Tipos de funcionesDependiendo de ciertas caractersticas que tome la expresin algebraica o notacin de la funcinfenx, tendremos distintos tipos de funciones:

Funcin constanteUna funcin de la formaf(x) = b, dondebes una constante, se conoce como unafuncin constante.Por ejemplo,f(x) = 3, (que corresponde al valor dey) donde el dominio es el conjunto de los nmeros reales y el recorrido es {3}, por tantoy = 3. La grfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Funcin linealUna funcin de la formaf(x) = mx + bse conoce como unafuncin lineal, dondemrepresenta la pendiente ybrepresenta el intercepto eny. La representacin grfica de una funcin lineal es unarecta. Las funciones lineales son funciones polinmicas.Ejemplo:f(x) = 2x 1es una funcin lineal con pendientem = 2e intercepto enyen(0, 1). Su grfica es una recta ascendente.

f(x) = 2x 1

En general, una funcin lineal es de la forma

f(x) =ax+b, dondeaybson constantes (laaes lo mismo que lamanterior (corresponde a la pendiente).

Ver: PSU: Matemticas,Pregunta 27_2010Para trazar lagrfica de una funcin linealsolo es necesario conocer dos de sus puntos.La ecuacin matemtica que representa a esta funcin, como ya vimos, esf(x) = ax + b, dondef(x)corresponde al valor dey, entoncesy = ax + bDonde a es la pendiente de la recta, y b es la ordenada al origen.La pendiente indica la inclinacin de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de a siempre es una fraccin (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador(p)me indica cuanto sube o baja, y el denominador(q)indica cuanto avanzo o retrocedo.Aprendido esto, y segn el signo de la fraccin, la pendiente se marca de la siguiente forma

Laordenada al origen (b)es el valor donde la recta corta aleje y.La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)Representacin grfica de una funcin lineal o funcin afnPara graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuacin matemtica de la funcin, y se opera de la siguiente manera:1. Se marca sobre el ejeyla ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.2. Desde ese punto, subo o bajo segn sea el valor de p y avanzo o retrocedo segn indique el valor de q. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.3. Se podra seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.Ejemplo:Graficar la siguiente funcin:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el ejeyen el 3.De ah subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.

Tambin podemos graficar una funcin dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.EjemploGraficar la funcin dada porf(x) = 2x 1SolucinComo la funcin es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores axy se encuentran sus imgenes respectivas, esto es: Six= 0, se tiene quef(0) = 2(0) 1 = 1 Six= 2, se tiene quef(2) = 2(2) 1 = 3As, los puntos obtenidos son (0, 1) y (2, 3), por los cuales se traza la grfica correspondiente.

Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la grfica de una funcin queremos encontrar su expresin analtica o matemtica.Para eso, necesitamos encontrar una expresin de la formaf(x) = ax + ba partir de la grfica.Por ejemplo, a partir de la siguiente grfica, vamos a calcular su expresin matemtica.

La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b luego b = 3Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1); el 1 es la imagen del 2 luego se cumple que:1 = a(2) + b 1 = 2a 3 4 = 2a a = 2Nuestra recta ser: f(x) = 2x 3Ver. PSU: Matemtica;Pregunta 14_2006Pregunta 18_2006Funcin polinmicaUna funcinfes unafuncin polinmicasi,f(x) = anxn+ an1xn1+ ... + a1x + a0dondea0, a1,...,anson nmeros reales y los exponentes son enteros positivos.Ejemplos:f(x) = x2 2x 3;g(x) = 5x + 1;h(x) = x3Eldominiode todas estas funciones polinmicas es el conjunto de los nmeros reales (porque el elementoxpuede ser cualquier nmero real).

Funcin cuadrticaUna funcin de la formaf(x) = ax2+ bx + c, dondea,bycson constantes yaes diferente de cero, se conoce como unafuncin cuadrtica.La representacin grfica de una funcin cuadrtica es unaparbola. Una parbola abre hacia arriba sia > 0y abre hacia abajo sia < 0. Elvrticede una parbola se determina por la frmula:

Ver:Funcin cuadrtica y su representacin grficaLas funciones cuadrticas son funciones polinmicas.Ejemplo:

f(x) = x2 representa una parbola que abre hacia arriba con vrtice en(0,0).

Ver: PSU: Matemtica;Pregunta 18_2006Funcin racionalUnafuncin racionales el cociente de dos funciones polinmicas. As es queqes una funcin racional si para todoxen el dominio, se tiene:

para los polinomiosf(x)yg(x).Ejemplos:

Nota:El dominio de una funcin polinmica son los nmeros reales; sin embargo, el dominio de una funcin racional consiste de todos los nmeros reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la divisin por cero no est definida).Funcin de potenciaUna funcin de potencia es toda funcin de la formaf(x) =xr, donderes cualquier nmero real.Las funcionesf(x) =x4/3yh(x) = 5x3/2son funciones de potenciaTipos de funciones

1. Funciones algebraicasEn las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin.Las funciones algebraicas pueden ser:Funciones explcitasSi se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin.f(x) = 5x 2Funciones implcitasSi no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin, sino que es preciso efectuar operaciones.5x y 2 = 01.1 Funciones polinmicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio.f(x) = a0+ a1x + a2x + a2x + + anxnSu dominio es, es decir, cualquier nmero real tiene imagen.1.1.1 Funciones constantesEl criterio viene dado por un nmero real.f(x)= kLa grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.1.1.2 Funciones polinmica de primer gradof(x) = mx + nSu grfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la funcin.Son funciones de este tipo las siguientes:Funcin afn.Funcin lineal.Funcin identidad.1.1.3 Funciones cuadrticasf(x) = ax + bx + cSon funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola.1.2 Funciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador.1.3 Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.El dominio de una funcin irracional de ndice impar es R.El dominio de una funcin irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.1.4 Funciones algebraicas a trozosSon funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren.Funciones en valor absoluto.Funcin parte entera de x.Funcin mantisa.Funcin signo.2. Funciones trascendentesLa variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra.2.1 Funciones exponenciales

Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia axse llamafuncin exponencial de base a y exponente x.2.2 Funciones logartmicasLa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

2.3 Funciones trigonomtricasFuncin senof(x) = sen xFuncin cosenof(x) = cos xFuncin tangentef(x) = tg xFuncin cosecantef(x) = cosec xFuncin secantef(x) = sec xFuncin cotangentef(x) = cotg x