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Seminario  de  Matemáticas.  Pablo  Isaza  (201124945)  Daniel  Laverde  (201126496)  Juan  Pablo  Henao  (201124924)      Seminario  matemáticas:  “Una  Relación  entre  la  Geometría  y  el  álgebra”    Autor:  José  Ricardo  Arteaga.  Fecha:  Agosto  22,  2011.      Introducción:    El  tema  de  la  conferencia,  era  la  relación  existente  entre  la  geometría  y  el  álgebra.  Antes  de  comenzar  a  hablar  sobre  lo  anterior,  el  autor  de  la  conferencia  define  los  conceptos   necesarios   para   entender   la   charla,   y   brinda   una   breve   historia   de   la  evolución   del   estudio   de   la   geometría.   Realizaremos   un   pequeño   resumen   de   lo  anterior.      El   Primer   acercamiento   hacia   la   geometría,   se   ubica   en   el   siglo   III   AC   con   el  documento  Los  Elementos  de  Euclides,  en  el  que  se  realizan  los  fundamentos  de  la  geometría.   Posteriormente,   Nikolái   Ivánovich   Lobatchevski   escribió   lo   que   tituló  Los   nuevos   elementos   de   la   geometría,   esto   dió   paso   a   una   nueva   geometría  considerada   no   eucludiana   llamada   geometría   de   Lobatchevski   o   geometría  hiperbólica.   En   1872   Felix   Klein   propuso   un   trabajo   de   investigación   en   la  universidad   de   Erlangen.   En   esta   propuso   una   solución   para   clasificar   las  geometrías  existentes  sobre  la  base  de  geometría  proyectiva.  (Arteaga,  2011).    Luego   de   introducir   a   estos   autores,     se   da   una   breve   explicación   del   término  geometría.    Una  de   las  definiciones  de  geometría  podría  ser  el  estudio  de  objetos  en   un   espacio.   Por   lo   anterior,   para   estudiar   una   geometría   se   debe   tener   en  cuenta:  un  espacio,  los  objetos  que  estudiaremos  en  ese  espacio,  y  las  relaciones  o  transformaciones  de  estos  objetos.  (Arteaga,  2011)  .    Desarrollo  y  profundización  de  la  conferencia    Para  la  presente  documentación  de  la  conferencia,  hemos  dividido  la  presentación  en   tres   partes   en   las   que   se   explicará   el   tema   de   la   relación   entre   geometría   y  álgebra.  En  el  presente   texto,  hemos  decidido   trabajar  con  mayor  profundidad   la  recta  proyectiva,  que  el  de  plano  proyectivo.  La  razón  de  lo  anterior,  es  que  en  la  presente   representación   del   seminario   se   busca   mostrar   cuidadosamente   y   de  manera   especifica,   la   construcción   de   la   geometría   alrededor   del   álgebra.   No  obstante  al   final  de   la  documentación  se  hará  referencia   también  a   los  conceptos  también    mencionados  en  la  presentación  y  que  son  igualmente  importantes  en  su  desarrollo.        Primera  Parte:  Un  buen  comienzo  para  entender  la  relación  entre  geometría  y  álgebra,  es  definir  el  Grupo  Lineal  GL  (2),  el  cual  se  define  de  la  siguiente  forma:    

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 GL(2)= 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ∈ ℝ ∶ 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0  Esto   es   el   conjunto   de   todas   las  matrices  2x2  con  determinante  diferente  de  cero.        Seguido  de  la  definición  podemos  ver  que  el  Grupo  Lineal  (GL(2))  es  un  grupo  bajo  la  operación  producto  (*).      Para   ver   que   un   conjunto   es   un   grupo   bajo   una   operación   debemos   ver   que   se  cumplen  las  siguientes  tres  condiciones:     i)  La  operación  es  asociativa.     ii)  Existe  un  elemento  de  identidad.     iii)  Existen  un  elemento  inverso.    Demostrsción:  Para  demostrar   que  GL(2)   es   un   grupo  bajo   *,   verificaremos  que   se   cumplen   las  tres  condiciones  mencionadas.  i)  Para  ver  que  la  multiplicación  de  elementos  de  GL(2)  es  asociativa  consideremos  las  siguientes  tres  matrices:    A= 𝑝 𝑞

𝑢 𝑟                            B=𝑥 𝑦𝑤 𝑧                          C=

𝑎 𝑏𝑐 𝑑  

 Queremos  ver  que:  (A*B)*C=A*(B*C).  Comencemos  por  el  lado  de  la  derecha  realizando  la  multiplicación  A*B:    A*B= 𝑝 𝑞

𝑢 𝑟 ∗ 𝑥 𝑦𝑤 𝑧 =

𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 𝑢𝑦 + 𝑟𝑧  

 Ahora  veamos:  (A*B)*C:    

𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 =𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 𝑢𝑦 + 𝑟𝑧 ∗ 𝐶 =

𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 𝑢𝑦 + 𝑟𝑧 ∗ 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑    

= 𝑎 𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 + 𝑐(𝑝𝑦 + 𝑞𝑧) 𝑏 𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 + 𝑑(𝑝𝑦 + 𝑞𝑧)𝑎 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 + 𝑐(𝑢𝑦 + 𝑟𝑧) 𝑏 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 + 𝑑(𝑢𝑦 + 𝑟𝑧)  

 Finalmente  tenemos:    

(A*B)*C= 𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑞𝑤 + 𝑐𝑝𝑦 + 𝑐𝑞𝑧 𝑏𝑝𝑥 + 𝑏𝑞𝑤 + 𝑑𝑝𝑦 + 𝑑𝑞𝑧𝑎𝑢𝑥 + 𝑎𝑟𝑤 + 𝑐𝑢𝑦 + 𝑐𝑟𝑧 𝑏𝑢𝑥 + 𝑏𝑟𝑤 + 𝑑𝑢𝑦 + 𝑑𝑟𝑧  

 Ahora   Realicemos   la   operación   A*(B*C)   con   el   fin   de   demostrar   que   como  resultado   se   obtiene   la   misma   matriz   obtenida   anteriormente   y   resaltada   en  amarillo.      

𝐵 ∗ 𝐶 = 𝑥 𝑦𝑤 𝑧 ∗ 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 = 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑𝑤𝑎 + 𝑧𝑐 𝑤𝑏 + 𝑧𝑑  

 Ahora  veamos:  A*(B*C):  

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 A*(B*C)=𝐴 ∗ 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑

𝑤𝑎 + 𝑧𝑐 𝑤𝑏 + 𝑧𝑑 = 𝑝 𝑞𝑢 𝑟

𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑𝑤𝑎 + 𝑧𝑐 𝑤𝑏 + 𝑧𝑑  

= 𝑝 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 + 𝑞(𝑤𝑎 + 𝑧𝑐) 𝑝 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑 + 𝑞(𝑤𝑏 + 𝑧𝑑)𝑢 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 + 𝑟(𝑤𝑎 + 𝑧𝑐) 𝑢 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑 + 𝑟(𝑤𝑏 + 𝑧𝑑)  

 

= 𝑝𝑥𝑎 + 𝑝𝑦𝑐 + 𝑞𝑤𝑎 + 𝑞𝑧𝑐 𝑝𝑥𝑏 + 𝑝𝑦𝑑 + 𝑞𝑤𝑏 + 𝑞𝑧𝑑𝑢𝑥𝑎 + 𝑢𝑦𝑐 + 𝑟𝑤𝑎 + 𝑟𝑧𝑐 𝑢𝑥𝑏 + 𝑢𝑦𝑑 + 𝑟𝑤𝑏 + 𝑟𝑧𝑑  

 Podemos   ordenar   los   términos   de   la   anterior   matriz   teniendo   en   cuanta   que   la  multiplicación  es  conmutativa:    

= 𝑎𝑝𝑥 + 𝑐𝑝𝑦 + 𝑎𝑞𝑤 + 𝑐𝑞𝑧 𝑏𝑝𝑥 + 𝑑𝑝𝑦 + 𝑏𝑞𝑤 + 𝑑𝑞𝑧𝑎𝑢𝑥 + 𝑐𝑢𝑦 + 𝑎𝑟𝑤 + 𝑐𝑟𝑧 𝑏𝑢𝑥 + 𝑑𝑢𝑦 + 𝑏𝑟𝑤 + 𝑑𝑟𝑧  

 Finalmente   podemos   ordenar   los   términos   de   la   anterior   matriz   teniendo   en  cuenta  que  la  suma  es  conmutativa:    

A*(B*C)= 𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑞𝑤 + 𝑐𝑝𝑦 + 𝑐𝑞𝑧 𝑏𝑝𝑥 + 𝑏𝑞𝑤 + 𝑑𝑝𝑦 + 𝑑𝑞𝑧𝑎𝑢𝑥 + 𝑎𝑟𝑤 + 𝑐𝑢𝑦 + 𝑐𝑟𝑧 𝑏𝑢𝑥 + 𝑏𝑟𝑤 + 𝑑𝑢𝑦 + 𝑑𝑟𝑧  

 Hemos  obtenido  la  misma  matriz  que  resultaba  de  la  multiplicación  (A*B)*C  luego  podemos   concluir   que   (A*B)*C=   A*(B*C)   entonces   la   operación   producto   es  asociativa.    ii)   A   continuación   revisamos   la   propiedad   de   identidad,   esto   quiere   decir   que  existe   en   GL(2)     un   elemento   de   identidad   (también   llamado   neutro)   tal   que   al  multiplicar  cualquier  matriz  de  GL(2)  por  el  elemento  neutro,  obtenemos  la  misma  matriz.  Para   esto,   queremos   ver   que   dada   una  matriz   A,   y   una   identidad   I   se   tiene   que  A*I=A,  y  I*A=A    Para  empezar  tomamos  las  siguientes  matrices:      A= 𝑝 𝑞

𝑢 𝑟                            I=1 00 1  

 Queremos  ver  lo  propuesto  anteriormente  y  para  ello  realizamos  el  producto  entre  A  e  I:    A*I= 𝑝 𝑞

𝑢 𝑟 ∗ 1 00 1 = 1 ∗ 𝑝 + 0 ∗ 𝑞 0 ∗ 𝑝 + 1 ∗ 𝑞

1 ∗ 𝑢 + 0 ∗ 𝑟 0 ∗ 𝑢 + 1 ∗ 𝑟 = 𝑝 𝑞𝑢 𝑟  

 Para  que   la  demostración  este  completa  es  necesario  verificar  el  sentido  opuesto  de  la  operación  producto  entre  I  y  A:      I*A= 1 0

0 1 *𝑝 𝑞𝑢 𝑟 =  

1𝑝 + 0𝑞 0𝑝 + 1𝑞1𝑢 + 0𝑟 0𝑢 + 1𝑟 = 𝑝 𝑞

𝑢 𝑟    

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Claramente  I  pertenece  a  GL(2),    pues  1  y  0  son  números  reales,  y  el  determinante  de  esa  matriz  es  1,  y  por  lo  tanto  diferente  de  cero.  Luego  la  matriz  I  es  identidad  de  GL  (2).    iii)   Finalmente   veamos   la   propiedad  de   inverso,   esto  quiere  decir   que  para   cada  matriz  que  pertenece  a  GL(2)  existe  una  matriz  inversa  (𝐴!!)    tal  que  A*𝐴!!=I    Para   realizar   dicho  procedimiento  podemos   tomar   cualquier  matriz   de   la   forma:    A= 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑  y  hallamos  su  inversa.      Para   hallar   la   inversa   de   una  matriz,   tomamos   el   producto   entre   el   inverso   del  determinante  y   la  matriz  resultante  al  multiplicar  b  y  c  por   -­‐1  e   intercambiar   las  posiciones  entre  a  y  d.  Cuando  lo  operamos  el  resultado  es  el  siguiente:    

𝐴!! =1

𝑎𝑑 − 𝑐𝑑𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎 =

𝑑𝑎𝑑 − 𝑐𝑏

−𝑏𝑎𝑑 − 𝑐𝑏

−𝑐𝑎𝑑 − 𝑐𝑏

𝑎𝑎𝑑 − 𝑐𝑏

 

Verifiquemos   ahora   que   en   efecto,   la   matriz   mencionada   es   la   inversa   de   A,  multiplicando  ambas  para  ver  si  obtenemos  la  matriz  de  identidad:    

A*𝐴!! = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑  *

!!"!!"

!!!"!!"

!!!"!!"

!!"!!"

=!"!!"!"!!"

!!"!!"!"!!"

!"!!"!"!!"

!!"!!"!"!!"

= 1 00 1 = 𝐼  

 Teniendo   en   cuenta   el   procedimiento   anterior,   podemos   concluir   que   para  cualquier  matriz  de  2x2  que  pertenezca  a  GL  (2)    es  posible  encontrar  su  inversa  y  operándola  con  la  matriz  original  obtenemos  la  matriz  de  identidad.      Hemos  visto  que  GL(2)  bajo  la  operación  producto,  cumple  con  las  tres  condiciones  mencionadas   anteriormente,   luego   podemos   decir   que   es   un   grupo,   y   lo  representamos  de  la  siguiente  forma:  <GL(2),  *>.∎      Seguido   de   el   grupo   Lineal   GL(2)   procedemos   a   definir   el   conjunto   de  matrices  escalares  que  lo  representaremos  con  la  letra  Τ.    T= 𝐵   ∈  𝐺𝐿 2 ∶ 𝐵 = 𝜆𝐼,      𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠ 0  Es  decir  el  conjunto  de  todas  las  matrices      B= 𝜆 0

0 𝜆  Donde  𝜆  es  un  número  real.    Para  continuar,  demostraremos  que  T  es  un  subgrupo  de  GL(2)  bajo  la  operación  producto,  esto  significa  que  cumple  con  las  siguientes  características:       i)  T  es  subconjunto  de  GL(2)  (T⊆GL(2)).     ii)  T  también  es  un  grupo  bajo  la  operación  *     iii)  I  pertenece  a  T  (I∈ 𝑇).     iv)  T  es  diferente  de  vacío  (T≠ ∅).  

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  v)  T  es  cerrado  bajo  *,  esto  es  que  para  cualquier  par  de  matrices  en  T,  al  ser  multiplicadas  estas  dos,  el  resultado  es  otra  matriz  que  pertenece  a  T.  

 Demostración:    i)  Veamos  que  cualquier  elemento  en  T,  también  pertenece  a  GL  (2).    Habíamos  visto  que  los  elementos  de  T  son  matrices  de  la  forma:  𝜆 00 𝜆  dónde  𝜆  es  un  número  real  diferente  de  cero.  Tenemos  que  el  determinante  de  cualquier  matriz  de  este  tipo  es  𝜆!  y  es  diferente  de  cero,  puesto  que  lambda  es  diferente   de   cero   (por   definición).   Así   que   tenemos   que   cualquier   elemento   que  pertenece  a  T,  es  una  matriz  2x2  con  determinante  diferente  de  cero,  y   sabemos  que   lambda   y   cero   son   números   reales,   luego   se   cumplen   las   dos   características  necesarias  para  pertenecer  a  GL(2),  y  por  lo  tanto  todo  elemento  de  T  pertenece  a  GL(2).      ii)  Para  ver  que  T   también  es  un  grupo  bajo   la  operación  *,  es   suficiente  con  ver  que   las   matrices   en   T   ,   no   son   más   que   casos   específicos   de   matrices   que  pertenecen   a   GL(2).   En   la   demostración   anterior   habíamos   visto   que   todos   los  elementos  de  GL(2)  cumplen  las  características  necesarias  para  considerar  a  GL(2)  como  un  grupo  luego  T  también  cumple  esas  características.      iii)  Habíamos  visto  que  I  era  la  matriz:  I= 1 00 1 ,  En  particular,  I  es  de  la  forma:  

𝜆 00 𝜆  dónde  lambda  es  igual  a  1,  y  1  es  un  

número  real,  luego  I  pertenece  a  T.    iv)  Acabamos  de  ver    que  I  pertenece  a  T,  luego    necesariamente  T  es  diferente  de  vacío,  pues  al  menos  un  elemento  pertenece  (I).  Además  existen  muchos  elementos  más  que  pertenecen  a  T,  pues  a  T  pertenecen  matrices  de  la  forma  ya  mencionada,  y  se  puede  tomar  lambda  como  cualquier  número  real.    v)  Tomemos  cualesquiera  dos  matrices  que  pertenezcan  a  T:      A= 𝜆 0

0 𝜆            B=𝜏 00 𝜏  dónde  𝜆, 𝜏 ∈ ℝ  

 A*B= 𝜆 0

0 𝜆  *  𝜏 00 𝜏 =   𝜆𝜏 0

0 𝜆𝜏  Como  𝜆, 𝜏  son  números  reales  diferentes  de  cero,  la  multiplicación  entre  ellos  también  es  un  número  real  diferente  de  cero,  luego  el  producto  de  ambas  matrices  también  pertenece  a  T.      Como  T  cumple  con  todas  las  características  mencionadas,  T  es  un  subgrupo  de  GL  (2).  ∎      Segunda  Parte:  Para  continuar,  veremos  la  definición  de  un  subgrupo  normal  de  un  grupo.    

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A)  Definición:  Dado  un  grupo  G,   y  un   subgrupo    N   (de  G),  decimos  que  N  es  un  subgrupo  normal  de  G,  si  N  es  un  subgrupo  invariante  por  conjugación.  Esto  es,  se  cumple  que  ∀  𝑛 ∈ 𝑁,∀  𝑔 ∈ 𝐺  Se  tiene  que  𝑔!! ∗ 𝑛 ∗ 𝑔 ∈  N.    B)  De  esta  forma  se  puede  demostrar  que  T  es  un  subgrupo  normal  de  GL(2)  Demostración:  Veamos:  Sean  A  ∈  GL(2)  y  C  ∈  T,  Se    tienen  las  siguientes  matrices  

A= 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝐴!!  =  

!!"!!"

!!!"!!"

!!!"!!"

!!"!!"

C= 𝜆 00 𝜆  

   Realizando  la  multiplicación  correspondiente  se  tiene:    

𝐴!! ∗  C  ∗  A=  !

!"!!"!!

!"!!"!!

!"!!"!

!"!!"

∗ 𝜆 00 𝜆 ∗   𝑎 𝑏

𝑐 𝑑  =    !

!"!!"!!

!"!!"!!

!"!!"!

!"!!"

∗ 𝜆𝑎 𝜆𝑏𝜆𝑐 𝜆𝑑  

 

=  !"#!!"#!"!!"

!"#!!"#!"!!"

!!"#!!"#!"!!"

!!"#!!"#!"!!"

=    !"#!!"#!"!!"

0

0 !!"#!!"#!"!!"

 Tenemos  nuevamente  una  matriz  de  

la  forma  de  las  matrices  que  pertenecen  al  conjunto  de  matrices  escalares,  pues  las  fracciones  que  aparecen  en  la  última  matriz  son  números  reales,  puesto  que  todos  los  números  que  hacen  parte  de  estas  también  los  son.      Luego   podemos   decir   que   el   resultado   de   la   multiplicación   mencionada   es   una  matriz  que  pertenece  a  T.  Concluimos  que  T  es  un  subgrupo  normal  de  GL(2).  ∎    C)  Ahora  Definiremos  el  Grupo  Proyectivo  (PGL  (1))  cómo  un  conjunto  cociente.      Definición:    PGL  (1)  =  GL(2)/T  Esto  es  un  Conjunto  cuyos  elementos  son  clases  de  equivalencia,  que  a  su  vez  son  conjuntos  de  elementos  equivalentes  mediante  una  relación.  Para  explicar   lo   anterior   de   una   mejor   forma   establezcamos   una   relación   de  equivalencia  (~)  entre  elementos  de  GL(2).      Dados   dos   elementos  𝑔, ℎ   ∈ 𝐺𝐿 2 Decimos   que  𝑔  𝑦  ℎ  están   relacionados(𝑔~  ℎ)  si  y  solo  si  existe  una  matriz  𝑡   ∈  T  tal  que  𝑔 = 𝑡 ∗ ℎ.    Podemos   ver,   que   la   relación   mencionada,   es   en   efecto   una   relación   de  equivalencia:    Proposición:  ~  es  una  relación  de  equivalencia,  esto  es,  es  una  relación  reflexiva,  simétrica,  y  transitiva.    i)  Reflexividad:  Veamos  que  para  toda  matriz  A  ∈  GL(2),  A  ~  A.    Esto  es,  Existe  𝑡 ∈  T  tal   que   A=t*A.   En   realidad,   basta   con   tomar   t=I,   que   como   ya   vimos   cualquier  matriz   de   GL(2)   al   ser   multiplicada   por   la   identidad,   el   resultado   es   la   matriz  original.    ii)  Simetría:  Veamos  que  para  todas  las  matrices  en  GL(2),  si  A  ~  B,  entonces,  B~  A.  

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Para  esto  Tomemos  las  matrices:      A= 𝑝 𝑞

𝑢 𝑟                            B=𝑥 𝑦𝑤 𝑧  

 Si  A  ~  B  entonces  existe  una  matriz  𝑡 ∈  T  tal  que  A=𝑡 ∗  B,  es  decir:    𝑝 𝑞𝑢 𝑟  =  

𝜆 00 𝜆 ∗ 𝑥 𝑦

𝑤 𝑧  =  𝜆𝑥 𝜆𝑦𝜆𝑤 𝜆𝑧

   Ahora   necesitamos   encontrar   una   matriz   en   GL(2)   tal   que   B=t’   *   A,   para   esto  tomemos  t’=𝑡!!.      

𝑡!! =!!

0

0 !!

 Se  tiene  que  𝑡!!  pertenece  a  T,  pues  !!  es  un  número  real.  

Tenemos:    

1𝜆 0

01𝜆

∗ 𝜆𝑥 𝜆𝑦𝜆𝑤 𝜆𝑧

= 𝑥 𝑦𝑤 𝑧 = 𝐵  

 De  esta  forma  B~  A.  Finalmente    tenemos  que  si  A  ~  B  también  se  tiene  que  B~  A,  por  lo  tanto,  la  relación  es  simétrica.      iii)  Transitividad:  Veamos  que  si  A  ~  B  y  B  ~  C  Entonces.  A~  C.  Tenemos  A=t  *  B  y  B=t’  *  C  luego  tenemos  que  A=  t  *  (t’  *  C)  y  por  asociatividad  de  la  operación  antes  demostrada,    tenemos  A=(t*t’)  *  C.  En  Donde  t*t’,  es  una  matriz  escalar  puesto  que  tanto  t  como  t’  lo  son,  luego  el  producto  entre  ellas  también  lo  es.  Así  que  tenemos:  A  ~  C.  Por  lo  tanto  ~  es  una  relación  transitiva.    Finalmente   concluimos   que  ~  es   una   relación   de   equivalencia,   pues   es   una  relación,  reflexiva,  simétrica  y  transitiva.    De  esta   forma  se  pueden  crear  clases  de  equivalencia  entre  diferentes  elementos  de  GL(2),  y  el  Grupo  proyectivo  se  define  como  el  conjunto  de  todas  estas  clases  de  equivalencia.      Para  poner  un  ejemplo  concreto,  podemos  tomar  las  siguientes  matrices:      A=   2 1

1 1  y    B=  4 22 2  Tenemos  B  ~  A          pues  B=t*A      en  dónde    

 t=   2 0

0 2      D)  Finalmente  se  define  la  Recta  Proyectiva  (P1).    

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Antes  de  definir  la  Recta  proyectiva,  definiremos  los  puntos  Proyectivos.  Definición:   Un   punto   proyectivo   es   una   recta   euclidiana   que   en   un   plano  cartesiano  pasa  por  el  origen.      De  esta  manera  se  puede  definir  la  Recta  Proyectiva:    Definición:  La  Recta  Proyectiva  es  el  conjunto  de  puntos  proyectivos.      En   este   punto   es   importante   mencionar,   que   existen   múltiples   modelos   de  representar  la  recta  proyectiva,  y  muchas  veces  se  puede  representar  únicamente  cómo   el   conjunto   de   todas   las   rectas   euclidianas,   que   pasan   por   el   origen,   no  obstante,  para  las  posteriores  demostraciones,  se  introducirá  el  siguiente  modelo.    Uno   de   los   modelos   más   comunes   para   representar   la   Recta   Proyectiva,   es  representar  cada  punto  proyectivo,  mediante  un  sistema  de  coordenadas  en  el  que  se  presenta  explícitamente  la  coordenada  en  el  eje  x    que  corresponde  al  corte  de  cada  punto  proyectivo  con  la  recta  y=1.    De  esta  forma,  cada  punto  proyectivo  puede  representarse  de  la  forma  (α,1)  dónde  α   es   un   número   real.   Puesto   que   los   puntos   proyectivos   se   definieron   como   las  rectas  que  pasaban  por  el  origen,  basta  mencionar  sólo  el  punto  de  intersecto  con  la  recta  y=1  puesto  que  el  punto  (0,0)  se  toma  por  conocido  para  cualquier  punto  proyectivo.      No  obstante  el  anterior  modelo  deja  por  fuera  un  punto  proyectivo:  la  recta  y=0.  El  anterior  punto  proyectivo  se  conoce  cómo  un  punto  al  infinito,  y  se  representa  de  la  siguiente  forma:  (β,0)  dónde  β  es  un  número  real.      Tercera  Parte:    En   la   tercera   parte   es   dónde   se   evidencia   la   relación   entre   la   geometría   y   el  algebra.  Para  ver  esto  primero  se  definirán  las  transformaciones  proyectivas.      A)  Transformaciones  proyectivas:  Definición:   Una  Transformación   proyectiva   (también   llamada  Homografía)   es   el  resultado  de  multiplicar  una  matriz  de  transformación  perteneciente  a  PGL(2)  (Se  puede   seleccionar   cualquier   matriz   de   una   clase   de   equivalencia)   por   un   punto  proyectivo.   Lo   anterior   se   conoce   cómo   la   acción   de   PGL(2)   sobre   la   recta  proyectiva.    Para  mostrar  la  anterior  utilicemos  un  ejemplo:  Sean  A  una  matriz  perteneciente  a  PGL  (2),  y  P  un  punto  proyectivo:      A= 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑    P=!! Tenemos,  podemos  realizar  el  producto  A*P:  

 𝑎 𝑏𝑐 𝑑  ∗ 𝛼

1  =  !"!!!"!! = 𝑃  El   resultado   es   la   transformación   proyectiva   de   la  

matriz  de  transformación  A,  sobre  el  punto  proyectivo  P,  y  se  simboliza  𝑃.    

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Antes  habíamos  visto  que  para  estudiar   geometría,   se  deben   tener   en   cuenta   los  objetos  en  el  espacio,    y  las  transformaciones  entre  ellos.  Así,  podemos  considerar  los  puntos  proyectivos,   como   los  objetos  de  estudio,  y  como  vimos  siempre  se   le  puede   hacer   una   transformación   a   cada   punto,   esto   es   un   movimiento   cuyo  resultado  es  transformar  un  punto  proyectivo,  en  otro.    Por  otro  lado,  hemos  visto  cómo  se  puede  considerar  a  GL(2)  como  un  grupo,  ya  a   la  recta  proyectiva  como  GL(2)   partido   por   una   relación   de   equivalencia,   lo   que   se   considera   la  fundamentación  algebraica.  De  este  modo,  cuando  realizamos  una  transformación,  siempre   se   están   teniendo   en   cuenta   tanto   los   objetos   del   espacio,   como   la  fundamentación  algebraica  de  PGL(2).  En  este  momento,  es  dónde  se  encuentra  la  relación  más  cercana    entre  geometría  y  álgebra.    En   el   final   de   la   conferencia,   se   definieron   los   conceptos   de   razones   simples   y  razones  dobles:    B)  Definamos  Razones  Simples  y  Razones  Dobles:    Cómo   ya   vimos   los   puntos   proyectivos   se   pueden   representar   mediante   su  coordenada  en  x  que  corresponde  al  punto  de  corte  entre  el  punto  proyectivo  y  la  recta   y=1.   Esta   coordenada   en   x   se   simbolizará   mediante   una   minúscula   según  corresponde   a   cada   punto.   Por   ejemplo   para   el   punto   proyectivo  A,   se   tomará   a  como  esta  coordenada.    De  esta  forma  podemos  definir  razones  simples  y  razones  dobles:    Definición:  Razón  Simple.  Para   tres  puntos  proyectivos  A,  B  y  C   la   razón   simple  ((ABC))  se  define  cómo:      (ABC)=

!!!!!!

   Definición:   Razón  Doble.   Para   cuatro   puntos   proyectivos   A,B,C,D   la   razón   doble  ((ABCD))  se  define  cómo:      

(ABCD)=(!"#)(!"#)

=  !!!!!!!!!!!!

=   (!!!)(!!!)(!!!)(!!!)

 

 C)A  Partir  de  lo  anterior,  se  puede  plantear  la  siguiente  proposición:    Proposición:   La   Razón   Doble   es   una   invariante   de   las   transformaciones  proyectivas.   Esto   quiere   decir,   que   si   se   toman   cuatro   puntos,   la   razón   doble   de  ellos  no  cambiará  si  se  les  aplica  una  transformación.    Para  demostrar  la  anterior  proposición  realizaremos  el  siguiente  procedimiento:      Dados   los   siguientes   cuatro   puntos   proyectivos   A,B,C,D   y   la   matriz   de  transformación  P:    A= !

! ,  B= !! ,  C=

!! ,  D= !

! ,  P=𝑤 𝑥𝑦 𝑧  

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 Se  tiene  que:      

(ABCD)=(!!!)(!!!)(!!!)(!!!)

 

 A  la  vez  podemos  transformar  cada  punto  con  la  matriz  de  transformación:    

𝐴 =𝑤𝑎 + 𝑥𝑦𝑎 + 𝑧

,𝐵 =𝑤𝑏 + 𝑥𝑦𝑏 + 𝑧

,𝐶 =𝑤𝑐 + 𝑥𝑦𝑐 + 𝑧

𝐷 =𝑤𝑑 + 𝑥𝑦𝑑 + 𝑧

   Y  podemos  calcular  su  respectiva  razón  doble:    

(𝐴𝐵𝐶𝐷) =   (!"!!! !"!! )(!"!!!(!"!!))(!"!!!(!"!!))(!!!!!(!"!!))

=   (!"!!")(!"!!")(!"!!")(!"!!")

 

 

=  𝑤 𝑑 − 𝑏 𝑤(𝑐 − 𝑎)𝑤 𝑑 − 𝑎 𝑤(𝑐 − 𝑏)

=(𝑑 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎)(𝑑 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏)

=  (𝑐− 𝑎)(𝑑− 𝑏)(𝑐− 𝑏)(𝑑− 𝑎)  

 Al  final  obtenemos  la  misma  razón  doble  que  la  de  los  puntos  sin  transformación.  Se   tiene   que   la   razón   doble   es   igual   para   las   puntos   proyectivos,   y   para   sus  transformaciones.   Concluimos   que   la   razón   doble   es   una   invariante   de   las  transformaciones  proyectivas.    Nuevamente   tenemos  un   caso  en  el  que  podemos  observar   la   construcción  de   la  geometría  alrededor  del  álgebra,  pues  en  el  caso  de  la  razón  doble  como  invariante  de   las   transformaciones   proyectivas   se   están   considerando   puntos   proyectivos  (objetos  geométricos)  y  sus  transformaciones  a  partir  de  matrices  de  GL(2)  como  un  grupo  bajo  la  operación  producto,  que  es  una  fundamentación  algebraica.        D)  Finalmente  veamos  un  ejemplo  gráfico  de  lo  anterior.      Dados  los  siguientes  puntos  y  la  siguiente    matriz  de  transformación  (P):    A= !!

! ,  B= !!! ,  C= !

! ,  D= !! ,  P=

1 31 6  

 Podemos  calcular  sus  respectivas  transformaciones:    

𝐴 =−12

,𝐵 =25,𝐶 =

47,𝐷 =

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 A   continuación   se   representan   en   un   plano   cartesiano   los   puntos   proyectivos  mencionados   (en   azul)   mediante   el   modelo   establecido,   y   sus   respectivas  transformaciones   (en   verde).   La   línea   roja   indica   la   recta   y=1,   establecida   en   el  modelo  de  representación  de  puntos  proyectivos.  

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     Finalmente   mostraremos   las   definiciones   complementarias,   que   nos   ayudarán   a  documentar  el  seminario  de  una  manera  más  cercana.      Definiciones  Complementarias:    A)  Grupo  Lineal  tridimensional  (GL  (3)):  es  el  conjunto  de  matrices  3x3  invertibles.  Con  la  operación  producto,  se  cumple:    1. Asociatividad  de  la  operación.  2. Existe  elemento  de  Identidad.  3. Existe  elemento  Inverso.    En  otras  palabras,  GL(3)  también  es  un  grupo  bajo  la  operación  producto.    Para  GL(3)  también  existe  grupo  de  matrices  escalares  (T3):    

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T3=  {  𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆

   :  𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠ 0  }.  

 También  se  cumple  que  T3  es  un  subgrupo  de  GL(3).  (Arteaga,  2011)      B)   Grupo  proyectivo   (Gp):   También   se   define   según   clases   de   equivalencia   de   la  siguiente  forma:  Dos  matrices  a,  b  ∈  GL(3)  son  equivalentes  si  existe  una  matriz  escalar  t  en  T3    tal  que  a  =  b      ×  t.  (Arteaga,  2011).    C)  Plano  proyectivo:  El  plano  proyectivo  tratado  en  la  conferencia,  hace  referencia  al  conjunto  de  todas  las  rectas  en  ℝ3    que  pasan  por  el  origen  (0,0,0).      De  manera   similar,   podríamos   realizar   la   construcción   ya   realizada   con   (GL(2)),  para  el  caso  de  GL(3),  y  su  correspondiente  grupo  proyectivo.      Finalmente,   se   pueden   obtener   las   siguientes   conclusiones   después   de   haber  realizado  la  documentación  de  la  conferencia.        Conclusiones:    Después   de   asistir   a   la   conferencia,   y   realizar   la   respectiva   documentación,  podemos  decir,   que   se  puede   fundamentar   la   geometría   a  partir   de  una   relación  con  el  álgebra.  Para  el  caso  de  GL(2)  esta  relación  fue  mostrada  con  claridad  y  por  medio   de   demostraciones   concretas.   Además   el   plano   cartesiano   funcionó   para  representar  de  manera  gráfica   la   teoría  que   fue   tratada  durante  el   texto.  Aunque  las   definiciones   complementarias   no   se   trabajaron   de   forma   profunda   en   el  presente   texto,   se  podría   realizar  un  procedimiento  parecido,   y   la   relación   entre  geometría  y  álgebra  se  vería  de  forma  similar.  Aún  así  la  presente  documentación  muestra  el  que  puede  ser  el  objetivo  más   importante  del   seminario  Una  relación  entre   la   Geometría   y   el   Álgebra   (Arteaga,   2011):   establecer   la   relación   existente  entre  dos  ramas  de  las  matemáticas:  la  geometría,  y  el  álgebra.          Referencias.    

1. Arteaga,   J.R.   Una   relación   entre   la   Geometría   y   el   Álgebra.   (Seminario   se  Matemáticas)  Universidad  de  los  Andes.  Bogotá  D.C.  (Agosto  22,  2011).  

2. Encuentros  personales  con  el  autor.  3. Arteaga,   J.R.   (2011,   Noviembre).   Una   Relación   entre   la   Geometría   y   el  

Álgebra.   Recuperado   12   de   Noviembre   de   2011   del   sitio   Web:  http://arxiv.org/abs/1111.1606