Unidad 3 Conceptos Estadistica

7/25/2019 Unidad 3 Conceptos Estadistica

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Instituto Tecnolgico de Campeche

Ingeniera en Administracin

Temas de Investigacin Conceptual

3er trabajo

Sanmiguel Huicab Aleis !"

!stadstica I

#$3

%& de octubre de '(%&


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)nidad 3"* Tipos de distribuciones+ variables

aleatorias discretas , continuas

Competencia espec-ica a desarrollar. Consulta ,

utili/a ejemplos de aplicacin de variables aleatorias

discretas , continuas+ para gra-icar su distribucin de

probabilidades"

ndiceQu es exactamente el azar?...............................................................................4

Qu es una variable aleatoria?............................................................................4

Variables aleatorias discretas (definicin y ejemplos).............................................4

Ejemplo........................................................................................................... 4


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!istribucin de probabilidad para una variable aleatoria discreta (V"!)..................4

!efinicin......................................................................................................... 4

!istribucin acumulada....................................................................................5

Valor esperado de una V"! (Esperanza matematica) # (concepto y modelo)............5

Valor $onetario Esperado.....................................................................................5Varianza y desviacin est%ndar de una V"! (concepto y modelo)...........................6

&a distribucin 'inomial.......................................................................................6

$odelo............................................................................................................ 7

aractersticas..................................................................................................7

!istribucin *iper+eomtrica................................................................................7

,ropiedades......................................................................................................7

&a distribucin de ,oisson...................................................................................8

,ropiedades......................................................................................................8$odelo matem%tico...........................................................................................9

aracteristicas..................................................................................................9

Variables aleatorias continuas..............................................................................9

&a distribucin normal de probabilidades............................................................10

&as - razones de su importancia................................................................10

"ntecedentes............................................................................................10

aractersticas..........................................................................................10

urva normal............................................................................................10 El modelo matem%tico...............................................................................11

.reas bajo la curva normal........................................................................11

&a distribucin normal estandarizada..................................................................12

$odelo de estandarizacin..............................................................................12

/so de la tabla de la distribucin normal est%ndar............................................13

"proximacin de la normal a la binomial.............................................................13

01emas de 2nvesti+acin onceptual3

Qu es exactamente el azar?El azar es una cualidad presente en diversos fenmenos que se caracterizan por nomostrar una causa, orden o finalidad aparente.


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Qu es una variable aleatoria?Variable aleatorio es una funcin que asigna un nmero real a cada resultado del espaciomuestral de un experimento aleatorio. Se representa por las ltimas letras del alfabeto: ,! o ".

E#emplos de variables aleatorias:

: $a suma que aparece al lanzar un par de dados.!: El nmero de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces.": El nmero de errores que se encuentran en la p%gina de un libro.

Variables aleatorias discretas (definicin y ejemplos)

Variable aleatoria discreta.-Es una variable aleatoria que toma un nmero finito devalores numerables.

Ejemplo- $ance una moneda e igualeXa & si sale cara, ' ( si sale cruz. Entonces,Xes

discreta con valores (,&.

- )ire un dado al aire ' tome paraXel nmero orientado *acia arriba. EntoncesXesuna variable aleatoria discreta con valores posibles &, +, , -, ' /.

- 0mero de ralladuras en una superficie.

!istribucin de probabilidad para una variable aleatoria discreta (V"!)$a distribucin de probabilidad de una variable aleatoria es una funcin que asigna a cadasuceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dic*o suceso ocurra. $adistribucin de probabilidad est% definida sobre el con#unto de todos los sucesos, cadauno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

$a distribucin de probabilidad est% completamente especificada por la funcin dedistribucin, cu'o valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria seamenor o igual que x.

!efinicinFuncin de distribucin

1ada una variable aleatoria , su funcin de distribucin, 23x4, esFX(x)=Prob (Xx)=P {|X () x}5or simplicidad, cuando no *a' lugar a confusin, suele omitirse el sub6ndice ' seescribe, simplemente, 23x4. 1onde en la frmula anterior:

Prob,es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad ' una medida unitariasobre el espacio muestral.

Pes la medida sobre la 78%lgebra de con#untos asociada al espacio de probabilidad.

es el espacio muestral, o con#unto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre elque se define el espacio de probabilidad en cuestin.


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X: Res la variable aleatoria en cuestin, es decir, una funcin definida sobre elespacio muestral a los nmeros reales.

!istribucin acumulada

23x4 9 p3 x4 9 xi x f 3 xi 4

5ara una variable aleatoria discreta , 23x4 satisface las siguientes propiedades:

&4 23x4 9 p3 x 4 9xi x

f3 x i 4

+4 ( 23x4 &4 Si x', entonces 23x4 f 3'4.

Valor esperado de una V"! (Esperanza matematica) # (concepto y modelo)$a esperanza matem%tica o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la sumadel producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dic*o suceso.

5ara una variable aleatoria discreta con valores posibles ' susposibilidades representadas por la funcin de masap3xi4 la esperanza se calcula con

; 9 E34 9x

xf(x )

3x49

9variable aleatoria discreta de inter


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dispone de ninguna informacin sobre la probabilidad de ocurrencia de los diversoseventos ', por tanto, se asignan probabilidades iguales.

Si el experimento 3la decisin4 se repitiera n veces ' no decidiera contratar el seguro,cuando nC el resultado ser6a:pDn veces )8

3&8p4Dn veces )

El valor monetario esperado es )8pDEl valor monetario esperado es la Esperanza Fatem%tica del resultado: 5#i#Si el equivalente monetario cierto es igual al valor monetario esperado, su actitud esneutral ante el riesgo: x9pDSi el equivalente monetario cierto es menor que el valor monetario esperado, su actitud esde aversin el riesgo: xGpDSi el equivalente monetario cierto es ma'or al valor monetario esperado, su actitud es depropensin al riesgo: xHpDc.

Varianza y desviacin est%ndar de una V"! (concepto y modelo)

$a varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersin o esparcimiento de

los valores posibles de . $a varianza de , denotada como 2

o V34, es

2

9 V34 9 x 3x2 f3x4

$a desviacin est%ndar de una variable aleatoria

9 IV 3X

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Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de ladistribucin de probabilidad, porque proporcionan una descripcin completa de la formaen que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersin4

&a distribucin 'inomialEs una distribucin de probabilidad discreta que es extremadamente til para describirmuc*os fenmenos.$a distribucin binomial posee cuatro propiedades esenciales:

&4 $as observaciones posibles pueden obtenerse mediante dos m


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-4 El resultado 3es decir, el


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En la frmula anterior, definiendop9d0'q9&Mp,Se obtieneVar IN9npq0Mn0M&. &&

$a distribucin *ipergeom


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0mero de llamadas por *ora que llegan al conmutador de una estacin depolic6a.

0mero de llegadas de carros al d6a en un puente de pea#e 0mero de *uelgas industriales importantes al aKo en el Qeino Xnido. 0mero de manc*as en una 'arda cuadrada de tela. 0mero de defectos por lote en un proceso de produccin. 0mero de carreras por entrada de un #uego de b


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orriente el


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El modelo matem%tico

El modelo o expresin matem%tica querepresenta una funcin de densidad de probabilidad se denota mediante el s6mbolo f34.5ara la distribucin normal, el modelo usado para obtener las probabilidades deseadas es

1onde

e es la constante matem%tica aproximada por +.W&P+P

] es la constante matem%tica aproximada por .&-&^

;Y es la media de poblacin

7Y es la desviacin est%ndar de poblacin

es cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde 8C H H \ C

.reas bajo la curva normal

Estas graficas muestran tres formas diferentesde medir el %rea ba#o la curva normal, sinembargo, mu' pocas de las aplicaciones que se*acen de la distribucin normal de probabilidadimplican intervalos de exactamente 3m%s omenos4 &,+ o desviaciones est%ndar a partirde la media. 5ara estos casos existen tablasestad6sticos que indican porciones del %rea ba#ola curva normal que est%n contenidas dentro decualquier nmero de desviaciones est%ndar3m%s o menos4 a partir de la media.

Afortunadamente tambi


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&a distribucin normal estandarizada$a distribucin normal est%ndar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media elvalor cero, _ 9 (, ' por desviacint6pica la unidad, 7 9&.

Su funcin de densidad es:

Su gr%fica es:

! probabilidad de la variable depender% del %rea del recinto sombreado en la figura. !para calcularla utilizaremos una tabla.

+ii-ic!cin de *! $!ri!b*e

5ara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable Xque sigue una

distribucin . (, /)en otra variable 0que siga una distribucin . (1, 2) .

$odelo de estandarizacinEs una distribucin cu'a variable aleatoria " siempre tiene una media z 9 ( ! unadesviacin est%ndar (z 9l.Sustitu'endo en la ecuacin 3P.&4, vemos que la funcin de densidad de probabilidad deuna variable normal est%ndar " es

Qelacin entre el %rea ba#o la curvade distribucin normal deprobabilidad ' la distancia a lamedia medida en desviaciones
http://www.vitutor.com/pro/5/a_3.htmlhttp://www.vitutor.com/pro/5/a_3.html


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Al usar la frmula de transformacin cualquier variable aleatoria normal se convierte enuna variable aleatoria normal estandarizada ". Fientras los datos originales para lavariable aleatoria ten6an una media ' una desviacin est%ndar, la variable aleatoriaestandarizada " siempre tendr% una media 9 ( ' una desviacin 9 &

/so de la tabla de la distribucin normal est%ndar$a tabla representa las probabilidades o %reas ba#o la curva normal calculadas desde la

x *asta los valores particulares de inter


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x 9 variable de tipo discretoB solo toma valores enterosm 9 np9 media de la distribucin [inomial

s 9 9 desviacin est%ndar de la distribucin [inomial

uando ocurren las condiciones anteriores, la gr%fica de la distribucin [inomial, es mu'parecida a la distribucin 0ormal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la0ormal en lugar de con la [inomial ' de una forma m%s r%pida.En resumen, se utiliza la aproximacin 0ormal para evaluar probabilidades [inomialessiempre quepno est< cercano a% o 2. $a aproximacin es excelente cuando nes grande' bastante buena para valores pequeKos de nsip est% razonablemente cercana a . Xnaposible gu6a para determinar cu%ndo puede utilizarse la aproximacin 0ormal es tener encuenta el c%lculo de np' nq. S6 ambos, np y nq son mayores o iguales a 3, laaproximacin ser% buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximacin 0ormal, es bueno aclararque se est%n evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una

distribucin que evala variables de tipo continuo como es la 0ormal,5or lo que z sufre un pequeKo cambio como se muestra a continuacin:

5or qu< vamos a sumar o a restar a x

Este es un factor de correccin debido a que se est% evaluando una variable discreta conuna distribucin continua, por lo que *a' que delimitar claramente desde que punto se va

a evaluar la variable, dic*o de otra forma, en que l6mite de la barra 3inferior o superior4 nosdebemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidada evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqu< del .


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