TERCER MILENIO MARTES 07.JUN.2005 HERALDO DE ARAGON …
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3MILENIO 08 TERCER MILENIO #387 MARTES 07.JUN.2005 HERALDO DE ARAGON CURIOSIDAD Y MÉTODO ■ A emplear la papi- roflexia en Matemáti- cas y a modelar co- nos y explorar sus secciones. ■ A descubrir las có- nicas en la gnomóni- ca (cadr ans-solair es. or g ). ■ A usar métodos y medios tradicionales de albañilería, las he- rramientas clásicas del dibujo, matraces y linternas para trazar curvas. ■ A utilizar el vídeo y a manejar a fondo bi- bliografía clásica “de papel”. ■ A aprovechar las posibilidades de In- ternet en el desarro- llo de un tema mate- mático. ■ A descubrir las có- nicas desde un punto de vista eminente- mente práctico, en lí- nea con Freudenthal y sus “Matemáticas Realistas”. ■ A realizar una pre- sentación con voz en Power Point: “Rodea- dos por las cónicas”. ■ También, descu- brimos la Historia de las Matemáticas: Me- necmo, Apolonio, Ar- químedes, Kepler, Ga- lileo, Newton , Casse- grain, Descartes, Jan de Witt… MATEMÁTICAS >DESCUBRIR LAS CÓNICAS QUE NOS RODEAN EL TALLER DE MATEMÁTICAS DE 4º DE ESO HA PERMITIDO A LOS ALUMNOS DEL IES REYES CATÓLICOS DE EJEA DE LOS CABALLEROS (ZARAGOZA) DISFRUTAR DE UN TRIMESTRE DE INVESTIGACIÓN Y EXPERIMENTACIÓN EN TORNO AL ASOMBROSO TEMA DE LAS CURVAS QUE DIBUJAN LAS SECCIONES DE UN CONO CUANDO ES CORTADO POR UN PLANO. INVESTIGACIÓN Los alumnos de la asignatura Taller de Matemáticas de 4º ESO del IES Reyes Católicos de Ejea de los Caballeros se han convertido en investigadores. Y es que los ma- temáticos tienen la extraña cos- tumbre de estudiar, muchas veces por diversión, cosas que parecen inútiles y que quizás, siglos des- pués, pueden llegar a tener gran valor científico y práctico. Ejem- plo de ello es el estudio de los an- tiguos griegos sobre las llamadas curvas o secciones cónicas: la elipse, la parábola y la hipérbola. Éstas fueron precisamente el cen- tro de trabajo de los estudiantes: las descubrieron a su alrededor, las estudiaron y las construyeron. El punto de partida fueron los conos que modelaron en el de- partamento de Plástica, vaciando un bloque de poliestireno expan- dido. El de Física y Química apor- tó el hilo de Nicrome necesario para cortar dichos conos. El re- sultado fue espectacular: los anti- guos griegos tenían razón, y elip- ses, parábolas e hipérbolas hicie- ron su aparición. Los descubrimientos se fueron sucediendo de manera progresi- va. Las elipses aparecieron al di- bujar el lugar geométrico que describe el vértice superior de un triángulo de base fija, tensando una lazada de cordel de longitud conocida. Las parábolas resulta- ron ser la respuesta gráfica ade- cuada al famoso problema isope- rimétrico del corral rectangular de área máxima que se puede construir con la misma lazada de cordel anterior. La hipérbola sur- gió en el tablero de dibujo al cal- cular, de todas las formas posi- bles, la longitud de un lado del co- rral rectangular en función del otro, pero ahora con área fija. Por otra parte, y ya al aire libre, resul- tó que el recorrido descrito por la sombra de un poste vertical (gno- mon) ¡también es curva cónica! Además, dependiendo del lugar y la fecha, ¡puede aparecer cual- quiera de las tres! De ahí al traza- do de elipses por el “método del jardinero” a tamaño gigante va só- lo un paso: entramos en el apa- sionante mundo de la gnomóni- ca. Y es que, infiltradas entre las líneas de área de penalti y fuera de banda de nuestros campos de fútbol, se “colaron” dos gigantes- cas elipses, también trazadas en Taller de Matemáticas (gracias al portentoso asesoramiento del marino local Paco Gómez). Son nuestros relojes solares analemá- ticos que, bajo su lema “Carpe So- lis Dies”, marcan el tiempo en ho- rario de invierno (sombras más largas, elipse mayor) o verano (elipse menor) con precisión de 5 minutos (auxiliados por una tabla de la Ecuación del Tiempo). Convencidos con estos ejem- plos de que las cónicas aparecen por donde menos se espera, pa- samos a la papiroflexia. Plegando adecuadamente una hoja de pa- pel, la colección de rectas que for- > Dos elipses se “colaron” en el campo de fútbol para convertirse en sendos relojes solares analemáticos. man las marcas del plegado se manifestó como la envolvente de las ya famosas curvas. Alguien lle- gó a demostrar, no sin gran es- fuerzo, que lo así construido se ajustaba a la clásica definición de las cónicas que involucra a las distancias a focos y directrices. Sin despreciar la tiza, el azule- te, la regla, el compás, el cordel, la plomada, las tijeras y el papel, tecnologías más modernas irrumpieron en nuestro estudio, de la mano del gran divulgador de las Matemáticas Antonio Pérez. Su programa “Cónicas: del ba- loncesto a los cometas”, de la se- rie de TVE “Más por Menos”, apoyado por el guión y cuestio- nario anexos, nos abrieron varios caminos por donde continuar la investigación. El capítulo dedica- do a la omnipresencia de las có- nicas del libro “Las Matemáticas en la vida cotidiana” terminó de marcarnos la senda por donde debería proseguir el trabajo. Con las ideas más claras, nos sumer- gimos en Internet en una bús- queda masiva de información. Ex- ploramos cientos de páginas elec- trónicas con un doble objetivo: averiguar qué Matemáticas es- conden las cónicas y dónde las podemos encontrar a diario. FERNANDO DE LA CUEVA LANDA, PROFESOR DE MA- TEMÁTICAS DEL IES REYES CATÓLICOS DE EJEA DE LOS CABALLEROS (ZARAGOZA) RESULTADOS ■ El resultado final de semanas de es- crutinio por la Red fue presentado por equipos al profesor, quien fundió con sus propias pesquisas lo mejor de cada en- trega para elaborar una presentación en Power Point. A cada una de las 69 imá- genes se incorporó un comentario con voz. El trabajo, expuesto en la 12ª sesión del Taller de Talento Matemático (“Ro- deados por las Cónicas”), puede descar- garse completo en www .unizar . es/ t tm . Aparece la Matemática griega (Me- necmo, Apolonio y Arquímedes), el mo- vimiento de los cuerpos celestes (Leyes de Kepler) o máquinas de hilos del Mu- seo de Matemáticas de Módena. La elip- se en lonchas de un salchichón, los ca- bles de un teleférico o el plato de la bici de Bobby Julich; sus propiedades de re- flexión permiten deshacer cálculos re- nales sin cirugía o jugar al billar al estilo de Lewis Carroll. Vemos parábolas en fuentes, puentes, saltos de delfín, faros, antenas u hornos solares. La hipérbola nos sorprende en la pared al iluminarla con una pantalla, en la punta de un lápiz o en las chimeneas de las centrales tér- micas. Las tres cónicas son la base del telescopio de Cassegrain. APRENDIMOS IES Reyes Católicos de Ejea de los Caballeros Las cónicas aparecieron al cortar los conos de poliestireno con el hilo de Nicrome. F. DE LA CUEVA
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08TERCER MILENIO #387MARTES 07.JUN.2005HERALDO DE ARAGON
CURIOSIDAD Y MÉTODO
■ A emplear la papi-roflexia en Matemáti-cas y a modelar co-nos y explorar sussecciones.■ A descubrir las có-nicas en la gnomóni-ca (cadrans-solaires.org).■ A usar métodos ymedios tradicionalesde albañilería, las he-rramientas clásicasdel dibujo, matracesy linternas para trazarcurvas.■ A utilizar el vídeo ya manejar a fondo bi-bliografía clásica “depapel”.■ A aprovechar lasposibilidades de In-ternet en el desarro-llo de un tema mate-mático.■ A descubrir las có-nicas desde un puntode vista eminente-mente práctico, en lí-nea con Freudenthaly sus “MatemáticasRealistas”.■ A realizar una pre-sentación con voz enPower Point: “Rodea-dos por las cónicas”.■ También, descu-brimos la Historia delas Matemáticas: Me-necmo, Apolonio, Ar-químedes, Kepler, Ga-lileo, Newton , Casse-grain, Descartes, Jande Witt…
MATEMÁTICAS>DESCUBRIR LAS CÓNICAS QUE NOS RODEAN
EL TALLER DE MATEMÁTICAS DE 4º DE ESO HA PERMITIDO A LOS ALUMNOS DEL IES REYES CATÓLICOS DE EJEA DE LOS CABALLEROS (ZARAGOZA) DISFRUTAR DE UN TRIMESTRE DE INVESTIGACIÓN Y EXPERIMENTACIÓN EN TORNO AL ASOMBROSO TEMA DE LAS CURVAS QUE DIBUJAN LAS SECCIONES DE UN CONO CUANDO ES CORTADO POR UN PLANO.
INVESTIGACIÓN Los alumnosde la asignatura Taller deMatemáticas de 4º ESO del
IES Reyes Católicos de Ejea de losCaballeros se han convertido eninvestigadores. Y es que los ma-temáticos tienen la extraña cos-tumbre de estudiar, muchas vecespor diversión, cosas que pareceninútiles y que quizás, siglos des-pués, pueden llegar a tener granvalor científico y práctico. Ejem-plo de ello es el estudio de los an-tiguos griegos sobre las llamadascurvas o secciones cónicas: laelipse, la parábola y la hipérbola.Éstas fueron precisamente el cen-tro de trabajo de los estudiantes:las descubrieron a su alrededor,las estudiaron y las construyeron.
El punto de partida fueron losconos que modelaron en el de-partamento de Plástica, vaciandoun bloque de poliestireno expan-dido. El de Física y Química apor-tó el hilo de Nicrome necesariopara cortar dichos conos. El re-sultado fue espectacular: los anti-guos griegos tenían razón, y elip-ses, parábolas e hipérbolas hicie-ron su aparición.
Los descubrimientos se fueronsucediendo de manera progresi-va. Las elipses aparecieron al di-bujar el lugar geométrico quedescribe el vértice superior de untriángulo de base fija, tensandouna lazada de cordel de longitudconocida. Las parábolas resulta-ron ser la respuesta gráfica ade-cuada al famoso problema isope-rimétrico del corral rectangularde área máxima que se puedeconstruir con la misma lazada decordel anterior. La hipérbola sur-gió en el tablero de dibujo al cal-cular, de todas las formas posi-bles, la longitud de un lado del co-rral rectangular en función delotro, pero ahora con área fija. Porotra parte, y ya al aire libre, resul-tó que el recorrido descrito por lasombra de un poste vertical (gno-mon) ¡también es curva cónica!Además, dependiendo del lugar yla fecha, ¡puede aparecer cual-quiera de las tres! De ahí al traza-do de elipses por el “método deljardinero” a tamaño gigante va só-lo un paso: entramos en el apa-sionante mundo de la gnomóni-ca. Y es que, infiltradas entre laslíneas de área de penalti y fuerade banda de nuestros campos defútbol, se “colaron” dos gigantes-cas elipses, también trazadas enTaller de Matemáticas (gracias alportentoso asesoramiento delmarino local Paco Gómez). Sonnuestros relojes solares analemá-ticos que, bajo su lema “Carpe So-lis Dies”, marcan el tiempo en ho-rario de invierno (sombras máslargas, elipse mayor) o verano(elipse menor) con precisión de 5minutos (auxiliados por una tablade la Ecuación del Tiempo).
Convencidos con estos ejem-plos de que las cónicas aparecenpor donde menos se espera, pa-samos a la papiroflexia. Plegandoadecuadamente una hoja de pa-pel, la colección de rectas que for-
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Dos elipses se “colaron” en el campo de fútbol para convertirse en sendos relojes solares analemáticos.
man las marcas del plegado semanifestó como la envolvente delas ya famosas curvas. Alguien lle-gó a demostrar, no sin gran es-fuerzo, que lo así construido seajustaba a la clásica definición delas cónicas que involucra a lasdistancias a focos y directrices.
Sin despreciar la tiza, el azule-te, la regla, el compás, el cordel,la plomada, las tijeras y el papel,tecnologías más modernasirrumpieron en nuestro estudio,de la mano del gran divulgador delas Matemáticas Antonio Pérez.Su programa “Cónicas: del ba-loncesto a los cometas”, de la se-rie de TVE “Más por Menos”,apoyado por el guión y cuestio-nario anexos, nos abrieron varioscaminos por donde continuar lainvestigación. El capítulo dedica-do a la omnipresencia de las có-nicas del libro “Las Matemáticasen la vida cotidiana” terminó demarcarnos la senda por dondedebería proseguir el trabajo. Conlas ideas más claras, nos sumer-gimos en Internet en una bús-queda masiva de información. Ex-ploramos cientos de páginas elec-trónicas con un doble objetivo:averiguar qué Matemáticas es-conden las cónicas y dónde laspodemos encontrar a diario.
FERNANDO DE LA CUEVA LANDA, PROFESOR DE MA-TEMÁTICAS DEL IES REYES CATÓLICOS DE EJEA DE LOSCABALLEROS (ZARAGOZA)
RESULTADOS
■ El resultado final de semanas de es-crutinio por la Red fue presentado porequipos al profesor, quien fundió con suspropias pesquisas lo mejor de cada en-trega para elaborar una presentación enPower Point. A cada una de las 69 imá-genes se incorporó un comentario convoz. El trabajo, expuesto en la 12ª sesióndel Taller de Talento Matemático (“Ro-deados por las Cónicas”), puede descar-garse completo en www.unizar.es/ttm.
Aparece la Matemática griega (Me-necmo, Apolonio y Arquímedes), el mo-vimiento de los cuerpos celestes (Leyesde Kepler) o máquinas de hilos del Mu-seo de Matemáticas de Módena. La elip-se en lonchas de un salchichón, los ca-bles de un teleférico o el plato de la bicide Bobby Julich; sus propiedades de re-flexión permiten deshacer cálculos re-nales sin cirugía o jugar al billar al estilode Lewis Carroll. Vemos parábolas enfuentes, puentes, saltos de delfín, faros,antenas u hornos solares. La hipérbolanos sorprende en la pared al iluminarlacon una pantalla, en la punta de un lápizo en las chimeneas de las centrales tér-micas. Las tres cónicas son la base deltelescopio de Cassegrain.
APRENDIMOS
IES Reyes Católicos de Ejea de los Caballeros
Las cónicas aparecieron al cortar los conos de poliestireno con el hilo de Nicrome. F. DE LA CUEVA
