Trigonometría3ro(18 21)Corregido

113

Trigonometra

18 Identidades Trigonomtricas I

Son aquellas igualdades entre las razones trigonomtricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo valor admitido por la variable.

Ejemplo:

1Csc

Senq =

q

Es una identidad trigonomtrica, porque se verifica la igualdad para todo valor de diferente a 180n:

(0, 180, 360, ......)

Probamos para: = 30, 53 y 270

1 1

Csc30 2 2 21Sen302

= = =

1 5 1 5 5

Csc534Sen53 4 4 45

= = =

1 1

Csc270 1 1 1Sen270 1

= = =

As podemos seguir dndole valores a y siempre se va a verificar la igualdad pero no para: 0, 180, 360, ......

MIGUEL GARAYCOCHEA(1815 1861)

Poeta y matemtico Arequipeo. Se inici en el Colegio San Francisco, luego pas al seminario San Jernimo y finalmente a la Universidad de San Agustn. A los 23 aos se gradu como doctor en Jurisprudencia. Fu profesor de Derecho, Filosofa y Matemticas. Fue Director del Colegio Nacional San Juan de Trujillo. Antes de abandonar su ciudad natal expuso en la universidad el problema de la triseccin del ngulo.

En 1849 pas a ser juez de Chachapoyas y vocal Superior de Cajamarca. Su obra pstumamante publicada, incluye: Clculo Binomial en dos tomos, cuyo mrito dilucid nada menos de Federico Villarreal en el prlogo. Asi mismo realiz demostraciones analticas sobre Geometra Elemental, Geometra Analtica Indeterminada, e hizo una nueva exposicin de la Trigonometra Plana. Para muchos es el Lagrange americano.

Miguel Garaycochea

Motivacin

114

3ro Secundaria

a) Identidades Recproca En el OPH:

OP 1

Csc Csc Sen Csc 1PH Sen

q = q = q q =q

OP 1

Sec Sec Cos Sec 1OH Cos

q = q = q q =q

PHTg

PH OHOH Tg .Ctg . Tg Ctg 1OH PH

OHCtg

PH

q = q q = q q =

q =

b) Identidad por Cociente

En el OPH:

PH Sen

Tg TgOH Cos

qq = q =

q

OH Cos

Ctg CtgHP Sen

qq = q =

q

Los ejercicios en este captulo son de tipo demostracin, simplificacin. Para resolverlos se requiere un manejo efi-ciente de las identidades ya mencionadas.

En una identidad trigonomtrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonomtricas.

Ejemplos: Sen20Csc20=1 Tg3xCtg3x=1

Cos18Ctg18Sen18

=

APLICACIONES

1. Demuestra que: SenCtgSec= 1 En este caso, desarrollaremos el primero miembro.

SenqCosq

Senq

1Cos

q

1=

1 = 1

2. Demostrar que: Tg2q Ctgq Cos= Sen Senq=Senq

Ahora estudiaremos:

Identidades Recprocas

1Sen Csc 1 ; n , n Csc

Sen1

Cos Sec 1 ; (2n 1) , n Sec2 Cos

1Tg Ctg 1 ; n , n Ctg

2 Tg

q q = q q =q

q q = q + q =

q

q q = q q =q

Identidades de Divisin

SenTg ; (2n 1) ; n

Cos 2Cos

Ctg ; n ; nSen

q q = q +

qq

q = q q

Para obtener dichas identidades, estimado alumno, ha-cemos uso de la circunferencia trigonomtrica que ya estudiamos.

A

P

HO

1

IDENTIDAD En matemtica se define una identidad como una igual-dad que verifica para todo valor admitido de variable real.

Ejemplo:

(x 3) (x + 3) = x2 9 ; x En esta identidad, al sustituir x por un nmero real cualquiera, se obtiene en ambos miembros de la igualdad un mismo valor real.

Ejemplo:

{ }

2x 4x 2 ; x 2

x 2

= +

En esta igualdad, la identidad slo se verifica para todos los valores reales de x, menos el valor 2.

115

Trigonometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3El equivalente de la expresin:

SecP Ctg

Cscq = q q

Resolucin:

La expresin:

1 SenxE Tgx

Cosx+

=

es igual a:

Resolucin:

Simplificar:

M = Tgx . Cosx + Sen2x . Cscx

Resolucin:

Simplificar:

P = Sen3. Csc2+ Cos2. TgResolucin:

116

3ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Si la expresin es una identidad:

1 CosxA Ctgx

Senx

=

Dar el valor de A

Resolucin:

Simplificar:

Sen CosE

Csc Secq + q

=q + q

Resolucin:

7. Simplificar:

1 TgE1 Ctg

+ q=

+ q

8. Simplificar:

M = (Sec x 1)Ctg x Csc x

9. Simplificar

2

2

Sen CtgE

Cos Tg

q q=

q q

10. Simplificar:

E = Ctg. Sen2+ Tg. Cos2

11. Simplificar:

12. Simplificar:

M = (Cscx + 1)Tgx Secx

1 TgxK

Cscx Secx+

=+

117

Trigonometra

1. Simplificar:

1 tgxE SenxSecx+

=

a) Cosx b) Senx c) Secxd) Tgx e) Cscx

2. Simplificar:

Senx 1E

Tgx Secx= +

a) 2Cosx b) 3Cosx c) 4Cosxd) Secx e) Ctgx

3. El equivalente de la expresin:

CscK Tg

Secq = q q

a) 1 b) Sen c) Cosd) Sec e) Tg2

4. La expresin:

1 CosxP Ctgx

Senx

= +

a) Secx b) Tgx c) 1d) Cscx e) Ctgx

5. Simplificar:

E = Ctg x . Sen x + Cos x

a) 2 Senx b) Tgx c) Secxd) 2 Cosx e) Ctg x

6. Simplificar:

1 CtgxE Cosx

Cscx+

=

a) Sen x b) Sen x c) 0d) Cos x e) Cos x

7. Simplificar:

P = Cos3q Sec2q + Senq . Ctgq

a) 2Sen b) 2Tg c) 2d) 2Cos e) 2Sec


E = Sen2. Csc + Cos2. Sec

a) 2Sen b) SenCos c) 2 d) 2Cos e) Sen+Cos

9. La expresin:

H = Tg. Ctg2. Sen

es igual a:a) 1 b) Cos c) Secd) Csc e) Tg2

10. Simplificar:

CscxK Ctgx

Secx= +

a) 2Senx b) 2Tgx c) 0d) 2Cosx e) 2Ctgx

11. Reducir:

Cosx 1P

Ctgx Cscx= +

a) 1 b) 2Senx c) Senxd) 2 e) 2Cosx

12. Simplificar:

1 CtgE

Sec Csc q

=q q

a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Csc

118

3ro Secundaria

19Identidades Trigonomtricas II

Es una igualdad en la que intervienen razones trigonom-tricas de una misma variable angular y que se verifica para todo valor permitido de dicha variable.

Estudiaremos ahora las identidades pitagricas:

2 2

2 2

2 2

Sen Cos 1 ;

Sec Tg 1 ; (2n 1) ; n2

Csc Ctg 1 ; n ; n

q + q = q

q q = q +

q q = q

De estas identidades se van a obtener otras formas equivalentes mediante la manipulacin algebrica.

2 2Sen Cos 1q + q =

2 2Sen 1 Cosq = q

2 2Cos 1 Senq = q

2 2Sec Tg 1q q =

2 2Sec 1 Tgq = + q

2 2Tg Sec 1q = q

2 2Csc Ctg 1q q =

2 2Csc 1 Ctgq = + q

2 2Ctg Csc 1q = q

Para obtener dichas identidades, estimado alumno, hacemos uso de la circunferencia trigonomtrica, ya que estudiamos:

A

P

HO

1

En el OPH : Por el teorema de Pitgoras.

OP2 =PH2 + OH2 12 = Sen2q + Cos2q

2 2Sen Cos 1 .......(I) q + q =

Si dividimos (I) entre Sen2q, tenemos:

2 2

2 2 2

Sen Cos 1

Sen Sen Sen

q q+ =

q q q

1 + Ctg2 q= Csc2q

2 2Csc Ctg 1 q q =

Si dividimos (I) entre Cos2q, tenemos:

2 2

2 2 2

Sen Cos 1

Cos Cos Cos

q q+ =

q q q

1 + Tg2q = Csc2q

2 2Sec Tg 1 q q =

119

Trigonometra

Motivacin

En una identidad trigonomtrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonomtricas.

Sen210+Cos210=1 Sec235=1+Tg235 Csc24xCtg24x=1

APLICACIN

1. Demostrar que:Tg2(1 Sen2) = Sen2

En este caso desarrollaremos el primer miembro, para obtener un resultado igual al otro miembro.

2 2 2Tg (1 Sen ) Senq q = q

2 2 2Tg Cos Senq q = q

2

2 2Sen Cos SenCos

q q = q q

2

2

Sen

Cos

q

q2.Cos q 2Sen= q

Sen2q= Sen2q

2. Reducir:

E = (Tgq.Cosq)2 + (Ctgq.Senq)2

Para reducir esta espresin, se recomienda colocar en trminos de senos y cosenos; as:

E = (Tgq. Cosq)2 + (Ctgq. Senq)2

SenE

Cosq

=q

Cos q2

CosSen

q+ q

Sen q2

E = Sen2q + Cos2q

E = 1

JEAN BAPTISTE FORIER(1768 1730)

Naci en Auxerre. Intent seguir una carrera militar que se vi frustrado por no pertenecer a la nobleza. Ingres a la obada de la orden Benedictina que abandon antes de ser sacerdote. Se dedic al estudio de las matemticas, contribuyendo con mtodos para resolver ecuaciones diferenciales de cualquier grado, lo cual utiliz en el estudio de la propagacin del calor en cuerpos slidos.

El nombre de Forier suele relacionarse con el estudio de las funciones peridicas por l desarrolladas. Este campo de trabajo es conocido con el nombre de Anlisis Armnico; otros estudios lo ubicaron en la investigacin meteorolgica y en los estudios precursores de la estadstica matemtica.

Jean Baptiste Forier

120

3ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Simplificar:

3

2

SenP Csc

1 Cos

q= q q

Resolucin:

Simplificar:

E = (Senx + Cosx)2 2Senx Cosx

Resolucin:

Simplificar:

P = (1 + Cosx)2 + Sen2x 2

Resolucin:

El equivalente de la expresin:

E = (1 + Senx) (1 Senx)

Resolucin:

121

Trigonometra

Rpta:

5

Rpta:

6El equivalente de la expresin:

E = (Tgq . Cscq)2 1

Resolucin:

Simplificar:

Sec CosK

Csc Senq q

=q q

Resolucin:

7. Reducir la expresin:

1 1H

1 Senx 1 Senx= +

+


E = (1 Sen4x) Sec2x

9. Simplificar:

E = (Cscx Senx) Tgx


3

3

Sen SenH

Cos Cos

q q=

q q

11. Simplificar:

E = Secx Secx . Sen2x


H = Sen3q. Cscq + Cos3q. Sec

122

3ro Secundaria

1. Simplificar:

E = Senq+ Cosq. Ctgq

a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Cscq

2. Simplificar:

3

2

CosP Tg

1 Sen

q= q q

a) Senq b) Cosq c) Tgq

d) Secq e) Cscq

3. Simplificar:

E = Tgx (Ctgx + Tgx)

a) Sen2x b) Cos2x c) Tg2x

d) Sec2x e) Csc2x

4. Simplificar:

E = (Cscx Senx)Senx


d) Sec2x e) Csc2x


E = (1 Cosx) (1 + Cosx)


d) Sec2x e) Csc2x

6. Simplificar:

E = (Sec q Cosq) Ctgq

a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Csc


P = (Tgq + Ctgq) . Cosq


d) Secq e) Cscq

8. Simplificar:

P = (1 Cos2q) . Ctgq


d) Secq e) SenqCosq

9. Simplificar:

E = (1 + Ctg2q) (1 Cos2q)

a) 1 b) Sen2q c) Csc2q

d) 2 e) Tg2q


E = (Secx 1) (Secx + 1)


d) Ctg2x e) Sec2x

11. Simplificar:

H = (Senq + Cosq)2 + (Senq Cosq)2

a) 1 b) 2Senq Cosq c) 0

d) 2 e) Secq Cscq

12. Simplificar:

E = Cscx Cscx . Cos2x

a) Senx b) Cosx c) Tgx

d) Secx e) Cscx

123

Trigonometra

20 Identidades Auxiliares

SIMPLIFICACIONES

En este tipo de aplicaciones se buscar reducir al mxi-mo la expresin con la ayuda de las identidades fundamen-tales (ya estudiadas).

Tambin podremos considerar en el desarrollo de los pro-blemas a las identidades algebricas, como por ejemplo:

(a b)2 = a2 2ab + b2

a2 b2 = (a + b) (a b)

(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)

De las identidades fundamentales se podrn deducir otras, as:

2 2Sen Cos 1q + q =

Senq = 1 Cos2q

Cos2q = 1 Sen2q

APLICACIN

1. Simplificar:

2 2Sen CosE Cos

Sen Cosq q

= + qq + q

Recordar: a2 b2 = (a + b) (a b)

Adaptamos a la expresin E y simplificamos:

( Sen CosE

q + q=

)(Sen Cos )( Sen Cos

q qq + q

Cos)

+ q

E = Senq Cosq + Cosq

E = Senq

2. Simplificar:

2

2

Cos xM 1

1 Sen x= +

Observacin: Cos2x = 1 Sen2x

Reemplazamos en el denominador:

2Cos xM =

2Cos x1+

M = 1 + 1

M = 2

124

3ro Secundaria

Motivacin

IDENTIDADES AUXILIARES

1. tg x + Ctg x = Sec x Csc x

2. Sec2x + Csc2x = Sec2x + Csc2x

3. Sen4x + Cos4x = 1 2Sen2x Cos2x

4. Sen6x + Cos6x = 1 3 Sen2x Cos2x

Demostrar:

Tg x + Ctg x = Se cx Csc x

Sabemos:

Senx CosxTgx y Ctgx

Cosx Senx= =

Senx CosxTgx Ctgx

Cosx Senx+ = +

2 2Sen x Cos xTgx Ctgx

Cosx Senx+

+ =

Sabemos: Sen2x + Cos2x = 1

1Tgx Ctgx

Cosx Senx+ =

Sabemos:

1 1Secx Cscx

Cosx Senx= =

Tgx Ctgx Secx Cscx + =

Demostrar:

Sen4x + Cos4x = 1 2 Sen2x Cos2x

Sabemos: Sen2x + Cos2x = 1

(Sen2x + Cos2x) = (1)2

Sen4x + 2Sen2x Cos2x + Cos4x = 1

4 4 2 2Sen x Cos x 1 2Sen x Cos x+ =

Demostrar:

Sen6x + Cos6x = 1 3Sen2x Cos2x

Sen2x + Cos2x = 1

(Sen2x + Cos2x)3 = (1)3

Sen6x + 3Sen4x Cos2x + 3Sen2x Cos4x + Cos6x = 1

Ordenando y factorizando

Sen6x + Cos6x + 3Sen2x Cos2x2 2

1

(sen x Cos x)+ =1

6 6 2 2sen x Cos x 1 3Sen x Cos x+ =

CARL. F. GAUSS(1777 1855)

Naci en la ciudad Alemana de Brunswick. Es considerado el ms grande matemtico del siglo XIX. A pesar de su preeminencia se procupaba de cosas simples como la claridad en la expresin. Se le recuerda en Trigonometra sobre todo cuando expres que La notacin Sen2 es verdaderamente detestable puesto que ello puede interpretarse como Sen (Sen). Como bien se sabe el uso convencional de Sen2 , significa(Sen)2.

Es te cientfico trabaj con W. Weber, desarrollando juntos la teora matemtica del magnetismo.

Carl F. Gauss

125

Trigonometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Simplifique:

D = (Tgx + Ctgx) Senx

Resolucin:

Reducir:

A = (Tgx + Ctgx) Cosx

Resolucin:

Reducir:

E = (Sen2x Cos2x)2 + 4Sen2x Cos2x

Resolucin:

Si: Sec2x + Csc2x = 2

Calcule:

M = Sec2x Csc2x 1

Resolucin:

126

3ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Si: Sen2x Cos2x = 1/36

Calcule:

M = Sen4x + Cos4x

Resolucin:

Reducir:

A = Sen6x + Cos6x + 3Sen2x Cos2x

Resolucin:

7. Simplifique:

B = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x

8. Simplifique:

4 4 2 2

6 6

Sen x Cos x Sen x Cos xM

Sen x Cos x+

=+

9. Reduce:

Tgx CtgxE

Secx+

=

10. Simplifique:

2 2

2

Sec x Csc xM

(Tgx Ctgx)+

=+

11. Si: Tgx + Ctgx = 2 Calcule:

M = Secx Cscx 2

12. Si: 2 2Sec Csc 8q + q =

Calcule:2 2M Sec Csc 5= q q

127

Trigonometra

1. Simplifique:

Secx CscxA

Cscx Secx= +

a) 2Senx Cosx b) Cscx c) Secx Cscx d) Secx Cscx e) Secx

2. Reduce:B = (Tgx + Ctgx) Sec1x

a) Cscx b) Senx c) Cosxd) Secx e) Tgx

3. Simplifique:

C = (Sec2x + Csc2x) Cos2x

a) Sen2x b) Cos2x c) Sec2xd) Csc2x e) Tg2x

4. Simplifique:

D = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x

a) 1 b) 0 c) 2 d) Sen2x Cos2x e) 1

5. Si: Sen2x Cos2x = 1/9 Calcule:

M = Sen4x + Cos4x

a) 2/81 b) 7/9 c) 5/9d) 3/7 e) 1/9

6. Simplifique:

( )2 24 4E 2 4Sen CosSen Cos= + q qq + q

a) 1 b) 2 c) 3d) 1 e) 2

7. Si: Tgx + Ctgx = 2 Calcule:

M = Sen6x + Cos6x

a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4d) 1 e) 2

8. Simplifique:

6 6 2 2E Sen Cos 3Sen Cos= q + q + q q

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 2Sen Cosq qe) 2 22Sen Cosq q

9. Simplifique:

E = (Sec2x + Csc2x)(Sec2x)1

a) Cscx b) Csc2x

c) Sen2x

d) Cos2x e) Sec

2x

10. Simplifique:

( )2 26 6 9Sen CosA 3 Sen Cos + q q= q + q

a) 1 b) 2c) 3 d) 0 e) 2 2Sen Cosq q

11. Si: Senx Cosx = 2

Calcule:

M = Tgx + Ctgx

a) 1/3 b) 4 c) 1/2d) 1/4 e) 1/9

12. Si: Sen2x Cos2x = 2/5

Calcule:

M = Sen4x + Cos4x

a) 1/3 b) 1/5 c) 1/2d) 1/10 e) 1/4

128

3ro Secundaria

21 Identidades Trigonomtricas de la suma y diferencia de dos arcos

INTRODUCCIN Este captulo constituye la generalizacin de las identi-dades trigonomtricas y esto se da porque a partir de aqu encontraremos relacionadas entre las identidades que efecten entre s operaciones algebraicas de adicin o sustraccin.

En este captulo compararemos que las identidades trigo-nomtricas no son algebraicas como por ejemplo:

Sen (x+y) = Senx + Seny, de este modo el resultado del operador (Sen) y el nmero (x+y), no es una operacin algebraica de simple multiplicacin, sino una operacin de tipo trascendente.

Tomemos dos puntos cualesquiera P(cosb; Senb) y Q(Cosa; Sena) que estn en una circunferencia trigonom-trica.

Py

x

Q

Entonces calculando la distancia PQ :

2 2PQ = (Cos - Cos ) + (Sen - Sen )

PQ = 2 - 2Cos Cos - 2Sen Sen (a)

P = (Cosb; Senb) Q = (Cosa; Sena)

QP =

Ahora tomemos un arco igual a (a - b) en el primer cuadrante con una cuerda d :

R( )Cos( ); Sen( ) - -

A

y

x

d -

(1; 0)

de los grficos QP = AR = d

2 2d = (1 - Cos( - )) + (0 - Sen( - ))

d = 2 - 2Cos( - )(b)

Luego de:

* (a) = (b) tenemos :

2-2Cos(a - b) = 2-2(CosaCosb+SenaSenb)

Cos ( - ) Cos Cos Sen Sen ..... (1) = +

* Sustituyendo b por -b Cos(a-(-b)) = Cosa Cos (-b) + Sena Sen (-b)

Cos( ) = Cos Cos - Sen Sen ..... (2) +

129

Trigonometra

* Se sabe que :

Sen (a+b) = Cos ( )2 +

Sen(a+b) = Cos2

Sen(a+b)= Cos Cos Sen Sen2 2 +

Sen( ) Sen Cos Cos Sen ..... (3) + = +

Cos Sen2

Sen Cos2

=

=

* Sustituyendo b por -b

Sen (a+(-b)) = SenaCos(-b)+CosaSen(-b)

Sen( ) Sen Cos - Cos Sen ..... (4) =

En conclusin:

I. Para la suma de Arcos:

Sen( ) Sen Sen Cos Cos

Cos( ) Cos Cos Sen Sen

+ = + = +

II. Para la diferencia de Arcos:

Sen( ) Sen Cos Cos Sen

Cos( ) Cos Cos Sen Sen

= = +

Motivacin

CLAUDIO PTOLOMEO(100 - 168)

Astrnomo griego, realiz sus ms importantes trabajos a mediados del siglo II, haciendo progresar a la Trigonometra enriquecindola con nuevas frmulas, jams conocidas por Hiparco.

Los trabajos de Ptolomeo estn contenidos en su obra Composicin, llamada Gran Composicin por los griegos.

Al Magisti por los traductores rabes y Almagesto por los latinos. En esta obra figuran frmulas que, si bien no hacen referencia a senos ni a cosenos , si no nicamente a cuerdas, son miradas como equivalentes a:

Sen2a+Cos2a=1

Sen (a-b)=Sena.Cosb-Senb.Cosa

2 a 1 CosaSen2 2

=

Es autor de la Teora Geocntrica que mantuvo su vigencia durante 14 siglos. Aplica la Geometra y Trigonometra a la Astronoma, logrando un gran

130

3ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Determinar el valor de:

Sen( ) Sen CosL

Cos Cos

+ q q=

q

Resolucin:

Calcular el valor de: Cos 67

Resolucin:

Calcular el valor de: Cos 7

Resolucin:

Determinar el valor de:

E=Cos25.Cos35Sen35.Sen25

Resolucin:

131

Trigonometra

Rpta:

5

Rpta:

6Determinar el valor de:

Cos( )M Ctg

Sen Cos

=

Resolucin:

Calcular el valor de:

P=Cos20.Cos17Sen17 Sen20

Resolucin:

7. Determinar el valor de:

N=Cos(x-30)Cos(x+30)

8. Calcular el valor de:

Cos20 Cos10 Sen20 Sen10E

Sen25 Cos5 Sen5 Cos25

=

+


E=(Cos50+Cos20)2+(Sen50+Sen20)2


Sen(y x)P Tgx

Cosy Cosx

= +

11. Si:

1Senx Cosy

31

Seny Cosx2

=

=

Hallar: E = 6Cos(x + y)

12. Si: Sen x = 5/13 Tg y = 3/4 Calcular: Sen(x + y)

132

3ro Secundaria


E=Sen30.Cos7+Sen7.Cos30

a) Sen23 b) Cos7 c) Sen37d) Sen7 e) Cos37

2. Calcular un valor agudo de x, si:

Cosx.Cos10Sen10.Senx=Cos80

a) 60 b) 50 c) 70d) 90 e) 100


M=Cos72.Cos12+Sen12 Sen72

a) 1/2 b) 2 c) 1d) 2 e) 1/2


Sen3xCos4x Sen4x Cos3xP

Sen5xCos2x Sen2x Cos5x

+ =

+

a) Cos7x b) Sen7x c) 1d) Senx e) Cos3x


E = Sen42.Cos5-Sen5.Cos42

a) Cos37 b) Sen47 c) Sen37d) Cos47 e) Sen38


Senx Cosy Sen(x y)E

Seny

+=

a) Senx b) Cosy c) Senyd) Cosx e) Senx


Cos(x y) Senx SenyM

Cosy

+ + =

a) Cosx b) Cosy c) Senx

d) Seny e) Senx


Sen60 Cos30 Sen30 Cos60M

Sen15 Cos75 Sen75 Cos15

=

+

a) 2 b) 0 c) 1/3

d) 1/2 e) 1

9. Calcular el valor de: Sen 16

a) 7/25 b) 24/25 c) 7/24

d) 24/7 e) 25/24


E = Sen19 . Cos18 + Sen18 . Cos19

a) 4/5 b) 3/5 c) 3/4

d) 4/3 e) 5/4


Sen5x Cos3x Sen3x Cos5xJ

Cos4x Cos2x Sen4x Sen2x

=

+

a) Tgx b) Tg5x c) Tg2x

d) Tg4x e) 1

12. Calcular un valor agudo de x; si:

Cos5x . Cos3x + Sen3x . Sen5x = Cos60

a) 60 b) 20 c) 40

d) 30 e) 50

Trigonometría3ro(18 21)Corregido

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