Tipos de funciones

Katherine Moscoso Macas

ResumenEl presente proyecto tiene como objetivo analizar y visualizar los tipos de funciones en la materia de Matemtica I, adems de que es muy provechoso porque permite utilizar ste conocimiento y aplicarlo en la vida diaria. Por ejemplo cuando analizamos circuitos electrnicos lo hacemos desarrollando un pequeo prototipo empleando las funciones matemticas.

Palabras claves: proyecto, visualizar, tipos de funciones, Matemtica I, conocimiento, vida diaria, circuitos electrnicos, prototipo

AbstractThe present project has the aim of analyze and visualize the types of functions in the subject of Mathematics I, also that is very helpful because allows to use this knowledge and apply in the daily life. For example when we analyze electronics circuits we make it developing a little prototype using the mathematics functions.

Keywords: project; visualize, types of functions, Mathematics I, knowledge, daily life, electronic circuits, prototype

Introduccin

En matemtica, una funcin (f) es una relacin entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un nico elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o mbito).

De manera mucho ms simple y resumida: Una funcin es una relacin entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un nico valor de la segunda.

La funcin se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.

Una funcin matemtica es la correspondencia o relacin f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una funcin cumple con la condicin de existencia (todos los elementos de A estn relacionados con los elementos de B y con la condicin de unicidad (cada elemento de A est relacionado con un nico elemento de B.

Estas funciones tambin son denominadas uno a uno.Funciones de una Variable Real.Definicin de una Funcin Inyectiva.Una funcin f: X Y es injectiva, si solo si para cualquier eleccin de nmeros x1 y x2, si x1 x2 en el dominio de f, entonces f(x1) f(x2).La representacin grfica de una funcin, tenemos que f es inyectiva si para cualquier eleccin de un numero x pertenece al dominio de f, existe exclusivamente un valor y en el rango. En otras palabras ningn valor y en el rango, es imagen de ms de un valor x el dominio.

Criterio de la recta horizontal.Una curva en el plano cartesiano representa una funcin injectiva, si y solo si cualquier recta horizontal interseca su grfica como mximo en un punto.La recta horizontal y = k intersecta a la grafica en dos puntos distintos (x1, k) y (x2, k) con la misma ordenada. Por lo tanto f no es inyectiva.

a).- f no es Inyectiva b).- f es Inyectiva.Se puede observar tambin en la figura que es la grfica de una funcin inyectiva.

Funciones Sobreyectivas.Utilizando la definicin dada y la representacin grfica de una funcin, tenemos que f es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada estas relacionados con por lo menos un elemento del dominio. Por lo tanto el rango de f debe coincidir con el conjunto de llegada. Una funcin puede ser sobreyectiva y no ser injectiva. Para concluir que una funcin f: X Y es sobreyectiva, se tendr que conocer el conjunto de llegada Y.

La figura corresponde a la grfica de una funcin sobreyectiva.Funcin Inversa.Sea una funcin de dominio Dom (f); si f es inyectiva, entonces f tiene funcin inversa, que expresamos por f -1.

Una funcin y su inversa verifican las siguientes propiedades: f [f -1(x)] = f-1 [f(x)] = x. Las graficas de f y de f - 1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simtricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Funciones Crecientes. Quizs haya escuchado el viejo refrn: "Solo existen dos cosas seguras en la vida, la muerte y los impuestos". El impuesto a la renta que se debe pagar al estado ecuatoriano depende el nivel de ingresos de la persona que tributa. Dicho valor se calcula en base a la siguiente tabla. FraccinExceso hastaImpuesto Fraccin% Impuesto Fraccin

BsicaBsica Excedente

0720000%

72001440005%

144002880036010%

2880043200180015%

4320057600396020%

57600 En adelante684025%

Como se puede observar en la figura, mientras mayores sean los ingresos, se debe pagar un porcentaje mayor por el impuesto a la renta, es decir existe una relacin directa de crecimiento, entre las variables. As como este ejemplo, existen otras similares caractersticas.Definicin de una Funcin CrecienteUna funcin f es creciente en un intervalo I si y solo si, para cualquier eleccin de x1 y x2 en I, y siempre que x1 < x2, tenemos f(x1) < f(x2).Esto es:

a).- f es creciente b).- f no es creciente.Se puede notar en la figura que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo I, los valores de f(x) tambin aumentan o se mantienen iguales. Por otra parte, la grfica de la figura no corresponde a una funcin creciente ya que no cumple con la definicin dada.Funcin Estrictamente Creciente.Definicin.- Una funcin f es estrictamente creciente en un intervalo I si, para cualquier eleccin de x1 y x2 en I, siempre que x1 < x2, tenemos f(x1) f(x2). Esto es:

Se puede notar en la figura (a) que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo I, los valores de f (x) disminuyen o se mantienen iguales, mientras que la grfica de la figura (b) no corresponde a una funcin decreciente. Funcin Estrictamente Decreciente.Definicin Una funcin f es estrictamente decreciente en un intervalo I si, para cualquier eleccin de x1 y x2 en I, siempre que x1 < x2, tenemos que f (x1) > f (x2). Esto es:

En la grfica de la figura (a) se aprecia que a medida que los valores de x aumentan en el intervalo I, los valores de f(x) nicamente disminuyen.La figura (b) nos indica que la funcin es decreciente, pero no estrictamente decreciente.Funcin Montona.Se dice que f es una funcin montona en un intervalo I, si y solo si f es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo. De acuerdo por intervalos, existiendo otros casos con los que las funciones son montonas en todo su dominio.

Funcin de Pares e Impares. Algunas funciones pueden ser simtricas respecto a una recta o a un punto. Si la recta a la cual se hace referencia es el eje Y, tenemos funciones pares; mientras que si el punto al cual se hace referencia es el origen de coordenadas, tenemos funciones impares. Funcin Par.Una funcin f es par si para todo x en su dominio, el nmero -x tambin est en el dominio y adems, f(-x) = f(x).

La grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje Y. En las figuras (a) y (b) tenemos ejemplos de funciones pares. Observe que en ambos casos f(-x) = f(x).Funcin Impar.Definicin.- Una funcin f es impar si para todo x en su dominio, el nmero -x tambin est en el dominio y adems, f(-x)= -f(x). a ).- f es impar b).- f no es impar. Una funcin impar es simtrica con respecto al origen de coordenadas. En las figuras (a) y (b) tenemos ejemplos de funciones impares. Observe que en ambos casos f(-x)= -f(x). Funciones Peridicas.Algunas funciones tienen la caracterstica de repetir los valores, de su rango cada cierto intervalo de su dominio. Esto constituye la periodicidad de la funcin. Definicin.- Una funcin f que cumple con la propiedad:

Se denomina peridica con perodo T, Este nmero T es positivo.

La funcin constante es una funcin peridica, puesto que para cualquier nmero T, f(x + T)= f(x). Ntese, sin embargo, que esta funcin carece de perodo fundamental.En general para cualquier funcin peridica no constante, el perodo fundamental est definido de modo nico y todo los dems perodos son mltiples de l.Un ejemplo de funcin peridica no constante sin periodo fundamental la constituye la funcin Diriclet definida para todos los reales, con regla de correspondencia. 1, x = Q f(x) = 0, x =Q.

Funciones Acotadas.Cuando el rango de una funcin est contenida en u cierto intervalo limitado, se dice que f es acotada. Una funcin f que tiene la propiedad:Se dice que es una funcin acotada, donde M y N son valores reales que se denominan cota superior y cota inferior, respectivamente.

a).- f es acotada -1. b).- f es acotada.

Las grficas de las figuras corresponden a funciones acotadas. En la figura (a) la cota superior de f es M = 2 y la cota inferior de f es N = -2. En la figura (b) la cota superior de f es M = 5 y la cota inferior de f es n = -3.Existen funciones que solamente tienen cota superior a cota inferior, en tales casos se dice que la funcin es acotada superiormente o acotada inferiormente segn corresponda, tal como se lo muestra en las figuras c y d.

Cabe recordar que las cotas son nmeros reales que no necesariamente deben pertenecer al rg f.Asntotas de la grfica de una funcin de variable real.Objetivos.Al finalizar esta seccin el lector podr: Explicar el concepto de asntota de la grfica de una funcin de variable real. Dada la grfica de una funcin de variable real, reconocer la existencia de sus asntotas verticales y horizontales.

En la figura note que conforme x se vuelve "ms negativa ", esto es cuando se hace no acotada en la direccin negativa (x -00, se lee "x tiene a menos infinito"), los valores de f (x) tienden a cero. Lo mismo ocurre cuando x se vuelve ms positiva (x +00, se lee "x tiene a mas infinito"). Por otra parte, cuando x 0, es decir, en la vecindada de cero, podemos observar que los valores de f (x) tienden a + - 00.Estos comportamientos para las grficas de una funcin determinan la existencia de asntotas.

Asntota horizontal.

Definicin.- Si cuando x -00 o cuando x +00, los valores f(x) tienden a algn nmero fijo l, entonces la recta y = l es una asntota horizontal de la grfica de f.

En la figura se aprecia que la recta y = 5 es una asntota horizontal de f.

Asntota Vertical

Si cuando x se aproxima algn nmero c, los valores f(x) 00, entonces la recta x = c es una asntota vertical de la grfica de f.

En la figura, se aprecia que las rectas x =-1 y x=1 son asntotas verticales de f.

Funcin definida por tramos.

Hasta este momento hemos graficado funciones del tipo y= f(x), donde una misma expresin nos describe el comportamiento de la funcin en todo su dominio. Sin embargo, podemos tener funciones que presenten diferente comportamiento en distintos intervalos de su dominio. x - 1, 2 < x - - 2} o [ -2 , + 00].Para determinar el rango de f , podemos graficar la funcin.

Y concluir que rg f = [-3, -1] u [0, 4].Este ejemplo nos induce al concepto de continuidad de una funcin de variable real, el cual se definir con la rigurosidad matemtica necesaria en cursos superiores.Si dibujramos la grfica de una funcin f con un lpiz, diremos que f es continua si podemos dibujarla sin tener que levantar el lpiz. Sin embargo, la funcin es discontinua en un punto, cuando no est definida en el o bien porque en dicho punto hay un salto. en el ejemplo se puede notar que f es discontinua en x =0 y en x=2. Funciones de Potencia.Son funciones de la forma f(x) = xa, donde a es una constante. D (f) = Re Si a =n , n E Z+.

Funciones Algebraicas.Son funciones que se constituye usando operaciones algebraicas.

Funciones seccionalmente definidasSon funciones que estn definidas por frmulas distintas, en diferentes partes de su dominio, por ejemplo

Funcin cuadrtica.Una funcin f es una funcin cuadrtica si. Su grfica corresponde a una parbola con vrtice fuera del origen de coordenadas. Por ejemplo f(x) =2x2 - 3x +2.

Si b = c = 0, entonces f(x) = ax2.La grafica es una parbola con vrtice en el origen.

ConclusinAl finalizar el proyecto cada individuo podr tener una idea ms clara acerca del tema. Emplear el conocimiento adquirido en materias como Matemtica II y Avanzado, adems de poder utilizarlo en algunos proyectos de programacin de manera eficaz.