Unidad 1: Números y

operacionesProfesora Vanessa Castro

En esta unidad aprenderemos:

Conjunto de los números Complejos

Números

imaginarios

Representacio

nes de un

número

complejo

Modulo de un

número

complejo

Conjugado de

un número

complejo

Operatoria de

números

complejos

Resolución de problemas y aplicación de

números complejos

Recordemos un poco de conjuntos

numéricos

Números naturales

Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar

u ordenar.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1,

obtenemos otro número natural.

Representación en

la recta numérica

Números naturales

Propiedades de IN y 𝐼𝑁𝑜

• Clausura

1+2=3

• Conmutatividad

2+3=3+2=5

• Asociatividad

1+(2+3)=(1+2)+3

1+5=3+3

6=6

• Elemento neutro

5+0=0+5=5

• Clausura

2·3=6

• Conmutatividad

2·3=3·2=6

• Asociatividad

2·(3·4)=(2·3)·4

2·12=6·4

24=24

• Elemento neutro

5·1=1·5=5

Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición

6·(3+1)=6·3+6·1

6·4=18+6

24= 24

Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el

minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos

encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor

hay que restarle uno mayor. La necesidad de representar el dinero

adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al

nivel del mar, etc. Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el

concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto

numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por los

números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números

naturales como un subconjunto de los enteros.

Propiedades de Z

Dado que los números naturales están contenidos en los enteros, adquieren

todas sus propiedades. Además cada número entero tiene su opuesto o inverso

aditivo, por lo cual añadimos esta nueva propiedad en Z.

Suma

• Clausura

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Elemento neutro

• Elemento inverso

6+(-6)=(-6)+6=0

Multiplicación

• Clausura

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Elemento neutro

Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición

Números racionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con

denominador distinto de cero.

Propiedades de los números racionales

Dado que los números enteros están contenidos en los racionales, adquieren todas sus propiedades.

Además cada número racional tiene inverso multiplicativo, por lo cual añadimos esta nueva

propiedad en Q.

Suma

• Clausura

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Elemento neutro

• Elemento inverso

Multiplicación

• Clausura

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Elemento neutro

• Elemento inverso2

5·5

2=5

2·2

5=10

10= 1

Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición

Los números irracionales Son números con desarrollos decimales infinitos

no periódicos, como por ejemplo el número 𝜋 = 3,1415927. . . no es posible

escribirlo

como un cociente de números enteros (fracción).

Números Reales

El conjunto de los números reales es infinito y ordenado y tiene como

elementos tanto los números racionales como los irracionales. De manera

matemática se puede expresar de la siguiente forma:

Al igual que el conjunto de los racionales, los números reales son densos,

esto es, entre dos números reales cualesquiera existe otro número real.

Finalmente con los números reales la recta numérica está completa, es

decir, a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real.

Propiedades de los números reales

El conjunto de los números reales tiene estructura algebraica de cuerpo, esto es, que para las

operaciones definidas en IR, adición(+) y multiplicación(·) se cumplen las siguientes propiedades:

1. Cerrado

Si tomo dos números reales y los sumo o multiplico, ambos resultados corresponden a un número

real.

Por ejemplo:

5 + 2 = 7 ∈ 𝐼𝑅5 · 2 = 10 ∈ 𝐼𝑅

En general, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅, entonces:

𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑅𝑥 · 𝑦 ∈ 𝑅

2. Asociativo

Si tengo 3 o más números, la operación que realice es independiente de la agrupación

que tengan los números.

Por ejemplo:

2 + 3 + 5 = 10 = 2 + 3 + 5(2 · 3)5 = 30 = 2(3 · 5)

En general, para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐼𝑅, entonces:

(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)(𝑥 · 𝑦)𝑧 = 𝑥(𝑦 · 𝑧)

3. Conmutativo

La operación es independiente del orden de los números.

Por ejemplo:

4 + 2 = 6 = 2 + 44 · 2 = 8 = 2 · 4

En general, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅, entonces:

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥𝑥 · 𝑦 = 𝑦 · 𝑥

4. Distributivo

La suma de dos sumandos, multiplicada por un número, es igual a la suma de los

productos de cada sumando por ese número.

Por ejemplo:

2 · (1 + 5) = 12 = 2 · 1 + 2 · 5En general, para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐼𝑅, entonces:

𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥 · 𝑦 + 𝑥 · 𝑧

5. Neutro

Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el

elemento original.

Por ejemplo:

2 + 0 = 23 · 1 = 3

En general, para todo 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, entonces:

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 · 1 = 1 · 𝑥 = 𝑥

6. Inverso

Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento inverso el

resultado es el elemento neutro correspondiente a cada operación. Por

ejemplo:

2 + −2 = 03 · 3−1 = 1

En general, para todo x ∈ R, entonces:

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 − 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥−1 =1

𝑥∈ 𝐼𝑅 − 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 · 𝑥−1 = 1

Números imaginarios

Si tratamos de resolver la ecuación

𝑥2 + 1 = 0

necesariamente llegamos a la situación 𝑥2 = −1. Como hemos visto en cursos

anteriores, esta ecuación, aparentemente simple, no tiene solución en el

cuerpo o campo de los números reales, ya que no existe ningún número real

cuyo cuadrado sea negativo. Ante esta dificultad, se creó un nuevo tipo de

números que fueron denominados números imaginarios.

La característica de estos números es que al elevarlos al cuadrado dan como

resultado un número negativo.

Entre estos números se distingue la unidad imaginaria qu se simboliza por i, y

se define como:

𝑖2 = −1

Es decir,

𝑖 = −1

Ahora, si la unidad imaginaria la multiplicamos por un factor real, daremos

origen a los llamados números imaginarios puros, que se simbolizan por:

𝑏𝑖; 𝑏 ∈ ℝ

Ejemplos: Son números imaginarios puros 2𝑖; −5𝑖; − 3𝑖;510𝑖 etc.

Expresemos las siguientes raíces cuadradas de números negativos como

números imaginarios puros guíate por el primer ejemplo

−4 = 2𝑖 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 2𝑖 2 = 4𝑖2 = 4 · −1 = −4

−13 =

−25 =

−160 =

Solución de ecuaciones cuadráticas

La resolución de ecuaciones cuadráticas de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑐 ∈ ℝ, da

origen a números imaginarios puros, como podemos verificar en los casos

siguientes.

También, es posible sumar, restar, multiplicar o dividir números

imaginarios entre sí o con números reales, como vemos en los

ejemplos siguientes.

En general, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏 𝑖

𝑎 · 𝑏𝑖 = 𝑎𝑏 𝑖

𝑎𝑖 · 𝑏𝑖 = 𝑎 · 𝑏 𝑖2 = −𝑎𝑏

𝑎𝑖

𝑏=

𝑎

𝑏𝑖 𝑏 ≠ 0

𝑎𝑖

𝑏𝑖=

𝑎

𝑏; 𝑏 ≠ 0

Potencias de i

Las potencias de la unidad imaginaria i se logran a partir de las siguientes potencias básicas:

𝑖0 = 1; 𝑖2 = −1

Actividad: Calcular las potencias de i hasta exponente 20 considerando que:

𝑖1 = 𝑖

𝑖2 = −1

𝑖3 = 𝑖 · 𝑖2 = 𝑖 · −1 = −𝑖

𝑖4 = 𝑖2 · 𝑖2 = −1 · −1 = 1

Analiza los resultados obtenidos y generaliza las potencias de i

Al igual que para los

números reales, para los

números imaginarios se

cumple que:

𝑖𝑚 · 𝑖𝑛 = 𝑖𝑚+𝑛

𝑖𝑚 𝑛 = 𝑖𝑚·𝑛

∀𝑚, 𝑛 ∈ ℤ

Generalizando

Potencias

canónicas de i

Potencia

equivalente

con 𝒏 ∈ ℤ𝟎+

exponente

𝑖1 = 𝑖 𝑖4𝑛+1 1,5,9,…

𝑖2 = −1 𝑖4𝑛+22,6,10,…

𝑖3 = −𝑖 𝑖4𝑛+33,7,11,…

𝑖4 = 1 𝑖4𝑛+44,8,12,…

Ejemplos: Calculemos algunas potencias

de i

Cualquier exponente entero de i se puede descomponer en dos

sumandos: uno múltiplo de 4 y otro en términos de una potencia

básica de i. De esta manera dicho exponente queda reducido a una

potencia básica de i.

Ejemplo: si el exponente es 125, dividimos 125:4=31 y sobra 1 por lo

que podemos decir que 125=31·4+1 Luego 𝑖125 = 𝑖31·4+1

Complementa tu

aprendizaje con

la siguiente

actividad:guia 1

numeros

imaginarios.docx

Números complejos

Se denomina Conjunto de los Números Complejos ℂ al conjunto de todos los números de la

forma a + bi, en que a y b son números reales.

El conjunto e es una "extensión" del Conjunto de los Números Reales (R).

Parte real e imaginaria de un número

complejo

Si designamos por z al número complejo a + bi, es decir, 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces el real a se

llama "parte real de z", Re(z), y el real b, que es el coeficiente de i, "parte imaginaria de z",

Im(z). Esto se anota así:

𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏

ℝ se puede considerar como el conjunto de todos los

números de la forma 𝑎 + 0𝑖, denominados "reales

puros".

Igualdad de dos números complejos

Dos números complejos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑒 + 𝑑𝑖 son

iguales si y sólo si sus partes reales y sus partes imaginarias

son respectivamente iguales. Es decir

𝑧1 = 𝑧2 ⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑

Nota: El conjunto e de los números complejos no es un

conjunto ordenado. No es posible determinar si un

número complejo 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es menor o mayor que

otro complejo 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖.

Ejemplos

Identifiquemos la parte real y la parte imaginaria de cada uno de los siguientes números

complejos.

Ejemplo 2

Encontremos los valores reales x e y para los cuales los complejos

z1 = 𝑥 + 5 + 14𝑖

𝑧2 = 20 + (3 + 2𝑦)𝑖

son iguales.

Como 𝑧1 = 𝑧2 , debe cumplirse:

𝑅𝑒 (𝑧1) = 𝑅𝑒 (𝑧2) 𝑒 𝐼𝑚 (𝑧1) = 𝐼𝑚 (𝑧2)

Entonces: 𝑥 + 5 = 20 ; 14 = 3 + 2𝑦

Por lo tanto:

𝑥 = 15

𝑦 =11

2

Expresiones binomial y cartesiana de un

número complejo

Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado (a,b) de

números reales, donde la segunda componente del par corresponde al coeficiente de la unidad

imaginaria i. Es decir:

Así, la expresión

z = a + bi se denomina "expresión binomial" de z.

z = (a, b) se denomina "expresión cartesiana" de z.

Y luego

Ejemplo

Encontremos los valores reales p y q, para los cuales los complejos 𝑧1 = (2𝑝 + 𝑞, 11) y

𝑧2 = (22, 𝑝 — 𝑞), son iguales.

Sabemos que 𝑧1 = 𝑧2 <=> 2𝑝 + 𝑞 = 22 𝑦 11 = 𝑝— 𝑞

de donde obtenemos un sistema de ecuaciones lineales para p y q

Resuelve en tu cuaderno el sistema de ecuaciones

Luego p=11 y q=0

Representación de números complejos

Todo número complejo expresado en la forma z = a + bi o z = (a,b), se puede representar en un

plano de Argand como un vector flecha, de origen 0(0,0) y punto final P de coordenadas (a,b).

Así, la componente real del número complejo se representa en el eje de las abscisas (X), y la

componente imaginaria en el eje de las ordenadas (Y). También se puede afirmar que un complejo

z = a + bi queda representado en un plano, simplemente por el punto P(a,b).

Actividad: Representa en el plano de

Argand los siguientes números

𝑧1 = 1 + 5𝑖

𝑧2 = −2 +7

2𝑖

𝑧3 = −3 − 4𝑖

𝑧4 = 4 − 2𝑖

𝑧5 = 3𝑖

𝑧6 = −1

Otra forma de representar números complejos es a través

del software matemático “Geogebra”. Puedes ingresar a

www.geogebra.cl y verificar tus resultados con ayuda de

este software

Explica en tu cuaderno por

qué el plano complejo se

llama “Plano de Argand” y

qué diferencia tiene con el

plano cartesiano

Módulo de un número complejo

Se denomina valor absoluto o módulo de un número complejo z = a + bi, a la magnitud positiva del

"vector flecha" correspondiente representado en el plano.

Se le llama “módulo de z” y se denota como 𝑧 = 𝑂𝑃

En la figura :

• el triangulo △𝑂𝑃𝐴 es rectángulo en A

• 𝑂𝑃 es la hipotenusa de magnitud 𝑧

• 𝑂𝐴 y 𝐴𝑃 son los catetos de magnitudes a y b respectivamente

• Por teorema de pitagoras 𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏2 por lo tanto 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2

• De otra forma:

𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 2 + 𝐼𝑚 𝑧 2

Ejemplos

Calculemos el módulo de los números complejos

• 𝑧1 = 2 + 3𝑖 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13

• 𝑧2 =—5 + 4𝑖 = (−5)2+42 = 25 + 16 = 41

• 𝑧3 =—4 − 3𝑖 = −4 2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25 = 5

Números complejos conjugados

Números complejos conjugados

Dos números complejos se dicen conjugados si solo difieren en el

signo de la parte imaginaria.

Sea 𝑧 ∈ ℂ, se defineഥ𝑧 ∈ ℂ tal que

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⇔ ҧ𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖

Gráficamente, todo número complejo z y su conjugado son simétricos

respecto del eje real.

Ejemplos

Cada par de números esta compuesto por un número complejo y su conjugado

Actividad:

Explica con tus

palabras el

procedimiento para

calcular el modulo y el

conjugado de un

número complejo

Observaciones:

Si z es un numero real puro, su conjugado es el mismo

El conjugado del conjugado de un número complejo z, es el mismo número z.

El módulo de 𝑧 y de ҧ𝑧 es el mismo, ya que ambos tienen igual magnitud.

Resuelve la

siguiente

actividad: guia 2

complejos.docx

Adición de números complejos

Dados 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℂ tal que 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑐, 𝑑) la adición de 𝑧1 𝑦 𝑧2 esta dada

por:

Notación binomial:

Notación cartesiana:

Ejemplos:

Resuelve: guia 3

suma en C.docx

Adición de números complejos gráfica.

Corresponde a la suma de los vectores dados por los complejos

Ejemplo: Dado los complejos 𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑦 𝑧2 = 4 + 𝑖 la suma de 𝑧1 + 𝑧2 es

diagonal del paralelogramo cuyos lados son los "vectores flechas" 𝑧1 𝑦 𝑧2

Algebraicamente sumamos las

partes reales y las partes

imaginarias correspondientes

𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 4) + (3𝑖 + 𝑖)𝑧1 + 𝑧2 = 6 + 4𝑖

Propiedades de la suma en ℂ

Él conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos, por lo

tanto absorbe todas sus propiedades para la suma.

• Clausura

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Elemento neutro

• Elemento inverso

Actividad:

Sean 𝑧1 = 1 + 2𝑖; 𝑧2 = 3 + 2𝑖 𝑦 𝑧3 = 2 − 𝑖

Verificar las propiedades de la suma en los

números complejos utilizando z1, z2, y z3

Propiedades del módulo y conjugado

para la suma de un número complejo

Conjugado del complejo suma

Suma de un número complejo y su conjugado

Diferencia de un número complejo y su conjugado

Actividad Representa en el plano la adición de los números complejos dados en cada caso

a) 𝑧1 = 4 + 6𝑖; 𝑧2 = −7 + 2𝑖

b) 𝑧1 = 5 − 8𝑖; 𝑧2 = −3 + 5𝑖

Considera los complejos 𝑧1 = 12 − 4 3𝑖; 𝑧2 = −6 + 3𝑖 y comprueba las propiedades

a) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2

b) 𝑧 + ҧ𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧

c) 𝑧 − ҧ𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧

Dados los complejos 𝑧1 = −4 − 3𝑖; 𝑧2 = −2

5+

3

4𝑖 calcula

a) 𝑧1 − 𝑧1 + 𝑧2

b) (𝑧1 + 𝑧2) − (𝑧1 − 𝑧1)

c) 4 𝑧1 + 𝑧1 − (𝑧1 + 𝑧2)

Representa en el plano la sustracción de acuerdo con los números complejos dados

a) 𝑧1 = −4 − 3𝑖; 𝑧2 = 6 − 𝑖

b) 𝑧1 = 7 − 2𝑖; 𝑧2 = −5 − 4𝑖

Multiplicación de números complejos

Dados 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℂ tal que 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑐, 𝑑) la multiplicación de 𝑧1 𝑦 𝑧2esta dada por:

Notación binomial

Notación cartesiana

Ejemplos:

Propiedades de la multiplicación en ℂ

Él conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos, por lo

tanto absorbe todas sus propiedades para la multiplicación.

• Clausura

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Elemento neutro

• Elemento inverso

Actividad:

Sean 𝑧1 = 1 + 2𝑖; 𝑧2 = 3 + 2𝑖 𝑦 𝑧3 = 2 − 𝑖

Verificar las propiedades de la

multiplicación en los números complejos

utilizando z1, z2, y z3

Potencias de un número complejo

El desarrollo de un complejo a + bi elevado a una potencia n, (n e Z) es igual al desarrollo de

un binomio real (a + b) elevado a n, remplazando por las potencias canónicas de i.

Ejemplos

Actividad: guia

4multiplicacion

C.docx

Propiedades del módulo y conjugado para la

multiplicación de un número complejo

Para concluir: Responde en tu cuaderno

las siguientes preguntas

División de números complejos

La división de 𝑧1 por 𝑧2, es igual a la multiplicación de 𝑧1 por el inverso multiplicativo de 𝑧2

Es decir

Por lo tanto si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑧2 ∈ ℂ∗, entonces se tiene que:

Ejemplo

Otra forma de dividir

Podemos también ver que es posible efectuar la división 𝑧1

𝑧2, simplemente

amplificando la fracción por el conjugado del divisor. (lo que anteriormente

conocíamos como racionalizar raíces cuadradas)

Es decir:

Ejercicio: Resuelve el ejemplo anterior con este método

Propiedades del conjugado y del módulo

para la división de números complejos

Actividad: Verificar estas propiedades considerando

𝑧1 = 2 + 𝑖 y 𝑧2 = −3 − 2𝑖

Actividad: guia 5 division

en C.docx

Ecuaciones cuadráticas con coeficientes

reales y raíces complejas

En años anteriores aprendiste que toda ecuación cuadrática o de segundo grado de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0 tiene dos raíces o soluciones cuya naturaleza depende

de la discriminante de esta ecuación. Es así que,

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Discriminante:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐Raíces o soluciones de la ecuación

cuadrática

𝐷 > 0 Dos raíces reales y distintas

𝐷 = 0 Dos raíces reales e iguales

𝐷 < 0 Dos raíces no reales ( complejas

conjugdas)Recordemos: las soluciones de una

ecuación cuadrática esta dada por

la expresión

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Actividades: Desarrolla en forma

ordenada los siguientes ejercicios

Guía resumen de unidad

Resuelve la siguiente actividad :

Esta guía contiene cada uno de los contenidos trabajados en la unidad

Actividad: Resolver los problemas con

números complejos

Si i es la unidad imaginaria, calcula i75. Razona cómo lo obtienes

Dados los dos números complejos 4m-2i y 3+ni, hallar m y n para que el cociente entre el primero y segundo sea el número complejo 6-2i.

Calcular y simplificar todo lo posible:

Hallar el valor que hay que dar a x para que el cociente:

Sea: 1º Real; 2º Imaginario; 3º De módulo igual a: