciones auxiliares pertenecientes.

c) Procedimiento de los Giros.

PROBLEMAS DE PLANO

1. Sobre el plano ABC y la recta L contenida en el, se trata de hallar el punto P

equidistante de la recta AC y el vértice B. La recta L parte de C y tiene un rumbo de

N60O. A(2, 8,11), B(6, 5, 15), C(8, 8, 12).

2. Sabiendo que la recta QR es el diámetro de una circunferencia en la cual se halla

circunscrito un triángulo equilátero. Determinar sus proyecciones principales

sabiendo que QR es la recta de máxima pendiente de un plano, que ST pertenece al

mismo y que un lado del triángulo equilátero es frontal. Se sabe que: R(0.7,-, 3.4);

Q(4.3,-, 6.7); S(3.7, 1.2, 7.6); (1.7,1.2,2.9).(*). Cota, alejamiento y apartamiento

3. Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD donde A(4, 4, 13); B(8, 7, 13);

C(13,8,11); D(13, 4, 9) en cm.

4. Construir el triángulo equilátero XYZ que se encuentra inscrito en una

circunferencia cuyo radio sea 8.00 m. y cuyo centro será el punto O que pertenece al

plano ABC, proyectar sobre los planos principales de proyección el triángulo

equilátero sabiendo que XY debe ser frontal y se encuentre por encima del punto Z.

Se sabe que:

A (3.6, 3, 4.8); B(1.2, 0, 4.8), C(2.4, 0, 0.6). ESC:1:291. (*).

5. Determinar las proyecciones principales de un pentágono regular inscrito en una

circunferencia que está inscrita en el triángulo ABC, sabiendo que un lado del


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pentágono tiene por orientación exactamente al Norte, se conoce además que:

A(4.8, 5.2, 2); B(8.6, 0.6, 3.9) y C(2.3, 2.4, 8.1). (*).

6. Una billar parte del punto M en el plano ABC, rueda sobre éste plano y cae

verticalmente sobre otro PQR sobre el cual también rueda, cayendo finalmente al

piso. Hallar la trayectoria seguida por la billa, y su posición final, sabiendo que:

A(1, 1, 8); B(3, 5, 6); C(0, 4, 2); P(5.3,4,10); Q(4.2,8,6); R(3.5,2,4) y

M(-,2.4,2.6).(*).

7. Hallar el pentágono regular inscrito en una circunferencia, si se conoce que AB es el

apotema del mencionado pentágono y que éste es perpendicular al plano QR, dista

del punto M 25.00 mts. y tiene un lado frontal

ESCALA 1:400 A(0, 2, 4) B(4, , 1) M(6, 0, 0) R(7, 2,5, 4) S(8, , 2)

8. En el punto medio del rectángulo ABCD se deja una billa, que rueda sobre él 3.00

mts. hasta encontrar al cuadrado horizontal CDEX sobre el cual rueda 2.00 mts. y

encuentra un obstáculo que desvía su trayectoria en 90º y sigue rodando hasta el

borde, donde encuentra al rectángulo CXGY, sobre el cual rueda 5.00 mts., llegando

a su borde.- Completar las proyecciones principales de los mencionados planos y

toda la trayectoria de la billa, sabiendo que el ángulo de pendiente de ABCD es el

mismo que de CXGY y sabiendo además que los puntos :

A(7.5, , 20) B(5, ,17) y C(6.5, , ) (*) cota, alejamiento, apartamiento

ESCALA 1:112

9. Determinar las proyecciones principales de un triángulo equilátero que está

circunscrito en una circunferencia la cual a su vez está inscrita en un triángulo RST.-

Un lado del triángulo equilátero tiene una orientación S65ºO, sabiendo que:

R(2, 2.5, 11) S(7.5, 1.5, 10.5) y T(4.5, 4, 8)

10. Hallar sobre los planos principales de proyección las vistas de una circunferencia

que esta contenida en el plano ABC, sabiendo que pasa por el punto C y debe ser

tangente al lado AB en el punto X de tal manera que se cumpla 4AX=XB, sabiendo

además que A(3.5, 3.3, 8) B(5.8, 5.7, 5.1) y C(1.5, 1, 1.9) cota, alejamiento y

apartamiento

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