TRIGONOMETRÍA DEL

CÍRCULO

Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES

Usamos grados para medir ángulos cuando aplicamos trigonometría a los problemas del mundo real. Por ejemplo, en topografía, construcción, y navegación, el grado es la unidad de medida aceptada.

1

Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES Cuando estudiamos las

funciones trigonométricas dentro de un círculo, colocamos el círculo sobre un plano cartesiano y trabajamos con un ángulo central.

El ángulo central tiene un lado sobre el eje de x y un lado terminal que comienza en el centro del círculo e interseca la circunferencia del círculo.

En el círculo podemos medir los ángulos en grados o radianes.

1

Un radián

• El ángulo central de un

círculo mide un radián si

el arco interceptado por

el ángulo tiene la misma

longitud que el radio.

¿Cuánto radianes hay en un círculo?

• Hay 360 grados en un

círculo. ¿Cuántos

radianes hay?

• Hay un poco más de

6 radianes en un

círculo

• De hecho, hay

exactamente 2

radianes en un

círculo.

• (Aprox. 6.28 rad.)

RADIANES

Si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados, entonces la proporción

Grad

Rad

180

nos permite cambiar entre radianes y grados.

entonces 3602 Si

180

Convertir entre radianes y grados

ángulo en radianes

ángulo en grados

1

30

/3

120

Grad

Rad

180

Grad

1

180

180Grad

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

30

/3

120

Vamos a completar la tabla:

))((Grad 1801

357Grad .

Convertir… (cont.)

Grad

Rad

180

30

Rad

180

Rad18030

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

30

/3

120

5206

.Rad

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

/6 30

/3

120 Rad180

30

Convertit… cont

Grad

Rad

180

Grad

3 180

3180Grad

60 Grad

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

/6 30

/3

120

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

/6 30

/3 60

120

3

180Grad

RADIANES

Grad

Rad

180

120

180

rad

3

2 rad

rad 180

120

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

/6 30

/3 60

120

ángulo en radianes

ángulo en grados

1 57.3

/6 30

/3 60

2/3 120

PRACTICA: Convertir la medida de radianes a grado o grado a radianes.

Grad

Rad

180

20 1502

2

3300 5

Un círculo con

centro en el origen

de un sistema de

coordenadas

rectangulares y

con radio igual a 1

se llama un

círculo unitario.

Si el punto P(x,y)

pertenece al

círculo unitario, y

el segmento OP

es un radio,

entonces OP

intercepta el

círculo formando

el arco S y un

ángulo central que

llamaremos 𝜃.

En el círculo unitario definimos

• sin(ϴ) como la distancia vertical desde P hasta el eje de x.

sin(ϴ) = y

• Similarmente, definimos cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.

cos(ϴ) = x

Arco s

• Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1.

• En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.

Radio = 3

Dentro del círculo de radio r , las razones trigonométricas se

determinan

x

y

)cos(

)sin()tan(

y

x

)sin(

)cos()cot(

x

r

)cos()sec(

1

y

r

)sin()csc(

1

r

y)sin(

r

x)cos(

𝒙, 𝒚

Un ángulo central se

forma con el punto (2.25,

2.25) que está sobre la

circunferencia de un

círculo de radio=3.

Determine de forma

exacta, las 6 razones

trigonométricas.

Ejemplo:

(2.25, 2.25)

Solución:

Un ángulo central se

forma con el punto (2.25,

2.25) que está sobre la

circunferencia de un

círculo de radio=3.

Determine de forma

exacta, las 6 razones

trigonométricas.

Ejemplo: (cont.)

(2.25, 2.25)

Solución:

EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una círculo

unitario. Encuentre los valores de las razones trigonométricas

del ángulo central que se muestra.

5

4,

5

3P

Sabemos que: •el radio es 1

•x=

•y=

•Por lo tanto,

5

4)sin(

x

y

5

3

5

4

5

3)cos(

3

4)tan(

x

y

EJEMPLO 2 (cont.)

5

4,

5

3P

Las relaciones recíprocas son:

4

5)csc(

x

y

3

5)sec(

4

3)cot(

y

x

2

2)sin(

r

y

2

2)cos(

r

x

2,2P

12

2)tan(

x

y

Ejemplo 3: Dado un círculo con radio igual a 2,

y el punto P, hallar los valores exactos de las 6

razones trigonométricos.

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,

y el punto P, hallar los valores de las 6 razones

trigonométricos.

2

2)csc(

y

r

2

2)sec(

x

r

12

2)cot(

y

x

2,2P

Práctica

• Hallar los valores de forma exacta las 6 razones

trigonométricas en los siguientes círculos.

13

12

,13

5P

8,15P

Radio = 1 Radio = 17

Soluciones

• Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los

siguientes círculos.

13

12

,13

5P

Radio = 1

8,15P

Radio = 17

13

5cos

13

12sin

5

12tan

5

13sec

12

13csc

12

5cot

17

15cos

17

8sin

15

8tan

15

17sec

8

17csc

8

15cot

Relaciones en el círculo

En un círculo de radio r,

•𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 o lo que es igual,

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

•𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) = 1

Ejemplo

• Si θ es un ángulo en

posición estándar en un

sistema de coordenadas

rectangulares y si

P(–15, 8) está en el lado

terminal de θ, determinar

el valor de θ y los valores

de las seis funciones

trigonométricas de θ.

Solución (cont)

• Aplicando la definición de las funciones trigonométricas

para x = –15, y = 8, primeramente debemos determinar r.

Cont.

Ejemplo

• Determine los valores de las

seis funciones

trigonométricas de θ

Aplicamos las definiciones

trigonométricas con

x = 4, y = -1,

P(4, -1)

r = 𝑥2 + 𝑦2 = 16 + 1 = 17

P(4, -1)

Solución (cont.)

𝐬𝐢𝐧 𝜽 =𝒚

𝒓=

−𝟏

𝟏𝟕

𝐭𝐚𝒏 𝜽 =𝒚

𝒙=

−𝟏

𝟒

𝐬𝐞𝒄 𝜽 =𝒓

𝒙=

𝟏𝟕

𝟒

P (4, -1)

cos θ =x

r=

4

17

csc 𝜃 =𝑟

𝑦=

17

−1= − 17

co𝑡 𝜃 =𝑥

𝑦=

4

−1= −4

=−𝟒 𝟏𝟕

𝟏𝟕 =

− 𝟏𝟕

𝟏𝟕

Signos

• La siguiente tabla muestra los signos de las

funciones trigonométricas en cada cuadrante:

Ejemplo

•Si sin θ = ⅗ y tan θ < 0, use identidades

para hallar las otros valores

trigonométricos.

•Solución De los signos, concluimos

que el ángulo está en el cuadrante II.

•Usando la relación sin2 θ + cos2 θ = 1 y

el hecho de que el coseno es negativo

en el segundo cuadrante podemos

determinar que:

Solución (cont.)