Una mirada hacia algunas

cuestiones matemáticas

CRONOGRAMA GENERAL

2 CICLOS:

>>PRIMER CICLO 2010

>> SEGUNDO CICLO 2011

EL CURSO ESTA APROBADO POR: Resolución N° 905/2009 - M.E.C.C. y T. DEL PROGRAMA DE FORMACION DOCENTE Y CONTINUA

PRIMER CICLO 2010

TRAMO I:

TRAMO II:

4 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA

25 DE FEBRERO

29 DE JUNIO28 DE ABRIL

30 DE AGOSTO

29 DE SEPTIEMBRE

28 DE OCTUBRE

6 JORNADAS

CARGA HORARIA:

2 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA

105 Hs DIDACTICAS = 70 Hs RELOJ

32 Hs RELOJ - PRESENCIAL

18 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL

CARGA HORARIA:

80 Hs DIDACTICAS = 53 Hs RELOJ

16 Hs RELOJ - PRESENCIAL

25 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL

20 Hs RELOJ - TUTORIA

12 Hs RELOJ - TUTORIA

SEGUNDO CICLO 2011

CORRESPONDERÁ A LA CONTINUACIÓN

PEDAGÓGICA-DIDÁCTICA DESARROLLADA EN EL

CICLO 2010, OBSERVANDO SU MISMA ESTRUCTURA

ORGANIZATIVA.

CAPACITADORES:> Gonzáles, Hugo> Peralta, Oscar> Romero, Alicia (Colaboración)

METODOLOGÍA:

- Por medio de exposiciones dialogadas.

- Debates.

- A su vez se trabajará por medio del análisis de producciones individuales y colectivas.

CONTENIDOS CONCEPTUALES.

TEORIA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS.

TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO.

EVOLUCIÓN DE LA DIDÁCTICA.

ESTUDIO Y ANÁLISIS DE REGISTROS DE CLASES.

> Promover el trabajo matemático desde situaciones problemáticas y por medio del debate y el análisis de los procedimientos de los alumnos y docentes;>Incentivar la organización de un trabajo en conjunto acerca del estudiar matemáticas por medio de la resolución de problemas;>Comparar, interpretar y elaborar producciones realizados por medio de la resolución de problemas, el análisis de su validez y su adecuación al contexto áulico.

OBJETIVOS

CRONOGRAMA DE LA JORNADA. 8:00 – 8:30 PRESENTACIÓN.

8:30 – 9:00 ANÁLISIS DE PROBLEMAS.

9:00 – 9:00 EXPOSICIÓN DE CUESTIONES DIDÁCTICAS.

9:30 – 10:00 RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS

10:00 – 10:15 RECREO

10:15 – 12:00 ANÁLISIS DE LAS POSIBLES RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS A PROBLEMAS PLANTEADOS.

12:00 – 13:00 RECREO

13:00 – 14:00 ANALISIS DE LA TAD

14:00 – 15:00 RESOLUCION DE PROBLEMA Y SU ANÁLISIS DESDE LA MIRADA DE LOS ALUMNOS.

15:00 – 17:00 PUESTA EN COMÚN DE TODOS LOS APORTES. PRÓXIMAS ACTIVIDADES.

ESTUDIAR LAS TARIFAS DE ESTAS DOS EMPRESAS

 EMPRESA

AEMPRESA

B

Hasta 1 Km $ 1,80 $ 2,00

Entre 1 y 2,5 Km

20 cent cada 100 mts

10 cent cada 100 mts

Más de 2,5 Km10 cent

cada 100 mts20 cent

cada 100 mts

LO QUE SE TRABAJA EN ESTE CURSO SON Ideas extraídas desde:

> Chevallard, Bosch y Gascón (1997): Estudiar matemática: El Eslabón Perdido entre la Enseñanza y el Aprendizaje,ICE/Horsori Barcelona. España.

NO SE PUEDE ABORDAR EL TEMA DE LA ENSEÑANZA Y EL

APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS SIN

PREGUNTARSE AL MISMO TIEMPO QUE SON LAS

MATEMÁTICAS, EN QUÉ CONSISTEN Y PARA QUÉ

SIRVE HACER MATEMÁTICAS.

LA PRESENCIA DE LAS MATEMATICAS EN LA ESCUELA ES UNA CONSECUENCIA DE SU PRESENCIA EN LA SOCIEDAD Y

POR LO TANTO, LAS NECESIDADES MATEMÁTICAS QUE SURGEN EN LA ESCUELA

DEBERÍAN ESTAR SUBORDINADAS A LAS

NECESIDADES MATEMÁTICAS DE LA VIDA EN SOCIEDAD.

LA “ENFERMEDAD DIDÁCTICA” CONSITE EN CONSIDERAR QUE LAS MATEMÁTICAS ESTÁN

HECHAS PARA SER ENSEÑADAS Y APRENDIDAS, QUE LA “ENSEÑANZA FORMAL” ES IMPRESCINDIBLE EN TODO APRENDIZAJE

MATEMÁTICO Y QUE LA ÚNICA RAZÓN POR LA QUE SE APRENDEN MATEMÁTICAS ES

PORQUE SE ENSEÑAN EN LA ESCUELA. SE REDUCE ASÍ EL “VALOR SOCIAL” DE LAS

MATEMÁTICAS A UN SIMPLE “VALOR ESCOLAR”, CONVIERTIENDO LA ENSEÑANZA

ESCOLAR DE LAS MATEMÁTICAS EN UN FIN EN SÍ MISMO.

¿QUÉ HACER PARA QUE LOS ALUMNOS SE SITÚEN COMO

MATEMÁTICOS ANTE LAS CUESTIONES MATEMÁTICAS QUE SE LES PLANTEAN EN LA ESCUELA, Y PARA QUE

ASUMAN ELLOS MISMOS LA RESPONSABILIDAD DE SUS

RESPUESTAS?

LA PALABRA “ESTUDIO” TIENE UN SENTIDO AMPLIO QUE ENGLOBA TANTO

EL TRABAJO MATEMÁTICO DEL ALUMNO, COMO EL DEL MATEMÁTICO

PROFESIONAL QUE TAMBIÉN “ESTUDIA” PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS.

UNO DE LOS ASPECTOS A CONSIDERAR ES TENER EN CUENTA QUE LOS

PROCESOS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS SON

ASPECTOS PARTICULARES DEL PROCESO DE ESTUDIO DE LAS

MATEMÁTICAS.

¿QUÉ SIGNIFICA “HACER

MATEMÁTICAS”?

UN ASPECTO ESENCIAL DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA CONSISTE EN CONSTRUIR

UN MODELO (MATEMÁTICO) DE LA REALIDAD QUE QUEREMOS ESTUDIAR,

TRABAJAR CON DICHO MODELO E INTERPRETAR LOS RESULTADOS

OBTENIDOS EN ESTE TRABAJO PARA CONTESTAR A LAS CUESTIONES

PLANTEADAS INICIALMENTE. GRAN PARTE DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA PUEDE

IDENTIFICARSE, POR LO TANTO, CON UNA ACTIVIDAD DE MODELIZACIÓN

MATEMÁTICA.

POR EJEMPLO:

CUESTION INICIAL:

¿CÓMO REPARTIR CARAMELOS A UNOS AMIGOS EN PARTES IGUALES?

PROBLEMA MATEMÁTICO:

¿CUÁNTO ES 325 (CARAMELOS) DIVIDIDO ENTRE 23 (AMIGOS)?

MODELO ESCRITO:

LOS NÚMEROS Y LA OPERACIÓN DE DIVIDIR

UNA VEZ RESULETO EL PROBLEMA PLANTEADO HABRÁ QUE VOLVER A LA SITUACIÓN INICIAL PARA REALIZAR EL REPARTO: DAR 14 CARAMELOS A CADA UNO SABIENDO QUE SOBRARÁN 3.

UNA CUESTIÓN INTRAMATEMÁTICA

EXISTEN MULTITUD DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NACIDOS DE CUESTIONES PURAMENTE

MATEMÁTICAS, LAS QUE SE PUEDEN LLAMAR PROBLEMAS INTRAMATEMÁTICOS.

POR EJEMPLO:

QUEREMOS DIVIDIR 527 ENTRE 42.

COMO 42 = 7 x 6 = 6 x 7 = 7 x 3 x 2. DIVIDIMOS 527 ENTRE 2, OBTENEMOS 263 QUE DIVIDIMOS ENTRE 3, LO QUE DA 87; FINALMENTE DIVIDIMOS 87 ENTRE 7 Y OBTENEMOS 12. POR LO TANTO, 527 DIVIDIDO ENTRE

42 ES 12. ¿FUNCIONARÁ SIEMPRE ESTA TÉCNICA? ¿POR QUÉ? ¿ES POSIBLE JUSTIFICARLA? SI SE

CONSIDERA 42 = 2 x 21 ¿TAMBIÉN FUNCIONARÁ LA TÉCNICA?

SE PUEDE CARACTERIZAR EL HACER MATEMÁTICAS COMO UN TRABAJO DE

MODELIZACIÓN. ESTE TRABAJO CONVIERTE EL ESTUDIO DE UN SISTEMA NO MATEMÁTICO O UN SISTEMA PREVIAMENTE MATEMATIZADO EN EL

ESTUDIO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS QUE SE RESULEVEN UTILIZANDO ADECUADAMENTE

CIERTOS MODELOS. SE PUEDEN DESTACAR TRES ASPECTOS EN ESTE TRABAJO: LA UTILIZACIÓN

RUTINARIA DE MODELOS MATEMÁTICOS YA CONOCIDOS; EL APRENDIZAJE (Y LA EVENTUAL ENSEÑANZA) DE MODELOS Y DE LA MANERA DE

UTILIZARLOS; Y LA CREACIÓN DE CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS, ES DECIR DE

NUEVAS MANERAS DE MODELIZAR LOS SISTEMAS ESTUDIADOS.

LA “ENFERMEDAD DIDÁCTICA” CONSISTE EN REDUCIR LA ACTIVIDAD

MATEMÁTICA A UNA PARTE DEL SEGUNDO ASPECTO CONSIDERADO: EL ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICAS

PREVIAMENTE CONSTRUIDAS. ESTA REDUCCIÓN COMPORTA ADEMÁS QUE

EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA PASEN A SER UN FIN EN SÍ MISMOS, EN LUGAR DE SER CONSIDERADAS COMO

UN MEDIO PARA RESPONDER A CIERTAS CUESTIONES.

Lo didáctico es todo lo referente al estudio. Se habla de procesos

didácticos cada vez que alguien se vea llevado a estudiar algo – en

nuestro caso serán las matemáticas – solo o con la ayuda de otras

personas. El aprendizaje es el efecto perseguido por el estudio. La

enseñanza es un medio para el estudio, pero no el único.

LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS ES LA CIENCIA DEL ESTUDIO Y DE LA AYUDA AL

ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS. SU OBJETIVO ES LLEGAR A DESCRIBIR Y CARACTERIZAR LOS PROCESOS DE

ESTUDIO – O PROCESOS DIDÁCTICOS – DE CARA A PROPONER EXPLICACIONES Y

RESPUESTAS SÓLIDAS A LAS DIFICULTADES CON QUE SE ENCUENTRAN

TODOS AQUELLOS (ALUMNOS, PROFESORES, PADRES, PROFESIONALES, ETC) QUE SE VEN LLEVADOS A ESTUDIAR MATEMÁTICAS O A AYUDAR A OTROS A

ESTUDIAR MATEMÁTICAS.

UNO DE LOS PRINCIPIOS DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS CONSISTE EN POSTULAR QUE LA

EXPLICACIÓN DE UN FENÓMENO DIDÁCTICO – COMO, POR EJEMPLO, LA “IRRESPONSABILIDAD

MATEMÁTICA DE LOS ALUMNOS” – NO PUEDE REDUCIRSE A FACTORES PSICOLÓGICOS,

ACTITUDINALES O MOTIVACIONALES DE ALUMNOS Y PROFESORES, NI A LAS PECULIARIDADES

ESPECÍFICAS DE LOS MÉTODOS PEDAGÓGICOS UTILIZADOS. LAS EXPLICACIONES DIDÁCTICAS

DEBEN, POR EL CONTRARIO, PARTIR DE LA DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA QUE

REALIZAN CONJUNTAMENTE PROFESOR Y ALUMNOS EN EL AULA Y FUERA DE ELLA, ASÍ COMO DE LAS

CLÁUSULAS DEL CONTRATO DIDÁCTICO QUE RIGEN ESTA ACTIVIDAD.

¿CÓMO RESPONDERÍAN LOS ALUMNOS A ESTAS

PREGUNTAS?

PARTE I

¿EXISTE ALGUN NÚMERO QUE SUMADO A 5 DÉ POR RESULTADO 3?

¿ES POSIBLE QUE 3/2 SEA LA MITAD DE 6/4?

¿CUÁL ES LA MITAD DE 1/4?

Y… AHORA…

A

ESTUDIAR!!!!!!

EL NÚMERO 17.28.15 + 12 ¿ES MÚLTIPLO DE 4 Y DE 6?

SEAN p Y k NÚMEROS ENTEROS TALES QUE p = 25.k + 7, HALLAR EL

RESTO DE DIVIDIR k POR 5.

SI A UN RECTÁNGULO SE LE DUPLICAN SU BASE Y SU ALTURA,

a)¿ES CIERTO QUE EL ÁREA TAMBIÉN SE DUPLICA? ¿POR QUÉ?

b) ¿ES CIERTO QUE SU PERÍMETRO TAMBIÉN SE DUPLICA? ¿POR QUÉ?

DADAS DOS FRACCIONES CUALESQUIERA, ¿ES POSIBLE QUE EXISTA

SIEMPRE UNA FRACCIÓN QUE ENTRE UNA

CANTIDAD ENTERA DE VECES EN CADA UNA DE

ELLAS?

DIBUJEN CUADRILÁTEROS QUE TENGAN IGUAL PERÍMETRO QUE UN RECTÁNGULO DE 3 cm DE BASE Y 2 cm DE ALTURA.

EL ÁREA DE LOS CUADRILÁTEROS QUE DIBUJARON, ¿SIGUE SIENDO LA MISMA ÁREA QUE LA DEL RECTÁNGULO?.

¿CÓMO RESPONDERÍAN LOS ALUMNOS A ESTAS

PREGUNTAS?

PARTE II

¿ES POSIBLE ENCONTRAR EL SIGUIENTE DE 0,1?

¿ALGUNO DE ESTOS DOS NÚMEROS ES

MAYOR? ¿(0,5)2 O (0,5)3?SI SE MEZCLAN 3 lts DE AGUA CON 2 lts DE JUGO, ¿ES POSIBLE QUE SE OBTENGA EL

MISMO GUSTO SI SE MEZCLARA 2 lts DE AGUA CON 1 lts de

JUGO?

… SEGUIMOS

ESTUDIANDO…

CON UNA HOJA SE ARMAN DOS CILINDROS,

TENIENDO COMO EJE DE GIRO EL ANCHO DE LA HOJA EN UN CASO Y

EL LARGO EN OTRA. ESTUDIAR EL VOLUMEN DE AMBOS CILINDROS.

ANALIZAR LOS COMPORTAMIENTOS

DE F(x) = X3 Y DE G(x) = X5 PARA TODO NÚMERO REAL.

TRANSFORMA LA FÓRMULA DE F(x) = X3 DE MANERA TAL QUE

SE OBTENGA UNA FUNCIÓN CUYA ÚNICA

RAÍZ SEA -1?

SUPONIENDO QUE SE CONOCEN LOS

GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES X3 y X,

ESTUDIAR EL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN X3 – X + 1.

SE OBTUVO CON LA CALCULADORA

CIENTIFICA QUE EL SEN 30º =

SI NO SE TUVIERA UNA CALCULADORA, ¿CÓMO

SE PODRÍA CALCULAR EL SEN 30º?

… UN POCO DE TEORÍA…

ALGUNOS ASPECTOS BÁSICOS SOBRE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO (TAD)

En la Teoría Antropológica de lo didáctico (TAD) se parte del principio que el saber matemático se construye como

respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, apareciendo así como el resultado (o producto) de un

proceso de estudio. Dicho proceso, en cuanto actividad que conduce a la construcción (o reconstrucción) de conocimiento matemático, forma parte de la actividad

matemática. La TAD identifica lo didáctico con todo lo relativo al estudio, tomando la palabra “estudio” en un sentido muy amplio que

engloba las nociones de enseñanza y aprendizaje comúnmente utilizadas en la cultura pedagógica y que se

refiere a todo aquello que se hace en una determinada institución para aportar respuestas a las cuestiones o para

llevar a cabo las tareas problemáticas que se plantean.

Dentro del punto de vista general del conocimiento matemático, se propone la noción de organización

praxeológica matemática o praxeología matemática (o simplemente organización matemática) como modelo básico

para describir el conocimiento matemático. La noción de praxeología matemática corresponde a la concepción del trabajo matemático como estudio de tipos de problemas o tareas problemáticas. Pero éste no es el único aspecto del

trabajo matemático. En efecto, el matemático no aspira únicamente a plantearse buenos problemas y resolverlos,

sino que pretende, además, caracterizar, delimitar e incluso clasificar los problemas en “tipos de problemas”, entender,

describir y caracterizar las técnicas que utiliza para resolverlos hasta el punto de controlarlas y normalizar su uso,

se propone establecer las condiciones bajo las cuales éstas funcionan o dejas de ser aplicables y, en última instancia

aspira a construir argumentos sólidos y eficaces que sostengan la validez de sus maneras de proceder.

El saber matemático aparece así organizado en dos niveles:

El primer nivel es el que remite a la práctica que se realiza, la praxis o saber-hacer, es decir, los tipos de

problemas o tareas que se estudian y las técnicas que se construyen y utilizan para abordarlos.

El segundo nivel recoge la parte descriptiva, organizadora y justificadora de la actividad, que

llamaremos logos o, simplemente saber. Incluye las descripciones y explicaciones que se elaboran para hacer inteligibles las técnicas, esto es, el discurso

tecnológico (la razón, logos, de la técnica y, en última instancia, el fundamento de la producción de nuevas técnicas) y la teoría que da sentido a los problemas

planteados, permite interpretar las técnicas y fundamentar las descripciones u demostraciones

tecnológicas.

De ahí proviene la noción de praxeología, que resulta de la unión de los dos términos praxis y logos. Tipos de tareas,

técnicas, tecnología y teoría son pues las cuatro categorías de elementos que componen una organización o

praxeología matemática.

Diremos ahora que:> HACER MATEMÁTICA consiste en poner en práctica una praxeología matemática para realizar un determinado tipo de tareas y que:> ESTUDIAR MATEMÁTICAS consiste en construir o reconstruir determinados elementos de una praxeología matemática para dar respuesta a un determinado tipo de tarea problemática (es decir un tipo de tarea para el cual no existe una praxeología adecuada (en el caso de los investigadores de matemática) o no se conoce una praxeología adecuada para resolverla en el caso de los alumnos).

Las praxeologías matemáticas no surgen de forma instantánea, ni aparecen acabadas de una vez por todas. Son, al contrario, el resultado de un trabajo complejo y continuado que se realiza

durante largo tiempo – incluso siglos – en el caso de las matemáticas nuevas, pero también

en el caso de los alumnos aprendiendo matemática. Podemos mencionar a los números negativos, cuyo desarrollo ocupó varios siglos,

desde su utilización como recursos para resolver problemas, en la Edad Media, hasta el total

reconocimiento de su estatus como números alrededor del Siglo XIX. Y el tiempo que necesitan los alumnos para construir un

conocimiento tan complejo como el de volumen.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 PARA ENTREGAR EN EL 3er ENCUENTRO (29 DE JUNIO)

RECUPERATORIO DEL PRIMER ENCUENTRO

Realizar un diagnóstico - en parejas - al menos a 4 alumnos: dos de 3º ciclo y dos de Polimodal sobre división. Uno interactúa con el alumno, y el otro registra los gestos, las expresiones y todo lo que realiza el alumno en la hoja.

Si las repuestas de los alumnos se refieren a los números naturales, preguntar: ¿y si fueran fracciones? a) ¿Se puede dividir un número más chico, por otro más

grande? b) El resultado de una división, ¿puede ser más grande

que el dividendo? (recordar los nombres: divisor, dividendo, si no se acuerdan)

c) Inventar un problema que se resuelva con la cuenta siguiente: 24 : 6 - 3 =

Analizar y comentar las respuestas de los alumnos.

ACTIVIDAD Nº 1

ACTIVIDAD Nº 2

Tomar a dos alumnos de E.G.B. 3 o de POLIMODAL y registrar los análisis que los mismos hacen acerca del problema de la EMPRESAS A y B.

REGISTRAR Y COMENTAR ACERCA DE SUS ELABORACIONES.

ACTIVIDAD Nº 1

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 PARA ENTREGAR EN EL 3er ENCUENTRO (29 DE JUNIO)

Realizar un dialogo - en parejas - al menos a 4 alumnos: dosde 3º ciclo EGB 3 y dos de Polimodal sobre las preguntasanalizadas. Uno interactúa con el alumno, y el otro registralos gestos, las expresiones y todo lo que realiza el alumno enla hoja.

1) ¿ES POSIBLE QUE 3/2 SEA LA MITAD DE 6/4? 2) ¿ES POSIBLE ENCONTRAR EL SIGUIENTE DE 0,1? 3) SI SE MEZCLAN 3 lts DE AGUA CON 2 lts DE JUGO, ¿ES

POSIBLE QUE SE OBTENGA EL MISMO GUSTO SI SE MEZCLARA 2 lts DE AGUA CON 1 lts de JUGO?

Analizar tratando de comprender lo que sucede en los diálogos qué esta tratando el alumno, los acuerdos los que arriba, etc.No es necesario analizar todos los diálogos, sino seleccionaralgún momento particular.

ACTIVIDAD Nº 2

HACER UN ANÁLISIS EXTRAYENDO LAS IDEAS MAS IMPORTANTES DE LOS DOCUMENTOS

ENTREGADOS EN EL CD:

1)TAD – ASPECTOS BASICOS

2) TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

3) LA ENSEÑANZA DE LA DIVISIÓN