Un modelo de computación no convencional: La Computación Cuántica Computación Cuántica Juan...
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Un modelo de computación no Un modelo de computación no convencional:convencional:
LaLa
Computación CuánticaComputación CuánticaJuan Antonio Nepomuceno ChamorroJuan Antonio Nepomuceno Chamorro
Un poco de historia:Un poco de historia:
Richard P. FeynmanRichard P. Feynman ¿simulación de ¿simulación de procesos cuánticos?procesos cuánticos?
D. Deutsch D. Deutsch Bernstein, VaziraniBernstein, Vazirani
YaoYao
ordenador siguiendo ordenador siguiendo leyes cuánticasleyes cuánticas
Mikhael Shor Mikhael Shor algoritmo de algoritmo de factorizaciónfactorización
(gran interés e inversión en la (gran interés e inversión en la Computación Cuántica debido a las Computación Cuántica debido a las importantes consecuencias a nivel importantes consecuencias a nivel
criptográfico)criptográfico)
La teoría cuántica: el concepto La teoría cuántica: el concepto de de superposiciónsuperposición
A nivel atómico observamos comportamientos que no coinciden con lo que la intuición nos dice que debería ocurrir
La teoría cuántica explica estos comportamientos
Proceso computacional cuántico:
computamos teniendo en cuenta “todas las posibles historias a la vez”
El carácter ondulatorio: El carácter ondulatorio: Experimento de Young
La interferencia entre ondas provoca el patrón de rayado de la pantalla
La luz es un tipo de onda
El concepto de superposición:El concepto de superposición:
Repetimos el experimento con un cañón de electrones (los lanza a velocidad
constante) Con una abertura
Con dos aberturas
El concepto de superposición:El concepto de superposición:
Repetimos el experimento con un cañón de electrones (los lanza a velocidad
constante) Con una abertura
Con dos aberturas
No coincide con lo que la intuición nos dice. ¿Electrones
individuales comportándose como ondas?
¿?
El concepto de superposición:El concepto de superposición:
¿Cómo explicamos el fenómeno?
Parece como si el electrón supiese diferenciar cuando ambas aberturas están abiertas y cuando no.
Se comporta como una onda, ¿interaccionan los electrones unos con otros? NO: pues llegan por separado a la primera pantalla.
Además, si intentamos medir por qué abertura pasa el
electrón colocando un aparato de medida, el
resultado del experimento (con ambas abiertas) no es el mismo: se pierde el efecto
“ondulatorio”.
El concepto de superposición:El concepto de superposición:
Explicación de la Teoría Cuántica:
No podemos determinar qué hace el electrón, y si lo intentamos, modificamos su comportamiento:su posición es una indeterminación.
Aceptamos como mejor explicación:• El electrón “se divide” en dos• Interacciona consigo mismo
mundo realexplicación teoría cuántica
Superposición:
se considera que ocurren las dos posibilidades.
(Si tratamos de medir se destruye y sólo
contemplamos una en particular).
Bit cuántico o Bit cuántico o qubit qubit ::
SuperposiciónSuperposición: debido a la incertidumbre de los procesos : debido a la incertidumbre de los procesos cuánticos consideramos que ocurren todas las posibilidadescuánticos consideramos que ocurren todas las posibilidades
ObservaciónObservación: una vez que interactuamos la superposición se : una vez que interactuamos la superposición se pierde y sólo tenemos una de las posibilidades contempladas. pierde y sólo tenemos una de las posibilidades contempladas.
bit clásico: 0 o 1
Qubit: al estar en un proceso cuántico, consideramos ambas posibilidades
|0|0ii++|1|1i i (( 22 HH, espacio de Hilbert), espacio de Hilbert)
con con , , 22 CC amplitudes y tal que: | amplitudes y tal que: |||22+|+|||22=1=1
… … y al observarlo obtendremos 0 con y al observarlo obtendremos 0 con probabilidad |probabilidad |||22 o 1 con probabilidad | o 1 con probabilidad |||22
• indeterminación
• carácter ondulatorio
• distribución de probabilidad
Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:
00
00
Preparar una superposición adecuada:
||ii==11|1|1ii++22|2|2ii+…++…+nn|n|nii
con con ii 22 CC, , ||i i ||22=1=1
superposición
Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:
00
00
superposición
||ii==11|1|1ii++22|2|2ii+…++…+nn|n|nii
Someter dicha superposición a una serie de evoluciones unitarias:
|i se transforma en |i mediante una matriz (unitaria)
“evolución unitaria”
evoluciones unitarias
Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:
00
00
superposición
||ii==11|1|1ii++22|2|2ii+…++…+nn|n|niievoluciones unitarias
Observamos (medimos) la superposición resultante:
obtendremos un elemento en concreto con una determinada
probabilidad
Medición e interpretar resultados
t = 0
A nivel subatómico se cumplen a la vez, simultáneamente, todas las
historias, calculemos a nivel subatómico: “paralelismo cuántico”
Espejo reflectante
Lente que refracta al 50 %
Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:
4
1
2
1
2
1
¿En qué se diferencia el modelo cuántico del
probabilista?
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
1
0
1
¿?
Modelo Probabilista:
La probabilidad de que se siga este camino de computación es de
la probabilidad de obtener 0 en el proceso completo es
de:21
41
41
100%
Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:
0002
10
2
1
02
1
2
12
¿En qué se diferencia el modelo cuántico del
probabilista?
Modelo Cuántico:
la amplitud es:
la probabilidad de obtener 0 en el proceso completo es
de:
(sumamos las amplitudes y consideramos su cuadrado)
2
1
|02
1
2
1
2
1
2
1
|1
|0
|1
2
1
la amplitud es:
12
1
02
1
0
2
1
2
1 (y la probabilidad es
(– ½)2 = 1/4)
1112
11
2
1
Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:Las diferencias:
1. “Filosofía de la superposición”
2. Interferencia
• Transformaciones unitarias
• Reversibilidad
Modelo Probabilista Modelo Cuántico
Interferencia: carácter ondulatorio i.e.,
cancelación de dos posibles computaciones
árbol de computaciones :
Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:Las diferencias:
1. “Filosofía de la superposición”
2. Interferencia
• Transformaciones unitarias
• Reversibilidad
Modelo Probabilista Modelo Cuántico
un sólo camino de la computación
probabilidad probabilidad al
medir
| c i |2
Se puede seguir paso a paso la computación
Si tratamos de observar un paso
intermedio destruimos el
proceso
Ejemplo1 : codificaciónEjemplo1 : codificación
Codificamos los números de 0 a 15 :Codificamos los números de 0 a 15 :
Con bits: 0000= 0•2Con bits: 0000= 0•233+0•2+0•222+0•2+0•211+0•2+0•200= 0= 0 … … o por ejemplo …o por ejemplo … 1001= 1•21001= 1•233+0•2+0•222+0•2+0•211+1•2+1•200= 9= 9
Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 posibilidadesposibilidades
Con qubits: Con qubits:
== ••223 3
++••222 2
++••220 0 ••221 1
++Codificamos de una sola vez todas las 16 posibilidades y podemos hacer cálculos con todas a la vez
Pero, ¿si efectuamos una medición?
Ejemplo1 : codificaciónEjemplo1 : codificación
Codificamos los números de 0 a 15 :Codificamos los números de 0 a 15 :
Con bits: 0000= 0•2Con bits: 0000= 0•233+0•2+0•222+0•2+0•211+0•2+0•200= 0= 0 … … o por ejemplo …o por ejemplo … 1001= 1•21001= 1•233+0•2+0•222+0•2+0•211+1•2+1•200= 9= 9
Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 posibilidadesposibilidades
Con qubits: Con qubits:
== ••223 3
++••222 2
++••220 0 == ••221 1
++= 9
Al observar la superposición esta colapsa a un estado en concreto: sólo tenemos en ese
momento un valor concreto.
Mientras no realicemos ninguna medición estamos trabajando con los 16 valores
simultáneamente.
Ejemplo2 : resolviendo un problema de búsquedaEjemplo2 : resolviendo un problema de búsqueda
Sea una función ,f, que toma valores en {x0 , …, xn } y vale 0 en todos los puntos y 1 en tan sólo uno. Se trata hallar ese valor en concreto.
¿encontrar y2 {x0 , …, xn } tq f(y)=1?
Codificamos la información de una manera adecuada:
mediante un operador habitual en transformaciones cuánticas:
|0i → (1 / √2n) |xii (operador H-W)
Podemos representar así las amplitudes de la superposición inicial
Aplicamos un operador adecuado para obtener el resultado:
1) que discrimine en cierta forma la solución del resto
2) que haga que en el proceso de medición la solución sea la que tenga más probabilidades de salir
Gn = -Hn Rn Hn Vf
Observamos y sacamos conclusiones
Ejemplo2 : resolviendo un problema de búsquedaEjemplo2 : resolviendo un problema de búsqueda
¿encontrar y2 {x0 , …, xn } tq f(y)=1?
|0i codificamos la información
Observamos y obtenemos con más probabilidad la solución que el resto (probabilidad controlada)
Gn operador cuántico:
1) DISCRIMINA
2) RESALTA
(un solo paso de computación)
y = x i
(y lo obtenemos con una probabilidad de |ci|2)
Algoritmos Cuánticos: (son un tipo particular de algoritmos Algoritmos Cuánticos: (son un tipo particular de algoritmos probabilistas)probabilistas)
Básicamente hay de dos tipos:Básicamente hay de dos tipos:
De búsquedas en base de datos sin estructura o De búsquedas en base de datos sin estructura o “consulta a “consulta a oráculos”oráculos”
Algoritmo de Algoritmo de Grover, …Grover, …
Tipo Shor: que sacan partido de comportamientos Tipo Shor: que sacan partido de comportamientos de tipo periódico por medio de la Transformada de tipo periódico por medio de la Transformada Cuántica de FourierCuántica de Fourier
Algoritmo de factorización de Algoritmo de factorización de ShorShor, …, …
(Simulaciones Cuánticas) …(Simulaciones Cuánticas) …
¿y la implementación?¿y la implementación?
Se estima que podremos llegar a tener un ordenador cuántico en los próximos 20 o 30 años:
en 2001 IBM consigue factorizar n=15 utilizando el algoritmo de Shor con un ordenador de 7 qubits
Nace la Criptografía Cuántica
Nuevas preguntas, nuevos problemas, nuevos paradigmas …
… … etc…etc…
Circuitos Cuánticos…Circuitos Cuánticos…
para qué servirán los ordenadores cuánticos para qué servirán los ordenadores cuánticos o aspectos de o aspectos de teoría de la complejidadteoría de la complejidad
Hacia un Software CuánticoHacia un Software Cuántico
Nuevos paradigmasNuevos paradigmas
… … etc … etc …