Un i d a d 7...Un i d a d 7 mé t o d o s d e ni t e g r a Cói n Objetivos Al inalizar la unidad,...

Unidad 7

métodos de integraCión

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Utilizará los métodos de sustitución directa en la resolución de

integrales.• Resolverá integrales de funciones trigonométricas, directas e

inversas.• Utilizará los métodos de sustitución trigonométrica en la resolución de

integrales.• Aplicará los métodos de integración por partes en la resolución de

integrales. • Simplificará y resolverá integrales por el método de fracciones

parciales.

Cálculo diferencial e integral 243

Introducción

En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en la unidad

anterior, en los que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las

funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas.

Se estudiarán las técnicas elementales para reducir a inmediatas las integrales

que no lo sean, es decir, integración por sustitución, por partes, de funciones

trigonométricas, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en

fracciones simples y fórmulas de reducción.

Los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada

no inmediata, en otra o en la suma de varias, con la finalidad de que el cálculo sea

sencillo. Por ejemplo:

Integración por partes se refiere a descomponer una integral en una suma de un producto

de funciones más una más sencilla que la inicial.

La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios resulta en

una suma de fracciones, donde las integrales se hallan más facilmente.

Para resolver integrales que dependen de un número natural n teniendo el valor de

la integral que depende del número anterior o ante-anterior, se utilizan las fórmulas

de reducción.

7.1. Integración por sustitución

En muchos casos, sustituyendo el integrando en función de una nueva variable, se

obtiene una diferencial que se integra más fácilmente por ser una integral inmediata, o

diferir de ella por una constante. A este método se le llama integrar por sustitución.

Ejemplo 1

Resuelve la integral 5dx

a bx+∫ por sustitución.

Solución

Si se hace u = a + bx, resulta: du bdx dxdu

b= y despejando =

Sustituyendo en la integral:

55

5 5dx

a bx

du

b

u b

du

u bu C+ = = = +∫ ∫∫ ln( ) y como u = a + bx, queda:

Unidad 7244

5 5dx

a bx ba bx C+ = + +∫ ln( )

Comprobación: db

a bx Cb

bdx

a bx

dx

a bx

5 5 5ln( ) )+ +

= +

= +

Ejemplo 2

Resuelve la integral e dx

x3

5∫ por sustitución.

Solución

Haciendo ux

dudx

dxdu= = =3

5

3

5

5

3, resulta: y sustituyendo en la integral:

e dx e du e du e C e C

x

u u u

x3

5

3

55

3

5

3

5

3

5

3∫ ∫∫= = = + = +

Ejemplo 3

Resuelve la integral x a xdx−∫ por sustitución.

Solución

Haciendo u a x dudx

a xdx udu= − = −

− = −, resulta: , y 2

2 , elevando u al

cuadrado y despejando x se tiene: u2 = a – x, x = a – u2, sustituyendo estos valores en

la integral:

x a xdx a u u udu a u u du a u du u du− = − − = − − = − +∫ ∫∫∫∫ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 42 2 2 2

= − + + = − − + − +2

3

2

5

2

3

2

5

3 5

3

2

5

2au uC

a a x a xC

( ) ( )

7.2. Integración por partes

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y

consiste en lo siguiente:


Al estudiar las diferenciales se vio que: d(uv) = udv + vdu y despejando udv,

queda: udv = d(uv) – vdu e integrando:

udv d uv vdu uv vdu= − = − ∫∫∫∫ ( )

que es la fórmula del método de integración por partes.

Se utiliza al poner el integrado en la forma udv y haciendo que resulte fácil de

calcular v y la integral de vdu.

La elección de quién es u y quién dv en el integrando es arbitraria y es acertada

en el caso de que la integral del segundo miembro resulte más sencilla que la dada.

No hay, y este es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para

hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de

problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

Ejemplo 4

Calcula la integral x xdxsen∫Solución

Sea u = x dv = sen xdx,

Entonces: v xdx x du dx= = − =∫sen , cos

Aplicando la fórmula de integración por partes se tiene que:

x xdx x x xdx x x xdxsen = − − − = − + ∫∫∫ ( cos ) cos cos cos

= − + +x x x Ccos sen

Nota. Se podría haber elegido u = sen x dv = xdx

y en este caso du xdx vx= =cos

2

2

x xdxx x x x

dxsensen= − ∫∫ 2 2

2 2

cos

y se ve que la integral del segundo miembro es más complicada que la dada y, por lo

tanto, la elección no habría sido conveniente.

Ejemplo 5

Calcula sen sen sen2 xdx x xdx∫ ∫=

Unidad 7246

Solución

Sea u = sen x y dv = sen xdx así que:

du = cos xdx y v = –cos xdx

entonces:

sen sen sen2 2xdx x x x xdx x x xdx= − − − = − + ∫∫∫ cos cos cos cos cos

utilizando ahora la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1

donde cos2x = 1 –sen2xdx sustituyendo:

sen sen sen sen sen2 2 21xdx x x x dx x x dx xdx= − + − = − + − ∫∫∫∫ cos ( ) cos

Pasando sen2 xdx∫ al primer miembro de la igualdad:

2 2sen senxdx x x x C∫ = − + +cos

Por lo tanto, sen sen donde C1

2

1

1

2 2xdx x x x C

C= − + =∫ ( cos )

7.3. Integración de funciones trigonométricas

Integración de funciones trigonométricas directas. En este caso las funciones seno

y coseno se consideran inmediatas de las fórmulas de derivación respectivas, esto es:

• sen xdx x C= − +∫ cos (inmediata)

• cos xdx x C= +∫ sen (inmediata)

Ejemplo 6

Obtén la integral tan xdx∫Solución

De las identidades trigonométricas se tiene:

tancos

xdxx

xdx∫ ∫= sen

, luego entonces:

u = cos x

du = –sen xdx


Por consecuencia para la integral:

− = − +∫ du

uu Cln

sustituyendo

= – ln (cosx) + C

simplificando

=

+ln

cos

1

xC

= ln (sec x) + C

Por consecuencia para la integral cot lnxdx x C= ( )+∫ sen

Ejemplo 7

Obtén la integral sec xdx∫ .

Solución

Para calcular esta integral se realiza el siguiente artificio:

sec secsec tan

sec tan

sec sec tan

sec txdx x

x x

x xdx

x x x

x= +

+

= +

+2

aan xdx∫∫∫

si u = sec x + tan x, du = (sec2x + sec x tan x)dx

y como el numerador es la derivada del denominador, se tiene:

d x x

x x

sec tan

sec tan

+( )+∫

Luego: sec ln sec tanxdx x x C∫ = +( )+Por consecuencia para la integral csc ln csc cotxdx x x C= −( )+∫7.4. Integración de funciones trigonométricas inversas

La integración de funciones trigonométricas inversas se mostrará utilizando la

integración por partes, aunque también se pueden tomar como ejemplos de este

método, así que:

Unidad 7248

Para la integral arc sen xdx∫ . Aplicando la integración por partes y haciendo:

u = arc sen x dv = dx

resulta: dudx

x= −1 2

, v = x se tiene entonces:

arc sen arc sen arc senxdx x xxdx

xx x x C∫ ∫= − − = + − +

11

2

2 .

Entonces la integral arc cos arc xdx x x x C∫ = − − +cos 1 2 se obtiene de un

modo análogo al anterior.

Ahora para la integral arc tan xdx∫ haciendo: u = arc tan x dv = dx

se tiene: dudx

xv x= + =

1 2

aplicando la fórmula de integración por partes se tiene:

arc tan arc

arc

xdx x xxdx

x

x

∫ ∫= − + ==

tan1 2

ttan

tan ln( )

xxdx

x

x x x

− += − +

∫1

2

2

1

1

21

2

2 arc ++C

Entonces la integral arc arc cot cot ln( )xdx x x x C= + + +∫ 1

21 2

se halla de un

modo análogo a la anterior.

Para la integral arc sec xdx∫ haciendo: u x dv dx= =arc sec

se tiene: dudx

x x= −2 1

v = x

y aplicando la fórmula de integración por partes resulta:

arc arc sec secxdx x xxdx

x x∫ ∫= − −2 1

Para calcular la integral dx

x2 1−∫ se aplica el método de sustitución.


Sea x = sec z y entonces elevando al cuadrado x2 = sec2z dx = sec z tan zdz

y sustituyendo: sec tan

sec

sec tan

tan

sec tan

tan

z zdz

z

z zdz

z

z zdz

z2 21− = = ∫∫∫

= = + +∫sec ln(sec tan )zdz z z C

y sustituyendo: sec z = x tan secz z x= − = −2 21 1

queda: dx

xx x C

2

2

11− = + − +∫ ln( )

Por lo tanto: arc arc sec sec ln( )xdx x x x x C∫ = − + − +2 1

Ejercicio 1

1. Calcula la integral 3dx

a bx−∫

2. Calcula la integral 2

8

2

3

x dx

x +∫

3. Calcula la integral x xdxcos∫

4. Calcula la integral xx

dxsen3∫

5. Calcula la integral x xdx2sen∫

Unidad 7250

7.5. Otros tipos de integrales trigonométricas

Esta sección se abordará únicamente con ejemplos, así que veamos algunos de la

integración de expresiones en que el integrando es el producto de la potencia de una

función trigonométrica por su diferencial.

Ejemplo 8

Obtén las integrales

a) sen

b)

2

3 2

x xdx

x xdx

cos

tan sec

∫∫

Solución

a) Para la integral sen2 x xdxcos∫ , haciendo u = sen x du= cos xdx

Por lo tanto, sensen2 2

3 3

3 3x xdx u du

uC

xCcos = = + = +∫∫

b) Para la integral tan sec3 2x xdx∫ haciendo u = tanx du = sec2 xdx

Por lo tanto, tan sectan3 2 3

4 4

4 4x xdx u du

uC

xC= = + = +∫∫

Ahora veamos algunos ejemplos de integración de expresiones en que el

integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por una

potencia de su diferencia.

Estas expresiones suelen integrarse transformando previamente la integral y

aplicando identidades trigonométricas y la fórmula u duu

nC nn

n∫ = + + ≠ −+1

11 ( ).


Ejemplo 9

Obtén las integrales

a) sen

b)

cos

tan sec

4 3

2 4

x xdx

x xdx

∫∫

Solución

a) Para la integral cos4 3x xdxsen∫ haciendo sen3x = sen2xsenx

resulta: cos cos4 3 4 2x xdx x x xdxsen sen sen∫ ∫=

Aplicando la identidad sen2 21x x= − cos queda:

cos cos ( cos )4 3 4 21x xdx x x xdxsen sen

∫ ∫= − sen sen

= −= −

∫∫cos cos

co

4 6x xdx x xdx

ss ( ) cos ( )

c

4 6x xdx x xdx− + −= −∫ ∫sen sen

oos cos5 7

5 7

x xC+ +

b) La integral tan sec2 4x xdx∫ se puede escribir en la forma:

tan sec sec2 2 2x x xdx∫ y aplicando la identidad

sec2 x =1 + tan2x resulta:

tan sec tan ( tan )sec2 4 2 2 21x xdx x x xdx∫ ∫= +

= + ∫∫ tan sec tan sec2 2 4 2x xdx x xdx

== + +tan tan3 5

3 5

x xC

Ahora veamos algunos ejemplos de integración de potencias pares de senos y

cosenos.

Unidad 7252

Cuando el integrando contiene solamente potencias pares de senos y cosenos, se

utilizan las siguientes identidades:

• = −

• = +

• =

sen

sensen

2

2

1 2

2

1 2

2

2

20

xx

xx

x xx

cos

coscos

cos

Ejemplo 10

Obtén las integrales:

a) sen

b)

2

4

xdx

xdx

∫∫cos

Solución

a) Utilizando la identidad sen2 1 2

2x

x= − cos se tiene:

sen

se

2 1 2

2 2

2

2

2

1

4

xdxxdx

dx xdx

x

∫ ∫ ∫ ∫= − = −= −

cos cos

nn2x C+

b) Se tiene que cos (cos )cos4 2 2

21 2

2xdx x dx

xdx= = +

∫∫∫

= + + = + += +∫ ∫∫∫1 2 2 2

4 4

1

22

1

42

4

1

42

22cos cos

cos cosx x

dxdx

xdx xdx

xsen xx xdx+ ∫1

422cos

Para calcular cos2 2xdx∫ , aplicamos la identidad coscos2 1 2

2x

x= + y se tiene:

coscos

cos2 21 4

2 2

1

24xdx

xdx

dxxdx∫ ∫∫∫= + = +


= + +xx C

2

1

84sen y, por lo tanto, la integral cos4 xdx∫ queda:

cos4

4

1

42

1

4 2

1

84

4

1

42

8

1

32

xdxx

xx

x C

xx

x

= + + +

+

= + + +∫ sen sen

sen ssen4x C+

Por lo tanto, cos4 3

8

1

42

1

324xdx

xx x C∫ = + + +sen sen

7.6. Integración por sustituciones trigonométricas

Existen integrales que se resuelven con una sustitución trigonométrica, cuyas

formas generales se mostrarán a continuación:

• Las integrales de la forma a u du2 2−∫ se hace la sustitución u = a sen z,

du = a cos zdz, entonces se tiene:

a u a a z a z a z

a u du a z a zdz

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1− = − = − =− =∫

sen sen( ) cos

( cos )( cos )) cos== +

+

∫∫ a zdz

az z

C

2 2

2

2

2

4

sen

Para expresar el resultado en función de u se tiene: zu

az

u

a= =arc sen sen

sen sen2 2 2 122

2

2 2

2z z z

u

a

u

a

u a u

a= = − = −

cos y sustituyendo resulta:

a u du a

u

a

u a u

a C2 2 2

2 2

2

2

2

4− = +

−

+∫ arc sen

Por lo tanto, a u dua u

au

a uC2 2

2 2 2

2 2− = + − +∫ arc sen

Unidad 7254

• Ahora bien en las integrales de la forma du

u a2 2+∫ se hace la sustitución

u = a tan z, du = a sec2 zdz, entonces:

u a a z a a z a z2 2 2 2 2 2 2 1+ = + = + =tan (tan ) sec

Luego entonces, du

u a

a zdz

a zzdz

z

2 2

2

+ = == +

∫ ∫∫ sec

secsec

ln(sec t aan )z C+

Para ponerla en función de u se tiene que: tan ,zu

az

a u

a= = +

sec2 2

donde:

= += + +

+

∫ du

u a

u a u

aC

2 2

2 2

ln

•Para integrales de la forma a u du2 2+∫ se hace u = a tan z du = a sec2zdz

Entonces, a u a a z a z2 2 2 2 2+ = + =tan sec , así que:

a u du a zdz a zdz2 2 2 3 2 3+ = =∫ ∫∫ sec sec

que se integra por partes

Se obtiene: a u dua

z z z z C2 22

2+ = + +( ) +∫ sec tan ln sec tan

y como tan , seczu

ay z

u

a

a u

a= = + = +

12

2

2 2

queda:

a u dua a u

a

u

a

a a u

a

u

a

2 22 2 2 2 2 2

2 2+ = +

+

+ +

+∫ ln CC

u a u a u a u

aC = + + + +

+

2 2 2 2 2

2 2ln


•Asimismo, para las integrales de la forma du

u a2 2−∫ se hace la sustitución

u = a sec z; du = a sec z tan zdz y se resuelve de manera análoga a la anterior.

Ejemplo 11

Calcula la integral x

xdx

2 4−∫

Solución

De manera similar la forma du

u a2 2−∫ se tiene

x = 2sec z, dx = 2sec z tan z dz, zx

zx= =arc sec , sec ,

2 2 entonces:

x dx z z zdz

z

2 2

2

4 4 4 2

4 1 2

− = −= −

sec ( sec tan )

(sec )( ssec tan )

sec tan

z zdz

z zdz = 4 2

y sustituyendo en la integral:

x

xdx

z zdz

zzdz

2 224 4

22

− = ==

∫ ∫∫ sec

sectan

tan

22 1 2 22(sec ) tanz dz z z C− = − +∫

Para poner la integral en función de x, se tiene:

tan secz zx x= − = − = −2

2 2

14

14

2 y como z

x= arc sec2

, sustituyendo:

x

xdx

x xC

x

2 2

2

42

4

22

2

4 2

− = − − += − −

∫ arc

ar

sec

cc secx

C2+

Ejemplo 12

Calcula la integral 4 2−∫ x dx

Unidad 7256

Solución

Aplicando la forma a u du2 2−∫x z dx zdz z

xz

x= = = =2 22 2

sen , , arc sen , sencos

4 4 4 4 1 22 2 2− = − = − =x z z zsen sen( ) cos

sustituyendo en la integral

4 2 2 4

42

2 2− = ==

∫ ∫∫x dx z zdz zdz

z

( cos )( cos ) cos

++

+sen2z C

Para ponerla en función de x, se tiene:

sen sen2 2 22

14

4

2

2 2

z z zx x x x= = − = −

cos y la integral queda:

4 41

2 2

4

2

2

22− = + −

+

=∫ x dx

x x xCarc sen

aarc senx

x x C2

4 2+ −

+

7.7. Integración de fracciones racionales

En esta sección ofreceremos los elementos para calcular las primitivas de f (x) / g (x),

donde f (x) y g (x) son polinomios con coeficientes reales y g (x) se puede expresar como

un producto de factores lineales y cuadráticos. Si el grado de f (x) es mayor que el de

g(x), la división permite escribir la fracción f (x) / g (x) en la forma

f (x) / g(x) = q (x) + r (x) / g (x) (1)

Siendo q(x) el cociente y r (x) el residuo. Como el cálculo de una primitiva de q(x) es

fácil, el problema de hallar una primitiva de f (x) / g (x) se reduce a hallar una primitiva del

cociente de polinomios cuyo numerador es de menor grado que el del denominador.

Por ejemplo, el cociente 2 3 5

1

4

2

x x

x x

− +−( )

se puede expresar en la forma:


2 3 5

12

2 3 5

1 1

4

2

2x x

x xx

x x

x x x

− +− = + − +

− +( ) ( )( )

Suponiendo que se quiere hallar una primitiva de f (x) / g (x), siendo el grado

de f (x) menor que el grado de g(x) y g(x) un producto de factores lineales. El caso

más simple se presenta cuando estos factores lineales son todos distintos y de la

forma x – a. Más adelante se mostrará que en estas condiciones, si g(x) es de la

forma c(x –a1)(x – a

2)...(x – a

n), entonces el cociente f (x) / g (x) se puede escribir

en la forma:

f x

c x a x a x a

A

x a

A

x a

A

x an

n

n

( )−( ) −( ) −( ) = − + − + + −1 2

1

1

2

2...... (2)

siendo A1, A

2,...,A

n, constantes. El término del segundo miembro de (2) se llama

descomposición en fracciones parciales del término del primer miembro. El

procedimiento más sencillo para encontrar Ai es multiplicar la identidad (2) por el

denominador g(x) para obtener la identidad:

(3)

Uno de los procedimientos es igualar los coeficientes correspondientes de los

dos miembros de (3). Otro es remplazar por x los valores a1, a

2,...,a

n. Otro es una

combinación de los dos anteriores:

Por ejemplo, x x

x x x

2 23 10

1 3 2

− +− − +( )( )( )

se puede escribir como:

x x

x x x

A

x

B

x

C

x

2 23 10

1 3 2 1 3 2

− +− − + = − + − + +( )( )( )

Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad

x x A x x B x x C x x2 23 10 3 2 1 2 1 3− + = − + + − + + − −( )( ) ( )( ) ( )( )

y evaluando en

x =1, –12 = –6A ∴ A = 2

x = 3, –50 = 10B ∴ B = –5

x = –2, 60 =15C ∴ C = 4

Entonces

x x

x x x x x x

2 23 10

1 3 2

2

1

5

3

4

2

− +− − + = − + −

− + +( )( )( )

f x cA x a x a cA x a x a x a cA xn n n( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (= − ⋅⋅ ⋅ − + − − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ +1 2 2 1 3 −− ⋅⋅ ⋅ − −a x an1 1) ( )

Unidad 7258

Los factores lineales repetidos se tratan como si fueran factores lineales

distintos. La diferencia está en que si (x – a) es un factor lineal que se repite k veces

en el denominador, entonces, en vez de tener un solo término en el desarrollo en

fracciones parciales correspondientes a x – a se tienen k términos, cada uno de los

cuales corresponde a una potencia de (x – a) desde 1 hasta k:

B

x a

B

x a

B

x a

k

k

1 2

2− + − + ⋅⋅ ⋅ + −( ) ( ) (4)

con B1, B

2,...,B

k, constantes. Si hay factores lineales distintos de los cuales alguno o

todos se repiten, entonces los factores lineales distintos se tratan de la misma manera

y en forma independiente y los términos resultantes se suman:

Por ejemplo, x x x

x x

3 2

3 21 2

− −− −( ) ( )


x x x

x x

A

x

B

x

C

x

D

x

E

x

3 2

3 2 2 3 21 2 1 1 1 2 2

− −− − = − + − + − + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Multiplicando por el denominador del primer miembro, se tiene

Al sustituir en la expresión resultante primero x = 1 y después x = 2, se obtiene

C = –1, E = 2. Para encontrar las otras variables se desarrollan los binomios y se

comparan coeficientes. Así tenemos que B = –2, D = 1 y A = –1 y entonces:

x x x

x x x x x x x

3 2

3 2 2 3 21 2

1

1

2

1

1

1

1

2

2

2

− −− − = −

− + −− + −

− + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Factores cuadráticos. Por factor cuadrático real de un polinomio g(x) se entiende

una expresión de la forma ax2 + bx + c si su discriminante b2 –4ac < 0; entonces, no se

puede descomponer en producto de dos factores lineales reales. Por ejemplo, x2 –3x + 4

no se puede factorizar en factores lineales reales.

El tratamiento de los factores cuadráticos es parecido al de los factores lineales,

excepto en que los numeradores de las fracciones racionales son polinomios de

primer grado en vez de constantes.

El caso más simple es hallar una primitiva del cociente f(x) / g(x) de polinomios reales,

con el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y g(x) contiene factores cuadráticos.

Este tipo de primitivas da lugar a dos casos:

a) f(x) / g(x), con f(x) = cg‘ (x), c una constante, y

b) f(x) / g(x), con el grado de f(x) menor que el grado de g(x) y no se cumple a).

x x x A x x B x x C x D x x E3 2 2 2 2 2 31 2 1 2 2 1 2− − = − − + − − + − + − − +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (xx −1 3)


f x

x b x c x b x c

A x B

x b x c

A x B

x bn n

( )

( ) ( )γ 2

1 1

2

1 1

2

1 1

2 2

2

2+ + ⋅⋅ ⋅ + + = ++ + + +

+ xx c

A x B

x b x c

n n

n n+ + ⋅⋅ ⋅ + ++ +2

2

Para hallar las primitivas del cociente f(x) / g(x), siendo el grado de f(x) menor que

el grado de g(x) y g(x) un producto de factores cuadráticos distintos,

g x x b x c x b x c x b x cn n( ) ( )( ) ( )= + + + + ⋅⋅ ⋅ + +γ 2

1 1

2

2 2

2

En este caso la fracción f(x) / g(x) se puede escribir en la forma

(5)

con A1, B

1, A

2, B

2,..., A

n, B

n constantes. Para hallar las constantes A

i, B

i se emplean

técnicas similares a las indicadas anteriormente:

Por ejemplo, 2 3 36 67

6 17 2 3

3 2

2 2

x x x

x x x x

− − −+ + − +( )( )

se puede descomponer en la forma:

2 3 36 67

6 17 2 3 6 17 2 3

3 2

2 2 2 2

x x x

x x x x

Ax B

x x

Cx D

x x

− − −+ + − + = +

+ + + +− +( )( )

Para hallar las constantes se multiplica la igualdad por el denominador del primer

miembro; se identifican los coeficientes correspondientes de las mismas potencias de

x y se resuelve el sistema resultante donde B = 6, D = –5, C = 0 y A = 2. Entonces:

2 3 36 67

6 17 2 3

2 6

6 17

5

2 3

3 2

2 2 2 2

x x x

x x x x

x

x x x x

− − −+ + − + = +

+ + + −− +( )( )

Si los factores cuadráticos se repiten se manejan en forma similar al de los

factores lineales repetidos: si x2 + bx + c es un factor cuadrático que se repite k veces

en el denominador, entonces el término de (5), que contiene únicamente el término

x2 + bx + c, se remplaza por k términos de la forma:

C x D

x bx c

C x D

x bx c

C x D

x bx c

k k

k

1 1

2

2 2

2 2 2

++ + + +

+ + + ⋅⋅ ⋅ + ++ +( ) ( )

(6)

siendo C1, D

1,...,C

k, D

k, constantes.

Por ejemplo, x x

x

3 2

2 2

3 2

4

− −+( )


x x

x

Ax B

x

Cx D

x

3 2

2 2 2 2 2

3 2

4 4 4

− −+ = +

+ + ++( ) ( )

Unidad 7260

Multiplicando por el denominador del primer miembro, identificando coeficientes

y resolviendo el sistema resultante, se encuentra que A = 1, B = –3, C = –4 y D = 10,

entonces:

x x

x

x

x

x

x

3 2

2 2 2 2 2

3 2

4

3

4

4 10

4

− −+ = −

+ + − ++( ) ( )

Ejemplo 13

Calcula la integral 3 2

23 2

x

x x xdx

−− −∫

Solución

Al factorizar el denominador se tiene:

x x x x x x x x x3 2 22 2 2 1− − = − − = − +( ) ( )( )

descomponiendo la fracción original en tres fracciones, cuyos numeradores son A, B

y C obtenemos:

3 2

2

3 2

2 1 2 13 2

x

x x x

x

x x x

A

x

B

x

C

x

−− − = −

− + = + − + +( )( ) (1)

multiplicando la igualdad por el denominador x (x – 2)(x + 1), nos queda

3 2 2 1 1 2x A x x Bx x Cx x− = − + + + + −( )( ) ( ) ( )

ordenamos el segundo miembro con respecto a las potencias de x,

3 2 2 22x A B C x A B C x A− = + + + − + − −( ) ( )

identificando los coeficientes de las mismas potencias de x, resulta:

A + B + C = 0

–A + B –2C = 3

–2A = –2

un sistema de tres ecuaciones, que resuelto, se obtiene:

A B C= = = −12

3

5

3, ,

Sustituyendo estos valores en (1)


3 2

2

1

2

3

2

5

3

1

1 2

3 2

5

3 13 2

x

x x x x x x x x x

−− − = + − − + = + − − +( ) ( )

e integrando:

3 2

2

2

3 2

5

3 13 2

x

x x xdx

dx

x

dx

x

dx

x

−− − = + − − +∫ ∫∫∫

= + − − + +−

− − = +∫ln( ) ln( ) ln( )

ln( )

x x x C

x

x x xdx x

2

32

5

31

3 2

2

23 2 33

25

31ln( ) ln( )x x C− − + +

Por lo tanto:

Ejemplo 14

Calcula la integral ( )4 1

23 2

x dx

x x x

−− +∫

Solución

Factorizando el denominador, resulta: x x x x x x x x3 2 2 22 2 1 1− + = − + = −( ) ( )

El cual se puede escribir como:

4 1

2 1 13 2 2

x

x x x

A

x

B

x

C

x

−− + = + − + −( )

(1)

Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad se tiene:

4 1 1 12x A x Bx Cx x− = − + + −( ) ( )

Haciendo operaciones y ordenando, se tiene:

4 1 22x A C x A B C x A− = + + − + − +( ) ( )

Igualando los coeficientes se obtiene el sistema:

A + C = 0

–2A + B – C = 4

A = –1

cuya solución es: A = –1, B = 3, C = 1

Sustituyendo en (1) se obtiene: 4 1

2

1 3

1

1

13 2 2

x

x x x x x x

−− + = − + − + −( )

Unidad 7262

e integrando resulta:

( )

( )

( )

4 1

23

1 1

4 1

2

3 2 2

3 2

x dx

x x x

dx

x

dx

x

dx

x

x dx

x x x

−− + = − + − + −−

− +

∫ ∫∫∫∫ == − + −

− + − += − − − + − + = −

ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln

xx

x C

xx

x Cx

x

3

11

3

11

1 − − +3

1xC

Por lo tanto ( )

ln4 1

2

1 3

13 2

x dx

x x x

x

x xC

−− + = −

− − +∫

Ejercicio 2

1. Calcula la integral sec5xdx∫2. Calcula la integral sen2 2x xdxcos∫3. Calcula la integral cos2 xdx∫

4. Calcula la integral 1 6

8 163 2

+− +∫ x

x x xdx


2 82

−+ −∫ x

x xdx


Ejercicios resueltos

1. Calcula la integral sen3xdx∫Solución

Sea u = 3 x, entonces du = 3dx. Se observa que falta el factor 3 en el integrando,

por lo que se debe multiplicar y dividir por 3:

sen sen31

33

1

33xdx xdx x C∫ ∫= = − +cos

2. Calcula la integral cos xdx

x1+∫ sen

Solución

Sea u x du xdx= + =1 sen , entonces cos . Sustituyendo en la integral se tiene:

cosln

xdx

x

du

ux C

11+ = = +( )+∫ ∫sen

sen

3. Calcula la integral xe dxx∫Solución

Sea u x dv e dxx= =

du dx v ex= =

entonces:

xe dx xe e dx xe e Cx x x x x= − = − +∫∫4. Calcula la integral ln xdx∫Solución

Sea u x dux

dx= =ln y 1

dv dx v x= = y

entonces:

ln ln lnxdx x x xx

dx x x x C= − = − +∫∫ 1

Unidad 7264

5. Calcula la integral x xdx3 2cos∫Solución

Sea

u x dv xdx

du x dx v x

= == =

3

2

2

31

22

sen

cos

x xdx x x x x dx3 3 221

22

1

22 3cos ( )∫ ∫= −

sen sen

= 1

2sen2

3

2sen

sen

3 2x x x xdx

x xdx

−=

∫∫

2

2 2

(1)

Sea

u x dv xdx

du xdx v x

x

= == = −

2

2

2

21

22

sen

sen

cos

221

22

1

22 2

1

2

2xdx x x x xdx

x

= − += −

∫∫ cos cos ( )

22 2 2

2

cos cos

cos

x x xdx

x xdx

+ ∫∫

(2)

Sea

u x dv xdx

du dx v x

x xdx

= == =

=∫

sen

cos

cos

2

1

22

211

22

1

22

1

22

1

42

x x xdx

x x x

sen sen

sen

−= +

∫cos

Sustituyendo en (2) se tiene

= − + + sen1

22

1

22

1

422x x x x xcos cos


Sustituyendo en (1)

= 1

2sen2

3

2

1

2sen3x x x x x x x− − + +

2 21

22

1

42cos cos

por lo tanto, finalmente se tiene

x xdxx

x x x x x x C33

222

23

42

3

42

3

82cos cos cos∫ = + − − +sen sen

6. Calcula la integral sen2 2x xdxcos∫Solución

sen2 2 21 2

2

1 2

2

1

41 2x xdx

x xdx xcos

cos cos( cos )∫ ∫= −

+

= − ddx

xdx dx xdx

xx C

== − +

= − = − +

∫∫∫∫1

41

4 1

2

1

8

1

84

8

1

324

coscos sen

7. Calcula la integral tan sec3 4x xdx∫Solución

tan sec tan sec sec tan ( tan )sec

t

3 4 3 2 2 3 2 21x xdx x x xdx x x xdx∫ ∫∫= = + == aan sec tan sec tan tan3 2 5 2 4 61

4

1

6x xdx x xdx x x C+ = + +∫∫

8. Calcula la integral tan3 xdx∫Solución

tan tan tan tan (sec )

tan sec tan

3 2 2

2

1

1

xdx x xdx x dx

x xdx xdx

∫ ∫∫= = −= − =

22

2tan ln cosx x C+ +∫∫

9. Calcula la integral ( )

( )( )( )

2 7

1 2 3

x dx

x x x

+− + −∫

Solución

Dado que todos los factores del denominador son diferentes, suponiendo que

2 7

1 2 3 1 2 3

x

x x x

A

x

B

x

C

x

+− + − = − + + + −( )( )( )

Unidad 7266

Entonces 2 7 2 3 1 3 1 2x A x x B x x C x x+ = + − + − − + − +( )( ) ( )( ) ( )( )

Como la identidad se debe verificar para todos los valores de x, entonces se tiene:

x A A

x

= + = − = −= −

1 2 7 3 23

2

2

, ( )( ),

,

entonces, por lo tanto,

entonces por lo tanto,

ento

, ( )( ),

,

− + = − − ==

4 7 3 51

5

3

B B

x nnces, 6 por lo tanto, + = =7 2 513

10C C( )( ),

e integrando:

( )

( )( )( )

2 7

1 2 3

32

1

15

2

x dx

x x x x x

+− + − = −

− + +∫ ++ −

= − − + + + − = − − +∫ 13

10

3

3

2 1

1

5 2

13

10 3

3

21

1

xdx

dx

x

dx

x

dx

xxln

552

13

103ln lnx x C+ + − +∫∫∫

10. Calcula la integral ( )

( )( )

x x dx

x x x

2

3 2

2 3

1 3

+ +− +∫

Solución

Por el correspondiente a (x + 3)2 se introducen factores con (x + 3)2 y todas las

potencias menores. Algo análogo para x3.

Entonces x x

x x x

A

x

B

x

C

x

D

x

E

x

F

x

2

3 2 3 2 2

2 3

1 3 1 3 3

+ +− + = + + + − + + + +( )( ) ( )

Multiplicando la igualdad por el denominador del primer miembro, se tiene:

x x A x x Bx x x Cx x x Dx x2 2 2 2 2 32 3 1 3 1 3 1 3 3+ + = − + + − + + − + + +( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )22

3 3

3 2 4 3 2

1 3 1

5 3 9 5 3 9

++ − + + −= + + − + + + −

Ex x x Fx x

A x x x B x x x x

( )( ) ( )

( ) ( ) +++ + + − + + + + + − + −C x x x x D x x x E x x x F x x( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 5 4 3 4 35 3 9 6 9 2 3


( )

( )( )

x x dx

x x x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

2

3 2 3 2

2 3

1 3

1

3

1

3

11

27

11

24 1

+ +− + = − − − + −∫ −− + + + =

= + − + −∫∫∫∫∫∫ 11

216 3

19

18 3

1

6

1

3

19

18 3

11

27

2

2

dx

x

dx

x

x x x

( )

( )ln xx x x C+ − − + +11

241

11

2163ln ln

Por lo tanto, formando el sistema de ecuaciones se tiene:

1.

2.

3.

4.

C D E

B C D E F

A B C D E F

A B

+ + =+ + + + =

+ + + − − =+ −

0

5 5 6 2 0

5 3 9 3 0

5 3 9CC

A B

A

=− =

− =1

3 9 2

9 3

5.

6.

De 6, A = − 13

, remplazando este valor en 5 se obtiene B = − 13

. Remplazando

estos dos valores en 4 se obtiene C = −1127

y 1, 2 y 3 se convierten en

D E D E F D E F+ = + + = − − =11

276 2

100

279 3

29

9; ; , entonces

15187

2716

198

27D E D− = =; y, finalmente,

D E F= = − =11

24

11

216

19

18; ;

e integrando resulta:

Ejercicios propuestos

1. Calcula la integral cos(ln )x dx∫2. Calcula la integral x e dxx3 2∫3. Calcula la integral sec3 xdx∫

Unidad 7268


7 103 2

+− +∫ x

x x xdx

5. Calcula la integral ( )4 2

23 2

x dx

x x x

−− −∫

Autoevaluación

1. Calcula la integral cos2 xdx∫a) sen

b) sen

c) sen

d)

1

2

1

2

1

2

( cos )

( cos )

( cos )

x x x C

x x x C

x x C

+ +− + +

+ sen1

2( )x x C+ +

2. Calcula la integral sen4xdx∫a)

b)

c)

d)

4 4

4

1

44

1

44

cos

cos

cos

cos

x C

x C

x C

x C

+− +

+− +

3. Calcula la integral sen6

5

xdx∫

a)

b)

c)

d)

− ++

− ++

5

6

6

5

5

6

6

5

5

3

6

5

7

6

6

5

cos

cos

cos

cos

xC

xC

xC

xC


4. Calcula la integral tan sec2 2x xdx∫a)

b)

c)

d)

− ++++

1

3

1

3

33

1

3 3

3

3

3

3

tan

tan

tan

tan

x C

x C

xC

xC

5. Calcula la integral x xdxln∫a)

b)

c)

d)

− − +− + +

− +−

xx

xC

xx x

C

xx

xC

xx x

2 2

22

2 2

2

2 4

2 4

2 4

3

ln

ln

ln

ln22

5+C

6. Calcula la integral xx

dxcos2∫

a) sen

b) sen

c) sen

− + +− ++ +

22

42

22

42

32

52

xx x

C

xx x

C

xx x

C

cos

cos

cos

dd) sen22

42

xx x

C+ +cos

Unidad 7270

7. Calcula la integral tan2

3

xdx∫

a)

b)

c)

−

+

+

3

2

2

3

3

2

2

3

3

4

2

3

ln cos

ln cos

ln cos

xC

xC

x +

−

+C

xCd)

5

2

2

3ln cos


3 23 2

x

x x xdx

−+ +∫

a)

b)

12

3 1 52

2

12

3 1 52

ln( ) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln(

x x x C

x x x

+ + − + ++ + + + 22

12

3 1 52

2

12

3 1 5

)

ln( ) ln( ) ln( )

ln( ) ln( )

+− + + − + +

− + +

C

x x x C

x x

c)

d) 22

2ln( )x C+ +


4 43 2

++ +∫ x

x x xdx

a)

b)

c)

14 2

3

2 2

16 2

3

3 2

1

ln( )

ln( )

x

x xC

x

x xC

+

+ + +

+

− + +

55 2

5

2 2

14 2

3

2 2

ln( )

ln( )

x

x xC

x

x xC

+

+ + +

+

− + +d)


Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1)

2)

3) sen

4)

− − ++ ++ +

− +

3

2

38

33

3

ba bx C

x C

x x x C

xx

ln( )

ln( )

cos

cos ssen

5) sen

xC

x x x x x C

3

2 22

+− + + +cos cos

Ejercicio 2

1)

2) sen

3) sen

4)

1

55 5

8

1

324

2

2

4

116

ln sec tanx x C

xx C

x xC

+( )+− ++ +

lln( ) ln( )( )

ln( ) ln( )

x xx

C

x x C

− − − − +− + − − +

116

425

4 4

136

4 56

25)

Respuestas a los ejercicios propuestos

1) sen

2)

3)

xx x C

x e eC

x x

x x

2

2 2

1

2

2 2 2

[cos(ln ) (ln )]

(sec tan l

+ +− +

+ nn sec tan )

ln( ) ln( ) ln( )

ln(

x x C

x x x C

x x

+ ++ − − − +

−4)

5)

12

43

5 116

2

22

xxC+ +

1 2)

Unidad 7272

Respuestas a la autoevaluación

1. a)

2. d)

3. a)

4. b)

5. c)

6. d)

7. a)

8. c)

9. d)

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