Trabajo Final Resistencia 2
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CARRERA PROFESIONAL INGENIERIA CIVIL
INTEGRANTESCODIGO DE
ALUMNONOTA
TRABAJONOTA
EXPOSICIÓN
Olaza Ortiz, Roni 362371
Alfonso Justo, José 712714
Pecho Ballarte, Luis 363991
Ramirez Seguil, Angelica 369316
Gutierrez Gonzales, Mario 364124
DOCENTE: ING. CHARLES ROBERT BALBOA ALARCON
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 1
2015
CURSO : RESISTENCIA DE MATERIALES II
DEDICATORIA
A nuestras familias, ya que el sacrificio y apoyo que ellos nos dan, hacen posibles que los esfuerzos para lograr nuestras metas se vean realizados. Gracias por estar a nuestro lado en todo momento.
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 2
INDICE
INTRODUCCION…………………………………………………………………………..…..4
FUNDAMENTO TEORICO……………………………………………………………..……..5
DESCRIPCION DE ANALISIS PUENTE PEATONAL…………………………………..11
ESQUEMA IDEALIZADO DEL PUENTE PEATONAL………………………………….12
CALCULO DE MOMENTOS FLECTORES DEL PUENTE PEATONAL EN LOS TRES
METODOS……………………………………………………………………..…….……….12
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR……………………23
GRAFICO DE LOS DIAGRAMAS APLICANDO EL SAP 2000….……………..………24
ESQUEMA DE LOS ACEROS DE REFUERZO……………….….……………..………25
CONCLUSIONES…………………………………………………..….……………..………26
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 3
1. INTRODUCCION
En este segundo curso de resistencia de materiales, se explicará y se analizará una
estructura que es hiperestática. En la estática una viga hiperestática o estáticamente
indeterminada es cuando está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan
insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones.
Por eso para el caso que nos ha tocado exponer que es la de un puente peatonal, se
resolverá con los distintos métodos aprendidos en clases como: Método de tres
momentos, Método de pendiente desviación y el Método de Cross.
Estos métodos nos ayudarán a hallar las reacciones y momentos en cada apoyo. Además,
nos simplifica el proceso de cálculo y aprenderemos a utilizar estos métodos para que nos
sea más fácil diagramar los cortantes y momentos flectores que se producen en una viga
sometida a cargas externas y con los cuales se procede al trazado de los ya conocidos:
DMF y DFC, así como también el refuerzo en acero que se tiene que hacer en la viga.
Este principio puede ser aplicada a vigas hiperestáticas, tales como:
Vigas Bi-empotradas.
Vigas Empotrada- Apoyada.
Vigas Continuas.
2. FUNDAMENTO TEORICO
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 4
1.01 ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS
La ecuación de los tres momentos expresan una relación entre los momentos
flectores, en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.
Se utiliza para resolver vigas continuas (estructuras hiperestáticas). Dando
como solución los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí.
En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el
cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los
extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego
pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.
Viga Continua de Diferente inercia
Del grafico se plantearan las cargas y momentos flectores de forma separa por
tramos agregando y quitando fuerzas para obtener lo siguiente:
Caso 1: en caso de tener los apoyos verticales hA y hB diferentes de cero y con
Inercias diferentes se aplicara la siguiente formula.
M A( L1I 1 )+2MB( L1I 1 +L2I 2 )+MC( L2I 32 )=−6
(∝1 )I1
−6(∝2 )I 2
+6EhAL1
+6EhCL2
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 5
Caso 2: en caso de tener los apoyos verticales hA y hB iguales a cero y con
Inercias diferentes se aplicara la siguiente formula.
M A( L1I 1 )+2MB( L1I 1 +L2I 2 )+MC( L2I 32 )=−6
(∝1 )I1
−6(∝2 )I 2
Caso 3: en caso de tener los apoyos verticales hA y hB iguales a cero y con
Inercia constante se aplicara la siguiente formula.
α2 : Considerando el lado derecho del tramo 1
α1 : Considerando el lado derecho del tramo 2
Estas alfas (α) mostradas en los casos son los valores de rotaciones en los
apoyos, a continuación se mostrarán las alfas más (α) importantes.
1.02 ECUACION DE PENDIENTE DESVIACION
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 6
∝1=∝2=W L3
24
∝1=M L6 ( 3b2L2 −1) ∝2=M L
6 (1−3a2L2 )
∝1=∝2=P L2
16
∝1=Pab6 L
(b+L ) ∝2=Pab6 L
(a+L )
M A (L1 )+2MB (L1+L2 )+MC (L2 )=−6 (∝2)−6 (∝1)
Esta ecuación está Clasificada dentro de los métodos clásicos, que se
fundamenta en un análisis de desplazamiento y rotaciones, donde estas
variables son derivadas en función de las cargas usando relaciones entre
cargas y desplazamientos, posteriormente estas ecuaciones son solucionadas
para obtener los valores de desplazamientos y rotaciones, finalmente los
valores de fuerzas internas son determinados.
Por eso se dice que este método de Pendiente Desviación es un procedimiento
que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y las
deformaciones, solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la
viga.
Grafico para poder obtener las Ecuaciones de Pendiente Desviación
Dónde:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 7
M AB=FEM AB+2 EIθAL
+4 EIθBL
−6 EI ∆L2
M AB=2EIL (2θ A+θB−3∆L )+FEM AB
MBA=FEMBA+2 EIθAL
+4 EIθBL
−6 EI ∆L2
MBA=2 EIL (θ A+2θB−3∆L )+FEM BA
FEM : Momentos de empotramiento Fijo.
L : Longitud
θ : Angulo de giro
EI : Inercia
Ley de Signos para este método:
Los FEM de empotramientos más usados:
Ecuaciones de equilibrio:
Giros en empotramientos:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 8
MO a(2b−a)L2
MOb (2a−b)L2
−qL2
12
Pab2
L2−Pab2
L2
qoL2
30−qoL
2
30
qL2
12
Carga Uniformemente Distribuida Carga puntual
Carga triangular de valor máximo Momento de Valor
MAB = 0
MBA +MBC = 0
MCB + MCD = 0
MDC = 0
θA = 0
θc = 0
1.03 DISTRIBUCION DE MOMENTOS (CROSS)
El Método Distribución de Momentos es más conocidos como método de
Cross, que viene hacer un método de aproximaciones sucesivas. .
El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos
en la estructura dando un sentido físico muy claro a las operaciones
matemáticas que se realizan.
Una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas
se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige
recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos,
rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura
Principios Generales:
- Convención de signos:
Momento positivo ( + ) que siguen el sentido de la manecillas del reloj.
Momento positivo ( - ) en sentido contrario a las manecillas del reloj.
- Factor de Rigidez de Miembro:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 9
K= 4 EILAB
- Factor de Rigidez de Nudos:
Del grafico decimos que:
∅ 1=∅ 2=∅ 3
Equilibrando momentos por la Convención de signos
M 1+M 2+M 3=M
M=4 EIL1
∅ 1+ 4 EIL2
∅ 2+ 4 EIL3
∅ 3=K 1×∅ 1+K 2×∅ 2+K 3×∅ 3
Entonces:
KT=∑ K
- Factor de Distribución (FD):
Como se sabe que:
M=(K 1+K 2+K 3)×∅ 1=M
Cancelando los términos comunes se obtiene:
FDiK i
∑ K
- Factor de Transporte (FT):
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 10
M '=12M
3. DESCRIPCION DE ANALISIS - PUENTE PEATONAL
Al grupo nos ha tocado realizar los cálculos de momentos flectores en los
apoyos de un puente peatonal.
En estos cálculos se aplicaran todos los métodos aprendidos en clases,
obteniendo así datos similares en los resultados para luego graficar los
Diagramas de Fuerza Cortante (DFC) y diagrama de Momento Flector (DMF).
Como sabemos en la actualidad los puentes peatonales son estructuras cada
vez más esbeltas debido a requerimientos estéticos y al incremento de la
resistencia de los materiales modernos. Debido al aumento en la flexibilidad,
disminución de la masa y uso de grandes luces entre apoyos.
Carga uniformemente repartida W=415kg/m² solo en los tramos L1
Carga uniforme lineal q=WA
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 11
DESCRIPCION L1 (m) L2 (m) A (m)
Puente Peatonal 7.00 5.00 1.2
4. ESQUEMA IDEALIZADO DEL PUENTE PEATONAL
A continuación se muestra el puente idealizado con sus respectivas cargas
según datos del trabajo de investigación descritos en el punto
5. CALCULO DE LOS MOMENTO FLECTORES DEL PUENTE PEATONAL
En este punto se desarrollara los momentos flectores del puente peatonal
aplicando los tres métodos aprendidos en clases. Para el desarrollo de estos
ejercicios se tomaran los datos del ítem 3 (Esquema Idealizado de un Puente
Peatonal), de los datos:
W=415kg /m2
L1=7m
L2=5m
A=1.2m
q=WA=415×1.2=498kg /m.
5.01 METODO DE LOS TRES MOMENTOS
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 12
7 m5 m7 m DCBA
498 kg/m498 kg/m
a. Cálculo de los momentos:
i. Tramo ABC
M A×7+2MB (7+5 )+MC×5=−6× 498×73
24−6× 0×5
3
24
Como M A=0 se obtiene:
24M B+5MC=−42703.5 … (1)
ii. Tramo BCD
MB×5+2MC (5+7 )+M D×7=−6× 0×53
24−6× 498×7
3
24
Como MD=0 se obtiene:
5MB+24MC=−42703.5 …(2)
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 13
7 m5 m7 m DCBA
498 kg/m498 kg/m
α1α2
5 m7 m CBA
498 kg/m
α1α2
7 m5 m DCB
498 kg/m
Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
MB=−1472.534kg .mMC=−1472.534 kg .m
Además se sabe:
M A=0kg .mMD=0kg .m
b. Cálculo de las reacciones:
i. Tramo AB
∑M A=0 :
RB×7−3486×3.5−1472.534+0=0
RB=1953.362kg
∑ FY=0 :
RA+1953.362−3486=0
RA=1532.638kg
ii. Tramo BC
∑M B=0 :
RC×5+1472.534−1472.534=0
RC=0kg
∑ FY=0 :
RB+0=0
RB=0kg
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 14
3.5 m
3486 kg
1472.534 kg-m
RBRA
7 m BA
498 kg/m0 kg-m
1472.534 kg-m 1472.534 kg-m
5 m CB
RB RC
iii. Tramo CD
∑MC=0 :
RD×7+1472.534−3486×3.5−0=0
RD=1532.638 kg
∑ FY=0 :
RC+1532.638−3486=0
RC=1953.362kg
5.02 METODO PENDIENTE DESVIACION
a) Cálculo de los momentos:
iv. M AB=FEM AB+2 EIL
(2θA+θB)
M AB=−498×72
12+ 2 EI7
(2θA+θB)
M AB=−2033.5+EI (0.571θA+0.286θB)
v. MBA=FEMBA+2 EIL
(2θB+θA)
MBA=498×72
12+2 EI7
(2θB+θA)
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 15
1472.534 kg-m 3.5 m
3486 kg
RDRC
7 m DC
498 kg/m 0 kg-m
7 m5 m7 m DCBA
498 kg/m498 kg/m
MBA=2033.5+EI (0.571θB+0.286θ A)
vi. MBC=FEM BC+2EIL
(2θB+θC)
MBC=0+2 EI5
(2θB+θC)
MBC=EI (0.8θB+0.4θC)
vii. MCB=FEMCB+2 EIL
(2θC+θB)
MCB=0+2EI5
(2θC+θB)
MCB=EI (0.8θC+0.4θB)
viii. MCD=FEMCD+2 EIL
(2θC+θD)
MCD=−498×72
12+ 2EI7
(2θC+θD)
MCD=−2033.5+EI (0.571θC+0.286θD)
ix. MDC=FEM DC+2 EIL
(2θD+θC)
MDC=498×72
12+2 EI7
(2θD+θC)
MDC=2033.5+EI (0.571θD+0.286θC)
Aplicando las propiedades para formar las ecuaciones que nos permitirán encontrar los giros tenemos:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 16
M AB=0
−2033.5+EI (0.571θ A+0.286θB )=0
0.571θA+0.286θB=2033.5EI
…(1)
MBA+M BC=0
2033.5+EI (0.571θB+0.286θ A )+EI (0.8θB+0.4θC)=0
0.286θA+1.371θB+0.4 θC=−2033.5EI
…(2)
MCB+MCD=0
EI (0.8θC+0.4θB )−2033.5+EI (0.571θC+0.286θD )=0
0.4θB+1.371θC+0.286θD=2033.5EI
…(3)
MDC=0
2033.5+EI (0.571θD+0.286θC )=0
0.286θC+0.571θD=−2033.5EI
…(4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se obtiene:
θA=5408.10EI
θB=−3687.14
EI
θC=3687.14EI
θD=−5408.10
EI
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 17
Luego:
M AB=0
MBA=2033.5+EI (0.571(−3687.14EI )+0.286( 5408.10EI ))=1474.86 kg .m MBC=−1474.86kg .m
MCB=EI (0.8( 3687.14EI )+0.4(−3687.14EI ))=1474.86kg .m MCD=−1474.86kg .m
MDC=0
b) Cálculo de las reacciones:
I. Tramo AB
∑M A=0 :
RB×7−3486×3.5−1474.86+0=0
RB=1953.694 kg
∑ FY=0 :
RA+1953.694−3486=0
RA=1532.306kg
II. Tramo BC
∑M B=0 :
RC×5+1474.86−1474.86=0
RC=0kg
∑ FY=0 :
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 18
3.5 m
3486 kg
1474.86 kg-m
RBRA
7 m BA
498 kg/m
1474.86 kg-m 1474.86 kg-m
5 m CB
RB RC
0 kg-m
RB+0=0 RB=0kg
III. Tramo CD
∑MC=0 :
RD×7+1474.86−3486×3.5=0
RD=1532.306 kg
∑ FY=0 :
RC+1532.306−3486=0
RC=1953.694kg
5.03 METODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS
a) Cálculo de los momentos:
Nudo A B C DTramo AB BA BC CB CD DCFD 1 0.35 0.65 0.65 0.35 1FEM 0 3050.25 0 0 -3050.25 0
Distrib. 0 -1067.59 -1982.66 1982.66 1067.59 0Transp. 0 0 991.33 -991.33 0 0Distrib. 0 -346.97 -644.37 644.37 346.97 0Transp. 0 0 322.18 -322.18 0 0Distrib. 0 -112.76 -209.42 209.42 112.76 0Transp. 0 0 104.71 -104.71 0 0Distrib. 0 -36.65 -68.06 68.06 36.65 0Transp. 0 0 34.03 -34.03 0 0Distrib. 0 -11.91 -22.12 22.12 11.91 0Transp. 0 0 11.06 -11.06 0 0Distrib. 0 -3.87 -7.19 7.19 3.87 0Transp. 0 0 3.59 -3.59 0 0
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 19
1474.86 kg-m 3.5 m
3486 kg
RDRC
7 m DC
498 kg/m 0 kg-m
7 m5 m7 m DCBA
498 kg/m498 kg/m
Distrib. 0 -1.26 -2.34 2.34 1.26 0Transp. 0 0 1.17 -1.17 0 0Distrib. 0 -0.41 -0.76 0.76 0.41 0Transp. 0 0 0.38 -0.38 0 0Distrib. 0 -0.13 -0.25 0.25 0.13 0Transp. 0 0 0.12 -0.12 0 0
0 1468.70 -1468.58 1468.58 -1468.70 0
Momentos (ton.) MAB MBA MBC MCB MCD MDC
x. K BA=3EI7
=0.43 EI
1.23 EI
K BC=4 EI5
=0.8EI
1.23 EI
KCD=3 EI7
=0.43 EI
FDBA=K AB
∑ K B
=0.43 EI1.23EI
=0.35
FDBC=1−0.35=0.65
FDCB=KBC
∑ K C
= 0.8 EI1.23 EI
=0.65
FDCD=1−0.65=0.35
Para el caso del cálculo del FEM en los extremos se considera 0 y en los apoyos interiores se considera como si fuera empotrado hacia un extremo fijo. De acuerdo con la tabla se debe usar la fórmula:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 20
FEM BA=q×L2
8=498×7
2
8=3050.25
FEM BC=−q×L2
12=−0×72
12=0
FEMCB=q×L2
12=0×7
2
12=0
FEMCD=−q× L2
8=−498×72
8=−3050.25
Luego:De la tabla.
M AB=0 MBA=1468.70kg .m MBC=−1468.58kg .m MCB=1468.58kg .m MCD=−1468.70kg .m MDC=0
b) Cálculo de las reacciones:
I. Tramo AB
∑M A=0 :
RB×7−3486×3.5−1468.70+0=0
RB=1952.814 kg
∑ FY=0 :
RA+1952.814−3486=0
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 21
3.5 m
3486 kg
1468.70 kg-m
RBRA
7 m BA
498 kg/m0 kg-m
RA=1533.186kg
II. Tramo BC
∑M B=0 :
RC×5+1468.58−1468.58=0
RC=0kg
∑ FY=0 :
RB+0=0
RB=0kg
III. Tramo CD
∑MC=0 :
RD×7+1468.70−3486×3.5−0=0
RD=1533.186 kg
∑ FY=0 :
RC+1533.186−3486=0
RC=1952.814kg
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 22
1468.58 kg-m 1468.58 kg-m
5 m CB
RB RC
1468.70 kg-m 3.5 m
3486 kg
RDRC
7 m DC
498 kg/m 0 kg-m
6. GRAFICO DE LOS DIAGRAMAS
DIAMAGRA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 23
-1472.534-1472.534
-
-1532.638
1953.362
-1953.362
1532.638
nm 0
x2 -
+0
-x1
+
7 m5 m7 m DCBA
498 kg/m498 kg/m
7. GRAFICO DE LOS DIAGRAMAS APLICANDO EL SAP:
Para el caso se ingresó los datos del problema al programa SAP 2000Y se obtuvo lo siguiente:
7.01 DIAMAGRA DE FUERZA CORTANTE:
7.02 DIAMAGRA DE FUERZA MOMENTO FLECTOR:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 24
8. ESQUEMA DE LOS ACEROS DE REFUERZO:
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 25
9. CONCLUSIONES
Como se ha podido mostrar en esta exposición, el ejemplo del puente peatonal que se plasma en una viga hiperestática, se puede resolver este mediante métodos matemáticos, sin embargo en la actualidad estos métodos ya no se utilizan por ser muy laboriosos, para ello existe variedad de software como es el caso del SAP 2000, que hace lo mismo pero de manera rápida y eficaz. Con este programa se observa que los resultados tanto de forma matemática como con el programa son muy aproximados.
Pero no es suficiente con solo saber usar el programa, también es necesario tener criterio al momento de ingresar los datos para que el software los analice. Esto se obtiene durante la irremplazable experiencia.
Profesor: Ing. Charles Robert Balboa Alarcón Página 26