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TRIGONOMETRÍA, UNA

HERRAMIENTA PARA

MEDIR ALTURAS

Experiencia de aula

Autor: Daniel Hernández Cárceles

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INDICE:

1. Introducción ........................................................................................... 3 2. Video de la Experiencia .......................................................................... 3 3. Construcción de un aparato medidor de ángulos ..................................... 4 4. Desarrollo de la experiencia. Ficha entregada a los alumnos. ................. 6 5. Algunas aplicaciones de la Trigonometría a la vida real. ...................... 15 6. Material de ampliación ......................................................................... 18

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1. Introducción

Este documento resume una experiencia llevada a cabo en clase de Matemáticas con

alumnos de 4º de ESO y 1º de Bachillerato.

La experiencia se desarrolló en 4 sesiones:

Sesión 1 Construcción en clase de medidores de ángulos manuales y

organización del trabajo a realizar en las siguientes sesiones

Sesión 2 Salida al patio del instituto para llevar a cabo las tareas recogidas en

una ficha que poseía cada alumno. Se realizaron distintos tipos de

mediciones.

Sesión 3 Se acabó de recopilar los distintos datos de mediciones en el patio y

una vez obtenidos todos los datos se completaron las fichas en el aula.

Sesión 4 Se visualizó un video elaborado con la información recogida de la

experiencia y se plantearon distintos problemas de situaciones de la

vida real de resolución similar a las llevadas a cabo en la experiencia

fuera del aula.

2. Video de la Experiencia

En este apartado se incluye un enlace al video que se elaboró de la experiencia.

Enlace: http://www.youtube.com/watch?v=jzst7SKqcCo

Este video tiene una duración de 25 minutos y consta de 3 partes:

Un pequeña introducción histórica a la Trigonometría.

Proceso de creación de un medidor de ángulos artesano

Distintas actividades realizadas en el patio con los alumnos

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3. Construcción de un aparato medidor de ángulos

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el

lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del

observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando

el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

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Veamos una forma práctica y rápida de obtener un medidor de ángulos.

I. Necesitamos un trozo de madera, una fotocopia de un porta-ángulos, una

pajita, hilo, una tuerca, un tornillo y cinta de pegar.

II. Pegamos la pajita en la parte superior de la madera con la cinta tal y como

se aprecia en la fotografía

III. Pegamos también la fotocopia del porta-ángulos a la madera.

IV. Clavamos el tornillo como se ve en la fotografía sujetándolo el hilo con la

tuerca que hará de contrapeso

V. Y ya tenemos nuestro fantástico medidor de ángulos

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4.- Desarrollo de la experiencia. Ficha entregada a los

alumnos.

“Práctica realizada con los alumnos de 4ºESO y 1º Bachillerato

del I.E.S. Beneche (Yeste).”

1.- Vamos a calcular la altura de la bandera de la entrada del Instituto. Suponiendo que

haya sol, emplea tu propia sombra y la de la bandera para calcular su altura. Dibuja el

esquema que sigues y escribe los cálculos que hayas utilizado.

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Solución al problema:

A continuación, calcula la altura midiendo tu distancia a la bandera y el ángulo que

formas con ella, usando las razones trigonométricas y comprueba que te sale la misma

altura.

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2.-Pasamos ahora a medir la altura de la farola que se encuentra frente a la puerta de

entrada al instituto. En este caso calcular la altura usando las razones trigonométricas.

Solución al problema:

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3.-Queremos medir la pendiente de la carretera que pasa por la puerta del instituto. Las

pendientes se miden en K % donde cada 100 metros de movimiento horizontal suponen

K metros de movimiento vertical.

Hacemos una medición con dos de vosotros colocados a bastante distancia (al menos 20

metros) en dos puntos de la cuesta. Calculáis la distancia entre vosotros y el ángulo que

formáis con la vertical.

Usando las razones trigonométricas, calcular la pendiente de la cuesta.

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4.-Ahora vais a calcular la altura de la cruz que se encuentra en lo alto del monte. Para

ello nos vamos a situar cerca del pabellón de deportes. Tenéis que realizar las

mediciones de acuerdo al dibujo y calcular lo que mide la cruz usando las tangentes.

Alumnos realizando la práctica.

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Solución al problema:

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5.-Medir la altura del pabellon. Podeis usar el método que querais.

Solución al problema:

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6.- En la entrada del pabellón, medir la distancia entre la columna y la cañería blanca

deacuerdo al siguiente esquema:

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Solución al problema:

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5.- Algunas aplicaciones de la Trigonometría a la vida

real.

1) Estimación de la distancia Tierra-Luna

Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos

la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.

Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio

obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..

(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la

Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media

hasta la superficie lunar es de 384403 km)

2) Estimación de la distancia Tierra-Sol

Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces

era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos

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la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º.

Aristarco midió el ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor

en 87º.

De esta forma:

Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor

que hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemos

una distancia solar de 7344920 Km.

Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al

medir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia

en la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera

separación Tierra-Sol

Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km.

Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA).

3) Mediciones

Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que

quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una

inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce

se situará el comienzo de la rampa?

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la baranda es de unos 21 m y 70 cm.

La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.

4) Cálculo de alturas

Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde

los puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:

Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos:

(10+x)·0'839=1'96·x; 8'39+0'839·x=1'96·x; 8'39=1'121·x; x=7'484 m,

aproximadamente.

h=7'484·1'96=14'668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.

Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.

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6.- Material de ampliación

Tarea 1: Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura de un edificio

Tarea 2: Explicar y valorar el trabajo realizado por Thales de Mileto para determinar la altura de las pirámides de Egipto.

Tarea 3

Explicar cómo un pequeño error en la medición de un ángulo, puede conducir a resultados muy lejanos de la realidad.

Tarea 4

Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra y explicar los métodos trigonométricos que pueden utilizarse en la actualidad para realizar esa tarea.

Tarea 5: Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura por métodos fotográficos.

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Proceso

Tarea 1: Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura de un edificio.

El goniómetro es un instrumento muy antiguo utilizado para medir ángulos. Sus aplicaciones llevan implícito los conceptos matemáticos desarrollados por los antiguos griegos. Para construirlo debes consultar los sitios recomendados y seleccionar el material necesario y distribuir las tareas. Una vez lo construyas deberás utilizarlo para medir la altura de un edificio importante de la ciudad. Te sugerimos que midas la altura de un edificio o monumento importante de tu ciudad.

En la exposición debes describir el proceso de construcción, presentar las mediciones realizadas, explicar su significado y comentar los procedimientos

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actuales de medición.

Tarea 2: Valorar y explicar el trabajo realizado por Thales de Mileto para determinar la altura de las pirámides de Egipto.

Para esta tarea debes consultar los sitios recomendados y seleccionar de allí el

material necesario. En la exposición, además de presentar la experiencia realizada por el sabio griego y destacar el fundamento matemático empleado en esa medición, debes presentar una breve biografía. Sería importante que en esta exposición hagas una breve exposición del momento histórico que se vivía en ese entonces.

Tarea 3: Explicar cómo un pequeño error en la medición de un ángulo, puede conducir a resultados muy lejanos a la realidad:

En esta tarea debes aprovechar el trabajo realizado por Aristarco de Samos (precursor de la teoría Heliocéntrica) en el siglo III a.c. cuando estimó las dimensiones del Sol y la Luna, así como sus respectivas distancias a la tierra.

En la exposición usted debe desarrollar el método utilizado por Aristarco para medir las distancias relativas de la tierra y la luna al sol y explicar como una pequeña falla en la medición puede generar errores garrafales.

Tarea 4: Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra y explicar como podría utilizarse en la actualidad nuevos métodos para hallar ese radio.

La primera referencia de las mediciones de la circunferencia terrestre aparecen en los obras de Aristóteles y al parecer fueron llevados a cabo a mediados del siglo III a.c. Sea como fuere de estos primeras mediciones sólo se conocen sus resultados, no los método empleados para llevarlas a cabo. Sobre el trabajo de Eratóstenes es la primera medición de la cual se posee información casi completa.

Investiga el trabajo realizado por él y cómo puede enfocarse hoy por métodos trigonométricos. También debes determinar los procedimientos que hoy pueden utilizarse para determinar el radio y el perímetro de la Tierra.

Tarea 5: Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura a través de una fotografía.

Para esta tarea debes tomarte una fotografía en el mismo edificio usado en la tarea

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1. La persona que sirve de modelo debe estar en posición erguida y el fotógrafo debe asegurarse por enfocar todo el edificio. Si bien esta técnica de medición está basada en las propiedades de las escalas, es importante que los estudiantes la conozcan.

Ejercicios Propuestos.

1º Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo

que es un ángulo del segundo cuadrante.

2º Sabiendo que cos A = -raiz(3)/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones

trigonométricas de A, y el ángulo A, sabiendo que está en el segundo cuadrante.

3º Sabiendo que cos A = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones

trigonométricas de A, y A, sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante. 4º Sin

utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º.

5º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 240º.

6º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 300º.

7º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.

8º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la

calculadora.

9º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos

100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve

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el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.

10º Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un

ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura

del edificio.

11º Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30'

sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

12º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos

150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve

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el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.

13º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 135º.

14º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol

justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta

llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra

orilla?

Resolver las siguientes cuestiones:

A. Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150º, 315º, 120º, 210º, 75º y 330º

B. Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3pi/2, pi/6, pi/3, pi/5, 2pi/5, 5pi/2

C. Si un ángulo es el doble que otro, ¿su seno también lo es?. En cualquier caso poner un ejemplo para

ilustrar la respuesta.