Teoria Mecànica 1 A

MECÀNICA

VECTORES Y ESCALARES

Las magnitudes que quedan bien definidas con solo un

número se llaman escalares. Algunos ejemplos de magnitudes

escalares son: el tiempo, la temperatura, la masa, la energía, el

volumen, la superficie, la longitud, etc. El número con que se

caracteriza a un escalar puede ser positivo, negativo o cero y se

indica con la unidad de medida correspondiente; por ejemplo:

Tiempo 3 hs.

temperatura 10 ºC

masa 10 kg.

energía 25 Joules

volumen 15 m3

superficie 2 m2

longitud 5 milímetros

Para poder indicar a una persona,

donde queda un determinado lugar, no basta

con decirle a que distancia esta este lugar,

además, hay que indicarle hacia dónde debe

ir.

Por ejemplo, si nos preguntan por la ubicación

de una farmacia, no alcanza que informemos que queda a tres

cuadras. Debemos indicar también para donde queda.

1

Así, podemos ver que, para dar la posición de algo, la

información no es solo la distancia sino también la dirección y el

sentido.

La dirección es la recta de acción y el sentido es hacia un extremo u

otro de la recta (señalado por la flecha en uno de los dos extremos de

la recta con la cual se representa un vector)

Ejemplo: dos autos que circulan por la misma calle van en la

misma dirección, si están en distinta mano tienen distinto sentido. En

cambio si avanzan por la misma mano tienen igual sentido.

Si nos limitamos a informar la distancia, obviamente no

alcanza; si damos la distancia y agregamos que es en esta calle en la

que estamos: “en esta calle a tres cuadras de aquí”, damos la

distancia y la dirección, tampoco alcanza, falta decir si es la izquierda

o a la derecha de donde estamos, este último dato es el sentido.

Como vimos, la posición, es una magnitud que tiene

intensidad (módulo), dirección (recta de acción) y sentido (hacia un

extremo u otro de la recta), y que puede ser representada

simbólicamente por una flecha. En los ejemplos anteriores, la

intensidad es igual a la distancia.

A este tipo de magnitudes se las conoce como vectores.

Son magnitudes vectoriales: posición, desplazamiento,

velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, etc.

2

Todas estas magnitudes, tal como vimos con la posición, se

representan con una flecha y tienen: módulo, dirección y sentido.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Para sumar dos vectores gráficamente, vector a más

vector b, desde el extremo de cada vector se traza una paralela al

otro, estas líneas y los vectores forman un paralelogramo, una de

cuyas diagonales (aquella que pasa por ese origen común a ambos

vectores que se suman) será el vector suma: a + b (fig.1).

Si no coinciden sus puntos de aplicación, se colocan los

vectores de modo que coincidan sus puntos de aplicación u origen

(pero que conserven sus direcciones y sentidos originales).

El punto de aplicación del vector suma coincide con el de los

vectores que sumamos (figura 1).

La otra diagonal será el vector resta. El punto de aplicación

del vector resta coincide con la punta del vector minuendo y

la punta coincide con el vector sustraendo.(figura 2)

Figura 1

a a + b

b

3

Figura 2

a a - b

b

Si se suman dos vectores que forman un ángulo muy abierto,

la suma puede ser menor que uno (o de todos) de los vectores que

sumamos. (figura 3)

Figura 3

Y puede ser cero, si los vectores que se suman son del

mismo módulo y dirección pero de sentidos opuestos.(figura 4)

Sí, tenemos a los vectores a y b, con módulos iguales IaI =

IbI , con igual dirección (recta de acción) y distinto sentido, la suma de

ambos da cero (figura 4).

Figura 4

4

a b

a + b = 0

a b

a + b = 0

a + b

a b

COMPONENTES DE UN VECTOR

La suma y la diferencia de vectores se facilitan en gran

medida cuando se utilizan las componentes del vector. Las

componentes son vectores que sumados entre si son iguales al vector

original. Descomponer un vector es calcular un par de vectores

componentes.

Para definirlas usaremos un sistema de ejes coordenados

rectangulares (cartesiano), como el representado en la figura a.

Cualquier vector que se encuentre en el plano ( x ; y ) puede

representarse como la suma de un vector paralelo al eje x y otro

paralelo al eje y.

Estos dos vectores, que designaremos en la figura 5 como Fx

y Fy, se llaman componentes vectoriales rectangulares del vector F.

Esto se expresa formalmente como:

F = Fx + Fy.

Ya que tomamos cada componente del vector con la dirección

de uno de los ejes de coordenadas, es suficiente un solo número para

describir cada una de ellas, porque conocemos la dirección (la del eje)

y el sentido por el signo*.

Así, el número Fx, aparte de un posible signo negativo, es la

magnitud de la componente vectorial Fx.

*Además, se debe señalar que Fx es positivo cuando Fx se

dirige hada el sentido positivo del eje, y es negativo cuando lo hace

en sentido opuesto.

5

Los vectores Fx y Fy se denominan componentes de F.

Si se conoce la magnitud del vector F y su dirección, dada

por el ángulo de la figura, pueden calcularse las componentes. En

virtud de las definiciones de las funciones trigonométricas tendremos:

y (1)

Fx = F. Cos. y Fy = F. Sen (2)

Como dijimos más arriba, las componentes de un vector pueden ser

positivos o negativos:

En la figura 6, la componente Nx es negativa, ya que su

sentido es opuesto al sentido positivo del eje x, y también porque el

coseno de un ángulo en el segundo cuadrante es negativo; Ny es

positiva, en la figura 6. Y en la figura 7, Lx y Ly son negativas.

6

+y

Fy F

Fig. 5

Fx +x

Tanto el módulo y la dirección como las componentes de una

cantidad vectorial pueden utilizarse para describirla, y tanto una como

otra proporcionan una descripción completa de la misma.

Las ecuaciones (1) y (2) muestran cómo se obtienen las

componentes a partir de la magnitud y la dirección (recordemos que la

dirección esta dada por el ángulo) de un vector; en la figura 5, a partir

del vector F y el ángulo , obtenemos Fx y Fy.

Por el contrario, podemos obtener el vector suma a partir de

las componentes, es decir podemos obtener F sumando Fx y Fy. La

suma se obtiene, aplicando el teorema de Pitágoras: “la hipotenusa al

7

+y

Lx fig.7

+x

L Ly

+y

N Ny

fig.6

Nx +x

cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos”, en la figura

5, obtenemos:

Además, por la definición de la tangente de un ángulo:

*

*Si observamos en el gráfico 5: F, Fx y la línea de puntos

paralela a Fy forman un triángulo rectángulo.

Donde F es la hipotenusa, dado que hacemos referencia al

ángulo , Fx es el cateto adyacente y la líneas de puntos es el

opuesto. Y esta última, es igual a Fy.

Aplicación en un ejemplo: Un chico arrastra por el piso una caja,

tirando de ella con un hilo que forma un ángulo de 37º con la

horizontal, haciendo una fuerza de 100N. ¿Cuánto valen las

componentes horizontal y vertical de la fuerza que hace el chico?

8

F=100N Fy

37º Fx

La fuerza que hace el chico sobre la caja, por medio del hilo,

es hacia arriba y hacia la derecha. Es F = 100N

Parte de la fuerza que hace es hacia la derecha, esta sería la

componente horizontal de la fuerza total Fx

Parte de la fuerza es hacia arriba, esta sería la componente

vertical de la fuerza Fy.

Si sumamos las dos componentes obtendríamos la fuerza

total que hace el chico.

Nótese que si aplicamos dos fuerzas, una horizontal y una

vertical, iguales a estas componentes, el efecto sobre la caja es

idéntico al que se produce cuando aplicamos solo la fuerza total (la

que hace el chico).

Fx = F. Cos.37º = 100N. 0,8 = 80N

y

Fy = F. Sen 37º = 100N. 0,6 = 60N

Si el enunciado nos diera como dato los valores de estas

componentes y nos pidieran cuanto vale F, aplicamos

Pitágoras:

Como F es un vector, también hay que dar su dirección, esta

se esta dada con el ángulo que forma con uno de los ejes,

en este caso consideramos el ángulo con el eje horizontal. Y

lo obtenemos aplicando:

y para obtener el ángulo: = inversa tangente de 0,75 = 37º

9

MOVIMIENTO

La mecánica trata las relaciones entre fuerza, masa y

movimiento. Vamos a analizar los métodos matemáticos que

describen el movimiento.

CINEMÁTICA.

El movimiento puede definirse como un cambio continuo

de posición respecto de un sistema de referencia.

Para poder evaluar si un cuerpo esta cambiando de posición,

lo hacemos observando si varía su “distancia” respecto de alguna

cosa.

Si en el universo solo existiera un cuerpo sería imposible

definir su movimiento porque no variaría su “distancia” respecto de

nada, en otras palabras no se podría evaluar si se mueve o no por

carecer de un punto o sistema de referencia.

Además este cambio será distinto si evaluamos el cambio

de posición desde distintos puntos o sistemas de referencia.

Siendo así:

MOVIMIENTO: ES EL CAMBIO DE POSICIÓN RESPECTO DE UN

SISTEMA DE REFERENCIA.

10

Si usamos un tren en movimiento como sistema de referencia,

un pasajero que viaja sentado no cambia su posición respecto del

tren, desde este punto de vista el pasajero no se mueve (porque no

cambia de lugar dentro del tren).

Pero si para el mismo pasajero usamos como referencia un

punto fijo a tierra, el pasajero si se mueve respecto de la tierra,

porque avanza junto con el tren.

Como podemos ver en este ejemplo:

El movimiento es relativo al sistema de referencia.

SISTEMA DE REFERENCIA

Formalmente, se usa un sistema de coordenadas cartesianas

como sistema de referencia.

Si el

movimiento es en

el espacio

(tridimensional)

necesitamos tres

ejes de coordenadas, si es un movimiento en

el plano (bidimensional) son necesarios dos

ejes de coordenadas.

Figura 8

Ejemplo: Si queremos buscar una calle que no conocemos,

en la guía, los datos que nos dan (las coordenadas) están uno en el

eje vertical y el otro en el eje horizontal, por ejemplo buscamos la

calle Siemprevivas al 500 y la información es pagina 34 ; C – 3.

11

1 2

3

4

A B C D

Con estas indicaciones encontramos una pequeña zona

(cuadrado sombreado, figura 8) donde esta lo que buscamos. Las

páginas de la guía son sistemas de referencia con dos coordenadas.

Para ubicar un punto en particular, necesitamos que las

coordenadas sean más precisas; por ejemplo, para indicar

exactamente donde queremos que pongan un clavo en la pared

(supongamos que la posición del clavo es puntual, es decir ocupa

solo un punto). Fig.9

Indicamos a cuantos metros del piso (4m) y a cuantos metros

de una pared (3m)de la habitación lo queremos.

En este caso podemos pensar que el eje horizontal coincide

con el zócalo y el vertical donde se juntan dos paredes. Al proceder

de esta forma, dimos las coordenadas en el eje x y en el eje y.

Otra forma

equivalente de indicar la

posición es con el vector

posición (dibujado en los

gráficos 9 y 10), su

módulo es igual a la

distancia entre el cero

(donde se cortan los ejes)

12

+y(m)

4

figura 9

3 +x(m)

3 metros

5 metros

3 metrosfigura 10

4 me

tros

4 m

etr

os

y el punto que queremos indicar y su dirección es el ángulo que forma

con uno de los ejes, en el ejemplo con el horizontal. Este vector es la

hipotenusa de un triángulo rectángulo (ver figura 10), cuyos catetos

son iguales a las componentes del vector posición, en este ejemplo

las distancias al piso y la pared son los módulos de las componentes:

Fx (3m) y Fy (4m).

El módulo de Fx es igual a la distancia a la pared: 3 metros y

el de Fy es igual a la distancia al piso. Como Fx y Fy forman entre sí

un ángulo de 90° (Fx tiene la dirección del eje x y Fy la del eje y)

cuando las sumamos, con la regla del paralelogramo se forma un

rectángulo, del cual la resultante (que es la suma: Fx + Fy) es una de

las diagonales la cual divide al rectángulo en dos triángulos

rectángulos. En un rectángulo los lados paralelos son iguales. En el

triángulo rayado de la figura 10, uno de los catetos es el vector Fx y el

otro cateto es igual al vector Fy, y la hipotenusa es el vector suma de

ambos, en este caso en particular el vector posición. Como estos tres

vectores forman un triángulo rectángulo, podemos calcular el módulo

del vector resultante aplicando el teorema de Pitágoras:

TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO

Si en un instante, vemos en la pared una hormiga en la

posición del clavo del ejemplo anterior ( 3m y 4m) y posteriormente la

volvemos a ver a 4m de la pared y a un metro del piso,

13

+y(m)

4 r r0

1 r

3 4figura 11

indudablemente sabemos que se movió, aunque desconocemos cual

fue el camino preciso que siguió entre estas dos posiciones.

El camino preciso que siguió, es la trayectoria que tuvo la

hormiga entre estos dos puntos.

En líneas de puntos dibujamos una de las posibles trayectorias de la

hormiga entre las dos posiciones.

Si dibujamos el vector posición para las dos posiciones, r0 y r

(figura 11) , que observamos de la hormiga y hacemos la diferencia

vectorial entre estos dos vectores definimos de esta forma un nuevo

vector:

el desplazamiento r, cuyo módulo es igual a la distancia

neta (en línea recta entre las dos posiciones) que se movió la

hormiga en la pared y su dirección y sentido es desde la

posición inicial (más temprano) hacia la final (más tarde) para

el intervalo en la que la observamos.

Siendo: r = x + y. El desplazamiento r es lo que se

mueve (cambio de lugar) en el plano, se movió hacia abajo y hacia la

derecha. Lo que se movió a la derecha ( en la dirección horizontal) es

x y lo que se movió hacia abajo (en la dirección vertical ) es y.

14

Si el movimiento solo fuera en la dirección del eje x, se

simplifica la notación y r sería igual a x, porque y valdría

cero.

Hay que tener en cuenta que el desplazamiento puede ser

igual o no a la trayectoria, pero aunque lo sea, desplazamiento y

trayectoria son conceptos diferentes.

En cuanto a la notación, si llamamos r0 al vector posición

inicial y r al posición final, la diferencia entre ambos es un cambio de

posición, siempre que queremos indicar una variación utilizaremos la

letra griega delta: .

Así el desplazamiento o cambio de posición lo escribiremos:

r. Siendo:

r = r – r0 (diferencia vectorial)

Al instante en el cual estuvo en la posición inicial lo llamamos

t subcero: t0, y al instante en cual está en la posición final: t. El tiempo

que tardo entre las dos posiciones, el intervalo, lo calculamos como la

diferencia entre t y t0 y nos queda:

t = t - t0

(el tiempo es una magnitud escalar)

Por ejemplo si salgo a las 15hs de mi casa y llego a las 16 hs. a la

facultad entonces tarde 1 hs. :

t = 16hs – 15hs = 1hs

15

En este curso se ven movimientos en una sola dimensión, es

decir movimientos rectilíneos.

Como el sistema de referencia se puede elegir arbitrariamente

(significa que no hay reglas, salvo que los ejes formen ángulos de 90º

entre sí), usaremos un solo eje superpuesto con las trayectorias

rectas, trabajaremos así con una sola coordenada.

Si tenemos una trayectoria recta de 5 metros entre dos

posiciones A y B, podemos elegir el sistema de referencia

haciendo coincidir una de las posiciones con el cero o no, es

indistinto (figura 12):

Como usamos un eje superpuesto con el movimiento, este

ocurre solo en la dirección del eje x, se simplifica la notación dado que

al no existir cambios en la dirección vertical, r es igual a x, porque

y = 0. Ejemplo: Un móvil que avanza por un camino horizontal.

Entonces, si el eje x coincide con el camino: r = x

VELOCIDAD MEDIA:

16

A B

0 5 +x(m)

x = x – x0 = 5m – 0 = 5m

figura 12

A B

0 1 6 +x(m)

x = x – x0 = 6m – 1m = 5m

A partir del vector desplazamiento x y del intervalo t,

definimos el vector velocidad media como:

Como el vector velocidad media esta definido a partir del

vector desplazamiento, tiene la misma dirección y sentido que este.

Si dibujamos una trayectoria cualquiera (figura 13), y

calculamos la velocidad media entre dos puntos de esa trayectoria,

según la definición debemos conocer el desplazamiento y el intervalo

entre esas dos posiciones.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA.

La velocidad de una partícula en cierto instante, o en

determinado punto de su trayectoria, se denomina velocidad

instantánea.

17

B

xA B

A VM AB

Figura 13

a b

a + b = 0

Supongamos que se desea encontrar la velocidad instantánea

de la partícula en el punto A de la figura 13. La velocidad media entre

los puntos A y B está asociada al desplazamiento completo x y a

todo el intervalo t. Imaginemos que el segundo punto B se toma

cada vez más próximo al primero A, y supongamos que se calcula la

velocidad media sobre estos desplazamientos e intervalos de cada

vez más pequeños.

La velocidad instantánea en el primer punto puede definirse

en tal caso como el valor límite ( t 0) de la velocidad media cuando

el segundo punto se aproxima cada vez más al primero.

Aunque el desplazamiento se hace entonces extremadamente

pequeño (r 0), el tiempo t por el cual se divide también lo es y,

por tanto, el cociente de ambos no es necesariamente una cantidad

pequeña.

En la notación del cálculo diferencial, el valor límite de x/t,

cuando t tiende a cero, se describe de la forma dx/dt y se denomina

derivada de x respecto a t. Así, la velocidad instantánea se define de

la forma

La velocidad instantánea es por tanto, tangente a un punto de

la trayectoria. En el mismo dibujo de una trayectoria, que vimos en la

figura 13, representamos las velocidades instantáneas en las

posiciones A, B, C y D.

C

B D

18

A

Puesto que t = tf – t0 es necesariamente positivo (porque tf es

mayor que t0), v tiene el mismo signo algebraico que x. Por tanto,

una velocidad positiva indica el movimiento hacia la derecha del eje x,

si utilizamos el sistema de referencia positivo a la derecha.

Cuando el término velocidad se usa sin adjetivo (cuando no

decimos media), significa velocidad instantánea.

Unidades: En el sistema MKS, M es metros, K es kilo y S segundos.

Si medimos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la

velocidad vendrá expresada en metros por segundo (m/s). Otras

unidades comunes de velocidad son el pie por segundo (pie . s-1), el

centímetro por segundo (cm . s-1), el kilómetro por hora (km/h).

ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

Cuando la velocidad de un cuerpo varía con el tiempo, se dice

que el cuerpo tiene aceleración.

Al igual que la velocidad describe cuantitativamente la

variación del cambio de posición con el tiempo, la aceleración

describe cuantitativamente la variación de la velocidad con el tiempo.

Consideremos de nuevo el movimiento de una partícula;

supongamos que en el instante, que tomamos como inicial, ti la

19

partícula está en el punto A y tiene una velocidad (instantánea) vA, y

que en el instante tf se encuentra en el punto B con velocidad vB.

La aceleración media de la partícula al moverse de A a B se

define como la razón entre el cambio en la velocidad y el tiempo

transcurrido

La aceleración instantánea de un cuerpo, esto es, su

aceleración en cierto instante o en determinado punto de su

trayectoria, se define de manera análoga a la velocidad instantánea.

Para calcularla, usamos las velocidades instantáneas en dos puntos

tomándolos muy próximo, con un ∆x que tiende a cero y calculemos la

aceleración media , haciendo la diferencia vectorial entre las

velocidades instantáneas en dichos puntos dividido el intervalo

correspondiente, que también tiende a cero.

La aceleración instantánea se define como el valor límite de la

aceleración media cuando se toma el segundo punto considerando un

intervalo t 0:

A partir de ahora, cuando se utilice el término «aceleración»

se entenderá referido a la aceleración instantánea.

20

Cuando una partícula se mueve sobre una trayectoria curva,

la dirección de su velocidad cambia, y este cambio también es un

cambio de velocidad es decir una aceleración (que en este caso es

perpendicular al vector velocidad), porque la aceleración es el cambio

de velocidad en el tiempo y como la velocidad es un vector si cambia

su dirección (o su sentido) esto también es un cambio de velocidad o

aceleración.

Entonces: cualquier movimiento que no sea recto es

acelerado. En tanto, un movimiento recto puede ser acelerado o no.

El caso más sencillo de movimiento no recto es el movimiento

circular uniforme, en este, el módulo de la velocidad instantánea es

constante, pero como cambia de dirección punto a punto en la

trayectoria es una velocidad variada, es un movimiento acelerado. La

aceleración, también tiene un valor constante, pero es variada, porque

es un vector y cambia de dirección, siendo en toda posición

perpendicular al vector velocidad.

Unidades: Si expresamos la velocidad en metros por segundo y el

tiempo en segundos, la aceleración viene dada en metros por

segundo por segundo, es decir en metros segundo cuadrado.

= Se lee «metros por segundo cuadrado».

Si nos dicen que una aceleración es de 2 m/s2, significa que el

móvil cambia su velocidad en 2 m/s por cada segundo que pasa.

21

Por ejemplo: en t = 0 tiene una v = 2 m/s, en t = 1s su v es

igual a 4 m/s, en t = 2s su v es de 6 m/s, etc.

MOVIMIENTO RECTILÌNEO Y UNIFORME

M.R.U

En el caso particular del movimiento rectilíneo uniforme, la

velocidad es constante.

Dado que la velocidad es un vector, que sea constante

significa que siempre tiene el mismo modulo (intensidad o rapidez) el

mismo sentido y la misma dirección.

Si no es así, la velocidad cambia y sería un movimiento no

uniforme, es decir acelerado.

Como la velocidad es constante la trayectoria es recta

(siempre en la misma dirección y sentido) y coincide, en este caso,

con el desplazamiento.

En este movimiento, debido a que la velocidad es constante,

la velocidad media y la velocidad instantánea son iguales, SOLO EN

ESTE MOVIMIENTO.

VM = Vi

Entonces, por eso, podemos calcular la velocidad instantánea con la

ecuación de velocidad media:

22

De esta ecuación despejamos el desplazamiento x:

x = v. t

y como x es la diferencia vectorial entre el vector posición final y el

vector posición inicial nos queda:

x – x0 = v. t

pasamos x0 para el otro lado del igual y tenemos:

x = x0 + V. t

Esta es la ecuación horaria del MRU.

Se llama horaria porque la posición x esta en función del

tiempo t.

Tomemos una trayectoria recta (figura 14) y consideremos

que la posición inicial x0 es igual a 1 metro en t = 0 y la posición final

x es igual a 6 metros en t = 5s, el sistema de referencia queda:

Figura 14

La ecuación horaria del

MRU, matemáticamente es

la ecuación de la recta, por

tanto la representación de

posición en función del

tiempo es una recta (figura

15):

23

0 1 6 +x(m) x = x – x0 = 6m – 1m = 5m

X(m)

6

figura 15

1

5 +t(s)

x = x0 + v. t

y = c + b. x

donde x y t son las variables, x0 la ordenada al origen y v la

pendiente de la recta.

Cuando hacemos el gráfico x(t) posición en función del tiempo

para el MRU, es una recta.

Una recta tiene una sola pendiente, la pendiente representa la

única velocidad del MRU.

Si el gráfico fuera una horizontal, la pendiente es cero,

significa que el móvil representado tiene velocidad cero, al menos

para el sistema de referencia elegido. Y si no es una recta, significa

que tiene distintas velocidades (estaría acelerado).

Calculamos la velocidad, para el caso representado en la figura 15:

Como la velocidad es constante, el gráfico de velocidad en

función del tiempo no tiene pendiente es horizontal. (figura 16)

Si tiene pendiente distinta de cero (esta inclinado, por

ejemplo) la velocidad varía en función del tiempo, porque la pendiente

24

en este gráfico representa el cambio de velocidad es decir representa

a la aceleración.

Como podemos ver en la figura 16 el área debajo del gráfico de

velocidad en función del tiempo es un rectángulo. Podemos calcular el

área como base por altura:

Área = base x altura = v . t

Donde v.t no es otra cosa que el desplazamiento. Entonces,

el área debajo del gráfico de v(t) representa el desplazamiento, no las

posiciones, las cuales solo están en el gráfico x(t).

25

V(m/s)

Figura 16

1

v

+t(s) t

Problemas de ejemplo:

Problema A:

Los siguientes gráficos corresponden a distintos móviles que realizan

movimientos rectilíneos. Hallar las ecuaciones horarias y en que

instante pasaron o pasaran por la posición tomada como origen de

coordenadas.

Gráfico 1 Gráfico 2

gráfico 3 gráfico 4

Gráfico 3 Gráfico 4

x(t) x(t)

16 8

6 t(s) 4 10 t(s)

26

+x(m) +x(m)

24 20

12

6

6 t(s) 4 t(s)

- 8 - 4

Gráfico 1 :

Para calcular la velocidad debemos tener dos posiciones

cualquiera y los instantes correspondientes.

Esta velocidad es positiva porque el móvil avanza de la

posición 6 a la 24, es decir hacia el positivo.

Podemos elegir como x0 a cualquier posición de la trayectoria,

t0 es el instante en cual esta en esa posición. Ya que tenemos esta

libertad, elegimos de manera tal de hacer más sencillas las cuentas.

Como t = t – t0 es más simple elegir la posición en la cual t vale cero

como x0,

Así, t = t, porque t0 es cero, y de esta forma no trabajamos

con un binomio, en este movimiento no es tan importante pero en el

movimiento acelerado este binomio está al cuadrado con lo cual si t0

no es cero se complican los cálculos.

En este gráfico vemos que en t = 0 x = 6m, entonces

escribimos la ecuación:

x = xo + V.t

reemplazamos los datos:

x = 6m + 3m/s.t

esta es la ecuación horaria del movimiento representado en el

27

gráfico 1

La posición x = 0 es el origen de coordenadas, nos piden

calcular en que instante pasó por ella, reemplazamos en la ecuación

horaria y despejamos:

0 = 6m + 3m/s.t

Este resultado nos indica que pasó por cero dos segundos antes de

pasar por 6m. Elegimos que en la posición 6 metros t es igual a cero,

lo que ocurre antes de los 6 metros, para este sistema de referencia

temporal es tiempo negativo.

Esto es semejante a lo que ocurre dado que elegimos como

año cero la fecha del nacimiento de Cristo, todas las fechas anteriores

(antes de Cristo, AC) son negativas.

Gráfico 2

Calculamos la Velocidad:

es negativa porque se mueve del positivo al negativo del sistema de

referencia, primero está en 20 m y más tarde en 12 m

Elegimos la posición 20m como x0 con t = 0

X = 20m – 2 m/s. t

Calculamos t para x = 0:

Gráfico 3:


28

es positiva porque se mueve del negativo al positivo del sistema de

referencia, primero está en -8 m y más tarde en 16 m

Elegimos -8m como x0 con t = 0 X = -8m + 4 m/s. t

Calculamos t para x = 0:

Gráfico 4


es negativa porque se mueve del positivo al negativo del sistema de

referencia, primero está en 8 m y más tarde en -4 m

Elegimos 8m como x0 con t = 4s

X = 8m – 2 m/s. (t – 4s)

X = 8m – 2m/s.t + 8m

Despejamos y calculamos t para x = 0:

Si queremos tomar como x0, a la posición donde t vale cero,

tenemos que calcularla porque no está indicada en el gráfico:

X = 8m – 2 m/s. (0 – 4s) = 16 m

Escribimos la ecuación con este valor para x:

X = 16m – 2 m/s. t

29

Es la misma ecuación con otro x0. De hecho la elección de x0 es

arbitraria.

Problema B:

Un ciclista recorre una trayectoria rectilínea. La mitad la recorre con

una velocidad de 30 km/h y la otra mitad con una velocidad, también

constante de 20 km/h. Despreciar los tiempos de aceleración. a)

estimar entre que valores estará el de la velocidad media del viaje

total. b) trazar los gráficos cualitativos de posición y velocidad en

función del tiempo. c) calcular el valor de la velocidad media para todo

el camino ( ESTE VALOR NO ES LA VELOCIDAD PROMEDIO)

a. La mitad del camino lo hace con una velocidad constante de 30

km/h y la otra mitad con 20 km/h. Como las velocidades son

constantes también estos valores corresponden a las velocidades

medias de los dos tramos. La velocidad media total tendrá un

valor intermedio entre estos dos valores. Pero no es el

promedio.

b. La velocidad no cambia en un instante de un valor a otro, existe

un intervalo, un tiempo de aceleración (aceleración es el cambio

de velocidad en el tiempo). Vamos a considerar que ese tiempo

no existe como nos pide el problema.

30

+V

30

20

t1 t2

c. Tenemos que calcular la VmT (velocidad media total), conocemos

las Vm1 ( 30 km/h ) y Vm2 (20 km/h)

Planteamos:

31

a a = 5 b = 6

b

No tenemos ninguno de estos tres valores, pero podemos

reemplazarlos.

Donde tT = t1 + t2 estos tiempos, los podemos despejar de Vm1 y

Vm2.

Ahora reemplazamos:

nota: el promedio sería

ATENCIÓN: ANTES DE HACER LOS PROBLEMAS ES MUY

NECESARIO QUE SEPAS CONTESTAR EL CUESTIONARIO

SIGUIENTE.

¿Qué es una magnitud escalar? Dar ejemplos

32

¿Qué es una magnitud vectorial? Dar ejemplos

Definir: módulo, dirección y sentido.

¿Cómo se suman los vectores a = 5 y

b = 6 de la figura, gráfica y

analíticamente?

Si un vector, de módulo igual 8, forma un ángulo de 37° con la

dirección horizontal. Hallar sus componentes en las

direcciones vertical y horizontal, gráfica y analíticamente.

¿Cómo se define el movimiento?

¿Porqué es necesario el sistema de referencia?

¿Cómo se elige un sistema de referencia?

¿En que se diferencian la trayectoria y el desplazamiento?

¿Cuál es la diferencia entre velocidad media y velocidad

instantánea?

¿cuál es el ÚNICO caso en el cual son iguales?

¿Qué representa la pendiente del gráfico posición en función

del tiempo (x(t) )?

¿Qué significa que el gráfico x(t) del MRU tenga una sola

pendiente, dado que es una recta?

¿Qué representa la pendiente del gráfico velocidad en función

del tiempo (v(t) )?

¿Qué significa que el gráfico v(t) del MRU tenga una sola

pendiente, dado que es una recta?

33

¿Qué representa el área debajo del gráfico v(t)?

¿Se pueden ver representadas las posiciones del móvil en un

gráfico v(t)? ¿ y en el de posición x(t)?

Calcular, utilizando el gráfico, el desplazamiento representado

en los gráficos siguientes

Si no sabe contestar el cuestionario, o algunas de las preguntas,

es conveniente que vuelva sobre la teoría, caso contrario, no

sabrá resolver los problemas entendiendo lo que hace. Adivinar o

resolver los problemas mecánicamente es peligroso, de hecho es

su pase seguro a no aprobar. Insisto, es imprescindible saber y

entender la teoría. Si no lo logra PREGUNTEME EN CLASE

34

V(m/s)

2

t (s)

V(m/s) 3

2 4 t (s)

PROBLEMAS DE LA GUÍA MRU

1. Para comprender las nociones básicas le movimientos rectilíneos,

le proponemos que imagine la siguiente situación:

En la reparación de un camino recto está trabajando una aplanadora. En la

tabla adjunta, con el fin de describir su movimiento, se indican sus posiciones

en algunos instantes de tiempo.

T(seg) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

X(metros) 20 25 40 70 100 130 150 160 160 160 150 130

Le pedimos que:

a) represente en el sistema de ejes de la figura, los pares (tiempo; posición)

b) una los puntos con una curva suave, continua. Respecto a la descripción

del movimiento de la aplanadora, ¿qué significado físico tiene unir los puntos?

Explique.

c) Si la aplanadora se mueve sobre un camino recto, ¿cómo es posible que el

gráfico

x =x(t) sea una curva?

d) ¿Dónde estaba la aplanadora en t = 0?

e) ¿Entre 0 y 50 seg, avanzó o retrocedió?, ¿y entre 50 y 70 seg?

f) ¿ En algún instante, o en algún intervalo la aplanadora estuvo detenida?

g) ¿En qué instante comenzó a retroceder?

h) ¿Entre 0 y 70 seg se movió siempre del mismo modo, o a veces se

desplazó más rápido y a veces más lento? Justifique.

i) ¿Hubo alguna etapa en la que se desplazara distancias iguales en

intervalos iguales? Justifique.

35

j) Escriba la ecuación horaria de posición para el movimiento de la aplanadora

entre 20 y

50 seg.

k) Describa con palabras cómo varió la velocidad de la aplanadora desde t =

0 hasta t = 110seg.

l) ¿Durante qué intervalos la aplanadora aceleró (cambió su velocidad)?

m) ¿Durante cuál o cuáles de los intervalos anteriores aumentó el módulo de

su velocidad

(lo que en el lenguaje cotidiano llamamos "aceleró") y durante cuál o cuáles

frenó?

Justifique.

n) ¿Podría afirmar que en los intervalos mencionados en el ítem l el

movimiento de la aplanadora fue rectilíneo uniformemente variado? Explique.

a)

36

X (m)

160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 t(seg)

b) cuando unimos los puntos podemos ver el gráfico del movimiento

en función del tiempo.

Entre t = 0 y t = 70 segundos, encontramos dos parábolas, la

primera con la concavidad hacia arriba entre t = 0 y t = 50 segundos y

la segunda con la concavidad hacia abajo entre t = 50 segundos y t =

70 segundos.

En el tramo desde la posición 20 metros a la posición 130 metros,

la aplanadora aumenta su velocidad. (¿ya comente que hay que

saber la teoría?). Avanza hacia el positivo del eje x, por lo tanto su

velocidad es positiva, y como la concavidad es hacia arriba la

aceleración también es positiva ( ver más adelante en la explicación

de M.R.U.V). Si aceleración y velocidad tienen el mismo signo la

velocidad aumenta.

En el tramo de 130 metros a 160 metros, la velocidad sigue

siendo positiva porque avanza hacia el positivo del eje x, pero la

concavidad de la parábola es hacia abajo entonces la aceler5ación es

negativa, cuando aceleración y velocidad tienen distinto signo la

velocidad disminuye.

En un gráfico x(t), la pendiente representa la velocidad. En el

MRU, es una única pendiente porque tenemos solo una velocidad. En

el M.R.U.V, tenemos velocidades distintas en cada instante, la

velocidad esta representada por la pendiente de la recta tangente en

cada punto del gráfico (ver explicación más delante de M.R.U.V).

En los instantes t = 20, 50 y 100 segundos, representamos las

rectas tangentes al gráfico, estas representan la velocidad en estos

instantes, En t = 20 y t = 50, tienen pendiente positiva y en el instante

t = 100 pendiente negativa.

37

c) El gráfico, NO ES LA TRAYECTORIA DEL MÓVIL, es una

representación del movimiento y sus variaciones en UNA sola

dirección, la dirección del eje x, la cual, es el mencionado camino

recto.

d) En t = 0 la aplanadora estaba en x = 20 metros.

e) Entre t = 0 y t = 70 segundos, tiene velocidad positiva, ya

analizamos que avanza en el sentido positivo del eje x. Observar en el

gráfico donde está en 10,20,30,etc.

f) Entre t = 70 y t = 90 segundos, el gráfico es una recta

horizontal, por lo tanto con pendiente igual a cero. Como ya vimos la

pendiente representa la velocidad, entonces si la pendiente del gráfico

x(t) es cero la velocidad es cero. En este intervalo, estuvo detenida.

g) En t = 90 segundos, a partir de este instante la pendiente del

gráfico es negativa, por lo tanto la velocidad es negativa, avanza en el

sentido negativo de x. En t = 90 su posición es 160 metros del cero

de x, en t = 100 segundos su posición es 150 metros significa que se

acerco 10 metros al cero ( dicho de otra manera, retrocedió)

h) Moverse del mismo modo, significa con velocidad constante.

Como el gráfico en este intervalo no es una recta tenemos una

pendiente distinta para cada instante, esto significa que la velocidad

varía.

i) Entre 0 y 10 segundos, se desplaza 5 metros:

x = 25 m – 20 m = 5 m

38

Entre 10 y 20 segundos, se desplaza 15 metros:

x = 40 m – 25 m = 15 m


x = 70 m – 40 m = 30m


x = 100 m – 70 m = 30 m


x = 130 m – 100 m = 30m


x = 150 m – 130 m = 20 m


x = 160 m – 150 m = 10 m

Entre 90 y 70 segundos, no se desplaza: x = 160 m – 160 m = 0

Entre 100 y 90 segundos, se desplaza – 10 metros:

x = 150 m – 160 m = -10 m

Entre 100 y 110 segundos, se desplaza – 20 metros:

x = 130 m – 150 m = - 20 m

El signo negativo de los dos últimos intervalos de 10 segundos

significa que se desplazó hacia el otro lado.

j) Entre 20 y 50 segundos el movimiento es un M.R.U.V, con

aceleración positiva, su ecuación es:

x = x0 + v0.t + ½ a.t2

k) Aumentó entre t = 0 hasta t = 50 segundos. Disminuyó entre t =

50 y t = 70 segundos. Entre t = 70 y t = 90 segundos fue cero. Y entre

t = 90 y t = 110 segundos aumentó, pero avanzando hacia el lado

negativo del eje x, por eso es negativa.

l) Entre 0 y 70 segundos y entre 90 y 110 segundos.

39

m) Aumentó el módulo de su velocidad entre 0 y 50 segundos y

entre 90 y 110 segundos. Disminuyó entre 50 y 70 segundos.

n) El gráfico x(t) del M.R.U.V, es una parábola. Dado que en los

intervalos mencionados el gráfico es una parábola ( o parte de una

parábola) el movimiento es entonces un M.R.U.V.

Nota: Este Problema sería interesante verlo después de estudiar

M.R.U.V

2. Un coche recorre 160 kilómetros cada 4 horas a velocidad

constante

a)¿Cuál es su velocidad en metros por minuto? ¿Y en metros por

segundo?

b) Diga cuánto se ha desplazado en 50 segundos, en 25 minutos, y

en un día.

c) Grafique la posición en función del tiempo durante los primeros 15

minutos.

40

Su velocidad en km/h es entonces: 40 km/h.

Esto significa que recorre 40 km en una hora

1 km = 1000 m; 1 hora = 60 min = 3600 segundos

a)En metros por minuto y por segundo: 40 kilómetros son 40.000

metros, y una hora son 60 minutos o 3600 segundos.

666,67m/min ;

11,11m/s

b)El desplazamiento para el M.R.U es x = V . t entonces:

;

c)

3. Si 25 segundos después de haber visto un relámpago se

percibe el ruido del trueno ¿a qué distancia de nosotros se produjo

41

La pendiente del gráfico posición en función del tiempo representa la velocidad:

15 t(min)

X(m)

10.000

el fenómeno si la velocidad del sonido en el aire es de 344 m/seg y se

desprecia el tiempo de propagación de la luz?

El intervalo de 25 segundos, es el tiempo en el cual, el sonido

viaja hasta el lugar donde estamos con una velocidad, que

consideramos constante, de 344 m/s.

Para conocer esa distancia, basta con aplicar la ecuación de

MRU:

x = V . t

x = 344 m/s . 25 s = 8600 m

En kilómetros 8,6 Km

4. Un móvil se mueve en forma rectilínea de acuerdo al

gráfico de posición en función del tiempo x(t).

a) ¿ Con qué velocidad se desplaza?

b) ¿ Dónde se hallará a las dos horas?

a) La velocidad esta representada por la pendiente del gráfico, la

calculamos:

42

X (km)

6

10 t (seg)

b) Asumiendo que en el lapso de 2 horas no cambia su

velocidad, podemos calcular la posición x planteando:

x = x0 + v0. t

Tenemos la velocidad en metros por segundo, en la ecuación

debemos poner todo en las mismas unidades (si no, nos da

cualquier cosa) entonces pasamos las dos horas a segundos:

2 x 3600 segundos = 7200 segundos

También, era igual pasar los metros por segundo a kilómetros por

hora y multiplicar por 2 horas.

x = 0 + 0,6 m/s. 7200s = 4320 metros

5. ¿A qué hora debe pasar un automovilista por la localidad A, a

una velocidad constante de 80 km/h, si desea alcanzar a las 13

horas a otro automovilista que pasó por el mismo lugar a las 8 horas y

que mantiene una velocidad constante de 40 km/h?

El automovilista que tiene una velocidad de 40

km/h, recorre 40 km por hora, en 5 horas (entre las 8 y las 13

horas), recorre una distancia de 200 kilómetros. El otro en una

hora recorre el doble, 80 kilómetros. Entonces tarda la mitad del

tiempo en recorrer la misma distancia, tarda 2,5 horas. Por lo

tanto debe pasar por la localidad A, dos horas y media antes de

las 13 horas, debe pasar a las 10 y media.

Para hacer el planteo formal, tomamos como cero la posición de

la localidad A. Y como a las 13 horas la posición de ambos ( x ) es la

misma, podemos igualar las ecuaciones horarias de ambos y de allí

despejar el t0 del auto que va a 80 km/h, es decir el instante en el cual

estuvo en x = 0, lo que corresponde a la localidad A.

Planteamos las ecuaciones y para ambos tomamos, x0 = 0

43

X1 = 40 km/h (13h – 8h)

X2 = 80 km/h (13h – t0)

Como a las 13h, x1 = x2 , nos queda:

40 km/h (13h – 8h) = 80 km/h (13h – t0)

40km/h . 5h = 80km/h . 13h – 80 km/h . t0

80 km/h . t0 = 80km/h . 13h - 40km/h . 5h

10,5h

6. Un corredor recorre 500 metros llanos en 80 segundos, a

velocidad que puede considerarse constante durante cada tramo.

Al llegar al extremo del recorrido se detiene durante diez segundos y

retorna por el mismo camino en 100 segundos. a)¿Cuánto vale la

velocidad a la ida? ¿Cuánto vale la velocidad a la vuelta? b)Grafique

la posición del corredor desde que sale hasta que vuelve. c)¿Dónde

se hallará el corredor a los 40 segundos, a los 85 segundos y a los

125 segundos? d)Si tomamos un sistema de referencia positivo para

el sentido a la ida y tomando como cero a la posición de partida del

corredor:

44

Vida

Vvuelta +X(m)

;

El signo de las velocidades es por el sistema de referencia que se

eligió, los módulos son respectivamente 6,25 m/s y 5 m/s.

b)

Entre t = 0 y t = 80 segundos avanzó hacia el positivo del eje x,

500metros. Entre t = 80 y t = 90 segundos estuvo detenido y entre

t = 90 y t = 190 segundos avanzó hacia el negativo de x, 500 metros

x IDA = 500 m x VUELTA = -500 m

c) Como ya mostramos en el gráfico las posiciones a los 40, 85 y 125

segundos son respectivamente: 250, 500 y 325 m. Planteamos:

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

M.R.U.V

45

40 80 85 90 125 190 t(s)

X(m)

500

325

250

Este movimiento se llama variado porque su velocidad cambia

instante a instante.

Cambia el módulo de la velocidad o, en determinadas

circunstancias, puede cambiar el sentido.

Si cambiara la dirección (como cuando un auto dobla en la

esquina o en una curva) no sería rectilíneo, en estos casos se trata de

otro tipo de movimiento.

De modo análogo a como definimos antes velocidad media y

velocidad instantánea, definimos también aceleración media e

instantánea.

La aceleración media vectorial, se define como la diferencia

de dos velocidades instantáneas dividido el intervalo correspondiente

y la aceleración instantánea como la derivada de este cociente con t

tendiendo a cero.

aM =

46

v1 v2

t1 t2

trayectoria

En el caso particular de este movimiento, la variación de

velocidad es uniforme, es decir la velocidad cambia siempre

igual para intervalos iguales.

Veamos un ejemplo:

En la siguiente tabla, donde tomamos intervalos de un segundo,

donde en cada instante tenemos distintos valores de velocidad

instantánea.

En: t = 0 t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s

V = 0 V = 3 m/s V = 6 m/s V = 9 m/s V = 12 m/s

Para cualquier par de instantes, si calculamos la aceleración

media el resultado es el mismo: 3 m/s2 .

La variación de velocidad en el tiempo es siempre igual, es

decir la aceleración es siempre igual, es constante. No solo porque

tiene siempre el mismo módulo, también siempre es igual la dirección

y el sentido, recordemos que se trata de una magnitud vectorial.

47

Debido a las características del MRUV, cuando saquemos la

derivada para obtener la aceleración instantánea, el resultado también

será 3 m/s2.

Por eso en este movimiento, la aceleración instantánea se

calcula igual que la aceleración media:

ai = aM = v/t.

A partir de la ecuación de aceleración despejamos la

velocidad:

v = a. t

v – v0 = a . t

v = v0 + a . t

Esta ecuación, es lineal, en el gráfico de velocidad en función

del tiempo, que naturalmente es una recta, la pendiente representa la

aceleración.

En el gráfico representamos

un movimiento con velocidad inicial

mayor que cero (V0)y aceleración

mayor que cero. (por eso hay

pendiente distinta de cero)

Igual que en el caso del MRU,

el área en el gráfico de velocidad,

representa el desplazamiento x .

48

+V v

v0

t

Tenemos un área, que es la suma de un área rectangular y un

triángulo.

Si no cambia de velocidad, el área es solo el rectángulo,

como vimos en MRU. Como cambia de velocidad, en este ejemplo

aumentándola, en el mismo intervalo se desplaza más esto está

representado con el área del triángulo.

Entonces:

x = área del rectángulo + área del triángulo

x = base x altura +

x = V0.T + como v = a. t

reemplazamos en la ecuación

x = v0.t +

x – x0 = v0.t + ½ a.t2

despejamos x

x = x0 + v0.t + ½ a.t2

Obtuvimos la ecuación de la posición en función del tiempo x(t).

Esta ecuación es la ecuación de una parábola, el gráfico de x

en función de t es entones una parábola. Donde para cada instante y

cada posición tendremos una velocidad distinta, representada en el

gráfico por la pendiente de la recta tangente a la parábola.

49

PROBLEMAS DE EJEMPLO

( hágalos antes de mirar la solución y después de estudiar y entender

la teoría)

Problema A:

Un automóvil parte del reposo acelera durante 5 segundos con una

aceleración constante de 2 m/s2, más tarde cuando tiene una

velocidad de 20 m/s frena hasta detenerse en un intervalo de 8

segundos. Calcular cuanto se desplaza en el primer y último intervalo

de un segundo en los dos casos.

Para el intervalo de 5 segundos en los cuales acelera, la

velocidad inicial es cero.

Tomamos la posición donde comienza a moverse igual a cero y

calculamos las posiciones en 1, 4 y 5 segundos.

Para hallar el desplazamiento en los intervalos de un segundo

pedidos, hacemos la diferencia entre las posiciones en los

instantes 0 - 1 segundos y entre 4 - 5 segundos.

Planteamos la ecuación horaria de la posición:

y calculamos para cada instante

50

Ubicamos los resultados obtenidos en el gráfico de posición

Ahora calculamos los desplazamientos:

Entre 0 y 1 segundo: Entre 4 y 5 segundos:

x = 1m – 0 = 1m x = 25m – 16m = 9 m

Procedemos de forma similar para el intervalo de 8 segundos

en el cual está frenando. La velocidad inicial es 20 m/s,

sabemos que en estos 8 segundos llega a cero, con estos

datos calculamos la aceleración con la cual frena:

51

0 1 16 25

x = 1m – 0 = 1m x = 25m – 16m = 9m

X25

16

1 1 2 3 4 5 t

La pendiente de la tangente en cualquier punto del gráfico representa la velocidad para el instante que le corresponda. En este caso, t = 4s

Planteamos la ecuación horaria para calcular las posiciones

en los instantes 1, 2, 7 y 8 segundos. Tomamos la posición

igual a cero al principio del intervalo de 8 segundos.

Calculamos el desplazamiento entre los instantes 0 y 1.

x = 18,75m – 0 = 18,75m

Calculamos el desplazamiento entre los instantes 7 y 8.

x = 80m – 78,75m = 1,25 m

Ubicamos los resultados en el gráfico de posición en función del

tiempo.

52

0 18,75 78,75 80

x = 18,75m x = 1,25m

Problema B:

¿Qué velocidad traía una locomotora, que acelerando a 1 m/s2,

recorrió 20 metros en 5 segundos?

Datos: a = 1 m/s2 ; x = 20m; t = 5s

Nos están pidiendo la velocidad al comienzo del intervalo de 5

segundos en cual recorre 20 m.

Plantemos la ecuación horaria de la posición:

si la locomotora está aumentando su velocidad (lo cual no aclara el

enunciado) la velocidad la averiguamos reemplazando los datos en la

ecuación horaria de la posición, de donde despejaremos la velocidad

inicial V0:

53

X 80 78,75

18,75

1 2 3 4 5 6 7 8 t

La pendiente de la tan- -gente, en 8 seg. Vale cero, porque la velocidad en este instante es cero

si, en cambio, está disminuyendo la velocidad:

Problema C:

Un avión parte del reposo con aceleración constante y carretea 1800

metros, durante 30 segundos hasta despegar, ¿con qué velocidad

abandona la pista? Trazar un gráfico de velocidad tiempo.

Datos: x = 1800m ; t = 30 segundos ; V0 = 0

Nos piden la velocidad al final de los 1800 m. Calculamos la

aceleración planteando:

despejamos aceleración:

54

Ahora utilizamos la ecuación de velocidad:

V = V0 + a.t

V = 4 m/s2.30s = 120 m/s

Problema D:

Un tren reduce uniformemente su velocidad, desde 12 a 8 m/s, en una

distancia de 100 metros. Calcular la aceleración de frenado, y que

distancia recorrerá hasta detenerse si prosigue así.

Datos: x = 100 m ; V0 = 12 m/s ; Vf = 8m/s

Nos piden calcular la aceleración y la distancia que recorrerá

hasta llegar a cero.

Como no tenemos el tiempo y tampoco la aceleración, planteamos las

ecuaciones de la posición y la de velocidad, tenemos así un sistema

de dos ecuaciones con dos incógnitas.

despejamos a partir de estas y

obtenemos:

55

+V(m/s)

120

30 +t(s)

V = V0 + a.t

V2 = V02 + 2.a.x

Este pasaje de términos, lo podemos anotar y tenerlo en la

hoja de fórmulas para usarlo cuando nos haga falta, para no hacer

todas las veces el procedimiento.

Ahora, planteando con la ecuación que obtuvimos, averiguamos la

aceleración:

(8 m/s)2 = (12 m/s)2 + 2.a.100m

= a

Para calcular la distancia que recorre hasta detenerse, primero

averiguamos en que tiempo la velocidad se hace cero.

Planteamos :

V = V0 + a.t

Reemplazamos:

0 = 8 m/s – 0,4 m/s2.t

56

V = 12 m/s V = 8 m/s

0 100 180 x = 80m

t =

con este tiempo averiguamos la distancia en la cual la velocidad pasa

de 8 m/s a cero:

Problema E:

El gráfico representa la velocidad en función del tiempo, para un

automovilista que se detiene frente a un semáforo y luego arranca. a)

trazar los gráficos de posición y aceleración en función del tiempo. b)

¿A qué distancia del semáforo se encontraba cuando comenzó a

frenar si cuando pasa por este lo hace en el instante 10 segundos?

Observando el gráfico de velocidad, podemos ver que en el

instante t = 0 la velocidad del auto es 54 km/h y en el instante t =

5s la velocidad es cero.

Entre los instantes 5 y 8 segundos la velocidad es cero.

Y entre 8 y 13 segundos la velocidad aumenta desde cero hasta

36 km/h

A partir del instante 13 s, continúa a velocidad constante.

57

a.

Para calcular las distintas posiciones, primero tenemos que

homogeneizar las unidades pasar las velocidades a metro por

segundo o el tiempo a horas. Nos conviene la primera opción para

no trabajar con números decimales.

54 km/h

36 km/h

Averiguamos la posición en t = 5s y t = 13s. Tengamos en cuenta

que tenemos tres movimientos: un MRUV entre 0 y 5 segundos,

otro MRUV entre 8 y 13 segundos, son dos movimientos distintos

porque tienen distinta aceleración y finalmente un MRU a partir

del instante 13 segundos.

Calculamos las aceleraciones para cada intervalo:

58

+V(km/s)

54

36

5 8 13 +t(seg)

Tomando x = 0 en t = 0, nos queda

para el intervalo entre 0 y 5

segundos.

La posición inicial del intervalo siguiente (entre 8 y 13) es

37,5m

59

Distancia desde que comienza a frenar hasta que pasa por el semáforo

+x(m)

62,5 37,5

5 8 10 13 +t(s)

b) Distancia al semáforo cuando comenzó a frenar.

Comenzó a frenar en el instante que tomamos como cero, y como

ya vimos en los primeros 5 segundos recorre una distancia de

37,5 m.

Luego arranca en esa posición, en el instante 8 segundos pasa

por el semáforo 2 segundos después de partir, en t = 10

segundos.

Al calcular la posición a los 10 segundos obtenemos la distancia

requerida:

PROBLEMAS DE LA GUIA MRUV

7. Un objeto recorre 240 Km en dos horas y luego 240 Km

más en tres horas.

a) Calcule el valor de la velocidad media en las dos primeras

horas, en las tres últimas y en el recorrido total.

b) Grafique la posición en función del tiempo.

a) La definición de velocidad media vectorial (ver parte teórica)

es:

la calculamos para, los dos intervalos y para el tiempo total:

60

b) Si, tomamos como cero, la posición al comienzo del intervalo

de 5 horas. Como 240km la posición a las dos horas y como

480 la posición a las 5 horas. El gráfico que podemos hacer

es el siguiente.

Con los datos que tenemos, solo conocemos con certeza, las

posiciones a las 2 y a las 5 horas. No sabemos como fue el

movimiento en cada intervalo. Por eso, no lo podemos graficar.

Si, por ejemplo, se movió a velocidad constante en cada

tramo, el gráfico nos quedaría como vemos en la figura adjunta.

Donde, la pendiente del gráfico, en cada intervalo representa las

velocidades 120 y 80 km/h.

61

X(km)

480

240

2 5 t(h)

8. Este ejercicio le ayudará a comprender las ecuaciones

horarias y los gráficos del movimiento rectilíneo

uniformemente variado (MRUV. Utilice papel milimetrado para los

gráficos:

Un auto se desplaza en línea recta. En t = 0, pasa por un

punto ubicado a 12 m del origen del sistema de referencia

elegido, alejándose con velocidad 10 m/s. En ese instante

acelera, con aceleración constante 2 m/s2 que mantiene durante

5 segundos.

Respecto de la velocidad:

a) ¿Qué significa que la aceleración es 2m/s2?, ¿Qué

significa qué es constante?

La aceleración, es el cambio de velocidad por unidad

de tiempo. Si la aceleración es 2m/s2, significa que la velocidad

cambia 2m/s por segundo. Si un móvil parte del reposo, con esta

aceleración, un segundo después de partir tiene una velocidad de 2

m/s, dos segundos después 4m/s, tres segundos después 6m/s y así

sucesivamente. La velocidad aumenta de dos en dos por cada

segundo que pasa.

b) ¿Qué es lo que varía uniformemente en el MRUV?

En el MRU, lo que varía uniformemente, es decir siempre igual en

intervalos iguales, es el desplazamiento (x). Si tenemos un móvil

que tiene una velocidad constante de 5 m/s, esto significa que por

cada segundo que pasa, cambia de posición o avanza 5 metros. Si en

cierto instante está en la posición 0 y avanza hacia el lado positivo, un

segundo después esta en la posición 5 metros, dos segundos

62

después en la posición 10 metros, tres segundos después en la

posición 15 metros, y así sucesivamente.

c) Conociendo la velocidad en t = 0 y el valor de la

aceleración, complete las otras columnas de la tabla.

Tomando los datos del enunciado, planteamos las

ecuaciones

de velocidad y de posición para cada uno de los 5 instantes.

Planteamos las ecuaciones de velocidad y posición en

función del tiempo

V = v0 + a t

x = x0 + V0.t + ½.a .t2

V = 10m/s + 2m/s2. 1s = 12m/s

x = 12m + 10m/s.1s + ½.2m/s2 .(1s)2 = 23m

V = 10m/s + 2m/s2. 2s = 14m/s

x = 12m + 10m/s.2s + ½.2m/s2 .(2s)2 = 36m

V = 10m/s + 2m/s2. 3s = 16m/s

x = 12m + 10m/s.3s + ½.2m/s2 .(3s)2 = 51m

V = 10m/s + 2m/s2. 4s = 18m/s

x = 12m + 10m/s.4s + ½.2m/s2 .(4s)2 = 68m

V = 10m/s + 2m/s2. 5s = 20m/s

x = 12m + 10m/s.5s + ½.2m/s2 .(5s)2 = 87m

Completamos en la tabla:

t(s) V(m/s) X(m)

0 10 12

1 12 23

2 14 36

3 16 51

4 18 68

5 20 87

63

d) Grafique la velocidad del auto en función del tiempo.

V(m/s)

20

10

5 t(s)

e) ¿Cómo hubiera sido el gráfico si el auto no hubiera acelerado

Si el auto no hubiera acelerado, el gráfico sería una recta horizontal.

Dado que la pendiente del gráfico velocidad tiempo representa la

aceleración del móvil.

Aunque el problema no lo pide, contestamos el punto d y e, para el

gráfico de posición en función del tiempo.

64

X(m) 87

68

51

36 23 0 1 2 3 4 5 t(s)

Si no hubiese acelerado, el gráfico sería una recta entre la

posición 12 m y la posición 87 metros. Donde la pendiente de este

gráfico, representaría la velocidad constante entre estas dos

posiciones. En cambio, si acelera, en cada posición, la pendiente de

la recta tangente al gráfico representa la velocidad en ese instante. En

el gráfico anterior, en el instante cero, cuando está en la posición 12

metros, la velocidad es 10 m/s. La pendiente de la recta tangente en

el vértice de la parábola es cero. Lo cual significa que la velocidad es

cero, por ese motivo el vértice del gráfico no esta en la posición 12

metros, porque como ya dijimos, ahí la velocidad no es cero.

f) ¿Qué representa la pendiente en un gráfico velocidad en

función del tiempo?

Representa la aceleración

g) Escriba la ecuación horaria de velocidad para el auto.

V = v0 + a t

De lo discutido resulta que la forma general de la ecuación

horaria de velocidad para un MRUV es:

v = vi + a (t-ti)

65

Respecto de la posición:

a) ¿Se desplazará el auto lo mismo entre 0 y 1 segundo

que entre 3 y 4 segundos? Explique

No, porque entre 0 y 1 segundo las velocidades son menores que

entre 3 y 4 segundos.

b) Deduzca ( con ayuda del docente) la ecuación horaria

de posición para un MRUV.

Ver parte teórica del apunte.

La forma general de ecuación horaria de posición para un MRUV

es:

x = xi + vi(t -ti) + 1/2 a (t-ti)2

c) ¿Qué representan los dos primeros términos de esta

ecuación?

El primero, la posición en el instante ti. El segundo el desplazamiento

(x) que tendría si no hubiese acelerado.

d) Escriba la ecuación horaria de posición para el auto.

x = 12m + 10m/s.t + ½.2m/s2 .t2

Dos finales para el mismo cuento:

FINAL 1:

Si a partir de t = 5 s y hasta t = 8 s el auto deja de acelerar,

describa lo que sucederá, escriba las ecuaciones

correspondientes, complete la tabla adjunta y continúe los

T (s) V (m/s) X(m)

5 20 87

6 20 107

7 20 127

8 20 147

66

gráficos de velocidad en función del tiempo y de posición en

función del tiempo.

Si deja de acelerar en t = 5 segundos, sigue con velocidad constante,

la que tiene justo cuando deja de acelerar, 20 m/s. Y avanza 20

metros por cada segundo que pasa.

A partir del instante 5 segundos, el gráfico de posición en función del

tiempo es una recta, cuya pendiente representa los 20 m/s. Y el de

velocidad es una recta horizontal cuya pendiente representa la

aceleración, en este caso cero.

FINAL 2:

Si a partir de t = 5 s y hasta t = 8 s

el auto frena con aceleración

constante -3m/s2, describa lo que

sucederá, escriba las ecuaciones

correspondientes y continúe los

gráficos de velocidad en función del

tiempo y de posición en función del tiempo.

V = 20m/s - 3m/s2. (6s - 5s) = 17m/s

x = 87m + 20m/s. (6s - 5s) - ½.3m/s2 . (6s - 5s)2 = 108,5m

V = 20m/s - 3m/s2. (7s - 5s) = 14m/s

x = 87m + 20m/s. (7s - 5s) - ½.3m/s2 . (7s - 5s)2 = 121m

V = 20m/s - 3m/s2. (8s - 5s) = 11m/s

x = 87m + 20m/s. (8s - 5s) - ½.3m/s2 . (8s - 5s)2 = 133,5 m

T (s) V (m/s) X(m)

5 20 87

6 17 108,5

7 14 121

8 11 133,5

67

X(m)

133,5

87

5 8 t(s)

9. Un móvil que avanza con MRUV experimenta un

desplazamiento de 32m en un intervalo de 4 segundos. Si la

velocidad inicial es de 10 m/seg, calcular la aceleración a la que

estuvo sometido.

Planteamos la ecuación de M.R.U.V:

x = v. t + ½ a.t2

Conocemos x = 32 m, conocemos t = 4 segundos y la velocidad

inicial v = 10 m/s. De la ecuación despejamos la aceleración:

Como la velocidad y la aceleración tienen distinto signo, está

frenando.

10. Un automóvil debe alcanzar, partiendo del reposo, una

velocidad de 100 km/h en 10 s.

a) ¿Qué aceleración debe tener este automóvil?

b) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 5 segundos?

c) Grafique la velocidad y la posición en función del tiempo (en

los primeros 10 segundos).

68

a) Primero pasamos a unidades iguales:

b)

b) La pendiente del gráfico de velocidad representa la

aceleración, como es constante, el gráfico es una recta (una

sola pendiente). En el caso de la posición, la ecuación de esta

69

V(m/)

27,78

10 t(s)

5 10 t(s)

X(m)

277,8

en función del tiempo es la ecuación de una parábola; en

Cada posición y en cada instante la velocidad es distinta y

esta está representada en este gráfico en la pendiente de la

recta tangente a cada punto del gráfico.(Recordar: en el

M.R.U una sola velocidad entonces una sola pendiente, el

gráfico en este vimos que era una recta). En el gráfico vemos

representadas dos rectas tangentes, en el instante cero y en

un t posterior, en t = 0 la recta es horizontal, no tiene

pendiente porque en esa posición e instante la V es cero.

11. Un subterráneo ingresa a la estación a 36 km/h. Debe detenerse

en 10 segundos.

a) ¿ Cuál debe ser su aceleración de frenado?

b) ¿Qué distancia recorre el subte en los cinco primeros

segundos, contados desde que entra a la estación?

c) ¿Qué velocidad tendrá el subte un segundo antes de

detenerse?

a) Es necesario trabajar con las mismas unidades para todas la

variables, por eso, al tener la velocidad en km/h y el tiempo

en segundos debemos cambiar una u otro. Si mezclamos

horas con segundos nos da mal. Y es más práctico pasar a

las unidades más chicas para no trabajar con decimales.

La aceleración es la variación de velocidad en el tiempo, si

tenemos un M.R.U.V, esta variación es constante (la aceleración es

constante) entonces podemos usar para este movimiento la ecuación

de aceleración media que en el M.R.U.V es igual a la aceleración

instantánea:

70

Con la denominación de final e inicial nos referimos al final y

principio del intervalo (t = tf - t0) que nos interesa.

Es importante diferenciar que t es un lapso y t es un solo

instante o sea t t, puede ocurrir en algunos casos que

numéricamente lo sean, esto es porque tomamos t0 = 0. No son lo

mismo t es una hora determinada y t es una duración

Este resultado corresponde si tomamos la velocidad, con

sentido positivo; sino sería al revés la velocidad negativa y la

aceleración positiva.

Es importante tener en cuenta que, cuando aumenta la

velocidad, la a y la v tienen igual signo y cuando disminuye es distinto.

Disminuye la velocidad Aumenta la velocidad

+a ; -V +a ; +V

-a ; +V -a ; -V

b) Tomemos X = 0 en la entrada de la estación

c) para conocer la velocidad un segundo antes de detenerse

usamos la ecuación de velocidad para el M.R.U.V:

71

12. Un móvil recorre dos tramos sucesivos. El primer tramo, de

200m, lo hace con MRU a una velocidad de 10 m/seg. El segundo

tramo lo hace con M.R.U.V duplicando su velocidad en 10 segundos

a) Calcular la velocidad media en cada tramo y en el recorrido total.

b) Graficar, para cada tramo, la aceleración, velocidad y posición en


a) Conocemos el desplazamiento x = 200m, que hace con MRU. En

el segundo tramo duplica su velocidad, entonces acelera, siendo la

velocidad inicial la que traía es decir 10 m/s

Para calcular la velocidad media de todo el recorrido

necesitamos el desplazamiento total y el tiempo total. Tenemos

entonces que calcular el tiempo del primer tramo t1 y el

desplazamiento en el segundo tramo x2.

tTOTAL = t1 + t2 = t1 + 10seg

x TOTAL = x1 + x2 = 200m + x2

72

0 200 ?

x1 = 200 m x2 = ? t1 =? t2 = 10seg.

x TOTAL

t TOTAL

En el primer tramo, despejamos t de la ecuación de posición del

MRU:

En el segundo tramo, conocemos la velocidad inicial 10 m/s y la final

dado que nos dicen que se duplica esta es 20 m/s y conocemos t2 =

10 segundos. Con estos datos y la ecuación de aceleración

calculamos:

Ahora con la ecuación de posición, calculamos el desplazamiento en

el segundo tramo:

x2 = v.t2 + ½ a.t2 2

x2 = 10 m/s. 10 seg + ½ 1 m/s2. 100 seg2 = 150 metros

En este instante, x = 350 m, si tomamos x = 0 en t = 0

Como en el primer tramo tenemos un MRU, la velocidad media en

este tramo es igual a la instantánea vM1 = 10 m/s.

En el segundo tramo, la velocidad media es:

VM2 =

Para todo el recorrido, la velocidad media es:

GRÁFICOS:

73

a(m/s)

1

20 30 t(s)

X(m)

350

200

20 30 t(s)

13. Un objeto cae desde una altura de 25 metros hasta el

piso.

a) ¿ Cuánto tiempo tarda en llegar al piso?

b) ¿A qué altura del piso se hallará a los 2 segundos?

74

V(m/s)

20

10

20 30 t(s)

c) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento?

d) Grafique la posición y la velocidad desde que parte hasta que

llega al piso.

e) ¿Con qué velocidad debería lanzarse hacia arriba desde el

piso para llegar otra vez a hasta un altura de 25 metros?

Tiro vertical y caída libre

El movimiento de caída dentro del campo gravitatorio se

denomina caída libre. Si sube y baja con aceleración igual a g se

denomina tiro vertical, en los dos casos tenemos el mismo tipo de

movimiento.

Los movimientos llamados libres, son los que están afectados

por la aceleración de la gravedad (tiro vertical, caída libre, tiro

oblicuo). Para distancias relativamente cortas se puede tomar

esta aceleración como constante, entonces estos movimientos se

pueden estudiar como M.R.U.V. Los sistemas de referencia se

eligen arbitrariamente, podemos elegir el eje de coordenadas

vertical como x, como y o como z, es indistinto. En este trabajo

vamos a elegir el eje vertical como y. La ecuación horaria, la del

M.R.U.V, que ya vimos, queda:

(nótese que solo hay un cambio de letras, en lugar de x va y)

a) Si nos dicen “cae” significa que la velocidad inicial es

cero.

75

Vamos a tomar el sentido hacia “arriba” positivo, entonces la

aceleración g, que es hacia la tierra será negativa. Esto es SOLO por

el sistema de referencia elegido, si elegimos positivo hacia abajo,

entonces la aceleración g sería positiva.

Tomando positivo hacia arriba, y si la altura del piso la

consideramos cero, la posición inicial, la altura 25m es positiva.

Para averiguar el tiempo total, planteamos la ecuación de

posición para el MRUV, donde V0 es igual a cero. Siendo la posición

inicial y 0: 25 metros y la posición final y es igual a cero:

despejamos:

; ; 2,24s

b) Averiguamos la posición a los 2 segundos . En nuestro caso,

habiendo elegido el sistema de referencia positivo hacia

arriba, esta posición es la altura a los 2 segundos de partir.

Sí elegíamos el sistema al revés, tomando como cero la posición inicial

y positivo hacia abajo, el dato obtenido sería igual a la cantidad de

metros que cayo en 2 segundos. Es importante tener en cuenta estas

cosas para interpretar los datos que obtiene.

c) Planteamos la ecuación de Velocidad para el MRUV:

76

reemplazando:

El signo menos significa que es para abajo según la

convención que adoptamos para resolver el problema, el sistema de

referencia es positivo hacia arriba. Recordar que el signo solo indica

para que lado es. Los vectores no tienen un signo propio, el signo

surge, de que el sentido del vector coincida o no con el sentido

positivo o negativo del eje. Por ejemplo, la aceleración g, no tiene

signo. Es negativa si tomamos positivo hacia arriba, y es positiva si

tomamos positivo hacia abajo.

d) Gráficos de velocidad y posición en función del tiempo.

77

V(m/s)

22,4

2,24 t(s)

X(m)

25

5

2 2,24 t(s)

f) Como veremos a continuación la velocidad inicial, con la que

debería lanzarse para que llegue a 25 metros, debe ser la

misma que con la que llega al piso cayendo desde el reposo

desde 25 metros.

Podemos utilizar un pasaje de términos, que es útil tener a mano para

usar sin estar haciendo el despeje todas las veces, lo cual es largo y

se pierde tiempo, sobre todo en el examen.

A partir de las ecuaciones horarias:

(1) (2)

de (2) despejamos t y reemplazamos en (1)

de (2) despejamos t

y lo reemplazamos en (1)

resolviendo y reordenando:

Finalmente:

78

Vf2 = V0

2 + 2.a.x

Todos estos pasos los mostramos para que veas de donde sale y que

por lo tanto NO es otra ecuación sino un despeje.

En la altura máxima, la velocidad es cero. ¡ojo! Pero no la

aceleración, que como en todo el movimiento es g, recordemos

que esta aceleración es constante, es un MRUV. La velocidad final,

considerando solo el ascenso, es cero. Esta velocidad es la de la

máxima altura que alcanza. Porque, si nos dicen que “llegue”,

significa que justo llegue a 25m. Si a 25 metros tuviera otra velocidad,

seguiría subiendo. Cuando lea una frase como esta, donde se emplea

la palabra: llegue, lo que se nos pide es que alcance esa posición con

lo justo.

La ecuación que despejamos nos queda:

14. Un cuerpo se suelta libremente y emplea 4 segundos en recorrer

la mitad de su desplazamiento.

a) ¿Cuál es el desplazamiento total?

b) ¿Con qué velocidad pasa por la mitad de su recorrido?

79

0 = V02 – 2.g.y ; 0 = V0

2 – 2.10m/s2.25m

V02 = 500m2/s2

a) Si “se suelta”, su velocidad inicial es cero. Si cae “libremente”, su

aceleración es la de la gravedad. En 4 segundos, tomando el

sistema de referencia positivo hacia abajo, su velocidad será:

v = v0 + g.t

v(4seg) = 0 + 10 m/s2. 4 seg = 40 m/s

Conocemos las velocidades inicial y final del primer tramo,

sabemos que la aceleración es g. Planteamos:

V2 = v0 2 + 2.g.x

Despejamos x:

15. Una partícula disparada verticalmente hacia arriba está a

200 m de altura respecto del punto de lanzamiento a los 10

segundos de la partida.

a) Hallar la velocidad inicial.

b) Determinar la máxima altura que alcanzará la partícula.

a) Este movimiento es un tiro vertical. Un tiro vertical es un

M.R.U.V con aceleración constante igual a g.

Planteamos la ecuación de posición para el M.R.U.V, tomamos

positivo hacia arriba y despejamos la velocidad en el instante de

partida, el cual tomamos igual a cero:

x = x0 + v0.t – ½ g.t2

200m = v0. 10s – ½ .10 m/s2. (10s)2

80

b) El instante de altura máxima es aquel en el cual la velocidad

se hace cero. Calculamos ese instante y reemplazando en la

ecuación de posición obtenemos la altura máxima alcanzada

por el proyectil.

V = v0 – g.t

0 = 70m/s – 10 m/s2. talt.máx

talt.máx = 7 s

Si a los 7 segundos esta en la máxima altura que puede llegar

con esa velocidad inicial, entonces a los 10 segundos esta

bajando, por lo tanto la altura máxima es mayor que 200 metros.

X = 70m/s. 7s – ½ 10 m/s2. 49s2 = 245m

16. Considerando un sistema de coordenadas positivo hacia

arriba:

a) Representar velocidad en función del tiempo para un objeto

que es arrojado hacia arriba, queda pegado en el techo

durante unos instantes y luego cae.

b) Representar posición en función del tiempo para el mismo

movimiento.

Para que se pegue al techo tiene que llegar al mismo con una

velocidad distinta de cero, al chocar con este, se queda pegado.

Cuando se despega, parte con velocidad cero, y esta aumenta hacia

abajo. La pendiente del gráfico, tanto cuando sube o cuando baja,

representa la aceleración g. Consideramos despreciable el tiempo en

el cual la velocidad con que sube se hace cero al chocar.

a) V

Velocidad de partida

81

Velocidad con la que llega al techo

t intervalo en el cual queda pegado al techo Velocidad con la que llega

al piso

b)

17. Represente gráficamente aceleración en función del tiempo

para una persona que salta repetidamente sobre una cama

elástica.

La fuerza elástica, es una fuerza variable. Varía linealmente

con la posición, según la ecuación siguiente:

F = k. x

Cuando la persona toca la cama, esta fuerza vale cero, a

medida que la cama se estira la fuerza crece y cuando es

impulsado hacia arriba la fuerza elástica decrece. Siendo la

fuerza que acelera a la persona la resultante entre la fuerza

82

x la pendiente representa la velocidad con la que llega al techo Altura del techo

La pendienteRepresenta laVelocidad inicial

t intervalo en el cual queda pegado al techo

elástica y el peso. Cuando la persona no está en contacto con la

cama su aceleración es la de la gravedad.

a

a b c d e f g h i j t(s)

Diagrama de cuerpo libre, que

corresponde entre los instantes:

0 - a, c - d, e - f, y h - i

la fuerza elástica es menor que

el peso.

Diagrama de cuerpo libre

que corresponde a los intervalos:

a - c y f - h

la fuerza elástica es mayor que el peso.

En los instantes : a, c, f, y h.

La fuerza elástica y el peso tienen el

mismo valor, por lo tanto, como

tienen distinto sentido, suman cero.

En los intervalos: d – e y i – j , la aceleración es g.

La única fuerza que actúa es el peso.

83

18. El siguiente gráfico representa la velocidad de un móvil en


a) ¿Cuál son su velocidad y su posición al cabo de tres

segundos?

b) ¿Cuánto vale su aceleración?

c) ¿Volverá hasta el punto de partida? ¿Cuándo?

d) Grafique la posición en función del tiempo en los primeros 10

segundos.

84

a) Primero calculamos la aceleración:

=

= 20m/s – 6,67m/s2.3s = 0

este resultado es evidente en el gráfico, en el instante 3 seg. Se corta el eje del tiempo, lo cual indica que la velocidad es cero.

V(m/s)

20

3 t(s)

=

El área (rayado) debajo del gráfico de velocidad en función del

tiempo, representa el desplazamiento del móvil: área = b.h/2 =

20x3/2= 30m.

b)Ya la calculamos en el ítem a.

c) Si sigue con la misma aceleración después de llegar a V = 0,

la velocidad cambia de sentido, entonces vuelve. Llegaría al

punto de partida en el instante 6 segundos, tarda lo mismo

(3seg.) ida y vuelta porque tiene la misma aceleración.

Calculemos: en una ida y vuelta x = x0 o sea x = 0

; 6 s

d)

85

3 6 10 t(s)

X(m)

30

19 El gráfico representa en forma aproximada la posición en

función del tiempo para un corredor en una carrera de 100m.

Analice el gráfico y responda:

a) ¿Cuál es la velocidad máxima que desarrolla?

b) ¿ Se detiene al llegar a la meta?

c) Efectúe un gráfico aproximado de v = v(t)

a) La velocidad máxima que desarrolla, es la que tiene en el

intervalo entre 5 y 15 segundos.

La pendiente del gráfico representa la velocidad, esta es máxima

entre los instantes 5s y 15s. En este intervalo la velocidad es

constante, la podemos calcular con:

86

X(m) 100

.... 90

15

5 15 t(s)

HE

CH

O E

L DE

PÓ

SIT

O Q

UE

MA

RC

A LA

LEY

11723

TO

DO

S LO

S D

ER

EC

HO

S R

ES

ER

VA

DO

S

b) La pendiente de la tangente en la posición 100m es cero, por

lo tanto se detiene.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

87

V(m/s)

7,5

5 15 t(s)

Teoria Mecànica 1 A

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