Republica Bolivariana De Venezuela.

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación.

I.NC. SIMÓN BOLÍVAR

INTEGRANTES:

GIMMY RONDON C.I: 14.384.248

BETILDA RIVAS C.I: 9.475.320

KEITER CASTRO C.I: 19.111.111

PROFESOR:

ANTONIO GÓMEZ.

INTRODUCCION

Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho

tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero

en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no

paralelo a su base.

Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de

resolver un problema de duplicar un cubo. Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las

cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las

matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos

como parábola, hipérbola y elipse.

Este griego nació en donde en aquel entonces se llamaba Prega, Mauritania, que ahora es,

Antalya, Turquía. Perga era el centro de cultura ese tiempo, donde se encontraban todos los sabios

y científicos. En sus tiempos de juventud Apollonius fue Alejandría donde estudio con los

seguidores de Euclid, donde luego se convertiría en maestro. Luego de estar varios años en

Alejandría, el matemático se mudó a Pergamum, que ahora es la ciudad de Bergama, en la

provincia de Izmir en Turquía. Pergamum era una ciudad antigua, situada a 25 km. de mar Aegan.

Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de información sobre la vida

de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenía un hijo, que tenía el mismo nombre. Apollonius

escribió cónicas en ocho libros, de los cuales solo sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin

embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.

Apollonius describió las cónicas como las curvas formadas cuando un plano intercepta la

superficie de un Se denomina Cónica, a cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar

una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice. El tipo de curva que se obtiene

depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo ß que forma el plano P con el eje e.

Si ß > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se

obtiene una curva cerrada. Si ß = a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con

más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que

tome ß.Si ß = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Definición de cónicas:

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la intersección de un cono circular

recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice.

Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola, Las cónicas son curvas planas

obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje

del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las

distintas clases de cónicas. En la escena siguiente se clarifica esta idea.

Las cuatro curvas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Se llaman secciones cónicas

porque se pueden formar mediante la intersección de un cono circular recto con un plano. Si el

plano es perpendicular al eje del cono, la intersección resultante es un círculo. Si el plano está

ligeramente inclinado, el resultado es una elipse. Si el plano es paralelo al costado (un elemento)

del cono, se produce una parábola. Si el plano corta ambas extensiones del cono, produce una

hipérbola.

Definición de circunferencia:

Es el conjunto de puntos que están en un mismo plano y que equidistan de otro

punto del mismo plano llamado centro. La circunferencia y el círculo están íntimamente

ligados que los elementos de uno corresponden al otro.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente

pasa por el centro);

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud

máxima son los diámetros;

Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;

arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un

diámetro.

Ejemplos de circunferencia

1) Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro.

2) Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

Definición de ecuaciones:

Las Ecuaciones son igualdades en las que se tiene una o más incógnitas, es decir,

tenemos uno o más números que no conocemos su valor dentro de las operaciones descritas en la

igualdad.

La definición formal de ecuación es la siguiente: "Una ecuación es una comparación,

mediante un signo de igual, de dos expresiones algebraicas". Estas expresiones algebraicas son la

representación escrita de operaciones aritméticas entre números (si conocemos su valor numérico)

y variables o incógnitas (no conocemos su valor numérico).

Las ecuaciones se clasifican por el grado de sus términos y por la cantidad de incógnitas

diferentes que presentan. Esta clasificación obedece a la forma en cómo se resuelven los

diferentes tipos de ecuaciones.

Ejemplos de ecuaciones

1) 1

Despejamos la incógnita

2)

3)

Definición de graficas:

Graficas o gráficos se entiende a la representación de datos, casi siempre numéricos,

aunque también pueden ser figuras o signos, a través de líneas superficies o símbolos para

determinar la relación que estos mantienen entre sí.

En tanto, puede darse que sea un conjunto de puntos, los cuales se plasmarán en

coordenadas cartesianas y que servirán para analizar el comportamiento de un proceso

determinado o bien un conjunto de signos o elementos que nos permitan descifrar o interpretar

algún fenómeno, entre otras cuestiones

Nos podremos encontrar con diferentes tipos de gráficas, entre las más comunes y

corrientes se cuentan: las numéricas, usadas para representar el comportamiento o la distribución 

de los datos cuantitativos de una población. Este tipo de gráfica se manifiesta a través de

imágenes visuales. Por su lado, las lineales, representarán los valores en dos ejes cartesianos

ortogonales entre sí. Más que nada este tipo de gráfica se recomienda a la hora de tener que

representar series a través del tiempo, porque permite mostrar valores máximos y mínimos de una

cuestión.

Otro tipo son las gráficas de barras, que se usarán cuando se quiera resaltar la

representación de porcentajes que remiten a un total. Las barras lo que permiten es la

representación de frecuencias y pueden diagramarse en sentido horizontal o vertical,

generalmente, para representar las gráficas de barras se usan las llamadas hojas de cálculo.

Luego están las gráficas circulares que permitirán observar aquellas distribuciones internas

de datos que representan un hecho, también en forma de porcentajes sobre un total. De acuerdo al

interés de lo que se quiera destacar, lo que se hace es separar el sector correspondiente al mayor

o al menor valor. Y finalmente, los histogramas, otro tipo de gráficas muy comunes, que se usarán

cuando se quiera representar muestras agrupadas en intervalos. Se forma por rectángulos unidos

unos a otros, cuyos vértices de la base deberán coincidir con los límites de los intervalos.

También se puede decir que las graficas o los gráficos son las denominaciones de la

representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos gráficos (líneas, vectores,

superficies o símbolos) para que se manifieste visualmente la relación que guardan entre sí como

también se puede decir que pueden ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas

cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o

signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite

establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, sino mediante

la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental)

Ejemplos de graficas:

Gráfica Circular Gráficas de Barra: Son convenientes para enseñar

Comparaciones

Gráficas de Línea: Las gráficas de líneas se usan para representar grandes cantidades de datos que tienen lugar durante un período continuado de tiempo.

Trazamos la gráfica y verificamos otro punto por donde pasa la línea.

Verificamos el nuevo punto y encontramos que el par (2, 0) es una solución.

1 2 3 4 5 6 78 9-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

123456789

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

(-4, 3)

(0, 1)

(4, -1)

(2, 0)

?

Definición de parábola:

La parábola es una sección cónica provocada al cortar un cono recto con un plano paralelo

a la directriz, en otras palabras, es una curva abierta simétrica respecto de un eje, que cuenta con

un solo foco y que resultará entonces de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una

de sus generatrices.

Se puede definir  parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

 

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro

de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta

que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

 

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. Para simplificar la

parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra

en el semieje positivo de abscisas.

Además los elementos de una parábola son:

Eje de simetría o eje focal: Es la recta con respecto a la cual una rama de la parábola se

refleja en la otra.

El vértice: Es el punto de intersección entre parábola y su eje de simetría.

La directriz: Es la recta perpendicular al eje de simetría tal que la distancia de el vértice a la

directriz es igual a la distancia de el vértice al foco, es decir el vértice es el punto medio del

segmento.

El foco: Es el punto sobre el eje de simetría que está separado del el vértice por una distancia

igual a la que se separa el vértice de la directriz.

El lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje de simetría de la parábola que pasa por el foco.

Su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco.

Ejemplos de parábolas

1) Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la

parábola cuya ecuación es  

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la

parábola tenemos que

 

De donde obtenemos que   y el vértice   , por lo tanto, la parábola abre hacia la

derecha y tiene el foco en , la recta directriz es 

 

2) Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en   y foco

en .

Solución

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además

abre hacia abajo y , entonces la ecuación está dada por:

La directriz es   

 

Definición de ecuación de la parábola:

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas

geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de

las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la

escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se

dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la

parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de

forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje.

(QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección

circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:

.

Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

.

Usando nuevamente los paralelismos:

.

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

.

Pero el valor de   es una constante pues no depende de la posición de V, por lo

que haciendo

Arroja la expresión moderna y=ax².

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una

parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero

intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .

Parábolas verticales, con ecuaciones de la

forma y=ax²+bx+c.

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de

coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede

tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la

ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

 , donde a es distinto de cero.

Definición de elipse:

Se entiende por elipse a aquellas formas geométricas que están formadas por curvas

planas resultantes de la intersección entre una forma cónica y un plano. La elipse no es un círculo

si no que se compone de dos trazos perpendiculares entre sí de los cuales uno es mayor y otro

menor (por lo general el trazo vertical es el menor ya que la elipse suele ser más extensa horizontal

que verticalmente). La conjunción de estos dos trazos es el centro de la elipse y con ellos se forma

el eje central de la elipse.

Una de las características de la elipse es que si trazamos dos puntos cualesquiera en

alguno de los dos trazos mencionados, la unión de los mismos en el perímetro de la elipse siempre

forma una figura cónica o triangular. Dependiendo de donde se tracen estos puntos, las líneas

podrán ser mayores o menores o incluso iguales si son trazadas a similar distancia del perímetro.

En algunos casos, las elipses pueden ser la proyección de la perspectiva de los círculos.

La elipse también aparece descrita normalmente como una curva más suavizada, lo cual la

diferencia de los círculos o semicírculos. Sin embargo, esto no significa que sus ejes sean

asimétricos si no que, para mantener la forma de elipse, siempre se debe mantener la proporción

distante entre el trazo mayor y el menor.

Elementos de la elipse

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los

focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento   de longitud 2c, c es el valor de

la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la el ipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento   de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor: Es el segmento   de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de

intersección de los ejes de simetría.

Ejemplos de la elipse

1) Hallar la ecuación canónica de la elipse 

Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la

excentricidad.

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en

ambas variables   e

De donde obtenemos que el centro es , el valor de   (  es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de    y el valor de   está dado por:

Y así, los focos están dados por   y los vértices por . Por

último, la excentricidad es

La gráfica se muestra en la siguiente figura

2) Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en   y eje menor de longitud .

Solución

Como la longitud del eje menor es de   unidades, entonces . Como los

vértices están en   y  , entonces el centro está en  , el eje mayor de la elipse es vertical y  .Con lo cual:

Por último, la excentricidad es   y la ecuación canónica es:

Los focos están en . La gráfica de la elipse se muestra en la próxima imagen:

Definición de hipérbola:

Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección

de un cono circular recto y un plano que corta  las dos secciones del cono. La

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias

a dos puntos fijos, llamados focos es constante. Una hipérbola  es el conjunto de

puntas del plano cuya distancia a dos puntos fijos tiene una diferencia constante. Con

esto queremos decir que tomamos la diferencia de la distancia mayor menos la

distancia menor. Los dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. El punto medio

entre los dos focos se llama Centro de la hipérbola. La hipérbola es el lugar

geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados

focos es constante.

La fórmula matemática de la hipérbola, centrada en el origen de coordenadas

es

Componentes de la hipérbola

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje

focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la

circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los

focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento   de longitud 2c.

Eje mayor: Es el segmento   de longitud 2a.

Eje menor: Es el segmento   de longitud 2b.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 

Relación entre los semiejes:

Ejemplos de la hipérbola

1) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

2) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación de la hipérbola

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas (x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

3) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C (3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:

4) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C (3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:

CONCLUSIONES

En este trabajo hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de las

secciones cónicas, conocer mejor las cónicas, como por ejemplo Elipse (Son figuras

geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar geométrico de

todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados

focos es constante. Una parábola es una línea que se puede ajustar, en un espacio

bidimensional y en relación a sistema de coordenadas orto normales, con la relación

y=a.x²+b, o la aplicación de una transformación que represente un giro, a dicha relación.

Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente

destinó su vida en entender y descifrar el porqué y como de las cónicas.

Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha

importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, su han podido desarrollar

diferentes aparatos, artefactos y cosas, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser

humano.

En este trabajo hemos podido aprender en qué consiste y qué conceptos son los

que abarca la palabra CÓNICAS.

Aprendimos también que hay cuatro tipo de cónicas, que son la hipérbola, parábola

y elipse; todas son de mucha importancia en nuestra vida porque tiene diferentes

aplicaciones prácticas.