Trabajo de Algrebra
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Lema 3.4 Si a = [(a 1 , a 2 )] y b= [(b 1 , b 2 )] y si a 1 + b 2 ≤ a 2 + b 1 , entonces para cualquier (a 1 ’, a 2 ’) ∊ a y (b 1 ’, b 2 ’) ∊ b, se tiene a 1 ’ + b 2 ’ ≤ a 2 ’ + b 1 ’ Demostración: Como pertenecen a la misma clase se deduce que: a1 + a2’ = a2 + a1’ b1 + b2’ = b2 + b1’ 1).- a 1 + b 2 ≤ a 2 + b 1 (Hipótesis) 2).- a 2 + a 1 ’ + a 1 + b 2 ≤a 1 + a 2 ’ + a 2 + b 1 (Teor. 1.4) 3):- (a 2 + a 1 ’ + a 1 + b 2 ) + b 1 + b 2 ’ ≤ (a 1 + a 2 ’ + a 2 + b 1 ) + (b 2 + b 1 ’) (Teor 1.4) 4).- (a 1 ’ + b 2 ’) + (a 2 + b 1 ) + (a 1 +b 2 ) ≤ ( a 2 ’ + b 1 ’) + (a 2 + b 1 ) + (a 1 + b 2 ) (Asoc., Conm) 5).- a 1 ’ + b 2 ’ ≤ a 2 ’ + b 1 ’ (Teor. 1.4) * 2 Teorema 3.6 Dados los números enteros a = [(a 1 , a 2 )] y b = [(b 1 , b 2 )] , a≤ b si y solo si a 1 + b 2 ≤ a 2 + b 1 Demostración: 1).- a ≤ b (Hipótesis) 2).- ∃ c = [(c 1 , c 2 )] positivo o nulo / a + c = b (De. ≤) 3).- a 1 + c 1 + b 2 = a 2 + c 2 + b 1 (clases iguales) 4).- c 1 ≥ c 2 (Teor. 3.7) 5).- (a 1 + b 2 ) + c 1 = (a 2 + b 1 ) + c 2 (Asoc.) 6).- (a 1 + b 2 ) + c 1 = c 2 + (a 2 + b 1 ) (Comnu.)
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Trabajo de Algrebra
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Lema 3.4
Si a = [(a1, a2)] y b= [(b1, b2)] y si a1 + b2 ≤ a2 + b1, entonces para cualquier (a1’, a2’) ∊ a y (b1’, b2’) ∊ b, se tiene a1’ + b2’ ≤ a2’ + b1’
Demostración:
Como pertenecen a la misma clase se deduce que:
a1 + a2’ = a2 + a1’ b1 + b2’ = b2 + b1’
1).- a1 + b2 ≤ a2 + b1 (Hipótesis)
2).- a2 + a1’ + a1 + b2 ≤a1 + a2’ + a2 + b1 (Teor. 1.4)
3):- (a2 + a1’ + a1 + b2) + b1 + b2’ ≤ (a1 + a2’ + a2 + b1) + (b2 + b1’) (Teor 1.4)
4).- (a1’ + b2’) + (a2 + b1) + (a1+b2) ≤ ( a2’ + b1’) + (a2 + b1) + (a1 + b2) (Asoc., Conm)
5).- a1’ + b2’ ≤ a2’ + b1’ (Teor. 1.4) * 2
Teorema 3.6
Dados los números enteros a = [(a1, a2)] y b = [(b1, b2)] , a≤ b si y solo si a1 + b2 ≤ a2 + b1
Demostración:
1).- a ≤ b (Hipótesis)
2).- ∃ c = [(c1, c2)] positivo o nulo / a + c = b (De. ≤)
3).- a1 + c1 + b2 = a2 + c2 + b1 (clases iguales)
4).- c1 ≥ c2 (Teor. 3.7)
5).- (a1 + b2) + c1 = (a2 + b1) + c2 (Asoc.)
6).- (a1 + b2) + c1 = c2 + (a2 + b1) (Comnu.)
7).- (a1 + b2) + (c1 – c2) = a2 + b1 (def. difer.)
8).- a1 + b2 ≤ a2 + b1 (def. ≤)
9). - ∃ d ∊ N / a1 + b2 + d = a2 + b1 (def. ≤)
10). - Poniendo que c = [(d , 0)] ( hip. Aux.)
11).- a + c = b
12).- a ≤ b (Def. ≤)
Corolario 3.3
Dados los números enteros a = [(a1, a2)] y b = [(b1, b2)] , a≺ b si y solo si a1 + b2 ≺ a2 + b1
Sabemos que: a≺ b ⇔a1 + b2 ≺ a2 + b1
1).- a1 + b2 ≺ a2 + b1 (Hipótesis)
2).- a1 + b2 ≤ a2 + b1 ^ a1 + b2 ≠ a2 + b1 (Def. ≺)
3).- En hipótesis 1, se deduce que a ≤ b, debido al Teorema 3.6
4).- a1 + b2 = a2 + b1 (Hip. Auxiliar)
5).- a = b (Def. Clases)
6).- ⇄ con hipótesis, por suponer que a1 + b2 = a2 + b1, por lo tanto a1 + b2 ≠ a2 + b1
7).- Por hipótesis 1 y 2 se deduce que a≺ b (Def. ≺)
Hipótesis 1 Hipótesis 2
