TEMA:

“SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y

MATRICES”

CURSO:

ALGEBRA LINEAL

CODIGO:

MB165

PROFESOR:

JEXY REYNA

FECHA DE ENTREGA: 9 de Diciembre de 2013

INTEGRANTES:

Albornoz Dionisio Jhony 20121140B

Allccarima Muñico Sony Jason 20134091E

Avalos Saldivar Jhon Kevin 2013

Blas Bernardo Jhon 2013

Carcasi Canazas Paul Jerson 2013

Carhuatanta Chilcón Wolfran 2013

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RESUMEN

El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los más antiguos de la

matemática pues los babilonios, egipcios, griegos y otras civilizaciones ya desarrollaban

este concepto primigenio, pero es en el siglo xix donde este concepto es llevado a un

nivel superior desarrollando diversas técnicas de solución al problema mencionado, es

por ello que El presente trabajo tiene por objetivo desarrollar estrategias de solución a

los problemas referidos al sistema de ecuaciones lineales y presentarlos al público en

general, ávidos por el conocimiento en esta rama de las matemática . para el correcto

desarrollo de los problemas se debe tener claros los tipos de de sistemas de ecuaciones

lineales tales como compatible determinado, compatible indeterminado y sistema

incompatible también tener en cuenta los conceptos de matriz, determinante , matriz

adjunta este concepto se tomara en cuenta para la resolución del problema 4 de la

página , otro problema para destacar

El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales

permitirá al lector afrontar el planteamiento y resolución de problemas diversos. Si se

siguen estudios de Ciencias los aplicarán también en Geometría para estudiar las

posiciones relativas de rectas en el plano y en el espacio, posiciones relativas de planos

y de rectas y planos en el espacio, etc.

2

3

Dedicamos este trabajo a nuestros profesores de la Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional De Ingeniería, quienes con sus enseñanzas ayudan a formarnos como buenos profesionales.

Además este trabajo también va dedicado a todas aquellas personas que les gusta investigar e indagar en el conocimiento, ya que gracias a ellos se realizan más descubrimientos, permitiendo así el avance científico, el cual trae grandes beneficios a la humanidad.

Los autores.

GLOSARIO

Matriz:

Conjunto de números colocados en líneas horizontales y verticales, dispuestos en forma

de rectángulo; la posición de cada número en la matriz determina las operaciones

matemáticas que hay que hacer para hallar un resultado.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para

representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las

aplicaciones; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos

de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las

hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Determinante:

Determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue

introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars

Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con

dos incógnitas.

Es una notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros

elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su

desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados

por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo

y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se

utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales.

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Abscisa:

Coordenada x de un punto en un sistema de coordenadas Cartesianas. Es la distancia

horizontal de un punto al eje vertical, o y.

Por ejemplo, un punto con coordenadas (4,2) tiene una abscisa de 4.

Ordenada:

También llamada coordenada y de un punto en geometría de coordenadas. Es la

distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal, o eje x.

A la coordenada x de un punto se le conoce normalmente como abscisa.

Vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas

características que son:

Origen.-O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

el que actúa el vector.

Módulo-Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el

origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector,

debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección-Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo

contiene.

Sentido-Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,

indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

5

Escalar:

Se denomina escalar a los números reales, constantes o complejos que sirven para

describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin la característica vectorial de

dirección. Formalmente es un tensor de rango cero.

En términos matemáticos, se llama escalar a los elementos de un cuerpo (en algunos

casos también a los elementos de un anillo), generalmente números, y en particular se

usa cuando se quiere distinguirlos claramente de los vectores en el álgebra lineal y en

cualquier rama que use módulos o espacios vectoriales.

Sumatoria.

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación

matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ

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EJERCICIOS

Sistema de Ecuaciones Lineales

1) x1 + x2 + x3 = 2

2x1 - x2 + 2x3 = 4

- x1 + 4 x2 + x3 = 3

Solución:

Tenemos que AX=B ….(I)

donde “A” es la matriz de coeficientes, “x” la matriz de variables y “B” matriz de

constantes. Si multiplicamos por A−1 a la ecuación (I) , nos queda X=A−1.B …..(II)

Entonces:

A= [ 1 1 12 −1 2

−1 4 1] X=[ x1

x2

x3] B=[243 ]

A−1 = Adj ( A)

|A| ; donde Adj(A) = [Cof ( A)]T

Cof(A) =[−9 −4 73 2 −53 0 −3] → [Cof ( A)]T = [−9 3 3

−4 2 07 −5 −3] = Adj(A)

Además se tiene que |A| = -6

Entonces: A−1 = [−9 3 3−4 2 07 −5 −3]

−6

=[32

−12

−12

23

−13

0

−76

56

12

]7

Reemplazando en (II)

[ x1

x2

x3]=[

32

−12

−12

23

−13

0

−76

56

12

].[243 ]

Finalmente:[ x1

x2

x3]=[

−12052

] ; por lo tanto: x1=−12 ; x2=0 ;x3=

52

2) 3x +6y = 9

-2x + 3y = 4

Solución

3x +6y = 9 ………….(1)

-2x + 3y = 4 ………….(2)

a) Restar (1) y 2.(2) b) Reemplazar (3) en (1)

3x +6y = 9 - 3(17 ) + 6y= 9 --------> y=

107

-4x + 6y = 8

7x = 1 -----------> x=17

3) Encontrar la solución si existe

x + y = 1…… (α)

2x - y = 3…….. (β)

8

3x + y = 4…….. (θ)

Paso 1: eliminar una variable

→ sumamos α y β

X + y = 1

2x - y = 3

3x = 4

x=43

Paso 2: reemplazar en α y θ

En α…….. En θ…….

43+ y=1 3×

43 + y = 4

y = −13 y = 0→ es un sistema incompatible por tanto no

tiene solución

Operaciones elementales con Matrices

1) Determinar:

3[−2 10 42 3]

Solución

9

[−2x 3 1 x 30 x3 4 x32 x 3 3 x3 ] = [−6 3

0 126 9 ]

2) Calcular la siguiente operación matricial:

A = [2 3 1 50 6 2 4 ] × [5 7 1

2 0 310

05

06 ] → A = B × C

Paso 1: verificamos si es posible la multiplicación

B = 2 × 4 C = 4 × 3 → B × C = 2 × 3

→ Si es posible la multiplicación de dichas matrices

Paso 2: procedemos con la operación

A = [2 3 1 50 6 2 4 ] × [5 7 1

2 0 310

05

06 ] = [17 39 41

14 20 42]

a11 = 17 a12 = 39 a13 = 41

a21 = 14 a22 = 20 a23 = 42

3) Calcular:

10

T T

(1 −1 23 5 62 4 −1).(213)

Solución

Como podemos ver la primera matriz es de orden 3x3, en cambio la otra es de 3x1,

entonces el producto de las dos nos dará una matriz de orden 3x1

Así entonces tenemos:

(1 −1 23 5 62 4 −1).(213) = ( 1 x2+(−1 x 1 )+2 x3

3 x 2+5 x1+6 x 32 x2+4 x 1+(−1 x 3)) =( 7

295 )

Operaciones de Simetría, Anti simetría y matrices transpuestas.

1) Hallar la transpuesta de las siguientes matrices:

a)(−1 46 5) b)(3 0

1 2)Solución

a)[−1 46 5] = [−1 6

4 5 ] b)[3 01 2 ] = [3 1

0 2]

2) Indicar si es simétrica o anti simétrica

A = [ 0 5 6−5 0 4−6 −4 0]

Paso1: obtenemos la matriz transpuesta

11

At = [0 −5 −65 0 −46 4 0 ]

Nota: para que sea una matriz anti simétrica se cumple A = -AT

→ por lo observado es una matriz anti simétrica

4. indicar si es simétrica o anti simétrica

B =[ 0 1 −1 1−1 0 1 −211

1−2

01

10 ]

Paso 1: obtener la matriz transpuesta

BT = [ 0 −1 1 11 0 1 −2

−11

1−2

01

10 ]

Matriz simétrica → A = AT

Matriz anti simétrica → A = - AT → NO ES SIMETRICA NI

ANTISIMETRICA

3) Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica

Una matriz cuadrada A de orden n es simétrica si:

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A=A t A=(a i , j)

El elemento de la posición (i, j) de la matriz A es a  i,,j  . La matriz traspuesta es la

matriz que tiene por filas las columnas de A, por tanto, el elemento (i, j) de la traspuesta

es aj,i  . Es decir:

A=(ai , j ) A t=(a j , i)

Puesto que las matrices son iguales, los elementos en la misma posición son los

mismos, es decir:

(a i , j )=(a j ,i)

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas

salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di, j) es

diagonal si:

d i , j=0 sii ≠ j

Sea A una matriz diagonal, por lo tanto a i , j=0 si i≠ j. Al hallar la transpuesta de

A, cambiando las columnas por las filas, se nota que los únicos elementos que cambian

son los elementos con i≠ j pero como se trata de una matriz diagonal se observa que

estos elementos son iguales a CERO.

∴una matriz diagonal tambien es simétrica

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4) Si A y B son matrices simétricas de nxn, pruebe que (A+B) es simétrica.

Una matriz cuadrada A de orden n es simétrica si:

A=A t A=(a i , j)

El elemento de la posición (i, j) de la matriz A es a  i ,j  . La matriz traspuesta es la

matriz que tiene por filas las columnas de A, por tanto, el elemento (i, j) de la traspuesta

es aj, i Es decir:

A=(ai , j ) A t=(a j , i)

Puesto que las matrices son iguales, los elementos en la misma posición son los

mismos, es decir:

(a i , j )=(a j ,i)

Sean A y B matrices simétricas del mismo orden n, tenemos lo siguiente:

a i , j=a j ,i bi , j=b j ,i

Veamos la suma:

A+B= (ai , j+bi , j )=(ai , j )+(b i , j )=( a j , i)+ (b j ,i )= (a j ,i+b j ,i )=A t+Bt=( A+B )t

∴ A+B=( A+B)t

5) Si A y B son matrices simétricas de nxn, demuestre que ( AB )t=BA, sabiendo

que AB=BA

Llamemos di, j al elemento de la posición (i,j) del producto AB

d i , j=∑k=1

n

ai , jbk , j=∑k=1

n

b j , k ak ,i=h j ,i

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Donde hj, i es el elemento (j, i) de BA. Conociendo que (AB = BA)

h j ,i=d j ,i

Y junto con lo anterior.

d i , j=h j ,i=d j , i→ d j , i=d i , j→ AB=( AB)t

6) Demuestre que para cualquier matriz A, la matriz producto A xA t está

definida y es una matriz simétrica

Tengo Ax A t y quiero saber si la matriz de este producto es simétrica. Es decir

quiero ver si se cumple esta igualdad:

( Ax At )=¿

Pero por la propiedad del producto que mencionamos:

¿

Pero trasponer dos veces una matriz es lo mismo que dejarla igual (es como darla

vuelta dos veces), es decir:

( At)t=A

Luego, juntando todo:

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( Ax At)t=( A t)t x At=Ax At

∴(Ax A t)t=Ax A t

7) Sean A y B dos matrices anti simétricas de nxn. Demuestre que A +B es anti

simétrica

Una matriz cuadrada A de orden n es anti simétrica si:

At=−A A=(ai , j)

Los elementos en la misma posición son opuestos, es decir:

(a j , i)=(−ai , j)

Sean A y B matrices anti simétricas del mismo orden n, tenemos lo siguiente:

a j ,i=−ai , j b j ,i=−b i , j

Veamos la suma:

A+B= (ai , j+bi , j )=(ai , j )+(b i , j )=(−a j , i )+(−b j ,i )=(−a j ,i−b j ,i )=−A t−B t=− ( A+B )t

∴(A+B)t=¿ –A+B

8) Demostrar que toda matriz cuadrada A cumple A+At es simétrica

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Una matriz cuadrada A es simétrica si A = AT. Por tanto, queremos ver

A+ A t=( A+ At)t

Aplicando las propiedades de las traspuestas:

( A+ A t)t=A t+(A t)t=A t+ A

∴ A t+ A=( A+ A t)t

Problemas con la Matriz Inversa

1) Escribir la siguiente matriz como producto de dos matrices:

A = [ 2 −1−1 1 ]

Por propiedad:

A×A-1 = I → A = A-1×A2

Las matrices serán A-1 y A2

Paso 1: Calculamos A-1. Verificamos si la matriz tiene inversa para esto:

DET≠ 0

DET(A) = 3 → tiene inversa

A-1 = [13

13

13

23 ]

Paso 2: Calculamos A2

A2= [ 2 −1−1 1 ]×[ 2 −1

−1 1 ] = [ 5 −3−3 2 ]→Dichas matrices son las que cumplen con lo

pedido.

17

T

2) Encontrar la inversa de la matriz dada.

A= ( 1 0 00 1 0

−2 0 1)

Solución: Éste problema lo resolveremos la inversa por el método de Gauss Jordan.

( 1 0 00 1 0

−2 0 1⋮

1 0 00 1 00 0 1) f 3= 2 f 1 + f 3 → (1 0 0

0 1 00 0 1

⋮1 0 00 1 02 0 1)

Por lo tanto A−1 = (1 0 00 1 02 0 1)

3) Determine si las matrices siguientes son invertibles, si lo son halle su inversa

a)(2 13 2) b)(−1 6

2 −12)Solución

Las matrices invertibles deben de cumplir lo siguiente:

│A│≠ 0

a)|2 13 2| = 2.2 - 3.1 = 1

Por lo tanto la matriz es invertible. Por ser una matriz de 2 x 2 , nos conviene usar el

método de la adjunta.

A-1 = Adj ( A)│ A │

Adj(A) = Cof(A)T │A│=1 → A-1= Cof(A)T

Cof(2 13 2) = (a1 a 2

a3 a 4)Tal que: a 1 = 2 , a 2=−3 , a 3=−1 , a4=2

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→ Cof(2 13 2) = ( 2 −3

−1 2 ) → Adj(A) = Cof(A)T= ( 2 −3−1 2 ) = ( 2 −1

−3 2 )

b) |−1 62 −12| = (-1).(-12) + 2.6 = 0

Por lo tanto ésta matriz no tiene inversa, ya que su determinante es 0.

AGRADECIMIENTOS

Al finalizar el trabajo agradecemos de manera especial a nuestros familiares, por ser

quienes nos brindan el apoyo incondicional en todo momento, motivándonos a ser

mejores profesionales, para poder contribuir con nuestros conocimientos a la sociedad,

muestra de ello es el presente trabajo.

Gracias, además, a nuestros compañeros de clase por sus sugerencias e ideas para la

realización de este trabajo.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Algebra   lineal   por Grossman, Stanley I., sexta edición.

Algebra   lineal   por Lázaro Carrión, Moisés

Algebra   lineal: Para estudiantes de ciencias e ingeniería por Espinoza Ramos,

Eduardo

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ANEXOS

https://www.khanacademy.org/math/algebra/algebra-matrices --- clases teóricas sobre

matrices

http://www.slideshare.net/fasoler76/teoria-de-matrices-y-determinantes --- clases

teóricas sobre matrices y determinantes

http://www.youtube.com/watch?v=YFbr35HlDoM --- clase visual sobre matrices,

determinantes y sistemas de ecuaciones, por la Dra. Catalina Cvitanic

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