INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA

EVALUACIÓN DE DISEÑO FACTORIAL CON DOS FACTORES Y DISEÑO FACTORIAL CON TRES

FACTORES

PRESENTAN:

HERNÁNDEZ NAVA ABRAHAM

MEZA LUZ DAVID

NOVIEMBRE,2009

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA

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EVALUACIÓN DE DISEÑO FACTORIAL CON DOS FACTORES Y DISEÑO FACTORIAL CON TRES

FACTORES

PRESENTAN:

ESCALANTE CHÁVEZ MARÍA GUADALUPE

HERNÁNDEZ NAVA ABRAHAM

MEZA LUZ DAVID

VALENCIA HERNÁNDEZ EMMANUEL

VÁZQUEZ MONROY IRMA IRENE

ING. Me. URIBE RIOS GLORIA

EVALUADOR

PACHUCA DE SOTO, HIDALGO, NOVIEMBRE,2009

AGRADECIMIENTOS

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A por su dedicación, entrega y empeño en la labor de recopilar información teórica, que es la base para el entendimiento del desarrollo de diseño factorial y que además respecta al Capítulo I.

A David por su afán de investigador al desarrollar teórica y prácticamente el diseño con dos factores incluidos en el Capítulo II.

A Abraham por su importante y valiosa aportación en el diseño de tres factores apoyándose para un mejor entendimiento en un ejemplo de la vida real observado en el Capítulo III.

A por la ardua labor de recapitular la información en conjunto y desarrollarla a manera de entregarla como un buen trabajo de investigación.

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INTRODUCCION

Los experimentos factoriales se usan en casi todos los campos de investigación. Son de gran valor en el trabajo exploratorio (Niveles óptimos o combinación óptima de los factores).

Un diseño factoriales aquel en el que el conjunto de tratamientos esta conformado por todas las posibles combinaciones de los distintos niveles de los factores involucrados.

En estadística, un experimento factorial completo es un experimento cuyo diseño consta de dos o más factores, cada uno de los cuales con distintos valores o "niveles", y cuyas unidades experimentales cubren todas las posibles combinaciones de esos niveles en todo los factores. Este tipo de experimentos permiten el estudio del efecto de cada factor sobre la variable respuesta, así como el efecto de las interacciones entre factores sobre la dicha variable.

Por ejemplo, con dos factores y dos niveles en cada factor, un experimento factorial tendría en total cuatro combinaciones de tratamiento, y se le denominaría diseño factorial de 2×2.

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CAPÍTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

CAPÍTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS EN DISEÑO FACTORIAL

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El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o características de calidad, es decir, lo que se busca es estudiar la relación entre los factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor como es esta relación y generar conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeño del proceso. Por ejemplo uno de los objetivos particulares más importantes que en general tiene un diseño factorial es encontrar nuevas condiciones de operación del proceso que eliminen o disminuyen cierto problema de calidad en la variable de salida.

Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para poder estudiar la manera en que influye cada factor sobre la variable de respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de pruebas para cada uno de ellos (tres máquinas, dos operadores, tres velocidades, dos temperaturas). Con el diseño factorial completo se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados.

DEFINICIONES:

Diseño factorial: Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas.

Factor cualitativo: Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal que no pueden ser fracciones. Ejemplos: máquinas, lotes, marcas, etc.

Factor cuantitativo: Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, como por ejemplo temperatura, velocidad, presión, etc.

Arreglo factorial: Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinación de los niveles de los factores.

Efecto de un factor: Es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel en el factor.

Efecto principal: Es igual a la respuesta promedio observada en el nivel alto de un factor menos la respuesta promedio en el nivel bajo.

Efecto de interacción: Dos factores interactúan significativamente sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que está el otro.

VENTAJAS DE LOS DISEÑOS FACTORIALES:

1. Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se requiera una exploración más completa.

2. Se pueden corres fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando

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interesa descartar de manera económica los que no son importantes, antes de hacer un estudio más detallado con los factores que sí son importantes

3. Pueden utilizarse en combinación con diseños de bloques en situaciones en las que no puede correrse todo el diseño factorial completo bajo las mismas condiciones o circunstancias.

4. La interpretación y cálculo de los efectos en los experimentos factoriales se puede hacer con aritmética elemental, en particular cuando cada factor se prueba en dos niveles.

1.1.1 DISEÑO FACTORIAL GENERAL

Considere f factores A, B, C,…, K con niveles a, b, c,…, k respectivamente, donde la letra K denota al f-ésimo o último factor del conjunto a estudiar, no necesariamente al décimoprimero que es lugar de esta letra en el alfabeto. Con estos niveles y factores se puede construir el diseño factorial general a x b x … x k, que consiste de a x b x … x k tratamientos o puntos de prueba. Con este diseño se pueden estudiar f efectos principales, f(f-1)/2 interacciones dobles, f(f-1)(f-2)/(3 x 2) interacciones triples, y así sucesivamente hasta la única interacción de los f factores (ABC…K). el cálculo del número de interacciones de cierta cantidad m de factores se hace mediante la operación

“combinaciones de f en m“ que cuenta el número de

maneras diferentes de seleccionar m factores de los f, donde f! = f x (f-1) x … x 2 x 1. En resumen con el factorial general descrito se pueden estudiar los siguientes 2f – 1 efectos.

1.1.2 PASOS PARA EL ANÁLISIS FACTORIAL

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Primer paso: Objetivos del análisis factorial

El punto de comienzo en el análisis factorial es el problema objeto de investigación. El propósito general de las técnicas analíticas de factores es encontrar una manera de resumir la información contenida en una serie de variables originales en una serie mas pequeña de dimensiones compuestas o factores nuevos con una mínima perdida de datos.

Las técnicas del análisis factorial pueden satisfacer cualquiera de estos 2 objetivos:

1. La identificación de estructura mediante el resumen de datos2. La reducción de datos

1. La identificación de estructura mediante resumen de datos

El análisis factorial puede identificar la estructura de las relaciones entre las variables mediante la investigación de las correlaciones entre las variables. Por ejemplo supongamos que tenemos 100 encuestados basados en 10 características. Si el objetivo de la investigación fuera el resumen de las características, se aplicara el análisis factorial a una matriz de correlación de las variables. A este tipo de análisis factorial se le conoce como análisis factorial R. Éste analiza una serie de variables para identificar las dimensiones que son latentes (que no son fáciles de observar). También se puede aplicar el análisis factorial a la matriz de correlación de los encuestados individuales basada en sus características. A éste tipo se le denomina análisis factorial Q, siendo un método para combinar grandes grupos de personas en grupos claramente diferentes dentro de una población mayor. Pero generalmente para analizar este tipo de cuestiones se utiliza el tipo de análisis cluster.

2. Reducción de datos

El análisis factorial también puede: identificar las variables suplentes de una serie de variables más grande para su utilización en análisis de multivariantes posteriores o crear una serie de valores completamente nueva, mucho más pequeña en número, para reemplazar parcial o completamente la serie original de variables para su inclusión en técnicas posteriores. En ambos casos el propósito es retener la naturaleza y el carácter de las variables originales, pero reducir su número.

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El resumen de datos hace que la identificación de los factores sean fines de por sí; las estimaciones de los factores y las contribuciones de cada variable a los factores constituyen todo lo que se necesita para el análisis.

Segundo paso: El diseño de un análisis factorial

El diseño de un análisis factorial implica tres decisiones básicas:

1. Cálculo de datos de entrada2. El diseño de estudio en termino de numero de variables, las propiedades de

medición y los tipos permisibles3. El tamaño de muestra

1. Las correlaciones entre las variables

La primera decisión en el diseño se concentra en la aproximación que se usa para calcular la matriz de correlación tanto para el análisis de tipo R como para el del tipo Q. el investigador puede ocupar la matriz de datos de entrada a partir del cálculo de las correlaciones entre las variables, empleando el análisis del tipo R. el investigador también pude elegir la matriz de correlación de las correlaciones entre los encuestados individuales. En este tipo de análisis, el resultado será una matriz factorial que identifica sujetos similares.

2. La selección de variables y cuestiones de medición

Ahora es necesario abordar 2 preguntas: ¿Cómo se miden las variables? Y ¿Cuántas variables deberían ser? Se supone que las variables a incluir en el análisis tienen escala métrica. En algunos casos, se pueden utilizar variables ficticias (codificadas 0-1), aunque se consideran como no métricas.

Además, el investigador debe intentar minimizar el número de variables que se incluyen; no obstante, debe mantener un numero razonable de variables por factor. Si se está diseñando un estudio para valorar una estructura propuesta, el investigador deberá incluir varias variables (cinco o más) que deban representar cada factor propuesto.

3. Tamaño muestral

Generalmente el investigador no usara el análisis factorial para una muestra inferior a 50 observaciones, y preferiblemente el tamaño muestral debería ser 100 o más grande. Como regla general, el mínimo es tener por lo menos un número de observaciones cinco veces mayor que el número de variables a ser analizadas.

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Tercer paso: Supuestos en el análisis factorial

Los supuestos básicos subyacentes del análisis factorial son más de tipo conceptual que estadístico. Desde un punto de vista estadístico, se pueden obviar supuestos de normalidad, homocedasticidad y linealidad siendo consientes de que su incumplimiento produce una disminución en las correlaciones observadas. En realidad, solo es necesaria la normalidad cuando se aplica una prueba estadística a la significación de los factores; sin embargo, raramente se utilizan estas pruebas. De hecho es deseable que haya cierto grado de multicolinealidad, dado que el objetivo es identificar series de variables interrelacionadas.

Adicionalmente a las bases estadísticas para las correlaciones de la matriz de datos, el investigador tiene que asegurarse también de que la matriz tiene suficientes correlaciones para justificar la aplicación de dicho análisis. Si la inspección visual revela que no hay número sustancial de correlaciones mayores a 0.30, entonces el análisis es inapropiado.

Otra manera de determinar la conveniencia del análisis es examinar la matriz de correlación entera. El contraste de esfericidad de Bartlett, una prueba estadística para la presencia de correlaciones entre variables, es una de estas herramientas. Proporciona la probabilidad estadística de que la matriz de correlación de las variables sea una matriz identidad.

Otra medida para cuantificar el grado de intercorrelaciones entre las variables y la conveniencia del análisis es la medida de suficiencia de muestreo (MSA). Este índice se extiende de 0 a 1, llegando a 1 cuando cada variable es perfectamente predicha sin error por las otras variables.

Los supuestos conceptuales que subyacen en el análisis factorial se relacionan con la serie de variables seleccionadas y la muestra elegida. Un supuesto básico del análisis factorial es que existe una estructura subyacente en la serie de variables seleccionadas. Es responsabilidad del investigador asegurarse de que las pautas observadas sean validas y conceptualmente apropiadas para utilizar el análisis factorial.

Cuarto paso: La estimación de los factores y la valoración del ajuste general

Una vez que se especifican las variables y se separa la matriz de correlación, ya se está preparado para aplicar el análisis factorial que identifique la estructura subyacente de las relaciones. Para realizar esta operación, es necesario tomar decisiones con respecto a: el método de extracción de los factores; y el número de factores seleccionados para representar la estructura subyacente de los datos. La selección del método depende del objetivo del investigador. Se utiliza el análisis de componentes principales cuando el objetivo es resumir la mayoría de la información original (varianza) en una cantidad mínima de factores con propósitos de predicción. Por el contrario, se utiliza el análisis factorial común para identificar los factores subyacentes o las dimensiones que reflejan qué es lo que las variables comparten en común.

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El análisis factorial común frente a análisis de componentes

El investigador puede usar dos modelos básicos para obtener soluciones factoriales. Estos se conocen como análisis factorial común y análisis de componentes principales. Con el fin de seleccionar el modelo apropiado, en primer lugar el investigador tiene que comprender las diferencias entre los tipos de varianzas. Para los propósitos del análisis factorial, existen tres tipos de varianza total:

1. Común2. Especifica (única)3. Error

Se define la varianza común como aquella que se comparte con todas las otras variables en el análisis. La varianza específica es aquella asociada solamente con una variable específica. La varianza de error es aquella que se debe a la poca fiabilidad en el proceso de recolección de datos, error de medición o componente aleatorio en el fenómeno medido.

El análisis de componentes principales considera la varianza total y estima los factores que contienen proporciones bajas de la varianza única, y en algunos casos, de la de error.

En el análisis factorial común se incorporan las varianzas compartidas en la diagonal.

La selección de un modelo u otro se basa en 2 criterios:

1. Los objetivos del análisis factorial2. El grado de conocimiento anterior acerca de las varianzas

El análisis de componentes principales es apropiado cuando el interés principal se centra en la predicción o el mínimo numero de factores necesarios para justificar la porción máxima de la varianza representada en la serie de variables original, y cuándo el conocimiento previo sugiere que la varianza especifica y de error representan una porción relativamente pequeña de la varianza total. Por el contrario cuando el objetivo es identificar las dimensiones latentes o las construcciones representadas en las variables originales y el investigador tiene poco conocimiento acerca de la varianza especifica y de error, lo mas apropiado es usar el modelo factorial común.

Criterios para el cálculo del número de factores a ser extraídos

En general se utilizan los siguientes criterios para la extracción del número de factores:

Criterio de raíz latente. Es la técnica más utilizada por su sencillez. La racionalidad que se usa es que cualquier factor individual debería justificar la varianza de por lo menos una única variable. Cada variable contribuye con un valor de 1 para el autovalor total. Por tanto, sólo se consideran los factores que tienen raíces latentes; explican al menos una variable, se

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considera que todos los factores con raíces latentes menores que 1 no son significativas y por tanto, se desestiman a la hora de incorporarlos a la interpretación.

Criterio a priori. El criterio a priori es un criterio simple y a la vez razonable bajo ciertas circunstancias. Con su aplicación, el investigador ya sabe cuántos factores hay que extraer antes de iniciar el análisis factorial. El investigador simplemente instruye al computador para parar el análisis cuando se haya extraído el número de factores deseado.

Criterio de porcentaje de la varianza. El criterio de porcentaje de varianza es una aproximación que se basa en obtener un porcentaje acumulado especificado de la varianza total extraída. El propósito es asegurar una significación práctica de los factores derivados, asegurando que explican por lo menos una cantidad especificada de la varianza. En las ciencias naturales, el procedimiento de factores normalmente no debería ser detenido hasta que los factores extraídos cuenten con por lo menos un 95% de la varianza o hasta que el factor justifique solamente una pequeña porción (menos del 5%). Por contraste, en las ciencias sociales, donde la información muchas veces es menos precisa, es normal considerar una solución que represente un 60% de la varianza total como satisfactoria.

Criterio de contraste de caída. El contraste de caída se utiliza para identificar el número óptimo de factores que pueden ser extraídos antes de que la cantidad de la varianza única empiece a dominar en la varianza común. Se estima el contraste de caída con el trazo de raíces latentes en función del número de factores en su orden de extracción, y se utiliza la forma de la curva consiguiente para evaluar el punto de corte.

Heterogeneidad de la muestra. La existencia de varianza compartida entre las variables es el núcleo tanto de los modelos de factores comunes como de los de componentes. Un supuesto subyacente es que la varianza compartida se extiende a lo largo de toda la muestra. Si la muestra es heterogénea al menos con respecto a un subconjunto de variables, los primeros factores representaran aquellas variables que son más homogéneas a lo largo de toda la muestra. Las variables con mayor capacidad de discriminar entre subconjuntos muestrales cargaran sobre los últimos factores.

Quinto paso: Interpretación de los factores

Para interpretar los factores y seleccionar la solución factorial definitiva se deben seguir tres pasos.

En primer lugar, se calcula la matriz inicial de factores no rotados para que nos dé una indicación preliminar acerca del número de factores a extraer. La matriz de factores contiene las cargas factoriales para cada variable sobre cada factor. Al calcular la matriz de

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factores no rotada, el investigador simplemente está interesado en la mejor combinación lineal de variables, es decir, en encontrar aquella combinación particular de las variables originales que cuenta con el mayor porcentaje de varianza de los datos. En consecuencia, el primer factor puede contemplarse como el mejor resumen de las relaciones lineales que los datos manifiestan.

El segundo factor se define como la segunda mejor combinación lineal de las variables, sujeta a la restricción de que sea ortogonal al primer factor. Para ser ortogonal al primer factor el segundo factor debe derivarse de la varianza restante tras la extracción del primer factor. Así, el segundo factor puede definirse como la combinación lineal de las variables que da cuenta del mayor porcentaje de la varianza residual una vez se ha eliminado de los datos el efecto del primer factor. Los factores subsiguientes se definen de forma análoga hasta haber agotado la varianza de los datos.

Las soluciones factoriales no rotadas alcanzan el objetivo de reducción de los datos, pero el investigador debe preguntarse si la solución factorial no rotada facilita una información que ofrezca la interpretación más adecuada de las variables examinadas. La mayor de las veces no resulta así. La carga factorial es el medio para interpretar la función que cada variable desempeña al definir cada factor. Las cargas factoriales son la correlación entre cada variable y el factor. Las cargas indican el grado de correspondencia entre cada variable y el factor, haciendo una variable con mayor carga representativa del factor. La solución factorial no rotada puede no dar un patrón significativo de cargas de las variables. Si se espera que los factores no rotados sean significativos, el usuario puede especificar que la rotación no se lleve a cabo. Generalmente la rotación es deseable porque simplifica la estructura de los factores, y habitualmente es difícil determinar si los factores no rotados serán significativos. Por tanto, el segundo paso hace un uso de un método de rotación para lograr soluciones factoriales más simples y teóricamente más significativas. En muchos casos la rotación de los factores mejora la interpretación disminuyendo alguna de las ambigüedades que a menudo acompañan a las soluciones factoriales inicialmente no rotadas.

En una tercera etapa, el investigador valora la necesidad de especificar de nuevo el modelo de factores debido a:

1. La eliminación de variables en el análisis2. El deseo de emplear un método de rotación diferente para la interpretación3. La necesidad de extraer un numero diferente de factores4. El deseo de cambiar de un método de extracción a otro

La especificación nueva del modelo factorial viene acompañada de la vuelta a la etapa de extracción, rotación de factores y de nuevo a su interpretación.

Rotación de factores

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Una herramienta importante al interpretar los factores es la rotación de factores. El termino rotación significa exactamente lo que indica. Concretamente, se giran en el origen los ejes de referencia de los factores hasta alcanzar una determinada posición. Como se indico previamente, las soluciones factoriales no rotadas extraen factores según su orden de importancia. El primer factor tiende a ser un factor general por el que casi toda variable se ve afectada significativamente dando cuenta del mayor porcentaje de varianza. El segundo y siguientes factores se basan en la varianza residual. Cada uno explica porcentajes de varianza cada vez menores. El efecto último de rotar la matriz de factores es redistribuir la varianza de los primeros factores a los últimos para lograr un patrón de factores más simple y teóricamente más significativo.

1.1.3 EXTRACCIÓN DE MATRIZ FACTORIAL

ANOVA para el diseño factorial general a x b x … x k

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de libertad

Error

SCA

SCK

SCAB

SC(K-1)K

SCABC

SC(K-2)(K-1)K

SCAB…K

SCE

a-1

k-1(a-1)(b-1)

(l-1)(k-1)(a-1)(b-1)(c-1)

(m-1)(l-1)(k-1)

(a-1)(b-1)…(k-1)abc…k(n-1)

Total SCT (abc…kn)-1

La suma de cuadrados totales está dada por

Donde N = abc … kn es el total de observaciones en el experimento; los subíndices k y m representan al tercero y último factor, respectivamente.

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Las sumas de cuadrados de efectos son:

Finalmente, la suma de cuadrado del error se calcula por

Sólo en el caso irreal de que todos los posibles efectos en el factorial general estén activos, es necesario realizar al menso dos réplicas del experimento. En las situaciones reales se replican al menso dos veces (y no siempre) sólo los diseños factoriales consistentes de 16 o menos puntos de prueba.

[Escribir texto]

CAPITULO II

DISEÑO FACTORIAL CON DOS FACTORES

CAPITULO II

DISEÑO FACTORIAL CON DOS FACTORES

2.1 PRESENTACIÓN DEL MODELO

El modelo de diseño de experimentos con dos factores tratamiento con interacción se conoce como modelo completo de dos vías o modelo de análisis de la varianza de dos vías.

Para presentar las formulas generales para el análisis de varianza de un experimento de dos factores que utiliza observaciones repetidas en un diseño por completo aleatorio, debe

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considerarse el caso de n repeticiones de las combinaciones del tratamiento, determinadas por α niveles del factor A y b niveles del factor B. las observaciones pueden clasificarse usando un arreglo rectangular, donde los renglones representan los niveles del factor A; y las columnas, los factor B. Cada combinación de tratamiento define una celda del arreglo. Así, se tienen ab celdas, cada una de las cuales contiene n observaciones. Se denota con

la k-èsima observación en el i-èsimo nivel del factor A y el j-èsimo nivel del factor B.

Modelo matemático.

El modelo matemático asociado al diseño de dos factores-tratamiento con interacción y replicado es el siguiente:  

Para cada

i = 1,2,...,a; j = 1,2,...,b; k = 1,2,...,n,

Con restricciones

Donde:

: Es la media general.

: Es el efecto (positivo o negativo) debido al i-ésimo nivel del factor A.

: Es el efecto (positivo o negativo) del j-ésimo nivel del factor B.

: Representa al efecto de interacción en la combinación ij.

: Es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero

y varianza constante y son independientes entre si.

2.1.2 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS

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Los parámetros del modelo se obtienen por mínimos cuadrados, técnica que se basa en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos.

Simbólicamente la identidad de cuadrados se escribe así:

SST = SSA + SSB +SS(AB) + SSE

Donde SSA y SSB denominan la suma de cuadrados para los efectos principales A y B, respectivamente, SS(AB) recibe el nombre de suma de cuadrados de la interacción para A y B, y SSE es la suma de errores al cuadrado. La participación de los grados de libertad se efectúa de acuerdo con la identidad

*Suma de todas las observaciones

*Media global

*Total en el nivel i del factor A

*Media en el nivel i del factor A

*Total en el nivel j del factor B

[Escribir texto]

*Media en el nivel i del factor B

2.2.3 C

TABLA ANOVA PARAMETROS

Fuente Suma de cuadrados Suma de cuadrados M.

Efecto A

a – 1

Efecto B

b – 1

Efecto AB

(a-1)(b-1)

Error ab(n-1)

Total abn-1

Manejo de pruebas de hipótesis

*Hipótesis para el efecto A

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La hipótesis nula se rechaza al nivel e significancia cuando

*Hipótesis para el efecto B

La hipótesis se rechaza al nivel e significancia cuando

*Hipótesis para el efecto AB

La hipótesis se rechaza al nivel e significancia cuando

2.2.4 Ejemplo:

“En la tabla adjunta se presentan los tiempos, en minutos, de conexión con una dirección de internet desde cuatro puntos geográficos de una región y en tres horas determinadas. El experimento se repetía cuatro veces y era diseñado para estudiar la influencia del factor “hora de conexión” y el factor “lugar de la conexión” en la variable de interés “tiempo de conexión”.

Analizar estos datos y estudiar la influencia de los dos factores.”

Lugar A Lugar B Lugar C Lugar D

Hora 1 0'31 0'45 0'82 1'10 0'43 0'45 0'45 0'71

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0'46 0'43 0'88 0'72 0'63 0'76 0'66 0'62

Hora 2 0'36 0'290'40 0'23

0'92 0'610'49 1'24

0'44 0'350'31 0'40

0'56 1'020'71 0'38

Hora 3 0'22 0'210'18 0'23

0'30 0'370'38 0'29

0'23 0'250'24 0'22

0'30 0'360'31 0'33

Solución.

Estimación de los parámetros.

Se obtienen las siguientes tablas de medias y estimaciones

L-A L-B L-C L-D i..

i

H-1   1j. 0'413 0'880 0'568 0'610 0'618 0'139

H-2   2j. 0'320 0'815 0'375 0'667 0'544 0'065

H-3   3j. 0'210 0'335 0'235 0'325 0'276 -0'203

..j

. 0'314 0'677 0'393 0'534

j-0'165 0'198 -0'086 0'055 ... = 0'479

ij.

L-A L-B L-C L-D

H-1 -0'040 0'064 0'036 -0'063

H-2 -0'059 0'073 -0'083 0'068

[Escribir texto]

H-3 0'099 -0'139 0'045 -0'006

De donde se deduce la siguiente tabla de residuos:

Residuos Lugar A Lugar B Lugar C Lugar D

Hora 1 -0'103 0'0370'047 0'017

-0'060 0'2200'000 -0'160

-0'138 -0'1180'062 0'192

-0'160 0'1000'050 0'010

Hora 2 0'040 -0'0300'080 -0'090

0'105 -0'205-0'325 0'425

0'065 -0'025-0'065 0'025

-0'107 -0'3530'043 -0'287

Hora 3 0'010 0'000-0'030 0'020

-0'035 0'0350'045 -0'045

-0'005 0'0150'005 -0'015

-0'025 0'035-0'015 0'005

 

Tabla ANOVA

Fuentes de Suma de Grados de scm p - valorvariación cuadrados libertad

Factor hora 1'0330 2 0'5165 23'222 0'0000

Factor lugar 0'9212 3 0'3071 13'806 0'0000

Interacción 0'2501 6 0'0417 1'874 0'1123

Variab. Exp. Total

2'2043 11

Residual 0'8007 36 0.0222 R = 0'149

Global 3'0050 47 0'0639 Y = 0'253

[Escribir texto]

 

Se aceptar la hipótesis de no influencia de la interacción entre lugar y hora.

 

Se rechaza esta hipótesis de no influencia del factor hora.

 

Se rechaza esta hipótesis de no influencia del factor lugar.

[Escribir texto]

CAPITULO III

DISEÑO FACTORIAL CON TRES FACTORES

CAPÍTULO IIIDISEÑO FACTORIAL CON TRES FACTORES

3.1.2 ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO DE EFECTOS FIJOS

Cuando se tiene tres factores (A B y C) y el numero de niveles de prueba en cada uno de ellos son a, b y c, se puede construir el arreglo factorial a*b*c, que consiste de a*b*c tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia entre aplicaciones diversas se encuentra. El factorial 23, el factorial 33 y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4*3*2 y el factorial 4*4*2 por mencionar dos de ellos.

[Escribir texto]

El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permitir investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende el número de niveles utilizado en cada factor. Por ejemplo, si un factor se prueba en dos niveles todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se pueda descomponer; pero si tuviera tres niveles, su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura.

3.2.3 CUADRO DE ANALISIS DE VARIANZA

Tabla ANOVA Para el diseño factorial a*b*c

FV SC GL CM F0 Valor-pEfecto A SCA a-1 CMA CMA/CME P(F> F0

A)

Efecto B SCB b-1 CMB CMB/CME P(F> F0B)

Efecto C SCC c-1 CMC CMC/CME P(F> F0C)

Efecto AB SCAB (a-1)(b-1) CMAB CMAB/CME P(F> F0AB)

Efecto AC SCAC (a-1)(c-1) CMAC CMAC/CME P(F> F0AC)

Efecto BC SCBC (b-1)(c-1) CMBC CMBC/CME P(F> F0BC)

Efecto ABC SCABC (a-1)(b-1)(c-1) CMABC CMABC/CME P(F> F0ABC)

Error SCE abc(n-1) CME

Total SCT abcn-1

donde:

FV: Fuente de Variación.SC: Suma de Cuadrados.GL: Grados de Libertad.CM: Cuadrado Medio.FO: f Fisher calculado.

Al efecto cuyo valor-p sea menor al valor especificado para ∞, se declara estadísticamente significativo o se dice que está activo. El ANOVA de tres factores dado en la tabla anterior tiene cuatro renglones adicionales, por los nuevos cuatro efectos que pueden estudiarse. Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores.

[Escribir texto]

FORMULAS

Suma de Cuadrados

Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores; habrá que considerar un subíndice adicional para el tercer factor, comenzando otra vez por la suma de cuadrados total, éstas resultan ser:

donde:

N = abcn es el total de observaciones en el experimento; el subíndice k representa ahora el tercer factor y l las repeticiones. Las sumas de cuadrados de efectos son:

[Escribir texto]

Restando éstas del total, la suma de cuadrados del error resulta ser:

Cuyos respectivos grados de libertad se dan en la tabla ANOVA anterior. Una vez hecho el ANOVA, se procede a interpretar los efectos activos, y luego (aunque no necesariamente después) a diagnosticar la calidad del modelo.

Cuadrado Medio

Donde:

CM = Cuadrado Medio del efecto

SC = Suma de cuadrado del efecto

GL = Grados de libertad del efecto

Modelo estadístico

En un diseño factorial a*b*c se supone que el comportamiento de la respuesta Y puede describirse mediante el modelo de efectos dado por:

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Yijkl = μ +ai + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijkl;I=1,2,…,a; j=1,2,…,b; k=1,2,…,c; l=1,2,…,n

Donde:

μ = media generalαi = efecto del nivel i-ésimo del factor Aβj = efecto del nivel j del factor Bγk = efecto del nivel k en el factor C(αβ)ij, (αγ)ik, (βγ)jk = efectos de interacciones dobles (de dos factores) en los niveles ij, ik, jk, respectivamente.(αβγ)ijk : efecto de interacción triple en la combinación o punto ijkεijkl : error aleatorio en la combinación ijkll : repeticiones o replicas del experimento

Todos los efectos cumplen la restricción de sumar cero, es decir, son desviaciones respecto a la medida general μ.

3.2.4 MANEJO DE HIPÓTESIS Y SUS CONDICIONES

El estudio factorial de tres factores (A,B,C) permite investigar los efectos A,B,C,AB,AC,BC y ABC donde el nivel de desglose o detalle con el que puede estudiarse depende del número de niveles utilizado en cada factor. Por ejemplo si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero si tuviera tres niveles, su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura.

Hipótesis nula Valor del estadístico de prueba Región de rechazoH 0A: todas las = 0

H 0AB: todas las

H 0ABC: todas las

En resumen se tienen siete efectos de interés sin considerar el desglose y con ellos se pueden plantear las siete hipótesis nulas:

1. H0: Efecto A = 0 2. H0: Efecto B = 03. H0: Efecto C = 04. H0: Efecto AB = 0

5. H0: Efecto AC = 06. H0: Efecto BC = 07. H0: Efecto ABC = 0

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3.2.5 EJEMPLO EXPLICADO

Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. Para ello se decide correr un experimento factorial 3*2*2 con seis réplicas, y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en la siguiente tabla:

A1 A2 A3

B1 B1 B1 B1 B1 B1

C1 60 75 75 67 73 73 62 68 65 71 80 80 76 71 75 75 75 75

86 70 70 67 68 68 76 65 65 72 80 80 70 68 73 75 75 77

C2 55 53 53 52 52 57 44 44 45 60 60 60 52 51 50 56 55 57

55 55 55 52 54 54 48 48 45 67 67 65 52 48 54 59 50 55

a = 3b = 2c = 2n = 6

1. H0: Efecto A es considerablemente influyente en los resultados.2. H0: Efecto B es considerablemente influyente en los resultados.3. H0: Efecto C es considerablemente influyente en los resultados.4. H0: Efecto AB es considerablemente igual en conjunto. 5. H0: Efecto AC es considerablemente igual en conjunto.6. H0: Efecto BC es considerablemente igual en conjunto.7. H0: Efecto ABC es considerablemente igual en conjunto.

Suma de Cuadrados (SC)

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Grados de Libertad Cuadrado Medio

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A1 A2 A3B1 B1 B1 B1 B1 B1

C160 75 75 67 73 73 62 68 65 71 80 80 76 71 75 75 75 75

= 206186 70 70 67 68 68 76 65 65 72 80 80 70 68 73 75 75 77

= 436 = 416 = 401 = 463 = 433 = 452

= 852 = 864 = 885

C255 53 53 52 52 57 44 44 45 60 60 60 52 51 50 56 55 57

= 193955 55 55 52 54 54 48 48 45 67 67 65 52 48 54 59 50 55

= 326 = 321 = 274 = 379 = 307 = 332

= 647 = 653 = 639

TOTAL = 762 TOTAL = 737 TOTAL = 675 TOTAL = 842 TOTAL = 740 TOTAL = 784

TOTAL = 1499 TOTAL = 1517 TOTAL = 1524

B1 = 2177 B2 = 2363

B1 con C1 = 1270 B2 con C1 = 1331 B1 con C2 = 907 B2 con C2 = 1032

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Tabla ANOVA

FV SC GL CM FO FTABLAS ConclusiónA: Tipo 13.86 2 6.93 0.49 3.15 ACEPTA

B: Abertura 480.5 1 480.5 34.25 4 RECHAZAC: Temperatura 6086.72 1 6086.72 433.90 4 RECHAZA

AB 788.25 2 394.12 28.10 3.15 RECHAZAAC 40.86 2 20.43 1.46 3.15 ACEPTA

BC 56.89 1 56.89 4.06 4 RECHAZA

ABC 31.03 2 15.51 1.11 3.15 ACEPTAError 841.66 60 14.03

Total 8339.78 71

Conclusiones

1. Ho se rechaza, la temperatura de ciclaje si influye.2. Ho se rechaza, la abertura de la malla si influya.3. Ho se acepta, el tipo de suspensión no influye.4. Ho se rechaza la temperatura de ciclaje no es igual a la abertura de la malla en

conjunto.5. Ho se acepta, la temperatura de ciclaje es igual al tipo de suspensión en conjunto.6. Ho se rechaza, la abertura de la malla no es igual al tipo de suspensión en conjunto.7. Ho se acepta, los tres factores en conjunto se comportan en forma similar.

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CONCLUSION

Un diseño factoriales aquel en el que el conjunto de tratamientos esta conformado por todas las posibles combinaciones de los distintos niveles de los factores involucrados

Los mayores beneficios de los diseños factoriales completos se obtienen cuando se deben estudiar pocas variables. El motivo es que el número de experimentos crece exponencialmente con el número de factores.

Los diseños factoriales completos son la estrategia experimental óptima para estudiar simultáneamente el efecto de varios factores sobre la respuesta y sus interacciones. Por su potencia y sencillez, su campo de aplicación es muy amplio:

- Identificar qué variables influyen en una reacción, para luego poder optimizarlas hasta alcanzar el rendimiento deseado, o para disminuir el tiempo de reacción.

-Decidir qué se debe ajustar en el nuevo proceso de fabricación para que no se produzcan tantos productos fuera de especificaciones.

- Estudiar en qué condiciones el proceso es más robusto a pequeñas variaciones de temperatura, humedad, etc.