Trabajo de Analisis (2)

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASLa derivacin de las funciones trigonomtricas es el proceso matemtico de encontrar el ritmo al cual una funcin trigonomtrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la funcin. Las funciones trigonomtricas ms habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).A continuacin se demostrara cada una de ellas: DERIVADA DE LA FUNCION SENO

Esta funcin se define :

La funcin seno tiene las siguientes caractersticas: Es peridica y su periodo es 2

Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:

1. Si f(x) =Sen x , entonces2. f(x+h)=sen(x+h)=senx.cosh+senh.cosx

3. f(x+h)-f(x)=Senx.cosh+senh.cosx-senx =cosx.senh-(1-cosh)senx

4.

5.

Encontrando puntos de inflexion :

(aplicando R5P )

Construccin de la tabla :

x- 0/4/23/45/43/2

y=senx-1-0.70700.70710.7070-0.707-1

y=cosx0+++0---0

y=-senx++0---0++

Analizando la tabla: en x = tiene un mnimo relativo es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene un mximo relativo es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene un mnimo relativo

DERIVADA DE LA FUNCIN COSENO

Esta funcin se define as:

Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Es peridica y su periodo es 2


i. ii. iii.

iv.

v.

Por definicin de la derivada tenemos:

Encontrando puntos de inflexin (aplicando R5P )


x- 0/4/23/45/43/2

y=cosx00.70710.7070-0.707-1-0.7070

y=-senx++0---0++

y=-cosx0---0+++0

Analizando : en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene mximo relativo es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene mnimo relativo es y cncava en en tiene punto de inflexin

DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE


Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Es peridica y su periodo es Tiene asntotas verticales


Encontrando puntos de inflexin

Construccin de la tabla

x- 0/4/23/45/43/2

y=tanx-101-101

y=++++++

y=2 tanx-0+-0+

Analizando

en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota

DERIVADA DE LA FUNCION CONTANGENTE


Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Su periodo es Tiene asntota vertical



Construccin de la tabla :x- 0/4/23/45/43/2

y=ctgx0-110-110

y=-------

y=2 ctgx0-+0-+0

Analizando : en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene punto de inflexin

DERIVADA DE LA FUNCION SECANTE


Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Su periodo es 2 Tiene asntota vertical



Construccin de la tabla x- 0/4/23/45/43/2

y=secx1.4111.41-1.41-1-1.41

y=secxtgx-0++0-

y=secx() +++---

Analizando : en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mnimo es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mximo es y cncava en en tiene asntota

DERIVADA DE LA FUNCION COSECANTE


Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Su periodo es 2 Tiene asntota vertical Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:


Construccin de la tabla:x- 0/4/23/45/43/2

y=cscx-1-1.411.4101.41-1.41-1

y=0--0++0

y=cscx +x)--+++--

Analizando:

en tiene un punto mximo relativo es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mnimo relativo es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mximo relativo

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS F. ARCO SENO

es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:

Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:

Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada ; pero

Adems:


Construccin de la tabla

x-1-0.5-0.200.20.51

y=-90-30-11.5011.53090

y'= +++++

y''= --0++

Analizando :

es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en

F. ARCO COSENO



Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada : Se tiene ; pero

Adems:


Construccin de la tabla:

x-1-0.5-0.300.30.51

y=180120107.49072.54600

y'= -----

y''= ++0--

Analizando :


F. ARCO TANGENTE:



Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada :

Como: ;

Entonces: Encontrando puntos de inflexin


x-1-0.5-0.300.30.51

y=-45-26.56-16.69016.6926.5645

y'= +++++++

y''= +++0---

Analizando: es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en

F. ARCO COTANGENTE :

es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:

Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada :

Como: ;

Entonces: Se tiene :



x-1-0.5-0.300.30.51

y=13511097.59082.57045

y'= -------

y''= ---0+++

Analizando:


F. ARCO SECANTE :

es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:

Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada : Como: Entonces:

Se tiene:

Si

Si

Es decir: , si


Construccin de la tabla:x-3-1-0.5-0.200.20.513

y= -180135112.532.545060

y'= -+

y''=++++----

Analizando:

es y cncava en en tiene asntota es y cncava en

F. ARCO COSECANTE :



Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada : Como: Entonces: se tiene

Si

Si Es decir: , si



x-1-0.5-0.200.20.51

y= -90-4597.582.54590

y'= ------

y''=---+++

Analizando:

es y cncava en en tiene asntota es y cncava en

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS

F. SENO HIPERBLICO :



Para hallar esta funcin en tenemos que :Esta funcin resulta de la combinacin de las funciones: Es decir:

Derivamos f(x) y obtenemos = 1/2 ex+ 1/2 e-x= ( ex+ e-x)/2 =cosh(x)

= 0 = 0

Hallamos los puntos de inflexin

Construccin de la tabla:x-3-1013

Y=senhx-10.01-1.1701.1710.01

Y=coshx+++++

Y=senhx--0++

Analizando:


F. COSENO HIPERBLICO


Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Para hallar esta funcin en tenemos que :Esta funcin resulta de la combinacin de las funciones: Esto es: Derivamos: = 1/2 ex- 1/2 e-x= ( ex- e-x)/2 =sinh(x) = 0 = 0

Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:

x-3-1013

Y=coshx10.061.5411.5410.06

Y=senhx--0++

Y=coshx+++++

Analizando:

es y cncava en en tiene mnimo relativo es y cncava en

F.TANGENTE HIPERBLICO :



Para hallar esta funcin en tenemos que :

Debemos encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:

Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:

x-3-1013

Y=tanhx-099-0.7600.760.99

Y=x+++++

Y=tanhx++0--


F. COTANGENTE HIPERBLICA: Esta funcin se define as:

Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Para hallar esta funcin en tenemos que :Encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:

Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:x-3-1013

Y=cotanhx-1.00-1.311.311.00

Y=x----

Y=cotanhx--++

Analizando: es y cncava en en tiene asntota es y cncava en

F. SECANTE HIPERBLICA:


Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Para hallar esta funcin en tenemos que :Debemos encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:

sech(x)=1/cosh(x)= ( cosh(x)1 - 1cosh(x))/cosh2(x) = -sinh(x)/cosh2(x)= -tanh(x)sech(x)


Construccin de la tabla:x-3-1013

Y=sechx0.090.640.640.09

Y=-tanhxsechx++0--

Y=-sech(x-hx)+-0-+

Analizando: es y cncava en es y cncava en en tiene mximo relativo es y cncava en es y cncava en

F. COSECANTE HIPERBLICO : Esta funcin se define as:


Para hallar esta funcin en tenemos que :Encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:csch(x)=1/sinh(x)= ( sinh(x)1 - 1sinh(x))/sinh2(x)= -cosh(x)/sinh2(x)= -coth(x)csch(x)

Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:x-3-1013

Y=cosechx-0.09-0.850.850.09

Y=-cschxctghx----

Y=cosech(x-hx)--++

Analizando: es y cncava en en tiene asntota es y cncava en

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS INVERSAS

F. ARCO SENO H. :

es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Para hallar la funcin en necesitamos : ebemos encontrar



x-3-2-10123

y=-1.8-1.4-0.8800.881.41.8

y'= +++++++

y''= +++0---

Analizando : es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en

F. ARCO COSENO HIPERBLICO :


Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente:

Tomando

De = 0 =0 x

Encontrando puntos de inflexin :

X=0 punto de inflexin.Si x=0 f(0)=arccosh(0)=


01234

01.311.72.06

+++

---

Analizando: en tiene asntota es y cncava en

F. ARCO TANGENTE HIPERBLICO :

es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente: Tomando:

De =0 =0 x


X=0 punto de inflexin; Si x=0 f(0)=arcotanh(0)=0

Construccin de la tabla:x-1-0.7-0.200.20.71

y=-0.86-0.200.20.86

y'= +++++

y''= --0++


F. ARCO COTANGENTE HIPERBLICO :



Tomando

De =0 =0 x Encontrando puntos de inflexin

X=0 punto de inflexin; Si x=0 f(0)=arcoctgh(0)=

-4-2-10124

-0.25-0.540.540.255

Y= --

+--

--

0++


Analizando :

en es y cncavo

en x=0

en es y cncavo

F. ARCO SECANTE HIPERBLICO :


Tomando

De =0 =0 x Encontrando puntos de inflexin :

=0 =0 x=


-100.20.50.71

2.291.310

Y=---

++++-

Analizando:

en es y cncavo

F. ARCO COSECANTE HIPERBLICO :


Tomamos:

De =0 =0 x Hallando los puntos de inflexin :

=0 =0 x


-100.20.50.71

Y=-0.882.311.441.150.88

Y=-----

++++

Anlisis:

en el es y cncavo

x=0

en el es y cncavo

Trabajo de Analisis (2)

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